Певний інтеграл за формулою ньютона лейбниця. Певний інтеграл та методи його обчислення

Формула Ньютона - Лейбніца

Основна теорема аналізуабо формула Ньютона - Лейбніцадає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла та обчисленням первісної

Формулювання

Розглянемо інтеграл від функції y = f(x) в межах від постійного числа aдо числа x, яке вважатимемо змінним. Запишемо інтеграл у такому вигляді:

Цей вид інтеграла називається інтегралом зі змінною верхньою межею. Використовуючи теорему про середнє в певному інтегралі, легко показати, що дана функція безперервна і диференційована. А також похідна від цієї функції в точці x дорівнює інтегрованій функції. Звідси випливає, будь-яка безперервна функція має первинну як квадратури: . Оскільки клас первісних функцій функції f відрізняється на константу, легко показати, що: певний інтеграл від функції f дорівнює різниці значень первісних у точках b і а

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Формула Повної ймовірності
• Формула Релея - Джинса

Дивитись що таке "Формула Ньютона - Лейбніца" в інших словниках:

Формула Ньютона-Лейбніца- Основна теорема аналізу чи формула Ньютона Лейбніца дає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла та обчисленням первісної Формулювання Розглянемо інтеграл від функції y = f(x) у межах від постійного числа a до… … Вікіпедія

Формула кінцевих прирощень- Цей термін має й інші значення, див. Теорема Лагранжа. Формула кінцевих прирощень або теорема Лагранжа про середнє значення стверджує, що якщо функція безперервна на відрізку та … Вікіпедія

Формула Стоксу- Теорема Стокса одна з основних теорем диференціальної геометрії та математичного аналізу про інтегрування диференціальних форм, що узагальнює кілька теорем аналізу. Названо на честь Дж. Г. Стокса. Зміст 1 Загальне формулювання 2… … Вікіпедія

НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА- Формула, що виражає значення певного інтеграла від заданої функції f по відрізку у вигляді різниці значень на кінцях відрізка будь-якої первісної Fцією функції Названа іменами І. Ньютона (I. Newton) і Г. Лейбніца (G. Leibniz), т. К. правило, … … Математична енциклопедія

НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА- Основна формула інтегрального обчислення. Висловлює зв'язок між певним інтегралом від функції f(x) і якоюсь її первісною F(x) … Великий Енциклопедичний словник

Формула Лейбниця- Цей термін має й інші значення, див. Список об'єктів, названих на честь Лейбніца. Цей термін має й інші значення, див. Формула Лейбніца (значення). Формулою Лейбніца в інтегральному обчисленні називається правило ... Вікіпедія

Ньютона-Лейбніца формула- Ньютон Лейбніца формула, основна формула інтегрального обчислення. Висловлює зв'язок між певним інтегралом від функції f(х) і якоюсь її первісною F(х). . * * * НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦЯ ФОРМУЛА, основна формула… … Енциклопедичний словник

Формула прямокутників

Формула трапецій- Певний інтеграл як площа фігури Чисельне інтегрування (історична назва: квадратура) обчислення значення певного інтегралу (як правило, наближене), засноване на тому, що величина інтеграла чисельно дорівнює площі ... Вікіпедія

Теорема Ньютона- Формула Ньютона Лейбніца чи основна теорема аналізу дає співвідношення між двома операціями: взяттям певного інтеграла та обчисленням первісної. Якщо безперервна на відрізку та її будь-яка первісна на цьому відрізку, то має … Вікіпедія

Певним інтегралом від безперервної функції f(x) на кінцевому відрізку [ a, b] (Де ) називається збільшення якої-небудь її первісної на цьому відрізку. (Взагалі, розуміння помітно полегшиться, якщо повторити тему невизначеного інтеграла) При цьому використовується запис

Як видно на графіках внизу (прирощення первісної функції позначено), певний інтеграл може бути як позитивним, так і негативним числом(Обчислюється як різницю між значенням первісної у верхній межі та її ж значенням у нижній межі, тобто як F(b) - F(a)).

