Визначення симетрії; Визначення симетрії. Коли говорять про асиметрію? Що означає симетрія у різних науках
«Точка симетрії» – симетрія в архітектурі. Приклади симетрії плоских фігур. Дві точки А і А1 називаються симетричними щодо, якщо Про середина відрізка АА1. Прикладами фігур, що мають центральну симетрію, є коло і паралелограм. Крапка C називається центром симетрії. Симетрія в науці та техніці.
«Побудова геометричних фігур» – виховний аспект. Контроль та корекція засвоєння. Вивчення теорії, на якій ґрунтується метод. У стереометрії – не суворі побудови. Стереометричні побудови. Алгебраїчний метод. Метод перетворень (подібності, симетрії, паралельного перенесення тощо). Наприклад: пряма; бісектриса кута; серединний перпендикуляр.
«Фігура людини» - Форму та рухи тіла людини багато в чому визначає скелет. Ярмарок з театральною виставою. Як ви вважаєте, чи знайдеться робота для художника в цирку? Скелет грає роль каркаса у будові фігури. Головне Тіло (тварини, груди) Не звертали уваги Голова, обличчя, руки. А. Матіс. Пропорції. Стародавня Греція.
«Симетрія щодо прямої» - Симетрія щодо прямої називається осьовою симетрією. Пряма а – вісь симетрії. Симетрія щодо прямої. Булавін Павло, 9В клас. Скільки осей симетрії має кожна фігура? Фігура може мати одну або кілька осей симетрії. Центральна симетрія. Рівнобедрова трапеція. Прямокутник.
«Площі фігур геометрія» – Теорема Піфагора. Площі різних фігур. Вирішіть ребус. Фігури, що мають рівні площі, називаються рівновеликими. Одиниці виміру площ. Площа трикутника. Прямокутник, трикутник, паралелограм. Квадратний сантиметр Постаті рівної площі. Рівні постаті б). Квадратний міліметр. в). чому дорівнюватиме площа фігури складеної з фігур А і Г.
«Межа функції в точці» - , то в такому випадку. При прагненні. Межа функції у точці. Безперервна у точці. дорівнює значенням функції в. Але при обчисленні межі функції при. Дорівнює значенню. Вираз. Прагнення. Або можна сказати так: у досить малій околиці точки. Складено із. Рішення. Безперервна на проміжках. На проміжку.
СИМЕТРІЯ ПРОСТОРНИХ ФІГУР
За словами відомого німецького математика Г. Вейля (1885-1955), "симетрія є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагалася осягнути і створити порядок, красу та досконалість".
Прекрасні образи симетрії демонструють витвори мистецтва: архітектури, живопису, скульптури тощо.
Поняття симетрії постатей на площині розглядалося в курсі планіметрії. Зокрема, визначалися поняття центральної та осьової симетрії. Для просторових постатей поняття симетрії визначається аналогічним чином.
Розглянемо спочатку центральну симетрію.
симетричними щодо точки O, званої центром симетрії, якщо O є серединою відрізка AA". Точка O вважається симетричною сама собі.
Перетворення простору, при якому кожній точці A зіставляється симетрична їй (щодо цієї точки O) точка A називається центральною симетрією. Точка O при цьому називається центром симетрії.
Дві фігури Ф і Ф" називаються центрально симетричнимиякщо існує перетворення симетрії, що переводить одну з них в іншу.
Фігура Ф називається центрально симетричноюякщо вона центрально симетрична сама собі.
Наприклад, паралелепіпед центрально симетричний щодо точки перетину його діагоналей. Куля та сфера центрально симетричні щодо своїх центрів.
З правильних багатогранників центрально симетричними є куб, октаедр, ікосаедр і додекаедр. Тетраедр не є центрально-симетричною фігурою.
Розглянемо деякі властивості центральної симетрії.
Властивість 1.Якщо O 1 , O 2 – центри симетрії фігури Ф, точка O 3 симетрична O 1 щодо O 2 також є центром симетрії цієї постаті.
Доведення.Нехай A – точка простору, A 2 - точка, симетрична їй, щодо O 2 , A 1 – точка, симетрична A 2 щодо O 1 та A 3 – точка симетрична A 1 щодо O 2 (рис. 1).
Тоді трикутники O 2 O 1 A 1 і O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 та O 2 O 3 A рівні. Отже, A та A 3 симетричні щодо O 3 . Таким чином, симетрія щодо O 3 є композицією симетрій щодо O 2 , O 1 та O 2 . Отже, за цієї симетрії фігура Ф переходить сама у собі, тобто. O 3 є центром симетрії фігури Ф.
