Визначити скільки розв'язків має система рівнянь. Дослідження системи лінійних рівнянь із двома змінними на кількість рішень

Мета уроку:сформувати вміння на вигляд системи двох лінійних рівнянь із двома змінними визначати кількість рішень системи.

Завдання:

• Освітні:
  • повторити способи розв'язання систем лінійних рівнянь;
  • пов'язати графічну модель системи із кількістю рішень системи;
  • знайти зв'язок між співвідношенням коефіцієнтів при змінних у системі та кількістю рішень.
• Розвиваючі:
  • формувати здібності до самостійних досліджень;
  • розвивати пізнавальний інтерес учнів;
  • розвивати вміння виділяти головне, суттєве.
• Виховні:
  • виховувати культуру спілкування; повага до товариша, вміння гідно поводитися. закріплювати навички роботи у групі;
  • формувати мотивацію здорового способу життя.

Тип уроку: комбінований

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент(націлити учнів на урок)

– На попередніх уроках ми навчилися вирішувати системи двох лінійних рівнянь із двома змінними різними способами. Сьогодні на уроці ми маємо відповісти на запитання: «Як, не вирішуючи систему рівнянь визначити, скільки ж рішень вона має?», тож тема уроку називається «Дослідження системи лінійних рівнянь із двома змінними на кількість рішень». Отже, почнемо урок. Зберемося з силами. У чотири прийоми глибоко вдихнемо повітря через ніс і в п'ять прийомів з силою видихнемо, задаючи уявну свічку. Повторимо це 3 рази. Дуже швидко активізуємо свій мозок. Для цього інтенсивно промасажуємо міжбрівну точку: вказівним пальцем правої руки робимо 5 кругових рухів в один бік та в інший. Повторимо це 2-3 рази.

ІІ. Перевірка домашнього завдання(Корекція помилок)

Показати рішення системи різними способами:

А) шляхом підстановки;
Б) методом складання;
В) за формулами Крамера;
Г) Графічно.

Поки на дошці готуються до відповідей домашнього завдання, з іншими учнями починається підготовка до наступного етапу уроку.

ІІІ. Етап підготовки до засвоєння нового матеріалу(Актуалізація опорних знань)

- Якщо ви знаєте відповіді на запитання, але раптом розгубилися і все одразу забули, спробуйте зібратися, переконати себе, що ви все знаєте, і у вас все вийде. Добре допомагає звичайний масаж усіх пальців. Під час обмірковування масажуйте всі пальчики від основи до нігтя.

– Що називають системою двох рівнянь?

– Що означає вирішити систему лінійних рівнянь?
– Що рішення системи лінійних рівнянь?
– Чи буде пара чисел (– 3; 3) розв'язанням системи рівнянь:

– Розкажіть, у чому суть кожного відомого вам способу розв'язання систем лінійних рівнянь із двома змінними. (Рекомендується спілкування в парах)

Відповіді учнів супроводжуються показом слайдів 1-14 ( Презентація ) учителем. (можна одним із учнів). Перевіряємо домашнє завдання (слухаємо відповіді учнів біля дошки).

Вчитель:Для вирішення специфічних систем рівнянь існує ще один спосіб, називається він методом підборурішення. Спробуйте, не вирішуючи підібрати рішення системи рівнянь: . Поясніть суть методу.

– Знайдіть розв'язок системи рівнянь:

– Дано рівняння a + b =15, додайте таке рівняння, щоб рішенням отриманої системи була пара чисел (– 12; 27)
Перелічіть усі способи розв'язання систем лінійних рівнянь, з якими ви познайомилися.

IV. Етап засвоєння нових знань(дослідницька робота)

– Перш ніж переходити до наступного етапу уроку, трохи відпочинемо.
Сидячи на стільці - розслабтеся, прийміть позу піджака, що висить на вішалці,
"Постріляйте" очима у сусідів. А потім згадаємо про «царську поставу»: спина пряма, м'язи голови без напруги, вираз обличчя дуже значний, зберемося з думками, для чого зробимо масаж міжбрівної точки або пальчиків і приступимо до подальшої роботи.