Числа aі bназиваються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, а відрізок [ a, b] - Відрізком інтегрування.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна функція для f(x), то, згідно з визначенням,

(38)

Рівність (38) називається формулою Ньютона-Лейбніца . Різниця F(b) – F(a) коротко записують так:

Тому формулу Ньютона-Лейбніца будемо записувати і так:

(39)

Доведемо, що певний інтеграл не залежить від того, яка первісна підінтегральна функція взята при його обчисленні. Нехай F(x) та Ф( х) – довільні первісні підінтегральні функції. Так як це первісні однієї і тієї ж функції, то вони відрізняються на постійне доданок: Ф( х) = F(x) + C. Тому

Тим самим було встановлено, що у відрізку [ a, b] збільшення всіх первісних функцій f(x) збігаються.

Таким чином, для обчислення певного інтеграла необхідно знайти будь-яку первісну підінтегральну функцію, тобто. спочатку слід знайти невизначений інтеграл. Постійна З з наступних обчислень виключається. Потім застосовується формула Ньютона-Лейбніца: в первісну функцію підставляється значення верхньої межі b , далі - значення нижньої межі a і обчислюється різниця F(b) - F(a) . Отримане число буде певним інтегралом..

При a = bза визначенням приймається

приклад 1.

Рішення. Спочатку знайдемо невизначений інтеграл:

Застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца до первісної

(при З= 0), отримаємо

Однак при обчисленні певного інтеграла краще не знаходити окремо первісну, а одразу записувати інтеграл у вигляді (39).

приклад 2.Обчислити певний інтеграл

Рішення. Використовуючи формулу

Властивості певного інтегралу

Теорема 2.Розмір певного інтеграла залежить від позначення змінної інтегрування, тобто.

(40)

Нехай F(x) – первісна для f(x). Для f(t) первісної служить та сама функція F(t), в якій лише інакше позначено незалежну змінну. Отже,

На підставі формули (39) остання рівність означає рівність інтегралів

Теорема 3.Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу, тобто.

(41)

Теорема 4.Певний інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функцій дорівнює сумі алгебри певних інтегралів від цих функцій, тобто.

(42)

Теорема 5.Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то певний інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі певних інтегралів його частин, тобто. якщо

(43)

Теорема 6.При перестановці меж інтегрування абсолютна величина певного інтеграла змінюється, а змінюється лише його знак, тобто.

(44)

Теорема 7(Теорема про середнє). Певний інтеграл дорівнює добутку довжини відрізка інтегрування на значення підінтегральної функції у певній точці всередині його, тобто.

(45)

Теорема 8.Якщо верхня межа інтегрування більша за нижню і підінтегральна функція неотрицательна (позитивна), те й певний інтеграл неотрицательный (позитивний), тобто. якщо

Теорема 9.Якщо верхня межа інтегрування більша за нижню і функції і безперервні, то нерівність

можна почленно інтегрувати, тобто.

(46)

Властивості певного інтеграла дозволяють спрощувати безпосереднє обчислення інтегралів.

Приклад 5.Обчислити певний інтеграл

Використовуючи теореми 4 і 3, а при знаходженні первісних – табличні інтеграли (7) та (6), отримаємо

Певний інтеграл зі змінною верхньою межею

Нехай f(x) - безперервна на відрізку [ a, b] функція, а F(x) – її первісна. Розглянемо певний інтеграл

(47)

а через tпозначено змінну інтеграцію, щоб не плутати її з верхнім кордоном. При зміні хзмінюється і певний інтеграл (47), тобто. він є функцією верхньої межі інтегрування х, яку позначимо через Ф(х), тобто.