Слідство.Будь-яка фігура або не має центру симетрії, або має один центр симетрії, або має безліч центрів симетрії
Справді, якщо O 1 , O 2 – центри симетрії фігури Ф, точка O 3 симетрична O 1 щодо O 2 також є центром симетрії цієї постаті. Аналогічно, точка O 4 симетрична O 2 щодо O 3 також є центром симетрії фігури Ф і т. д. Отже, у разі фігура Ф має нескінченно багато центрів симетрії.
Розглянемо тепер поняття осьовий симетрії.
Точки A і A" простору називаються симетричними щодо прямої aзваної віссю симетрії, якщо пряма aпроходить через середину відрізка AA" і перпендикулярна цьому відрізку. Кожна точка пряма aвважається симетричною сама собі.
Перетворення простору, при якому кожній точці A зіставляється симетрична їй точка A" (щодо даної прямої a), називається осьовий симетрією. Пряма aпри цьому називається віссю симетрії.
Дві фігури називаються симетричними щодо прямої a, Якщо перетворення симетрії щодо цієї прямий переводить одну з них в іншу.
Фігура Ф у просторі називається симетричною щодо прямої aякщо вона симетрична сама собі.
Наприклад, прямокутний паралелепіпед симетричний щодо прямої, що проходить через центри протилежних граней. Прямий круговий циліндр симетричний щодо своєї осі, куля і сфера симетричні щодо будь-яких прямих, що проходять через їхні центри і т.д.
Куб має три осі симетрії, що проходять через центри протилежних граней та шість осей симетрії, що проходять через середини протилежних ребер.
Тетраедр має три осі симетрії, що проходять через середини протилежних ребер.
Октаедр має три осі симетрії, що проходять через протилежні вершини та шість осей симетрії, що проходять через середини протилежних ребер.
Ікосаедр та додекаедр мають по п'ятнадцять осей симетрії, що проходять через середини протилежних ребер.
Властивість 3.Якщоa 1 ,
a 2 - Осі симетрії фігури Ф, то прямаa 3 , симетрична a 1 щодо a 2 також є віссю симетрії цієї постаті.
Доказ аналогічний доказу Властивості 1.
Властивість 4.Якщо дві перпендикулярні прямі в просторі, що перетинаються, є осями симетрії даної фігури Ф, то і пряма, що проходить через точку перетину і перпендикулярна площині цих прямих також буде віссю симетрії фігури Ф.
Доведення.Розглянемо осі координат O x, O y, O z. Симетрія щодо осі O x x, y,
z) у точку фігури Ф з координатами ( x, -y, -z). Аналогічно, симетрія щодо осі O yпереводить точку фігури Ф з координатами ( x,
–y, –z) у точку фігури Ф з координатами (– x, –y, z)
.
Таким чином, композиція цих симетрій перекладає точку фігури Ф з координатами ( x, y, z) у точку фігури Ф з координатами (– x, –y, z). Отже, вісь O zє віссю симетрії фігури Ф.
Слідство.Будь-яка постать у просторі неспроможна мати парне (ненульове) число осей симетрії.
Справді, зафіксуємо якусь вісь симетрії a. Якщо b- вісь симетрії, не перетинає aабо перетинає її не під прямим кутом, то для неї знайдеться ще одна вісь симетрії b’, симетрична щодо a. Якщо ж вісь симетрії bперетинає aпід прямим кутом, то для неї знайдеться ще одна вісь симетрії b’, що проходить через точку перетину та перпендикулярна площині прямих aі b. Отже, крім осі симетрії aможливе або парне чи нескінченне число осей симетрії. Таким чином, загальне парне (ненульове) число осей симетрії неможливе.
Крім осей симетрії, визначених вище, розглядаються також осі симетрії n-го порядку,
n 2
.
Пряма aназивається віссю симетрії n-го порядкуфігури Ф, якщо при повороті фігури Ф навколо прямої aна кут фігура Ф поєднується сама із собою.
Зрозуміло, що вісь симетрії 2-го порядку просто віссю симетрії.
Наприклад, у правильній n-Вугільна піраміда пряма, що проходить через вершину і центр основи, є віссю симетрії n-го порядку.
З'ясуємо, які осі симетрії мають правильні багатогранники.
Куб має три осі симетрії 4-го порядку, що проходять через центри протилежних граней, чотири осі симетрії 3-го порядку, що проходять через протилежні вершини і шість осей симетрії 2-го порядку, що проходять через середини протилежних ребер.
Тетраедр має три осі симетрії другого порядку, що проходять через середини протилежних ребер.
Ікосаедр має шість осей симетрії 5-го порядку, що проходять через протилежні вершини; десять осей симетрії 3-го порядку, що проходять через центри протилежних граней та п'ятнадцять осей симетрії 2-го порядку, що проходять через середини протилежних ребер.
Додекаедр має шість осей симетрії 5-го ладу, що проходять через центри протилежних граней; десять осей симетрії 3-го порядку, що проходять через протилежні вершини та п'ятнадцять осей симетрії 2-го порядку, що проходять через середини протилежних ребер.