Вчитель:Ми навчилися вирішувати системи лінійних рівнянь із двома змінними різними способами та знаємо, що система таких рівнянь може мати:

А) одне рішення;
Б) не мати рішень;
У) багато рішень.

А чи не можна, не вдаючись до рішення, відповісти на запитання : скільки ж рішень має система рівнянь?Нині ми з вами проведемо невелике дослідження.
Для початку розіб'ємося на три дослідні групи. Складемо план нашого дослідження, відповівши на запитання:

1) Що являє собою графічна модель системи лінійних рівнянь із двома змінними?
2) Як можуть бути дві прямі на площині?
3) Як залежить кількість розв'язків системи від розташування прямих?

(Після відповідей учнів використовуємо слайди 6-10 Презентації .)

Вчитель:Отже основа нашого дослідження у тому, щоб у вигляді системи зрозуміти, як розташовуються прямі.
Кожна дослідницька група вирішує це завдання на конкретній системі рівнянь за планом ( Додаток 1 ).
Система групи №1.

Система групи №2.

Система групи №3.

V. Релаксація

Пропоную відпочити, розслабитися: фізкультхвилинка чи психологічний тренінг. ( Додаток 3 )

VI. Закріплення нового матеріалу

А) Первинне закріплення

Використовуючи отримані висновки, дайте відповідь на запитання: скільки рішень має система рівнянь

а Б В)

Отже, як вирішувати систему, можна дізнатися, скільки має рішень.

Б) вирішення складніших завдань з нової теми

1) Дана система рівнянь

– При яких значеннях параметра дана система має єдине рішення?

(Робота виконується у групах по 4 особи: пари повертаються одна до одної)

– При яких значеннях параметра дана система не має рішень?
– За яких значень параметра дана система рівнянь має багато рішень?

2) Дане рівняння - 2x + 3y = 12

Додайте ще одне рівняння так, щоб система цих рівнянь мала:

А) одне рішення;
Б) нескінченно багато рішень.

3) Провести повне дослідження системи рівнянь на наявність її рішень:

VII. Рефлексія. Методика "Мухомор"

На додатковій дошці (або на окремому плакаті) намальовано коло, розбите на сектори. Кожен сектор – це питання, розглянуте на уроці. Учням пропонується
поставити крапку:

• ближче до центру, якщо відповідь на запитання не викликає сумніву;
• у середину сектора, якщо є сумніви;
• ближче до кола, якщо питання залишилося не зрозумілим; ( Додаток 4 )

VIII. Домашнє завдання

Алгебра-7, за редакцією Теляковського. Параграфи 40-44, №1089,1095а), вирішувати будь-яким способом.
З'ясувати, за якого значення a система має одне рішення, багато рішень, не має рішень

– Отже: наш урок добіг кінця. Приготуємо себе до зміни: зчепить руки замком, покладіть їх на потилицю. Покладіть голову на парту, різко сядьте прямо, прийміть царську позу. Повторіть це ще раз.

- Урок завершено. Всім дякую. Підійдіть до дошки та зробіть позначку на запропонованому малюнку. До побачення.

"Способи розв'язання систем рівнянь" - Б. 15х = 10 (1 - х). Спростіть вираз. A. A = Nt. 1. 13. 0,5. y. 3. Розкладіть на множники. Відповідь: Б.

"Ірраціональне рівняння" - Алгоритм розв'язання рівнянь. Вітаю! Хід уроку. Бажаю вам найвищих результатів. Вирішимо рівняння: (Чостер, англійський поет, середні віки). Чи є число x коренем рівняння: а)? х - 2 =? 2 - х, х0 = 4 б)? 2 - х =? х - 2, х0 = 2 в)? х - 5 =? 2х - 13, х0 = 6 г)? 1 - х = ? 1 + х, х0 = 0. ? Х - 6 = 2? х - 3 = 0? х + 4 = 7? 5 - х = 0? 2 - х = х + 4.

«Рішення рівнянь із параметром» - На позакласних заняттях з математики у 6 класі розглядається рішення рівнянь із параметрами виду: 1) ах = 6 2) (а – 1)х = 8,3 3) bх = -5. За яких значень b рівняння bх = 0 не має розв'язків? Завдання з параметрами викликають великі труднощі у учнів та вчителів. Розв'язання лінійних рівнянь із параметрами.