(48)

Доведемо, що функція Ф(х) є первісною для f(x) = f(t). Дійсно, диференціюючи Ф(х), отримаємо

так як F(x) – первісна для f(x), а F(a) - Постійна величина.

Функція Ф(х) – одна з нескінченної множини первісних для f(x), а саме та, яка при x = aзвертається в нуль. Це твердження виходить, якщо в рівності (48) покласти x = aта скористатися теоремою 1 попереднього параграфа.

Обчислення певних інтегралів методом інтегрування частинами та методом заміни змінної

де, за визначенням, F(x) – первісна для f(x). Якщо в підінтегральному вираженні провести заміну змінної

то відповідно до формули (16) можна записати

У цьому виразі

первісна функція для

Насправді, її похідна, згідно правилу диференціювання складної функції, дорівнює

Нехай α та β – значення змінної t, при яких функція

приймає відповідно значення aі b, тобто.

Але, згідно з формулою Ньютона-Лейбніца, різниця F(b) – F(a) є

Завдання 1(Про обчислення площі криволінійної трапеції).

У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. малюнок), обмежена віссю х, прямими х = a, х = b (a криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення.Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників та деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зможемо визначити лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи так.

Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1 x 2 ... x k ... x n-1. Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n елементів, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.

Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто. криволінійну трапецію, основою якої є відрізок . Замінимо його прямокутником з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(x k) (див. рисунок). Площа прямокутника дорівнює \(f(x_k) \ cdot \ Delta x_k \), де \ ( \ Delta x_k \) - Довжина відрізка ; Звичайно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика.

Якщо тепер зробити те саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з n прямокутників (див. малюнок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Тут заради однаковості позначень ми вважаємо, що a = х 0 b = x n ; \(\Delta x_0 \) - Довжина відрізка , \(\Delta x_1 \) - Довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Отже, (S \approx S_n \), причому це наближена рівність тим точніше, чим більше n.
За визначенням вважають, що потрібна площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Завдання 2(Про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v(t). Знайти переміщення точки за проміжок часу [а; b].
Рішення.Якби рух був рівномірним, то завдання вирішувалося дуже просто: s = vt, тобто. s = v(b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати самі ідеї, у яких було засновано рішення попередньої завдання.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і вважатимемо, що у цей проміжок часу швидкість була постійною, такою, як у момент часу t k . Отже, ми вважаємо, що v = v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
\(s \approx S_n \) де
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Переміщення, що шукається, дорівнює межі послідовності (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Підведемо підсумки. Розв'язання різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення такої ж моделі. Отже, цю математичну модель треба спеціально вивчити.

Поняття певного інтегралу

Дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована у трьох розглянутих задачах для функції y = f(x), безперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалося у розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) обчислюємо $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

У курсі математичного аналізу доведено, що ця межа у разі безперервної (або шматково-безперервної) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y = f(x) за відрізком [а; b]і позначають так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a та b називають межами інтегрування (відповідно нижнім та верхнім).

Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в задачі 1, тепер можна переписати так:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний зміст певного інтегралу.

Визначення переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = a до t = b, дане в задачі 2, можна переписати так:

Формула Ньютона - Лейбніца

Спочатку відповімо питанням: який зв'язок між певним інтегралом і первообразной?

Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення точки s, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = а до t = b і обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

З іншого боку, координата точки, що рухається, є первісна для швидкості - позначимо її s(t); отже, переміщення s виражається формулою s = s(b) - s(a). У результаті отримуємо:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
де s(t) - первісна для v(t).

У курсі математичного аналізу доведено таку теорему.
Теорема. Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
де F(x) - первісна для f(x).

Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніцана честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецького філософа Готфріда Лейбніца (1646-1716), які отримали її незалежно один від одного і практично одночасно.

Насправді замість запису F(b) - F(a) використовують запис \(\left. F(x)\right|_a^b \) (її називають іноді подвійною підстановкою) і, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца в такому вигляді:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.