Розглянемо поняття дзеркальної симетрії.
Точки A і A" у просторі називаються симетричними щодо площини, або, по-іншому, дзеркально симетричнимиякщо ця площина проходить через середину відрізка AA" і перпендикулярна до нього. Кожна точка площини вважається симетричною сама собі.
Перетворення простору, при якому кожній точці A зіставляється симетрична їй точка A" (щодо даної площини), називається дзеркальною симетрією. Площина при цьому називається площиною симетрії.
Дві фігури називаються дзеркально симетричнимищодо площини, якщо перетворення симетрії щодо цієї площини переводить одну з них в іншу.
Фігура Ф у просторі називається дзеркально симетричнаякщо вона дзеркально симетрична сама собі.
Наприклад, прямокутний паралелепіпед дзеркально симетричний щодо площини, що проходить через вісь симетрії і паралельна одній з пар протилежних граней. Циліндр дзеркально-симетричний щодо будь-якої площини, що проходить через його вісь і т.д.
Серед правильних багатогранників куб та октаедр мають по дев'ять площин симетрії. Тетраедр має шість площин симетрії. Ікосаедр та додекаедр мають по п'ятнадцять площин симетрії, що проходять через пари протилежних ребер.
Властивість 5.Композиція двох дзеркальних симетрій щодо паралельних площин є паралельним перенесенням на вектор, перпендикулярний цим площин і рівний за величиною подвоєної відстані між цими площинами.
Слідство.Паралельне перенесення можна як композицію двох дзеркальних симетрій.
Властивість 6.Композиція двох дзеркальних симетрій щодо площин, що перетинаються по прямій, є поворотом навколо цієї прямої на кут рівний подвоєному двогранному куті між цими площинами. Зокрема, осьова симетрія є композицією двох дзеркальних симетрій щодо перпендикулярних площин.
Слідство.Поворот можна як композицію двох дзеркальних симетрій.
Властивість 7.Центральна симетрія може бути представлена у вигляді композиції трьох дзеркальних симетрій.
Доведемо цю властивість за допомогою координатного методу. Нехай точка A
у просторі має координати ( x, y, z).
Дзеркальна симетрія щодо координатної площини змінює знак відповідної координати. Наприклад, дзеркальна симетрія щодо площини O xyпереводить крапку з координатами ( x, y, z) у точку з координатами ( x, y, -z). Композиція трьох дзеркальних симетрій щодо координатних площин переводить крапку з координатами ( x, y, z) у точку з координатами (– x, -y, -z), яка є центрально симетричною вихідною точкою A.
Рухи, які переводять фігуру Ф саму у собі, утворюють групу щодо композиції. Вона називається групою симетрійпостаті Ф.
Знайдемо порядок групи симетрій куба.
Зрозуміло, що будь-який рух, що переводить куб у себе, залишає центр куба дома, переводить центри граней в центри граней, середини ребер в середини ребер і вершини в вершини.
Таким чином, для завдання руху куба достатньо визначити, куди переходить центр грані, середина ребра цієї грані та вершина ребра.
Розглянемо розбиття куба на тетраедри, вершинами кожного є центр куба, центр грані, середина ребра цієї грані і вершина ребра. Таких тетраедрів 48. Оскільки рух повністю визначається тим, який з тетраедрів перекладається даний тетраедр, то порядок групи симетрій куба буде дорівнює 48.
Аналогічним чином знаходяться порядки груп симетрій тетраедра, октаедра, ікосаедра та додекаедра.
Знайдемо групу симетрій одиничного кола S 1 . Ця група позначається O(2). Вона є нескінченною топологічною групою. Представимо одиничне коло як групу комплексних чисел за модулем рівних одиниці. Наявне природний епіморфізм p:O(2) --> S 1 , Який зіставляє елементу u групи O(2) елемент u(1) в S 1 . Ядром цього відображення є група Z 2 , породжена симетрією одиничного кола щодо осі Ox Отже, O(2)/Z 2S 1 . Більше того, якщо не враховувати групову структуру, то має місце гомеоморфізм O(2) та прямого твору S 1 та Z 2 .
Аналогічно, група симетрій двовимірної сфери S 2 позначається O(3), і для неї має місце ізоморфізм O(3)/O(2) S 2 .
Групи симетрій n-мірних сфер відіграють важливу роль у сучасних розділах топології: теорії різноманіття, теорії розшарованих просторів та ін.
Одним із найяскравіших проявів симетрії в природі є кристали. Властивості кристалів визначаються особливостями їхньої геометричної будови, зокрема, симетричним розташуванням атомів у кристалічній решітці. Зовнішні форми кристалів є наслідком їхньої внутрішньої симетрії.
