Визначити відстань між двома паралельними площинами. Відстань між двома паралельними площинами: визначення та приклади знаходження

Матеріал цієї статті дозволяє отримати навичку визначення відстані між двома паралельними площинами за допомогою методу координат. Дамо визначення відстані між паралельними площинами, отримаємо формулу для його розрахунку та розглянемо теорію на практичних прикладах.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Відстань між паралельними площинами- Це відстань від довільної точки однієї з аналізованих паралельних площин до іншої площини.

Нехай задані дві паралельні площини 1 і 2 . З довільної точки М 1 площини 1 опустимо перпендикуляр М 1 Н 1 на іншу площину 2 . Довжина перпендикуляра М 1 Н 1 і буде відстанню між заданими площинами.

Зазначене визначення відстані між паралельними площинами має взаємозв'язок з наступною теоремою.

Теорема

Якщо дві площини паралельні, то всі точки однієї з паралельних площин знаходяться на тій самій відстані від іншої площини.

Доведення

Припустимо, задані дві паралельні площини 1 і 2 . Для отримання доказу теореми необхідно довести, що перпендикуляри, опущені з різних довільних точок однієї поверхні до іншої поверхні, рівні. Нехай будуть задані деякі довільні точки М 1 і М 2 на площині 1 , і з них опущені перпендикуляри М 1 Н 1 і М 2 Н 2 на площину 2 . Таким чином, нам належить довести, що М1Н1 = М2Н2.

Прямі М 1 Н 1 і М 2 Н 2 паралельні, оскільки перпендикулярні до однієї площини. Спираючись на аксіому про єдину площину, що проходить через три різні точки, що не лежать на одній прямій, можемо стверджувати, що через дві паралельні прямі проходить єдина площина. Будемо вважати, що існує деяка площина 3 , що проходить через дві паралельні прямі М1Н1 і М2Н2. Очевидним фактом є те, що площина 3 перетинає площини 1 і 2 за прямим М 1 M 2 і Н 1 Н 2 , які не перетинаються, а значить - паралельні (в іншому випадку, задані площини мали б загальну точку, що неможливо в силу їхньої паралельності за умовою завдання). Таким чином, ми спостерігаємо чотирикутник М1М2Н1Н2, у якого протилежні сторони є попарно паралельними, тобто. М 1 М 2 Н 1 Н 2 – паралелограм (у цьому випадку – прямокутник). Отже, протилежні сторони цього паралелограма рівні, отже | М1Н1 | = | М2Н2 | . Що й потрібно було довести.

Зауважимо також, що відстань між паралельними площинами – найменша відстань між довільними точками цих площин.

Знаходження відстані між паралельними площинами

За програмою 10 - 11 класів відстань між паралельними площинами визначається побудовою перпендикуляра будь-якої точки однієї площини, опущеного до іншої площини; після чого знаходиться довжина цього перпендикуляра (за допомогою теореми Піфагора, ознак рівності або подібності трикутників, або визначення синуса, косинуса, тангенса кута).

У разі, коли вже задана чи є можливість задати прямокутну систему координат, ми маємо можливість визначити відстань між паралельними площинами за допомогою методу координат.

Нехай задано тривимірний простір, а в ньому - прямокутна система координат і дві паралельні площини 1 і 2 . Знайдемо відстань між цими площинами, спираючись, зокрема, визначення відстані між площинами, дане вище.

У вихідних даних - площині ϒ 1 і ϒ 2 і ми можемо визначити координати (x 1 , y 1 , z 1) певної точки M 1 , що належить одній із заданих площин: нехай це буде площина ϒ 1 . Також отримаємо нормальне рівняння площини 2: cos α · x + cos β · y + cos λ · z - p = 0 . У разі, шукана відстань | М1Н1 | дорівнюватиме відстані від точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) до площини ϒ 2 (їй відповідає нормальне рівняння cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0). Тоді потрібну відстань обчислимо за формулою: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Висновок цієї формули можна вивчити у темі обчислення відстані від точки до площини.

Резюмуємо. Для того, щоб визначити відстань між двома паралельними площинами, необхідно:

Визначення 2

Знайти координати (x 1 , y 1 , z 1) певної точки М 1 , Що належить одній з вихідних площин;

Визначити нормальне рівняння іншої площини у вигляді cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0;

Здійснити розрахунок необхідної відстані, використовуючи формулу: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .

Якщо у прямокутній системі координат площина ϒ 1 задається загальним рівнянням площини A · x + B · y + C · z + D 1 = 0 , а площина ϒ 2 – загальним рівнянням A · x + B · y + C · z + D 2 = 0 тоді відстань між паралельними площинами необхідно обчислювати за формулою:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Покажемо, як цю формулу отримано.

Нехай точка М 1 (x 1, y 1, z 1) належить площині ϒ1. У такому разі координати цієї точки відповідатимуть рівнянню площини A · x + B · y + C · z + D 1 = 0, або вірною буде рівність: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 . Звідси отримаємо: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0 . Отримана рівність нам ще знадобиться.

Площина ϒ 2 описуватиметься нормальним рівнянням площини A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 або - A · x + B · y + C · z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (залежно від знака числа D 2). Однак за будь-якого значення D 2 відстань | М1Н1 | можна розрахувати, використовуючи формулу:

M 1 H 1 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2

Тепер задіємо отриману раніше рівність A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 = - D 1 і перетворимо формулу:

M 1 H 1 = - D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Приклад 1

Дано дві паралельні площини 1 і 2 , що описуються рівняннями x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 і 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 відповідно. Необхідно визначити відстань між заданими площинами.

Рішення

Розв'яжемо задачу двома способами.

1. Рівняння площини у відрізках, яке задано за умови завдання, дає можливість визначити координати точки М 1 , що належить площині, що описується цим рівнянням. Як точку М 1 використовуємо точку перетину площини 1 і осі O x . Отже, маємо: M 1 1 6 , 0 , 0 .

Перетворимо загальне рівняння площини 2 у нормальний вигляд:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 3 2 + (- 2) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0

Обчислимо відстань | М1Н1 | від точки M 1 1 6 , 0 , 0 до площини 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0:

M 1 H 1 = 3 5 · 1 6 - 2 5 · 0 + 2 3 5 · 0 - 4 = 1 10 - 4 = 3 9 10

Так ми отримали відстань між вихідними паралельними площинами.

1. Перетворимо рівняння площини у відрізках у загальне рівняння площини:

x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 1 = 0

Прирівняємо коефіцієнти при змінних x, y, z у загальних рівняннях площин; з цією метою помножимо обидві частини крайньої рівності на 2:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 40 = 0

Скористаємося формулою для знаходження відстані між паралельними площинами:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2 = - 40 - (-1) 6 2 + (- 4) 2 + (4 3) 2 = 39 100 = 3 9 10 .

Відповідь: 3 9 10 .

Приклад 2

Дано дві паралельні площини, що описуються рівняннями: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 і 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 . Потрібно знайти відстань між цими площинами.

Рішення

Зручніше використовувати другий спосіб вирішення подібних завдань. Помножимо обидві частини другого рівняння на 2 і коефіцієнти в рівняннях площин стануть рівні: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 і 6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0 . Тепер можна використати формулу:

M 1 H 1 = - 4 - 3 6 2 + 4 2 + (- 12) 2 = 7 196 = 1 2

Однак спробуємо знайти відповідь і першим способом: припустимо, точка M 1 (x 1, y 1, z 1) належить площині 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0. Відповідно, координати цієї точки відповідають рівнянню площини, і вірною буде рівність:

6 x 1 + 4 y 1 - 12 z 1 + 3 = 0

Нехай y 1 = 0, z 1 = 0, тоді x 1: 6 x 1 + 4 · 0 - 12 · 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = - 1 2

Таким чином, точка отримує точні координати: M 1 - 1 2 0 0 .

Перетворимо загальне рівняння площини 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 нормальний вигляд:

3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 3 2 + 2 2 + - 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y - 6 7 z - 2 7 = 0

У такому випадку потрібна відстань між площинами дорівнює: 3 7 · - 1 2 + 2 7 · 0 - 6 7 · 0 - 6 7 · 0 - 2 7 = - 1 2 = 1 2

Відповідь: 1 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Відстань між двома паралельними площинами виражається формулою:

Координати точок нам невідомі, та їх і не потрібно знати, оскільки перпендикуляр між площинами можна протягнути будь-де.

Знайдемо відстань між паралельними площинами Прімера №8:

Приклад 10

.

Рішення: Використовуємо формулу:

Відповідь:

У багатьох напевно постало питання: ось у цих площин – перші три коефіцієнти однакові, але це ж не завжди так! Так, не завжди.

Приклад 11

Знайти відстань між паралельними площинами

Перевіримо пропорційність коефіцієнтів: Але, отже, площини дійсно паралельні. Перші три коефіцієнти пропорційні, але збігаються. Але формула передбачена для збігаються коефіцієнтів!

Є два шляхи вирішення:

1) Знайдемо якусь точку, що належить будь-якій із площин. Наприклад, розглянемо площину . Щоб знайти точку, найпростіше обнулити дві координати. Обнулили «ікс» і «зет», тоді: .

Таким чином, точка належить цій площині. Тепер можна використовувати формулу відстані від точки до прямої, розглянуту у попередньому розділі.

2) Другий спосіб пов'язаний з невеликим трюком, який потрібно застосувати, щоб використати формулу ! Це приклад самостійного рішення.

Пересічні площини

Третій, найпоширеніший випадок, коли дві площини перетинаються деякою прямою :

Дві площини перетинаються тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних НЕ пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Відразу зазначу важливий факт: Якщо площини перетинаються, то система лінійних рівнянь задаєрівняння прямої в просторі. Але про просторову пряму пізніше.

Як приклад розглянемо площину . Складемо систему для відповідних коефіцієнтів:

З перших двох рівнянь випливає, що , але з третього рівняння випливає, що , отже, система несумісна, та площини перетинаються.

Перевірку можна виконати «по піжонськи» одним рядком:

Паралельні площини ми вже розібрали, тепер поговоримо про перпендикулярні площини. Очевидно, що до будь-якої площини можна провести безліч перпендикулярних площин, а для того, щоб зафіксувати конкретну перпендикулярну площину, необхідно знати дві точки:

Приклад 12

Дана площина . Побудувати площину, перпендикулярну даній і проходить через точки.

Рішення: Починаємо аналізувати умову Що ми знаємо про площину? Відомі дві точки. Можна знайти вектор , паралельний даній площині. Замало. Було б непогано десь накопати ще один відповідний вектор. Так як площини повинні бути перпендикулярні, підійде нормальний вектор площини .

Проводити подібні міркування здорово допомагає схематичний креслення:

Для кращого розуміння завдання відкладіть вектор нормалі від точки у площині.

Слід зазначити, що дві довільні точки можуть розташовуватися у просторі як завгодно, і перпендикулярна площина може бути розгорнута до нас іншим ракурсом. До речі, тепер чітко видно, чому одна точка не визначить перпендикулярну площину – навколо єдиної точки «крутитиметься» безліч перпендикулярних площин. Також нас не влаштує і єдиний вектор (без усіляких точок). Вектор є вільним і «наштампує» нам безліч перпендикулярних площин (які, до речі, всі будуть паралельні). У цьому мінімальну жорстку конструкцію забезпечують дві точки.

Алгоритм розібраний, розв'язуємо задачу:

1) Знайдемо вектор.

2) З рівняння знімемо вектор нормалі: .

3) Рівняння площини складемо по точці (можна було взяти і ) і двом векторам неколлінеарним :

За допомогою цього онлайн калькулятора можна знайти відстань між площинами. Надається докладне рішення з поясненнями. Щоб знайти відстань між площинами, введіть елементи рівняння площини в комірки і натисніть кнопку "Вирішити".

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Відстань між площинами – теорія

Алгоритм обчислення відстані між площинами містить такі кроки:

1. Перевірка колінеарності нормальних векторів площин.
2. Знаходження певної точки M 0 на першій площині.
3. Обчислення відстані між точкою M 0 та другою площиною.

Нормальний вектор рівняння (2") має такий вигляд:

належить площині (1):

Загальне рівняння площини має вигляд:

Підставимо значення A, B, C, D 1 , D 2 в (9):

Спростимо і вирішимо.

Визначення.Будемо називати відстанню від точки до площинимінімальна відстань від цієї точки до точок m-площини.

Т.к. мінімальна відстань від цієї точки до точок будь-якої прямої, що лежить на m-площині, є відстанню від цієї точки до основи перпендикуляра, опущеного з неї на пряму. Відстань від точки до m-площини дорівнює відстані від цієї точки до основи перпендикуляра, опущеного з неї на m-площину.

Знайдемо відстань від точки до площини, заданої рівнянням
(4) . Рівняння перпендикуляра, опущеного з точки
на площину має вигляд:
(12) . Підставимо (12) в (4) :.
(13) . Т.к. відстань від крапки
до довільної точки площини одно
(14) . Зокрема відстань до площини від початку системи дорівнює
(15) . Коли вектор нормалі одиничний, формулу (14) можна записати, як
(14’) , а (15) :
(15’) . У випадку, коли вектор нормалі одиничний, абсолютна величина вільного члена (4) дорівнює відстані до площини.

Твердження.Оскільки у паралельних площин можуть бути обрані одні й ті ж напрямні вектори то вектори нормалі паралельних площин колінеарні. Відстань від усіх точок однієї з двох паралельних площин до іншої із цих площин рівні. Справді, відстань від довільної точки
до площини, проведеної через точку
паралельно даній площині (4) з напрямними векторами , в силу (14) одно
. Тобто. дорівнює відстані від крапки
до тієї ж поверхні.

Визначення.Будемо називати число, що дорівнює цим відстаням, відстанню між двома паралельними площинами.

Якщо рівняння двох площин записані у вигляді: (17) , то відстань між ними дорівнює відстані від точки
, що лежить на другій поверхні до першої. З огляду на співвідношення (14) , ця відстань дорівнює
, Але т.к. крапка
лежить на другій площині, то вектор задовольняє рівняння цієї площини, тобто.
(18) .

23. Приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного виду із класифікацією можливих типів типів у разі δ≠0

Зафіксуємо на площині прямокутну систему координат та розглянемо загальне рівняння другого ступеня. (1)

Def: Безліч точок, координати яких задовольняють рівнянню 1 називають кривою другого порядку. Групу старших членів (2) можна як квадратичну форму від координат (х,у) вектора х. Оскільки матриця А-симетрична, то ортонормований базис
із власних векторів а, в якому матриця квадратичної форми діагональна та речова. Нехай матриця P = - матриця переходу від базису до базису . Тоді
. Тоді (5)
. З урахуванням 5 запишемо квадратичну форму 2. (6) Причому
(легко виводиться множенням P T AP). Відтак у базисі квадратична форма може бути записана у вигляді
. Оскільки P T P=I, матриця Р – ортогональна та геометрично переходу від базису до базису відповідає поворот на деякий у
голφ проти годинникової стрілки.
. Через справедливість 5,6 перепишемо рівняння 1 в нових координатах. (10)

Покладемо (11)
. Тоді λ 1 λ 2 =detD=det(P T AP)=detP T detA detP=detA.

Значить

Розділимо випадки:

1)

(13)
. Причому:
,
,
.

а)Припустимо, що, тобто всі λ одного знака, тоді геометричне місце точок координати яких задовольняють умові 13 являє собою:

Еліпс, якщо знак протилежний знаку λ

«Уявний еліпс», якщо знак з=знаку λ

точку, якщо с = 0

в)Нехай
, тобто λ 1 і λ 2 різних знаків. Тоді 13 буде

a. рівнянням гіперболи:
якщо c≠0

b. І пари прямих, що перетинаються, якщо c=0

Приведення рівняння кривої другого порядку до канонічного виду із класифікацією можливих типів у разі δ =0

Інваріанти кривої другого порядку. Визначення канонічного рівняння кривої другого порядку інваріантів.

Def: Інваріантою кривоїназиваються функції коефіцієнтів рівняння кривої, які змінюються під час переходу від однієї прямокутної системи координат до іншої.

Теорема.Для кривої другого порядку
,
,
є інваріантами. У доказі розглядається 2 випадки: 1) паралельне перенесення (проводиться заміна змінних, відкриваються дужки, групується) 2) Поворот з використанням Р. (за допомогою Р наводиться до діагональної D=P T AP, а потім обчислюються інваріанти від D)

Приведення рівняння поверхні другого порядку до канонічного виду із класифікацією типів у разі, коли всі λ i відмінні від нуля.

У разі коли всі λ i відмінні від нуля. Поверхня шляхом перетворення квадратичної форми за допомогою матриці переходу Р (як у кривих тільки для матриці 3х3) і потім перетворення координат і приведення їх до канонічного вигляду, перетворюється в наступний вигляд:. Тоді маємо таке.

Приведення рівняння поверхні другого порядку до канонічного виду з класифікацією типів у разі коли одне з λ i ­ одно нулю.

Нехай для визначеності λ 3 =0. Тоді рівняння поверхні набуде вигляду:
(4). Якщо о 4
, то рівняння стає рівнянням циліндричної поверхні.
(5). Знову вважатимемо, що з 0, інакше помножимо 5 на -1.

Приведення рівняння поверхні другого порядку до канонічного виду з класифікацією типів у разі, коли два λ i рівні нулю.

Нехай
, Тоді рівняння поверхні набуде вигляду: (7) . Це пара паралельних площинрізних, коли λ 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ 1 C>0.

Якщо a 2 ≠ 0 або a 3 ≠ 0, робимо заміну, вважаючи:
,
. Підставляючи в 7 отримуємо:
, де
. Це крива другого порядку на площині або параболічний циліндр.

Теорема 1: Простор R можна розкласти в пряму суму інваріантних підпросторів N 0 (p) і M (p) . При цьому підпростір N 0 (p) складається тільки їх власних та приєднаних векторів, що відповідають власному значенню λ=0, а в підпросторі M (p) перетворення оборотне (тобто λ=0 не є власним значенням перетворення A в підпросторі M ( p).

Доведення:для доказу першого твердження нам достатньо показати, що перетин підпросторів N 0 (p) і M 0 (p) дорівнює нулю. Допустимо неприємне, тобто нехай існує вектор y≠0 такий, що yM(p) та yN0(p) . Так як y M (p) , то y = A p x.

Але з рівностей (8) і (9) випливає, що існує такий вектор x, для якого A p x ≠0 і в той же час A 2 p x = A p y = 0

Це означає, що x є приєднаний вектор перетворення A з власним значенням λ=0, що не належить підпростору N 0 (p) що неможливо, так як N 0 (p) складається з усіх таких векторів.

Таким чином ми довели, що перетин N 0 (p) і M 0 (p) дорівнює нулю. Оскільки сума розмірностей цих підпросторів дорівнює n (це ядро ​​і образ перетворення A p), то звідси випливає, що простір R розкладається на пряму суму цих підпросторів:

R = M(p) N 0 (p)

Доведемо тепер друге твердження теореми, тобто. що у підпросторі M (p) перетворення A немає нульового власного значення. Справді, якби це було не так, то M (p) існував би вектор x≠0 такий, що A p x=0

Але це рівність означає, що x N 0 (p) , тобто. є загальним вектором M (p) та N 0 (p), а ми довели, що таким вектором може бути лише нуль.

Теорема 2:Нехай перетворення простору A має k різних власних значень λ 1 ,….,λ k . Тоді R можна розкласти в пряму суму k інваріантних підпросторів N λ 1 (p 1) ,….,N λk (pk) :

R = N λ 1 (p 1) ….N k (pk)

Кожен із підпросторів N λi (pi) складається тільки з власних та приєднаних векторів, що відповідають власному значенню λ i

Іншими словами, для кожного i існує таке число p i , що для всіх x N N i (pi) .

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.