Маючи формулу Ньютона - Лейбніца, можна отримати дві властивості певного інтеграла.

Властивість 1.Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Властивість 2.Постійний множник можна винести за знак інтегралу:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу

За допомогою інтеграла можна обчислювати площі не тільки криволінійних трапецій, а й плоских фігур складнішого вигляду, наприклад, такого, який представлений на малюнку. Фігура Р обмежена прямими х = а, х = b та графіками безперервних функцій y = f(x), y = g(x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \). Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти так:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Отже, площа фігури S, обмеженої прямими х = а, х = b і графіками функцій y = f(x), y = g(x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \), обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

Певні інтеграли онлайн на сайт для закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу. І тренування своїх практичних навичок. Повноцінне рішення певних інтегралів онлайн для вас за лічені миті допоможе визначити всі етапи процесу. Інтеграли онлайн - певний інтеграл онлайн. Певні інтеграли онлайн на сайт для повноцінного закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу та тренування своїх практичних навичок. Повноцінне рішення певних інтегралів онлайн для вас за лічені миті допоможе визначити всі етапи процесу. Інтеграли онлайн - певний інтеграл онлайн. Для нас певний інтеграл онлайн взяти не представляється чимось природним, вивчивши цю тему за книгою видатних авторів. Велике їм спасибі та висловлюємо респект цим особам. Допоможе визначити певний інтеграл онлайн сервіс з обчислення таких завдань за дві секунди. Тільки вкажіть правильні дані та все буде Good! Будь-який певний інтеграл як розв'язання задачі підвищить грамотність студентів. Про це мріє кожен лінивець, і ми не виняток, визнаємо це чесно. Якщо все-таки вдасться обчислити певний інтеграл онлайн з рішенням безкоштовно, то, будь ласка, напишіть сайт всім бажаючим ним скористатися. Як то кажуть, поділишся корисним посиланням - і тобі віддячать добрі люди за даром. Дуже цікавим буде питання аналізу завдання, в якій певний інтеграл буде калькулятор вирішувати самостійно, а не за рахунок витрати вашого дорогоцінного часу. На те вони й машини, щоб орати людей. Однак рішення певних інтегралів онлайн не кожному сайту по зубах, і це легко перевірити, а саме, достатньо взяти складний приклад і спробувати вирішити його за допомогою кожного такого сервісу. Ви відчуєте різницю на власній шкурі. Найчастіше знайти певний інтеграл онлайн без докладаних зусиль стане досить складно і безглуздо виглядатиме ваша відповідь на тлі загальної картини подання результату. Найкраще б спочатку пройти курс молодого бійця. Будь-яке рішення невласних інтегралів онлайн зводиться спочатку до обчислення невизначеного, а потім через теорію меж обчислити як правило односторонні межі від отриманих виразів з підставленими межами A і B. Розглянувши вказаний вами певний інтеграл онлайн з докладним рішенням, ми зробили висновок, що ви помилилися на п'ятому кроці, а саме при використанні формули заміни змінної Чебишева. Будьте дуже уважними у подальшому рішенні. Якщо ваш певний інтеграл онлайн калькулятор не зміг взяти з першого разу, то в першу чергу варто перевіряти ще раз написані дані у відповідні форми на сайті. Переконайтеся, що все гаразд і вперед, Go-Go! Для кожного студента перешкодою є обчислення невласних інтегралів онлайн при самому викладі, так як це або екзамен, або колоквіум, або просто контрольна робота на парі. межі інтегрування та натискайте на кнопку Рішення, після цього вам буде доступна повноцінна розгорнута відповідь. І все-таки добре, коли є такий чудовий сайт як сайт, тому що він і безкоштовний, і простий у користуванні також містить дуже багато розділів. якими студенти користуються повсякденно, один із них якраз є певний інтеграл онлайн із рішенням у повному вигляді. У цьому