Перші, ще невиразні припущення про те, що атоми в кристалах розташовані правильним, закономірним, симетричним строєм, висловлювалися в працях різних дослідників природи вже в ті часи, коли саме поняття атома було неясним і не було жодних експериментальних доказів атомної будови речовини. Симетрична зовнішня форма кристалів мимоволі наводила на думку про те, що внутрішня будова кристалів має бути симетричною та закономірною. Закони симетрії зовнішньої форми кристалів були повністю встановлені в середині XIX століття, а до кінця цього століття чітко і точно виведені закони симетрії, яким підпорядковані атомні будівлі в кристалах.
Основоположником математичної теорії будови кристалів є видатний російський математик і кристалограф - Євграф Степанович Федоров (1853-1919). Математика, хімія, геологія, мінералогія, петрографія, гірнича справа - у кожну з цих областей зробив Є.С.Федоров чималий внесок. У 1890 році він суворо математично вивів всі можливі геометричні закони поєднання елементів симетрії в кристалічних структурах, інакше кажучи, симетрії розташування частинок усередині кристалів. Виявилося, що кількість таких законів обмежена. Федоров показав, що є 230 просторових груп симетрії, які згодом, на честь вченого, було названо федорівськими. Це був велетенський працю, зроблений за 10 років до відкриття рентгенівських променів, за 27 років до того, як з їх допомогою довели існування самої кристалічної решітки. Існування 230 федорівських груп одна із найважливіших геометричних законів сучасної структурної кристалографії. "Гігантський науковий подвиг Є.С. Федорова, який зумів підвести під єдину геометричну схему весь природний "хаос" незліченних кристалоутворень, і зараз викликає захоплення. Це відкриття схоже на відкриття періодичної таблиці Д.І. Менделєєва. "Царство кристалів" є непорушною пам'яткою і кінцевою вершиною класичної федорівської кристалографії", - сказав академік О.В. Шубніков.
Література
1. Адамар Ж. Елементарна геометрія. Частина ІІ. Стереометрія. - 3-тє вид. - М.: Учпедгіз, 1958.
2. Вейль Г. Сіметрія. - М.: Наука, 1968.
3. Вігнер Е. Етюди про симетрію. - М.: Світ, 1971.
4. Гарднер М. Цей правий, лівий світ. - М.: Світ, 1967.
5. Гільде В. Дзеркальний світ. - М.: Світ, 1982.
6. Компанеєць О.С. Симетрія в мікро- та макросвіті. - М.: Наука, 1978.
7. Парамонова І.М. Симетрія у математиці. - М.: МЦНМО, 2000.
8. Перепелкін Д.І. Курс елементарної геометрії Частина ІІ. Геометрія у просторі. - М.-Л.: Держ вид. техніко-теоретич. літератури, 1949.
9. Сонін А.С. Розуміння досконалості (симетрія, асиметрія, дисиметрія, антисиметрія). - М.: Знання, 1987.
10. Тарасов Л.В. Цей напрочуд симетричний світ. - М.: Просвітництво, 1982.
11. Візерунки симетрії. - М.: Світ, 1980.
12. Шафрановський І.І. Симетрія у природі. - 2-ге вид. - Л.; 1985.
13. Шубніков А.В., Копцик В.А. Симетрія в науці та мистецтві. - М.: Наука, 1972.
Розділ третій
Багатогранники
V. ПОНЯТТЯ ПРО СИМЕТРІЮ ПРОСТОРНИХ ФІГУР
99. Центральна симетрія.Дві фігури називаються симетричними щодо будь-якої точки Про простору, якщо кожній точці А однієї фігури відповідає в іншій фігурі точка А, розташована на прямій ОА по іншу сторону від точки О, на відстані, що дорівнює відстані точки А від точки О (чорт. 114) Точка О називається центром симетріїфігур.
Приклад таких симетричних фігур у просторі ми вже зустрічали (§ 53), коли, продовжуючи за вершину ребра та грані багатогранного кута, отримували багатогранний кут, симетричний даному. Відповідні відрізки та кути, що входять до складу двох симетричних фігур, рівні між собою. Проте постаті загалом неможливо знайти названі рівними: їх можна поєднати одне з іншою внаслідок те, що порядок розташування частин у одній постаті інший, ніж у інший, як ми бачили з прикладу симетричних багатогранних кутів.
В окремих випадках симетричні фігури можуть поєднуватись, але при цьому збігатимуться невідповідні їх частини. Наприклад, візьмемо прямий тригранний кут (чорт. 115) з вершиною в точці О та ребрами ОХ, OY, OZ.
Побудуємо йому симетричний кут ОХ"Y"Z". Кут OXYZ можна поєднати з OX"Y"Z" так, щоб ребро ОХ збіглося з OY", а ребро OY c OX". Якщо ж поєднати відповідні ребра ОХ з ОХ" та OY з OY", то ребра OZ і OZ" виявляться спрямованими в протилежні сторони.