"Теорема Гаусса-Маркова" - За даними вибірки знайти: ?, Cov(??), ?u, ?(?(z)). (7.6). (7.3). (7.7). Незміщення оцінки (7.3) доведено. Вираз (7.3) підтверджено. (7.4). Теорема (Гаусса – Маркова).

«Рівняння з параметром» - має єдине рішення. Що означає вирішити рівняння з параметрами? Знайти всі значення параметра a, при кожному з яких рівняння. C4. Нехай. + t +5a - 2 = 0.

«Рівняння та нерівності» - Способи розв'язання систем рівнянь. 5. 3. Скільки коренів має рівняння? Полягає в наступному: будують в одній системі координат графіки двох функцій. Підстановка. Застосування методів розв'язання рівнянь та нерівностей. x2 – 2x – 3 =0 Подаємо у вигляді x2 = 2x +3. 0 2 -1 -2. Визначити найменше натуральне рішення нерівності.

Скільки різних рішень має система рівнянь

¬x9 ∨ x10 = 1,

Пояснення.

Вийшло три набори змінних, які задовольняють цього рівняння. Тепер розглянемо друге рівняння, воно аналогічне першому, отже, його дерево рішень аналогічне першому. Це означає, що значення x2 дорівнює нулю задовольняють значення x3, рівні 0 і 1, а якщо x2 дорівнює 1, то тільки значення 1. Таким чином, системі, що складається з першого і другого рівняння задовольняють 4 набору змінних. Дерево рішень для першого і другого рівнянь виглядатиме так:

Застосувавши аналогічні міркування до третього рівняння, отримаємо, що системі, що складається з перших трьох рівнянь, задовольняє 5 наборів змінних. Оскільки всі рівняння аналогічні, отримуємо, що системі, даної за умови задовольняє 11 наборів змінних.

Відповідь: 11.

Відповідь: 11

Джерело: ЄДІ з інформатики 05.05.2014. Дострокова хвиля. Варіант 1.

x9 ∨ ¬x10 = 1,

де x1, x2, … x10 – логічні змінні?

У відповіді не потрібно перераховувати всі різні набори значень x1, x2, … x10, у яких виконано цю систему рівностей. Як відповідь Вам потрібно зазначити кількість таких наборів.

Пояснення.

Збудуємо дерево рішень для першого рівняння.

Вийшло три набори змінних, які задовольняють цього рівняння. Тепер розглянемо друге рівняння, воно аналогічне першому, отже, його дерево рішень аналогічне першому. Це означає, що значення x2 дорівнює одиниці задовольняють значення x3, рівні 0 і 1, а якщо x2 дорівнює 0, то тільки значення 0. Таким чином, системі, що складається з першого і другого рівняння задовольняють 4 набору змінних. Дерево рішень для першого і другого рівнянь виглядатиме так:

Застосувавши аналогічні міркування до третього рівняння, отримаємо, що системі, що складається з перших трьох рівнянь, задовольняє 5 наборів змінних. Оскільки всі рівняння аналогічні, отримуємо, що системі, даної за умови, задовольняє 11 наборів змінних.

Відповідь: 11.

Відповідь: 11

Джерело: ЄДІ з інформатики 05.05.2014. Дострокова хвиля. Варіант 2

· Прототип завдання ·

((x1 ≡ x2) → (x3 ≡ x4)) ∧ ((x3 ≡ x4) → (x5 ≡ x6)) ∧ ((x5 ≡ x6) → (x7 ≡ x8)) = 1

де x1, x2, ..., x6, x7, x8 - логічні змінні? У відповіді не потрібно перераховувати всі різні набори значень змінних, при яких виконана ця рівність. Як відповідь потрібно вказати кількість таких наборів

Пояснення.

Зробимо заміну: y1 = x1 ≡ x2; y2 = x3 ≡ x4; y3 = x5 ≡ x6; y4 = x7 ≡ x8. Отримаємо рівняння:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1.

Логічне І істинно, тільки тоді, коли істини всі твердження, тому дане рівняння еквівалентне системі рівнянь:

Імплікація хибна тільки у випадку, якщо з істинного випливає хибне. Ця система рівнянь визначає ряд змінних (y1, y2, y3, y4). Зауважимо, що й будь-яку змінну з цього ряду прирівняти 1, всі наступні повинні також дорівнювати 1. Тобто рішення системи рівнянь: 0000; 0001; 0011; 0111; 1111.

Рівняння виду xN ≡ x(N+1) = 0 мають два рішення, рівняння виду xN ≡ x(N+1) = 1 також має два рішення.

Знайдемо, скільки наборів змінних x відповідають кожному з рішень y.

Кожному з рішень 0000; 0001; 0011; 0111; 1111 відповідає 2 · 2 · 2 · 2 = 16 рішень. Усього 16 · 5 = 80 рішень.

Відповідь: 80.

Відповідь: 80

Джерело: ЄДІ 16.06.2016 з інформатики. Основна хвиля.

Скільки існує різних наборів значень логічних змінних x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, які задовольняють всі перелічені нижче умови?

(x1→x2) ∧ (x2→x3) ∧ (x3→x4) ∧ (x4→x5) = 1,

(y1→y2) ∧ (y2→y3) ∧ (y3→y4) ∧ (y4→y5) = 1,

(x1 → y1) ∧ (x2 → y2) =1.

У відповіді не потрібно перераховувати всі різні набори значень змінних x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, за яких виконана дана система рівностей. Як відповідь Вам потрібно зазначити кількість таких наборів.

Пояснення.

Розглянемо перше рівняння, кон'юнкція істинна і тоді, коли істинні всі її змінні истинны. Імплікація хибна тільки тоді, коли з істини випливає брехня. Запишемо всі змінні x1, x2, x3, x4, x5 по порядку. Тоді, перше рівняння буде вірним, якщо в даному рядку праворуч від одиниць немає нулів. Тобто підходять рядки 11111, 01111, 00111, 00011, 00001, 00000. Аналогічні рішення мають друге рівняння. Перше і друге рівняння не пов'язані будь-якими змінними, тому системи, що складається тільки з двох перших рівнянь, кожному набору змінних одного рівняння відповідає 6 наборів змінних іншого.

Тепер зважимо на третє рівняння. Це рівняння не виконується для таких наборів змінних, у яких x1 = 1, а y1 = 0, або x2 = 1, а y2 = 0. Це означає, що якщо записати якийсь набір змінних x1, x2, x3, x4, x5 над набором змінних y1, y2, y3, y4, y5, потрібно виключити такі набори, в яких під 1 на першому або другому місцях стоять нулі. Тобто набору змінних x1, x2, x3, x4, x5 11111 відповідає не 6 наборів y, а тільки один, а набору 01111 - 2. Таким чином, сумарна кількість можливих наборів: 1 + 2 + 4 · 6 = 27.

Відповідь: 27.

Відповідь: 27

· Прототип завдання ·

(x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (¬x 1 ∧ x 2) ∨ (x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) = 1

(x 2 ∧ ¬ x 3) ∨ (¬ x 2 ∧ x 3) ∨ (x 3 ∧ x 4) ∨ (¬ x 3 ∧ ¬ x 4) = 1

(x 8 ∧ ¬ x 9) ∨ (¬ x 8 ∧ x 9) ∨ (x 9 ∧ x 10) ∨ (¬ x 9 ∧ ¬ x 10) = 1

У відповіді не потрібно

Пояснення.

Оскільки рівняння ідентичні з точністю до індексів змінних, дерево розв'язків другого рівняння аналогічне першому. Отже, пара значень x 2 = 1 і x 3 = 1 породжує один набір змінних x 2, ..., x 4, що задовольняють друге рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння даних пар дві, всього отримуємо 2 · 1 = 2 набори змінних x 1, ..., x 4, що задовольняють системі двох рівнянь. Розмірковуючи аналогічно для кількох значень x 2 = 0 і x 3 = 0, отримуємо 2 набори змінних x 1 , ..., x 4 . Пара x 2 = 1 і x 3 = 0 породжує чотири розв'язки другого рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння ця пара одна, отримуємо 2 · 1 = 2 набори змінних x 1 , ..., x 4 , що задовольняють системі двох рівнянь. Аналогічно для x 2 = 0 та x 3 = 1 - 2 набори рішень. Усього система із двох рівнянь має 2 + 2 + 2 + 2 = 8 рішень.

Відповідь: 20

Джерело: ЄДІ з інформатики 08.07.2013. Друга хвиля. Варіант 801

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (¬x 2 ∧ x 3) = 1

(x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (x 3 ∧ ¬x 4) ∨ (¬x 3 ∧ x 4) = 1

(x 8 ∧ x 9) ∨ (¬x 8 ∧ ¬x 9) ∨ (x 9 ∧ ¬x 10) ∨ (¬x 9 ∧ x 10) = 1

У відповіді не потрібноперераховувати всі різні набори значень змінних x 1 x 2 ... x 10 при яких виконана дана система рівностей. Як відповідь Вам потрібно зазначити кількість таких наборів.

Пояснення.

Побудуємо дерево рішень для першого рівняння.

Отже, перше рівняння має 6 рішень.

Друге рівняння пов'язане з першим лише через змінні x 2 та x 3 . На підставі дерева рішень для першого рівняння випишемо пари значень змінних x 2 і x 3 які задовольняють першому рівнянню і вкажемо кількість таких пар значень.

Оскільки рівняння ідентичні з точністю до індексів змінних, дерево розв'язків другого рівняння аналогічне першому. Отже, пара значень x 2 = 1 і x 3 = 0 породжує один набір змінних x 2, ..., x 4, що задовольняють друге рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння даних пар дві, всього отримуємо 2 · 1 = 2 набори змінних x 1, ..., x 4, що задовольняють системі двох рівнянь. Розмірковуючи аналогічно для кількох значень x 2 = 0 і x 3 = 1, отримуємо 2 набори змінних x 1 , ..., x 4 . Пара x 2 = 1 і x 3 = 1 породжує два розв'язки другого рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння даних пар дві, отримуємо 2 · 1 = 2 набори змінних x 1, ..., x 4, що задовольняють системі двох рівнянь. Аналогічно для x 2 = 0 та x 3 = 0 - 2 набори рішень. Усього система із двох рівнянь має 2 + 2 + 2 + 2 = 8 рішень.

Провівши аналогічні міркування для системи з трьох рівнянь, отримуємо 10 наборів змінних x 1, ..., x 5, що задовольняють системі. Для системи із чотирьох рівнянь існує 12 наборів змінних x 1 , ..., x 6 , які відповідають системі. Система із восьми рівнянь має 20 рішень.

Відповідь: 20

Джерело: ЄДІ з інформатики 08.07.2013. Друга хвиля. Варіант 802

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (¬x 3 ∧ x 4) ∨ (x 3 ∧ ¬x 4) = 1

(x 3 ∧ x 4) ∨ (¬x 3 ∧ ¬x 4) ∨ (¬x 5 ∧ x 6) ∨ (x 5 ∧ ¬x 6) = 1

(x 7 ∧ x 8) ∨ (¬x 7 ∧ ¬x 8) ∨ (¬x 9 ∧ x 10) ∨ (x 9 ∧ ¬x 10) = 1

У відповіді не потрібноперераховувати всі різні набори значень змінних x 1 x 2 ... x 10 при яких виконана дана система рівностей. Як відповідь Вам потрібно зазначити кількість таких наборів.

Пояснення.

Побудуємо дерево рішень для першого рівняння.

Отже, перше рівняння має 12 рішень.

Друге рівняння пов'язане з першим лише через змінні x3 та x4. На підставі дерева рішень для першого рівняння випишемо пари значень змінних x 3 і x 4 які задовольняють першому рівнянню і вкажемо кількість таких пар значень.

Оскільки рівняння ідентичні з точністю до індексів змінних, дерево розв'язків другого рівняння аналогічне до першого (див. рис.). Отже, пара значень x 3 = 1 і x 4 = 1 породжує чотири набори змінних x 3 , ..., x 6 задовольняють другому рівнянню. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння даних пар дві, всього отримуємо 4 · 2 = 8 наборів змінних x 1 , ..., x 6 задовольняють системі з двох рівнянь. Розмірковуючи аналогічно пари значень x 3 = 0 і x 4 = 0, отримуємо 8 наборів змінних x 1 , ..., x 6 . Пара x 3 = 1 і x 4 = 0 породжує два розв'язки другого рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння даних пар чотири, отримуємо 2 · 4 = 8 наборів змінних x 1 , ..., x 6 задовольняють системі з двох рівнянь. Аналогічно для x 3 = 0 та x 4 = 1 - 8 наборів рішень. Усього система із двох рівнянь має 8 + 8 + 8 + 8 = 32 розв'язки.

Третє рівняння пов'язане з другим тільки через змінні x5 та x6. Дерево рішень аналогічне. Тоді для системи з трьох рівнянь кожна пара значень x 5 і x 6 породжуватиме кількість рішень відповідно до дерева (див. рис.): пара (1, 0) породить 2 рішення, пара (1, 1) породить 4 рішення, і т.д.

З рішення першого рівняння ми знаємо, що пара значень x 3 , x 4 (1, 1) зустрічається у рішеннях двічі. Отже, для системи із трьох рівнянь кількість розв'язків для пари x 3 , x 4 (1, 1) дорівнює 2 · (2 ​​+ 4 + 4 + 2) = 24 (див. рис.). Скориставшись таблицею вище, обчислимо кількість рішень для пар x 3 , x 4, що залишилися:

4 · (2 ​​+ 2) = 16

2 · (2 ​​+ 4 + 4 + 2) = 24

4 · (2 ​​+ 2) = 16

Таким чином, для системи з трьох рівнянь маємо 24 + 16 + 24 + 16 = 80 наборів змінних x 1 ..., x 8, що задовольняють системі.

Для системи із чотирьох рівнянь існує 192 набори змінних x 1 , ..., x 10 , що задовольняють системі.

Відповідь: 192.

Відповідь: 192

Джерело: ЄДІ з інформатики 08.07.2013. Друга хвиля. Варіант 502

(x 8 ∧ x 9) ∨ (¬x 8 ∧ ¬x 9) ∨ (x 8 ≡ x 10) = 1

У відповіді не потрібноперераховувати всі різні набори значень змінних x 1 x 2 ... x 10 при яких виконана дана система рівностей. Як відповідь Вам потрібно зазначити кількість таких наборів.

Пояснення.

Розглянемо перше рівняння.

Друге рівняння пов'язане з першим лише через змінні x 2 та x 3 . На підставі дерева рішень для першого рівняння випишемо пари значень змінних x 2 і x 3 які задовольняють першому рівнянню і вкажемо кількість таких пар значень.

Провівши аналогічні міркування для системи з трьох рівнянь, отримуємо 10 наборів змінних x 1, ..., x 5, що задовольняють системі. для системи з чотирьох рівнянь існує 12 наборів змінних x 1, ..., x 6, що задовольняють системі. Система із восьми рівнянь має 20 рішень.

Відповідь: 20

Джерело: ЄДІ з інформатики 08.07.2013. Друга хвиля. Варіант 601

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (x 1 ≡ x 3) = 1

(x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (x 2 ≡ x 4) = 1

(x 7 ∧ x 8) ∨ (¬x 7 ∧ ¬x 8) ∨ (x 7 ≡ x 9) = 1

У відповіді не потрібноперераховувати всі різні набори значень змінних x 1 x 2 ... x 9 при яких виконана дана система рівностей. Як відповідь Вам потрібно зазначити кількість таких наборів.

Пояснення.

Розглянемо перше рівняння.

При x 1 = 1 можливі два випадки: x 2 = 0 і x 2 = 1. У першому випадку x 3 = 1. У другому - x 3 або 0 або 1. При x 1 = 0 також можливі два випадки: x 2 = 0 і x 2 = 1. У першому випадку x 3 чи 0, чи 1. У другому - x 3 = 0. Отже, рівняння має 6 рішень (див. рисунок).

Друге рівняння пов'язане з першим лише через змінні x 2 та x 3 . На підставі дерева рішень для першого рівняння випишемо пари значень змінних x 2 і x 3 які задовольняють першому рівнянню і вкажемо кількість таких пар значень.

Оскільки рівняння ідентичні з точністю до індексів змінних, дерево розв'язків другого рівняння аналогічне першому. Отже, пара значень x 2 = 0 і x 3 = 0 породжує два набори змінних x 2, ..., x 4, що задовольняють друге рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння ця пара одна, отримуємо 1 · 2 = 2 набори змінних x 1 , ..., x 4 , що задовольняють системі двох рівнянь. Розмірковуючи аналогічно для пари значень x 2 = 1 і x 3 = 1, отримуємо 2 набори змінних x 1 ..., x 4 . Пара x 2 = 0 і x 3 = 1 породжує два розв'язки другого рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння даних пар одна, маємо 2 · 1 = 2 набори змінних x 1, ..., x 4, які задовольняють системі двох рівнянь. Аналогічно для x 2 = 1 та x 3 = 0 - 2 набори рішень. Усього система із двох рівнянь має 2 + 2 + 2 + 2 = 8 рішень.

Провівши аналогічні міркування для системи з трьох рівнянь, отримуємо 10 наборів змінних x 1, ..., x 5, що задовольняють системі. для системи з чотирьох рівнянь існує 12 наборів змінних x 1, ..., x 6, що задовольняють системі. Система із семи рівнянь має 18 рішень.

Відповідь: 18

Джерело: ЄДІ з інформатики 08.07.2013. Друга хвиля. Варіант 602

· Прототип завдання ·

(x 1 ∧ x 2) ∨ (¬x 1 ∧ ¬x 2) ∨ (x 1 ≡ x 3) = 1

(x 2 ∧ x 3) ∨ (¬x 2 ∧ ¬x 3) ∨ (x 2 ≡ x 4) = 1

(x 9 ∧ x 10) ∨ (¬x 9 ∧ ¬x 10) ∨ (x 9 ≡ x 11) = 1

У відповіді не потрібноперераховувати всі різні набори значень змінних x 1 x 2 ... x 11 при яких виконана дана система рівностей. Як відповідь Вам потрібно зазначити кількість таких наборів.

Пояснення.

Розглянемо перше рівняння.

При x 1 = 1 можливі два випадки: x 2 = 0 і x 2 = 1. У першому випадку x 3 = 1. У другому - x 3 або 0 або 1. При x 1 = 0 також можливі два випадки: x 2 = 0 і x 2 = 1. У першому випадку x 3 чи 0, чи 1. У другому - x 3 = 0. Отже, рівняння має 6 рішень (див. рисунок).

Друге рівняння пов'язане з першим лише через змінні x 2 та x 3 . На підставі дерева рішень для першого рівняння випишемо пари значень змінних x 2 і x 3 які задовольняють першому рівнянню і вкажемо кількість таких пар значень.

Оскільки рівняння ідентичні з точністю до індексів змінних, дерево розв'язків другого рівняння аналогічне першому. Отже, пара значень x 2 = 0 і x 3 = 0 породжує два набори змінних x 2, ..., x 4, що задовольняють друге рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння ця пара одна, отримуємо 1 · 2 = 2 набори змінних x 1 , ..., x 4 , що задовольняють системі двох рівнянь. Розмірковуючи аналогічно для пари значень x 2 = 1 і x 3 = 1, отримуємо 2 набори змінних x 1 ..., x 4 . Пара x 2 = 0 і x 3 = 1 породжує два розв'язки другого рівняння. Оскільки серед наборів розв'язків першого рівняння даних пар одна, маємо 2 · 1 = 2 набори змінних x 1, ..., x 4, які задовольняють системі двох рівнянь. Аналогічно для x 2 = 1 та x 3 = 0 - 2 набори рішень. Усього система із двох рівнянь має 2 + 2 + 2 + 2 = 8 рішень.

Провівши аналогічні міркування для системи з трьох рівнянь, отримуємо 10 наборів змінних x 1, ..., x 5, що задовольняють системі. для системи з чотирьох рівнянь існує 12 наборів змінних x 1, ..., x 6, що задовольняють системі. Система з дев'яти рівнянь має 22 розв'язки.