розділі можна обчислити невласний інтеграл онлайн з докладним рішенням подальших застосувань відповіді як у інституті, і у інженерних роботах. Здавалося б, усім визначити певний інтеграл онлайн справа нехитра, якщо заздалегідь вирішити такий приклад без верхнього та нижнього кордону, тобто не інтеграл Лейбніца, а невизначений інтеграл. Але тут ми з вами не згодні категорично, тому що на перший погляд це може здатися саме так, проте є суттєва різниця, давайте розберемо все по поличках. Такий певний інтеграл рішення дає над явному вигляді, а наслідок перетворення висловлювання на граничне значення. Інакше кажучи, потрібно спочатку вирішити інтеграл з підстановкою символьних значень кордонів, та був обчислити межа або нескінченності, або у певній точці. Звідси вирахувати певний інтеграл онлайн із рішенням безкоштовно означає ні що інше як подання точного рішення за формулою Ньютона-Лейбніца. Якщо ж розглядати наш певний інтеграл калькулятор, допоможе його підрахувати за кілька секунд прямо на ваших очах. Такий поспіх потрібний усім охочим якнайшвидше впоратися із завданням і звільнитися для особистих справ. Не варто шукати в інтернеті сайти, на яких попросять вас реєструватись, потім поповнити гроші на баланс і все заради того, щоб якийсь розумник готував рішення певних інтегралів нібито онлайн. Запам'ятайте адресу Math24 - це безкоштовний сервіс для вирішення безлічі математичних завдань, у тому числі ми допоможемо знайти певний інтеграл онлайн, і щоб у цьому переконатися, просимо перевірити наше твердження на конкретних прикладах. Введіть підінтегральну функцію у відповідне поле, потім вкажіть або нескінченні граничні значення (у цьому випадку буде обчислено та отримано рішення невласних інтегралів онлайн), або задайте свої числові або символьні межі та певний інтеграл онлайн з докладним рішенням виведеться на сторінці після натискання на кнопку "Рішення ". Чи неправда - це дуже просто, не вимагає від вас зайвих дій, безкоштовно, що найголовніше, і водночас результативно. Ви можете самостійно скористатися сервісом, щоб певний інтеграл онлайн калькулятор приніс вам максимум користі, і ви отримали комфортний стан, не напружуючись на складність всіх обчислювальних процесів, дозвольте нам зробити все за вас і продемонструвати всю міць комп'ютерних технологій сучасного світу. Якщо занурюватися в нетрі найскладніших формул і обчислення невласних інтегралів онлайн вивчити самостійно, це похвально, і ви можете претендувати на можливість написання кандидатської роботи, проте повернемося до реалій студентського життя. А хто такий студент? Насамперед - це молодий чоловік, енергійний і життєрадісний, який бажає встигнути відпочити та зробити хатинку! Тому ми подбали про учнів, які намагаються відшукати на просторах глобальної мережі невласний інтеграл онлайн калькулятор, і ось він до вашої уваги – сайт – найкорисніша для молоді вирішалка в режимі онлайн. До речі наш сервіс хоч і подається як помічник студентам та школярам, ​​але він повною мірою підійде будь-якому інженеру, тому що нам під силу будь-які типи завдань та їх вирішення представляється у професійному форматі. Наприклад, певний інтеграл онлайн з рішенням у повному вигляді ми пропонуємо по етапах, тобто кожному логічному блоку (підзавдання) відводиться окремий запис з усіма викладками в процесі загального рішення. Це звичайно ж спрощує сприйняття багатоетапних послідовних розкладок, і тим самим є перевагою проекту сайт перед аналогічними сервісами знаходження невласний інтеграл онлайн з докладним рішенням.

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Інтеграл. Формула Ньютона - Лейбніца. упорядник: викладач математики ГОУНПО ПУ № 27 п. Щельяюр Семяшкіна Ірина Василівна

Мета уроку: Ввести поняття інтеграла та його обчислення за формулою Ньютона – Лейбніца, використовуючи знання про первісну та правила її обчислення; Проілюструвати практичне застосування інтеграла на прикладах знаходження площі криволінійної трапеції; Закріпити вивчене під час виконання вправ.