Якщо симетричні фігури становлять разом одне геометричне тіло, то кажуть, що це геометричне тіло має центр симетрії. Таким чином, якщо це тіло має центр симетрії, то будь-якій точці, що належить цьому тілу, відповідає симетрична точка, що теж належить даному тілу. З розглянутих нами геометричних тіл центр симетрії мають, наприклад: 1) паралелепіпед; 2) призма, що має в основі правильний багатокутник з парною кількістю сторін.
Правильний тетраедр немає центру симетрії.
100. Симетрія щодо площини.Дві просторові фігури називаються симетричними щодо площини Р, якщо кожній точці А в одній фігурі відповідає в іншій точка А, причому відрізок АА перпендикулярний до площини Р і в точці перетину з цією площиною ділиться навпіл.
Теорема. Будь-які два відповідні відрізки у двох симетричних фігурах рівні між собою.
Нехай дані дві фігури, симетричні щодо площини Р. Виділимо дві якісь точки А і В першої фігури, нехай А "і В" - відповідні їм точки другої фігури (рис. 116, на кресленні фігури не зображені).
Нехай далі С-точка перетину відрізка АА" з площиною Р, D - точка перетину відрізка ВВ" з тією ж площиною. З'єднавши прямолінійним відрізком точки З і D, отримаємо два чотирикутники ABDC і A"B"DC. Оскільки AС = A"С, BD = B"D і
/
ACD = /
ACD, /
BDC = /
В"DC, як прямі кути, то ці чотирикутники рівні (у чому легко переконуємося накладенням). Отже, АВ = А"В". З цієї теореми безпосередньо випливає, що відповідні плоскі та двогранні кути двох фігур, симетричних щодо площини, рівні між Тим не менш, поєднати ці дві фігури одну з іншою так, щоб поєдналися їхні відповідні частини, неможливо, оскільки порядок розташування частин в одній фігурі зворотний тому, який має місце в іншій (це буде доведено нижче, § 102). двох фігур, симетричних щодо площини, є: будь-який предмет і його відображення у плоскому дзеркалі, будь-яка фігура, симетрична зі своїм дзеркальним відображенням щодо площини дзеркала.
Якщо якесь геометричне тіло можна розбити на дві частини, симетричні щодо деякої площини, то ця площина називається площиною симетрії даного тіла.
Геометричні тіла, мають площину симетрії, дуже поширені у природі й у повсякденному житті. Тіло людини та тварини має площину симетрії, що поділяє його на праву та ліву частини.
У цьому прикладі особливо ясно видно, що симетричні постаті не можна поєднати. Так, кисті правої та лівої рук симетричні, але поєднати їх не можна, що можна бачити хоча б з того, що та сама рукавичка не може підходити і до правої і до лівої руки. Велика кількість предметів домашнього побуту має площину симетрії: стілець, обідній стіл, книжкову шафу, диван та ін. Деякі, наприклад обідній стіл, мають навіть не одну, а дві площини симетрії (чорт. 117).
Зазвичай, розглядаючи предмет, що має площину симетрії, ми прагнемо зайняти по відношенню до нього таке становище, щоб площина симетрії нашого тіла, або, принаймні нашої голови, збіглася з площиною симетрії самого предмета. В цьому випадку. симетрична форма предмета стає особливо помітною.
101. Симетрія щодо осі.Вісь симетрії другого порядку. Дві фігури називаються симетричними щодо осі l (вісь-пряма лінія), якщо кожній точці А першої фігури відповідає точка А другої фігури, так що відрізок АА перпендикулярний до осі l, перетинається з нею і в точці перетину ділиться навпіл. Сама вісь називається віссю симетрії другого порядку.
З цього визначення безпосередньо випливає, що якщо два геометричні тіла, симетричні щодо будь-якої осі, перетнути площиною, перпендикулярною до цієї осі, то в перерізі вийдуть дві плоскі фігури, симетричні щодо точки перетину площини з віссю симетрії тіл.
Звідси далі легко вивести, що два тіла, симетричні щодо осі, можна поєднати одне з одним, обертаючи одне з них на 180° навколо осі симетрії. Насправді, уявімо всі можливі площини, перпендикулярні до осі симетрії.
Кожна така площина, що перетинає обидва тіла, містить фігури, симетричні щодо точки зустрічі площини з віссю симетрії тіл. Якщо змусити ковзати січну площину саму по собі, обертаючи її навколо осі симетрії тіла на 180 °, то перша фігура збігається з другою.
Це справедливо для будь-якої січної площини. Обертання всіх перерізів тіла на 180° рівносильно повороту всього тіла на 180° навколо осі симетрії. Звідси й витікає справедливість нашого твердження.
Якщо після обертання просторової фігури навколо деякої прямої на 180 ° вона збігається сама з собою, то кажуть, що фігура має цю свою пряму віссю симетрії другого порядку.
Назва "вісь симетрії другого порядку" пояснюється тим, що при повному обороті навколо цієї осі тіло в процесі обертання двічі прийматиме положення, що збігається з вихідним (вважаючи і вихідним). Прикладами геометричних тіл, що мають вісь симетрії другого порядку, можуть бути:
1) правильна піраміда з парним числом бічних граней; віссю її симетрії служить її висота;
2) прямокутний паралелепіпед; він має три осі симетрії: прямі, що з'єднують центри протилежних його граней;
3) правильна призма з парним числом бічних граней. Осю її симетрії служить кожна пряма, що з'єднує центри будь-якої пари її протилежних граней (бічних граней двох підстав призми). Якщо число бічних граней призми 2 kчисло таких осей симетрії буде k+ 1. Крім того, віссю симетрії для такої призми є кожна пряма, що з'єднує середини її протилежних бічних ребер. Таких осей симетрії призму А. має.
Таким чином, правильна 2 k-гранна призма має 2 k+1 осей, симетрії.
102. Залежність між різними видами симетрії у просторі.Між різними видами симетрії у просторі - осьовий, площинний і центральної - існує залежність, що виражається наступною теоремою.
Теорема. Якщо фігура F симетрична з фігурою F" щодо площини Р і в той же час симетрична з фігурою F" щодо точки О, що лежить у площині Р, то фігури F" і F" симетричні щодо осі, що проходить через точку Про перпендикулярної до площини Р.
Візьмемо якусь точку А фігури F (чорт. 118). Їй відповідає точка А "фігури F" і точка А "фігури F" (самі фігури F, F" і F" на кресленні не зображені).
Нехай B - точка перетину відрізка АА" з площиною Р. Проведемо площину через точки А, А" та О. Ця площина буде перпендикулярна до площини Р, оскільки проходить через пряму АА", перпендикулярну до цієї площини. У площині АА"Про проведемо пряму ВІН, перпендикулярну до ВВ. Ця пряма ВІН буде перпендикулярна до площини Р. Нехай далі С-точка перетину прямих А"А" і ВІН.
В трикутнику АА"А"" відрізок ВО з'єднує середини сторін АА" і АА", отже, ВО || А"А", але ВО_|_ОН, значить, А"А"_|_ОН. сторони АA", та СО || АА", то А"С = А"С. Звідси укладаємо, що точки А" і А" симетричні щодо осі ВІН. Те ж саме справедливо і для всіх інших точок фігури. Значить, наша теорема доведена. З цієї теореми безпосередньо випливає, що дві фігури, симетричні щодо площини, не можуть бути суміщені так, щоб поєдналися їх відповідні частини. як симетричні щодо точки, отже, фігури F і F також не можуть бути поєднані.
103. Осі симетрії вищих систем.Фігура, що має вісь симетрії, поєднується сама з собою після повороту навколо осі симетрії на кут 180°. Але можливі випадки, коли фігура приходить до суміщення з вихідним положенням після повороту навколо осі на кут, менший 180°. Таким чином, якщо тіло зробить повний оберт навколо цієї осі, то в процесі обертання воно кілька разів поєднається зі своїм початковим становищем. Така вісь обертання називається віссю симетрії вищого порядку, причому кількість положень тіла, що збігаються з первісним, називається порядком осі симетрії. Ця вісь може не збігатися з віссю симетрії другого порядку. Так, правильна трикутна піраміда немає осі симетрії другого порядку, та її висота служить нею віссю симетрії третього порядку. Справді, після повороту цієї піраміди навколо висоти на кут 120° вона поєднується сама з собою (чорт. 119).
При обертанні піраміди навколо висоти може займати три становища, збігаються з вихідним, вважаючи і вихідне. Легко помітити, що кожна вісь симетрії парного порядку є водночас вісь симетрії другого порядку.
Приклади осей симетрії вищих систем:
1) Правильна n-вугільна піраміда має вісь симетрії n-го порядку. Цією віссю служить висота піраміди.
2) Правильна n-вугільна призма має вісь симетрії n-го порядку. Цією віссю служить пряма, що з'єднує центри підстав призми.
104. Симетрія куба.Як і для будь-якого паралелепіпеда, точка перетину діагоналей куба є центром його симетрії.
Куб має дев'ять площин симетрії: шість діагональних площин і три площини, що проходять через середини кожної четвірки його паралельних ребер.
Куб має дев'ять осей симетрії другого порядку: шість прямих, що з'єднують середини його протилежних ребер, і три прямі центри протилежних граней, що з'єднують (чорт. 120).
Ці останні прямі є осями симетрії четвертого порядку. Крім того, куб має чотири осі симетрії третього порядку, що є його діагоналями. Справді, діагональ куба АG (рис. 120), очевидно, однаково нахилена до ребер АВ, АD і АЕ, а ці ребра однаково нахилені одне до одного. Якщо з'єднати точки В, D і Е, то отримаємо правильну трикутну піраміду АDВЕ, для якої діагональ куба AG служить висотою. Коли при обертанні навколо висоти ця піраміда поєднуватиметься сама з собою, весь куб поєднуватиметься зі своїм вихідним положенням. Інших осей симетрії, як неважко переконатися, куб не має. Подивимося, скільки різними способами куб може бути поєднаний сам із собою. Обертання навколо звичайної осі симетрії дає одне положення куба, відмінне від вихідного, при якому куб в цілому поєднується сам із собою.
Обертання навколо осі третього порядку дає два такі положення, і обертання навколо осі четвертого порядку - три такі положення. Так як куб має шість осей другого порядку (це звичайні осі симетрії), чотири осі третього порядку і три осі четвертого порядку, то є 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 положення куба, відмінні від вихідного, при яких він поєднується сам з собою.
Легко переконатися безпосередньо, що це положення відмінні одне від іншого, і навіть від вихідного становища куба. Разом з вихідним положенням вони становлять 24 способи суміщення куба із самим собою.
Вчитель математики Кочкіна Л.К.
Тема ОСІВА І ЦЕНТРАЛЬНА СИМЕТРІЇ
Мета завдання уроку:
Навчити будувати симетричні точки і розпізнавати фігури, що мають осьову симетрію і центральну симетрію, формування просторових уявлень учнів. Розвиток уміння спостерігати та міркувати; розвиток інтересу до предмета за допомогою інформаційних технологій. Розвиток математичної компетентності учнів. Виховання людини, яка вміє цінувати прекрасне.
Очікуваний результат Учні зможуть будувати симетричні фігури щодо центру та прямої
Обладнання уроку:
Використання інформаційних технологій (презентація).
Хід уроку
I. Організаційний момент.
Повідомити тему уроку, сформулювати цілі уроку.
ІІ. Показ презентації: «Симетричний світ»(д/з учнів)
ІІІ. робота з теми уроку(Робота в групах)
Учні самостійно виконують завдання. По завершенню обмінюються інформацією.
1 варіант
п.47
осьова симетрія
2 варіант
п.47
центральна симетрія
Та ні
Та ні
Розглянемо правила побудови симетричних фігур.
1 .Центральна симетрія – це симетрія щодо точки.
Точки А і В симетричні щодо деякої точки, якщо точка О є серединою відрізка АВ.
Алгоритм побудови центрально-симетричної фігури
Побудуємо трикутник А1В1С1, симетричний трикутнику АВС, щодо центру (точки) О.
Для цього:
З'єднаємо точки А, В, З центром Про і продовжимо ці відрізки;
2. Виміряємо відрізки АТ, ВО, СО і відкладемо з іншого боку від точки О, рівні ним відрізки (АТ = А 1 О 1, ВО = В 1 О 1, СО = С 1 О 1);
3. З'єднаємо точки відрізками А 1 В 1 , А 1 С 1 , В 1 С 1 .
4. Отримали ∆А 1 У 1 З 1 симетричний ∆АВС.
Точка О називається центром симетрії фігури, а фігура називається центрально-симетричною.
Завдання №1На малюнку зображено частину фігури, центром симетрії якої є точка М. Поясніть її побудову
Завдання №2Перевірте правильність побудови фігури №1 у сусіда по парті. Побудуйте в його зошиті чотирикутник і позначте точку О, яка не належить цьому чотирикутнику. Візьміть свій зошит назад і побудуйте чотирикутник, симетричний даному щодо точки О.
Перевірте правильність завдання.
2. Осьова симетрія – це симетрія щодо проведеної осі (прямої).
Точки А і В симетричні щодо деякої прямої а, якщо ці точки лежать на прямій, перпендикулярній даній і на однаковій відстані.
Осю симетрії називається пряма при перегинанні за якою «половинки» збігатимуться, а фігуру називають симетричною щодо деякої осі.
Алгоритм побудови фігури, симетричної щодо деякої прямої
Побудуємо трикутник А1В1С1, симетричний трикутнику АВС щодо прямої а.
Для цього:
1. Проведемо з вершин трикутника АВС прямі, перпендикулярні до прямої а і продовжимо їх далі.
2. Виміряємо відстані від вершин трикутника до точок на прямій і відкладемо з іншого боку прямий такі ж відстані.
3. З'єднаємо точки відрізками А 1 В 1 , В 1 С 1 , В 1 С 1 .
4. Отримали ∆ А 1 У 1 З 1 симетричний ∆АВС.
Завдання за підручником № 248-252, №261
виконати побудову фігури, симетричної щодо прямої а (на дошці та зошитах).
VI. Підбиття підсумків уроку.
Рефлексія З якими видами симетрії ви познайомилися на уроці?
Домашнє завдання:
Визначення повторити. Творча робота: Дослідивши російський алфавіт (для 1 варіанта) і латинський алфавіт (для 2 варіанти), вибрати ті літери, які мають симетрію. Оформити результати досліджень формату А4. Ті, кого зацікавила дана тема, можуть взяти участь у творчому проекті «Симетрія у моїй улюбленій школі»
Завдання №4Заповніть таблицю:
Відрізок
Пряма
Промінь
Квадрат
Один центр симетрії
Безкінечно багато центрів симетрії
Одна вісь симетрії
Дві осі симетрії
Чотири осі симетрії
Безкінечно багато осей симетрії
1 варіант
п.47
осьова симетрія
2 варіант
п.47
центральна симетрія
Осьова симетрія – це симетрія щодо____________
Центральна симетрія – це симетрія щодо ________________
Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо прямої а, якщо ____________
Дві точки А та А 1 називаються симетричними щодо точки О, якщо _____________
Пряма а називається _______________
Точка О називається_________________
Фігура називається симетричною щодо прямої а, якщо кожної точки фігури, симетрична їй точка належить_________
Фігура називається симетричною щодо точки О, якщо для кожної точки фігури симетрична їй точка належить ________
Чи рівні симетричні щодо прямої фігури?
Та ні
Чи рівні симетричні щодо точки фігури?
Отже, щодо геометрії: виділяють три основні види симетрії.
По перше, центральна симетрія (або симетрія щодо точки) - Це перетворення площини (або простору), при якому єдина точка (точка О - центр симетрії) залишається на місці, інші ж точки змінюють своє положення: замість точки А отримуємо точку А1 таку, що точка О середина відрізка АА1. Щоб побудувати фігуру Ф1, симетричну фігурі Ф щодо точки О, потрібно через кожну точку фігури Ф провести промінь, що проходить через точку О (центр симетрії), і на цьому промені відкласти точку, симетричну обраної щодо точки О. Багато побудованих таким чином точок дасть фігуру Ф1.
Великий інтерес викликають фігури, що мають центр симетрії: при симетрії щодо точки Про будь-яка точка фігури Ф перетворюється знову ж таки на деяку точку фігури Ф. Таких фігур у геометрії зустрічається багато. Наприклад: відрізок (середина відрізка – центр симетрії), пряма (будь-яка її точка – центр її симетрії), коло (центр кола – центр симетрії), прямокутник (точка перетину його діагоналей – центр симетрії). Багато центральносиметричних об'єктів у живій та неживій природі (повідомлення учнів). Часто люди самі створюють об'єкти, що мають центр симмет(приклади з рукоділля, приклади з машинобудування, приклади з архітектури та багато інших прикладів).
По-друге, осьова симетрія (або симетрія щодо прямої) - це перетворення площини (або простору), при якому тільки точки прямої р залишаються на місці (ця пряма є віссю симетрії), інші точки змінюють своє положення: замість точки В отримуємо таку точку В1, що пряма р є серединним перпендикуляром до відрізка ВВ1 . Щоб побудувати фігуру Ф1, симетричну фігурі Ф щодо прямої р, потрібно для кожної точки фігури Ф побудувати точку, симетричну їй відносно прямої р. Багато цих побудованих точок і дають шукану фігуру Ф1. Багато існує геометричних фігур, що мають вісь симетрії.
У прямокутника їх дві, у квадрата – чотири, біля кола – будь-яка пряма, що проходить через його центр. Якщо придивитися до літер алфавіту, то і серед них можна знайти, що мають горизонтальну або вертикальну, а іноді обидві осі симетрії. Об'єкти, що мають осі симетрії, досить часто зустрічаються в живій і неживій природі (доповіді учнів). У своїй діяльності людина створює багато об'єктів (наприклад, орнаменти), які мають кілька осей симетрії.
______________________________________________________________________________________________________
По-третє, площинна (дзеркальна) симетрія (або симетрія щодо площини)
- це перетворення простору, при якому тільки точки однієї площини зберігають своє місце розташування (α-площина симетрії), інші точки простору змінюють своє положення: замість точки С виходить така точка С1, що площина проходить через середину відрізка СС1, перпендикулярно до нього.
Щоб побудувати фігуру Ф1,симетричну фігурі Ф щодо площини α, потрібно для кожної точки фігури Ф побудувати симетричні щодо α точки, вони у своїй множині і утворюють фігуру Ф1.
Найчастіше в навколишньому світі речей і об'єктів нам зустрічаються об'ємні тіла. І деякі з цих тіл мають площину симетрії, іноді навіть кілька. І сама людина у своїй діяльності (будівництво, рукоділля, моделювання, ...) створює об'єкти, що мають площини симетрії.