Визначення: Нехай дана позитивна функція f(x), визначена на кінцевому відрізку [a; b]. Інтегралом від функції f(x) на [a;b] називається площа її криволінійної трапеції. y=f(x) b a 0 x y

Позначення:  «інтеграл від a до b еф від ікс де ікс»

Історична довідка: Позначення інтеграла Лейбніц зробив від першої літери слова "Сума" (Summa). Ньютон у своїх роботах не запропонував альтернативної символіки інтегралу, хоч пробував різні варіанти. Сам термін інтеграл вигадав Якоб Бернуллі. S umma Ісаак Ньютон Готфрід Вільгельм фон Лейбніц Якоб Бернуллі

Позначення невизначеного інтеграла запровадив Ейлер. Жан Батіст Жозеф Фур'є Леонард Ейлер Оформлення певного інтеграла у звичному нам вигляді вигадав Фур'є.

Формула Ньютона - Лейбніца

Приклад 1. Обчислити певний інтеграл: = Рішення:

Приклад 2. Обчисліть певні інтеграли: 5 9 1

Приклад 3 . S y x Обчислити площу фігури, обмеженою лініями та віссю абсцис. Для початку знайдемо точки перетину осі абсцис із графіком функції. Для цього вирішимо рівняння. = Рішення: S =

y x S A B D C Приклад 4 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями та Знайдемо точки перетину (абсциси) цих ліній, розв'язавши рівняння S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 дивись приклад 1 Рішення:

ПРАВИЛА СИНКВЕЙНА 1рядок – тема синквейну 1 слово 2рядок – 2 прикметників, що описують ознаки та властивості теми 3рядок – 3 дієслова описують характер дії 4рядок – коротка пропозиція з 4 слів, що показує Ваше особисте відношення до теми 5рядок – 1 слово, сино .

Інтеграл 2. Певний, позитивний Вважають, додають, множать 4. Обчислюють формулою Ньютона - Лейбніца 5. Площа

Список використаної літератури: підручник Колмагорова О.М. та ін Алгебра та початку аналізу 10 - 11 кл.

Дякую за увагу! « ТАЛАНТ – це 99% праці та 1% здібності» народна мудрість

Приклад 1. Обчислити певний інтеграл: = Рішення: приклад 4

Попередній перегляд:

Предмет: математика (алгебра та початку аналізу), клас: 11 клас.

Тема урока: «Інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца».

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Тривалість заняття: 45 хвилин.

Цілі уроку: запровадити поняття інтеграла та його обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца, використовуючи знання про первісну та правила її обчислення; проілюструвати практичне застосування інтегралу на прикладах знаходження площі криволінійної трапеції; закріпити вивчене під час виконання вправ.

Завдання уроку:

Освітні:

1. сформувати поняття інтегралу;
2. формування навичок обчислення певного інтегралу;
3. формування умінь практичного застосування інтегралу для знаходження площі криволінійної трапеції.

Розвиваючі:

1. розвиток пізнавального інтересу учнів, розвивати математичну мову, вміння спостерігати, порівнювати, робити висновки;
2. розвивати інтерес до предмета за допомогою ІКТ.

Виховні:

1. активізувати інтерес до отримання нових знань, формування точності та акуратності при обчисленні інтегралу та виконанні креслень.

Оснащення: ПК, операційна система Microsoft Windows 2000/XP; програма MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; мультимедійний проектор, екран.

Література: підручник Колмагорова О.М. та ін Алгебра та початку аналізу 10-11 кл.

Технології: ІКТ, індивідуальне навчання.

ХІД УРОКУ

Попередній перегляд:

Опорний конспект на тему «Інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца».