Осьова симетрія як побудувати фігуру. Вживання терміна в інших наукових галузях

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Тип уроку:комбінований.

Цілі уроку:

• Розглянути осьову, центральну та дзеркальну симетрії як властивості деяких геометричних фігур.
• Навчити будувати симетричні точки і розпізнавати фігури, що мають осьову симетрію і центральну симетрію.
• Удосконалювати навички розв'язання завдань.

Завдання уроку:

• Формування просторових уявлень учнів.
• Розвиток уміння спостерігати та міркувати; розвиток інтересу до предмета за допомогою інформаційних технологій.
• Виховання людини, яка вміє цінувати прекрасне.

Обладнання уроку:

• Використання інформаційних технологій (презентація).
• Малюнки.
• Картки із домашнім завданням.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Повідомити тему уроку, сформулювати цілі уроку.

ІІ. Вступ.

Що таке симетрія?

Видатний математик Герман Вейль високо оцінив роль симетрії в сучасній науці: "Симетрія, як широко або вузько ми не розуміли це слово, є ідея, за допомогою якої людина намагалася пояснити і створити порядок, красу і досконалість".

Ми живемо у дуже гарному та гармонійному світі. Нас оточують предмети, які тішать око. Наприклад, метелик, кленовий лист, сніжинка. Подивіться, які вони прекрасні. Ви звертали на них увагу? Сьогодні ми з вами торкнемося цього прекрасного математичного явища – симетрії. Познайомимося з поняттям осьовий, центральної та дзеркальної симетрій. Будемо вчитися будувати та визначати симетричні щодо осі, центру та площини фігури.

Слово "симетрія" в перекладі з грецької звучить як "гармонія", означаючи красу, пропорційність, пропорційність, однаковість у розташуванні частин. Здавна людина використовувала симетрію в архітектурі. Давнім храмам, вежам середньовічних замків, сучасним будинкам вона надає гармонійності, закінченості.

У найбільш загальному вигляді під "симетрією" в математиці розуміється таке перетворення простору (площини), при якому кожна точка M переходить в іншу точку M відносно деякої площини (або прямої) a, коли відрізок MM" є перпендикулярним площині (або прямої) a і ділиться нею навпіл. Площина (пряма) a називається при цьому площиною (або віссю) симетрії. До фундаментальних понять симетрії відносяться площина симетрії, вісь симетрії, центр симетрії. Площиною симетрії P називається така площина, яка поділяє фігуру на дві дзеркально рівні частини, розташовані одна щодо одної так, як предмет та його дзеркальне відображення.

ІІІ. Основна частина. Види симетрії.

Центральна симетрія

Симетрія щодо точки або центральна симетрія – це така властивість геометричної фігури, коли будь-якій точці, розташованій з одного боку центру симетрії, відповідає інша точка, розташована з іншого боку центру. При цьому точки знаходяться на відрізку прямої, що проходить через центр, що розділяє відрізок навпіл.

Практичне завдання.

1. Дано крапки А, Уі М Мщодо середини відрізка АВ.
2. Які з наступних букв мають центр симетрії: А, О, М, Х, К?
3. Чи мають центр симетрії: а) відрізок; б) промінь; в) пара прямих, що перетинаються; г) квадрат?

Осьова симетрія

Симетрія щодо прямої (або осьова симетрія) – це така властивість геометричної фігури, коли будь-якій точці, розташованій по один бік прямої, завжди відповідатиме точка, розташована по інший бік прямої, а відрізки, що з'єднують ці точки, будуть перпендикулярні осі симетрії та діляться нею навпіл.

Практичне завдання.

1. Дано дві точки Аі У, симетричні відносно деякої прямої, і точка М. Побудуйте точку, симетричну точку Мщодо тієї ж прямої.
2. Які з наступних букв мають вісь симетрії: А, Б, Р, Е, О?
3. Скільки осей симетрії має: а) відрізок; б) пряма; в) промінь?
4. Скільки осей симетрії має рисунок? (Див. рис. 1)

Дзеркальна симетрія

Крапки Аі Уназиваються симетричними щодо площини α (площина симетрії), якщо площина α проходить через середину відрізка АВта перпендикулярна до цього відрізка. Кожна точка площини вважається симетричною сама собі.

Практичне завдання.

1. Знайдіть координати точок, в які переходять точки А (0; 1; 2), (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при: а) центральній симетрії щодо початку координат; б) осьовий симетрії щодо координатних осей; в) дзеркальної симетрії щодо координатних площин.
2. У праву чи ліву рукавичку переходить права рукавичка при дзеркальній симетрії? осьовий симетрії? центральної симетрії?
3. На малюнку показано, як цифра 4 відбивається у двох дзеркалах. Що буде видно на місці знака питання, якщо те саме зробити з цифрою 5? (Див. рис. 2)
4. На малюнку показано, як слово КЕНГУРУ відбивається у двох дзеркалах. Що вийде, якщо те саме зробити з числом 2011? (див. рис. 3)

Рис. 2

Це цікаво.

Симетрія у живій природі.

Майже всі живі істоти побудовані за законами симетрії, недарма в перекладі з грецької слово «симетрія» означає «пропорційність».

Серед кольорів, наприклад, спостерігається поворотна симетрія. Багато квітів можна повернути так, що кожна пелюстка займе положення сусіднього, квітка поєднається з самим собою. Мінімальний кут такого повороту для різних кольорів неоднаковий. Для іриса він дорівнює 120 °, для дзвіночка - 72 °, для нарциса - 60 °.

У розташуванні листя на стеблах рослин спостерігається гвинтова симетрія. Розташовуючись гвинтом по стеблі, листя ніби розкидається в різні боки і не затуляє один одного від світла, хоча саме листя теж має вісь симетрії. Розглядаючи загальний план будови будь-якої тварини, ми помічаємо зазвичай відому правильність розташування частин тіла чи органів, які повторюються навколо деякої осі чи займають одне й те саме положення стосовно деякої площині. Цю правильність називають симетрією тіла. Явища симетрії настільки поширені у світі, що дуже важко вказати групу, у якій ніякої симетрії тіла помітити не можна. Симетрію мають і маленькі комахи, і великі тварини.

Симетрія у неживій природі.

Серед нескінченної різноманітності форм неживої природи удосталь зустрічаються такі досконалі образи, чий вид незмінно привертає нашу увагу. Спостерігаючи за красою природи, можна побачити, що з відображенні предметів у калюжах, озерах проявляється дзеркальна симетрія (див. рис. 4).

У світ неживої природи чарівність симетрії вносять кристали. Кожна сніжинка - це невеликий кристал замерзлої води. Форма сніжинок може бути дуже різноманітною, але всі вони мають поворотну симетрію і, крім того, дзеркальну симетрію.

Не можна не побачити симетрію і в огранованих дорогоцінних каменях. Багато гранильників намагаються надати діамантам форму тетраедра, куба, октаедра або ікосаедра. Так як гранат має ті ж елементи, що і куб, він високо цінується знавцями дорогоцінного каміння. Художні вироби з гранатів були виявлені в могилах Стародавнього Єгипту, що належать до додинастичного періоду (понад два тисячоліття до н.е.) (див. рис. 5).

У колекціях Ермітажу особливою увагою користуються золоті прикраси давніх скіфів. Надзвичайно тонка художня робота золотих вінків, діадем, дерева та прикрашених дорогоцінними червоно-фіолетовими гранатами.

Однією з наочних використання законів симетрії у житті служать будівлі архітектури. Це те, що найчастіше ми можемо побачити. В архітектурі осі симетрії використовуються як засоби вираження архітектурного задуму (див. рис. 6). Найчастіше симетричні щодо осі чи центру візерунки на килимах, тканинах, кімнатних шпалерах.

Ще одним прикладом використання людиною симетрії у своїй практиці – це техніка. У техніці осі симетрії найбільш чітко позначаються там, де потрібно оцінити відхилення від нульового положення, наприклад, на кермі вантажівки або на штурвалі корабля. Або один з найважливіших винаходів людства, що мають центр симетрії, є колесо, також центр симетрії є у ​​пропелера та інших технічних засобів.

"Поглянь у дзеркало!"

Чи повинні вважати, що самих себе бачимо тільки в «дзеркальному відображенні»? Або в найкращому випадкулише на фото та кіноплівці можемо дізнатися, як ми виглядаємо «насправді»? Звичайно, ні: достатньо дзеркальне зображення вдруге відобразити у дзеркалі, щоб побачити своє щире обличчя. На допомогу приходять трельяжі. Вони мають одне велике головне дзеркало в центрі і два менші дзеркала на всі боки. Якщо таке бічне дзеркало поставити під прямим кутом до середнього, то можна побачити себе саме в тому вигляді, як вас бачать оточуючі. Зажмурте ліве око, і ваше відображення у другому дзеркалі повторить ваш рух лівим оком. Перед трельяжем ви можете вибирати, чи ви хочете побачити себе в дзеркальному або в безпосередньому зображенні.

Легко уявити, яка б панувала на Землі плутанина, якби симетрія в природі була порушена!

Рис. 4	Рис. 5	Рис. 6

IV. Фізкультхвилинка.

• « Ледачі вісімки» – активізують структури, щоб забезпечити запам'ятовування, підвищують стійкість уваги.
  Намалювати в повітрі у горизонтальній площині цифру вісім по три рази спочатку однією рукою, потім одразу обома руками.
• « Симетричні малюнки »- Поліпшують зорово-моторну координацію, полегшують процес листа.
  Намалювати у повітрі обома руками симетричні малюнки.

V. Самостійна робота перевірочного характеру.

Ι варіант

ΙΙ варіант

1. У прямокутнику MPKH - точка перетину діагоналей, РА і BH - перпендикуляри, проведені з вершин Р і H до прямої МК. Відомо, що МА = ВВ. Знайдіть кут РОМ.
2. У ромбі MPKH діагоналі перетинаються у точці О.На сторонах МК, KH, PH взято точки А, В, С відповідно, АК = КВ = РС. Доведіть, що ОА = ОВ, та знайдіть суму кутів РОС та МОА.
3. Побудуйте квадрат по цій діагоналі так, щоб дві протилежні вершини цього квадрата лежали на різних сторонах даного гострого кута.

VI. Підбиття підсумків уроку. Оцінювання.

• З якими видами симетрії ви познайомилися на уроці?
• Які дві точки називаються симетричними щодо даної прямої?
• Яка фігура називається симетричною щодо даної прямої?
• Які дві точки називаються симетричними щодо цієї точки?
• Яка фігура називається симетричною щодо цієї точки?
• Що таке дзеркальна симетрія?
• Наведіть приклади фігур, які мають: а) осьову симетрію; б) центральною симетрією; в) і осьовий, і центральної симетрії.
• Наведіть приклади симетрії у живій та неживій природі.

VII. Домашнє завдання.

1. Індивідуальне: добудуйте, застосувавши осьову симетрію (див. рис. 7).

Рис. 7

2. Побудуйте фігуру, симетричну даній щодо: а) точки; б) прямий (див. рис. 8, 9).

Рис. 8	Рис. 9

3. Творче завдання: «Світ тварин». Намалюйте представника зі світу тварин та покажіть вісь симетрії.

VIII. Рефлексія.

• Що сподобалося на уроці?
• Який матеріал був найцікавішим?
• Які труднощі виникли у виконанні тієї чи іншої завдання?
• Що ви змінили б під час уроку?

Цілі:

• освітні:
  • дати уявлення про симетрію;
  • познайомити з основними видами симетрії на площині та у просторі;
  • виробити міцні навички побудови симетричних фігур;
  • розширити уявлення про відомі постаті, познайомивши з властивостями, пов'язаних із симетрією;
  • показати можливості використання симетрії під час вирішення різних завдань;
  • закріпити отримані знання;
• загальнонавчальні:
  • навчити налаштовувати себе працювати;
  • навчити вести контроль за собою та сусідом по парті;
  • навчити оцінювати себе та сусіда по парті;
• розвиваючі:
  • активізувати самостійну діяльність;
  • розвивати пізнавальну діяльність;
  • вчити узагальнювати та систематизувати отриману інформацію;
• виховні:
  • виховувати в учнів "почуття плеча";
  • виховувати комунікативність;
  • прищеплювати культуру спілкування.

ХІД УРОКУ

Перед кожним лежать ножиці та аркуш паперу.

Завдання 1(3 хв).

- Візьмемо аркуш паперу, складемо його потрапила і виріжемо якусь фігурку. Тепер розгорнемо лист і подивимося на лінію згину.

Запитання:Яку функцію виконує ця лінія?

Передбачувана відповідь:Ця лінія ділить фігуру навпіл.

Запитання:Як розташовані всі точки фігури на двох половинках, що вийшли?

Передбачувана відповідь:Усі точки половинок знаходяться на рівній відстані від лінії згину та на одному рівні.

– Отже, лінія згину ділить фігурку навпіл те що 1 половинка є копією 2 половинки, тобто. ця лінія непроста, вона має чудову властивість (усі точки щодо неї знаходяться на однаковій відстані), ця лінія – вісь симетрії.

Завдання 2 (2 хв).

– Вирізати сніжинку, знайти вісь симетрії, охарактеризувати її.

Завдання 3 (5 хв).

- Накреслити в зошит коло.

Запитання:Визначити, як проходить вісь симетрії?

Передбачувана відповідь:По різному.

Запитання:То скільки осей симетрії має коло?

Передбачувана відповідь:Багато.

- Правильно, коло має безліч осей симетрії. Такою самою чудовою фігурою є куля (просторова фігура)

Запитання:Які ще постаті мають не одну вісь симетрії?

Передбачувана відповідь:Квадрат, прямокутник, рівнобедрений та рівносторонній трикутники.

– Розглянемо об'ємні фігури: куб, піраміду, конус, циліндр тощо. Ці фігури теж мають вісь симетрії. Визначте, скільки осей симетрії у квадрата, прямокутника, рівностороннього трикутника та у запропонованих об'ємних фігур?

Роздаю учням половинки фігурок із пластиліну.

Завдання 4 (3 хв).

- Використовуючи отриману інформацію, доліпити недостатню частину фігурки.

Примітка: фігурка може бути і площинною, і об'ємною. Важливо, щоб учні визначили, як проходить вісь симетрії, і доліпили елемент, що бракує. Правильність виконання визначає сусід по парті, оцінює, наскільки правильно виконано роботу.

Зі шнурка одного кольору на робочому столі викладена лінія (замкнена, незамкнена, з самоперетином, без самоперетину).

Завдання 5 (групова робота 5 хв).

- Визначити візуально вісь симетрії і щодо неї добудувати зі шнурка іншого кольору другу частину.

Правильність виконаної роботи визначається самими учнями.

Перед учнями представлені елементи малюнків

Завдання 6 (2 хв).

– Знайдіть симетричні частини цих малюнків.

Для закріплення пройденого матеріалу пропоную наступні завдання, передбачені на 15 хв.

Назвіть усі рівні елементи трикутника КОР та КОМ. Який вид цих трикутників?

2. Накресліть у зошиті кілька рівнобедрених трикутників із загальною основою, що дорівнює 6 см.

3. Накресліть відрізок АВ. Побудуйте пряму перпендикулярну відрізку АВ і проходить через його середину. Позначте на ній точки С та D так, щоб чотирикутник АСВD був симетричний щодо прямої АВ.

– Наші первісні уявлення про форму відносяться до дуже віддаленої ери стародавнього кам'яного віку – палеоліту. Протягом сотень тисячоліть цього періоду люди жили в печерах, що в умовах мало відрізнялися від життя тварин. Люди виготовляли знаряддя полювання і рибальства, виробляли мову спілкування друг з одним, а епоху пізнього палеоліту прикрашали своє існування, створюючи твори мистецтва, статуетки і малюнки, у яких виявляється чудове почуття форми.
Коли відбувся перехід від простого збирання їжі до активного її виробництва, від полювання та рибальства до землеробства, людство вступає у новий кам'яний вік, у неоліт.
Людина неоліту мала гострим почуттям геометричної форми. Випалення та розфарбування глиняних судин, виготовлення очеретяних циновок, кошиків, тканин, пізніше – обробка металів виробляли уявлення про площинні та просторові фігури. Неолітичні орнаменти тішили око, виявляючи рівність та симетрію.
– А де у природі зустрічається симетрія?

Передбачувана відповідь:крила метеликів, жуків, листя дерев.

– Симетрію можна спостерігати й у архітектурі. Будівництво, будівельники чітко дотримуються симетрії.

Тому будинки виходять такі гарні. Також прикладом симетрії є людина, тварини.

Завдання додому:

1. Вигадати свій орнамент, зобразити його на аркуші формат А4 (можна намалювати у вигляді килима).
2. Намалювати метеликів, відзначити, де є елементи симетрії.

Сьогодні ми з вами поговоримо про явище, з яким кожному з нас доводиться постійно зустрічаємось у житті: про симетрію. Що таке симетрія?

Приблизно ми розуміємо значення цього терміна. Словник говорить: симетрія - це пропорційність і повна відповідність розташування частин чогось відносно прямої або точки. Симетрія буває двох видів: осьова та променева. Спочатку розглянемо осьову. Це, скажімо так, «дзеркальна» симетрія, коли половина предмета повністю тотожна другий, але повторює її як відбиток. Подивіться на половинки аркуша. Вони дзеркально симетричні. Симетричні та половини людського тіла (анфас) – однакові руки та ноги, однакові очі. Але не будемо помилятися, насправді в органічному (живому) світі абсолютної симетрії не зустріти! Половинки аркуша копіюють одне одного далеко не досконало, те саме відноситься до людського тіла (придивіться самі); так само і з іншими організмами! До речі, варто додати, що будь-яке симетричне тіло симетричне щодо глядача лише в одному положенні. Чи варто, скажімо, повернути лист, чи підняти одну руку і що ж? – самі бачите.

Справжньої симетрії люди домагаються у творах своєї праці (речах) – одязі, машинах… У природі ж вона властива неорганічним утворенням, наприклад, кристалам.

Але перейдемо до практики. Починати зі складних об'єктів на зразок людей і тварин не варто, спробуємо як першу вправу на новій ниві домалювати дзеркальну половинку аркуша.

Малюємо симетричний предмет - урок 1

Слідкуємо, щоб вийшло якомога схожіше. Для цього буквально будуватимемо нашу половинку. Не подумайте, що так легко, тим більше з першого разу одним розчерком провести дзеркально-відповідну лінію!

Розмітимо кілька опорних точок для майбутньої симетричної лінії. Діємо так: проводимо олівцем без натиску кілька перпендикулярів до осі симетрії – середньої жилки листа. Чотири-п'ять поки що вистачить. І на цих перпендикулярах відміряємо праворуч таку ж відстань, яку на лівій половині до лінії краю листочка. Раджу користуватися лінійкою, не надійтеся надію на вічко. Нам, як правило, властиво зменшувати малюнок – на досвіді помічено. Відміряти відстані пальцями не порекомендуємо: дуже велика похибка.

Отримані точки з'єднаємо олівцевою лінією:

Тепер прискіпливо дивимося – чи справді половини однакові. Якщо все правильно – обведемо фломастером, уточнимо нашу лінію:

Лист тополі домалювали, тепер можна замахнутись і на дубовий.

Намалюємо симетричну фігуру - урок 2

У цьому випадку складність полягає в тому, що позначені жилки і вони не перпендикулярні до осі симетрії і доведеться не тільки розміри але ще й кут нахилу точно дотримуватися. Ну що ж – тренуємо окомір:

Ось і симетричний аркуш дуба намалювався, вірніше, ми його збудували за всіма правилами:

Як намалювати симетричну тему - урок 3

І закріпимо тему – намалюємо симетричний лист бузку.

У нього теж цікава форма - серцеподібна і з вушками біля основи доведеться попихкати:

Ось і накреслили:

Подивіться на роботу, що вийшла здалеку і оцініть наскільки точно нам вдалося передати необхідну подібність. Ось вам порада: подивіться на ваше зображення у дзеркалі, і воно вам вкаже, чи є помилки. Інший спосіб: перегніть зображення точно по осі (правильно перегинати ми з вами вже навчилися) і виріжте лист по початковій лінії. Подивіться на саму фігуру та на відрізаний папір.

Вам знадобиться

• - властивості симетричних точок;
• - властивості симетричних фігур;
• - Лінійка;
• - косинець;
• - циркуль;
• - олівець;
• - аркуш паперу;
• - комп'ютер із графічним редактором.

Інструкція

Проведіть пряму a, яка буде віссю симетрії. Якщо її координати не задані, накресліть її довільно. З одного боку, від цієї прямої поставте довільну точку A. необхідно знайти симетричну точку.

Корисна порада

Властивості симетрії постійно використовуються у програмі AutoCAD. Для цього використовується опція Mirror. Для побудови рівнобедреного трикутника або рівнобедреної трапеції достатньо накреслити нижню основу та кут між ним та бічною стороною. Відобразіть їх за допомогою вказаної команди та продовжте бічні сторони до необхідної величини. Що стосується трикутником це буде точка їх перетину, а трапеції - задана величина.

З симетрією ви постійно стикаєтесь у графічних редакторах, коли користуєтеся опцією «відобразити по вертикалі/горизонталі». В цьому випадку за вісь симетрії береться пряма, що відповідає одній з вертикальних або горизонтальних сторін кадру малюнка.

Джерела:

• як накреслити центральну симетрію

Побудова перерізу конуса не така вже й складна задача. Головне - дотримуватися суворої послідовності дій. Тоді це завдання буде легко здійсненне і не вимагатиме від Вас великих трудовитрат.

Вам знадобиться

• - папір;
• - ручка;
• - циркль;
• - Лінійка.

Інструкція

При відповіді це питання, спочатку слід визначитися – якими параметрами заданий перетин.
Нехай це буде пряма перетину площини l з площиною та точка О, яка є місцем перетину з його перетином.

Побудова ілюструє рис.1. Перший крок побудови перерізу – це через центр перерізу його діаметра, продовженого до l перпендикулярно до цієї лінії. У результаті виходить точка L. Далі через т.про проведіть пряму LW, і побудуйте дві напрямні конуса, що у головному перерізі О2М і О2С. У перетині цих напрямних лежать точка Q, і навіть показана точка W. Це перші дві точки шуканого перерізу.

Тепер проведіть в основі конуса ВВ1 перпендикулярний МС і побудуйте перпендикулярного перерізу О2В і О2В1, що утворюють. У цьому перерізі через т. проведіть пряму RG, паралельну ВВ1. Т.R і т.G - ще дві точки перетину шуканого. Якби переріз бал відомий, його можна було б побудувати вже на цій стадії. Однак це зовсім не еліпс, а щось еліпсообразне, що має симетрію щодо відрізку QW. Тому слід будувати якнайбільше точок перерізу, щоб з'єднуючи їх надалі плавною кривою отримати найбільш достовірний ескіз.

Побудуйте довільну точку перерізу. Для цього проведіть до підстави конуса довільний діаметр AN і побудуйте відповідні напрямні О2A і O2N. Через проведіть пряму, що проходить через PQ і WG, до її перетину з щойно побудованими напрямними в точках P і E. Це ще дві точки шуканого перерізу. Продовжуючи так само і далі, можна скільки завгодно шуканих точок.

Щоправда, процедуру їх отримання можна трохи спростити, користуючись симетрією щодо QW. Для цього можна в площині перетину шукати провести прямі SS', паралельні RG до перетину їх з поверхню конуса. Побудова завершується округленням збудованої ламаною з хорд. Достатньо побудувати половину шуканого перерізу з уже згаданої симетрії щодо QW.

Відео на тему

Порада 3: Як побудувати графік тригонометричної функції

Вам потрібно накреслити графіктригонометричної функції? Освойте алгоритм дій з прикладу побудови синусоїди. Для вирішення поставленої задачі використовуйте метод дослідження.

Вам знадобиться

• - Лінійка;
• - олівець;
• - знання засад тригонометрії.

Інструкція

Відео на тему

Зверніть увагу

Якщо дві півосі односмугового гіперболоїда рівні, то фігуру можна отримати шляхом обертання гіперболи з півосями, одна з яких вищезгадана, а інша, що відрізняється від двох рівних, навколо уявної осі.

Корисна порада

При розгляді цієї фігури щодо осей Oxz та Oyz видно, що її головними перерізами є гіперболи. А при розрізі даної просторової фігури обертання площиною Oxy її переріз є еліпсом. Горловий еліпс односмугового гіперболоїду проходить через початок координат, адже z=0.

Горловий еліпс описується рівнянням x²/a² +y²/b²=1, інші еліпси складаються за рівнянням x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Джерела:

• Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди. Прямолінійні утворюють

Форма п'ятикутної зірки повсюдно використовується людиною з давніх часів. Ми вважаємо її форму прекрасною, оскільки несвідомо розрізняємо у ній співвідношення золотого перерізу, тобто. краса п'ятикутної зірки обгрунтована математично. Першим описав побудову п'ятикутної зірки Евклід у своїх "Початках". Давайте ж долучимося до його досвіду.

Вам знадобиться

• лінійка;
• олівець;
• циркуль;
• транспортир.

Інструкція

Побудова зірки зводиться до побудови з наступним з'єднанням вершин один з одним послідовно через одну. Для того щоб побудувати правильний необхідно розбити коло на п'ять.
Побудуйте довільне коло за допомогою циркуля. Позначте її центр точкою O.

Позначте точку A і з допомогою лінійки накресліть відрізок ОА. Тепер необхідно розділити відрізок OA навпіл, для цього з точки А проведіть дугу радіусом ОА до перетину її з колом у двох точках M та N. Побудуйте відрізок MN. Точка Е, в якій MN перетинає OA, ділитиме відрізок OA навпіл.

Відновіть перпендикуляр OD до радіусу ОА та з'єднайте точку D та E. Зробіть засічку B на OA з точки E радіусом ED.

Тепер за допомогою відрізка DB розмітте коло п'ять рівних частин. Позначте вершини правильного п'ятикутника послідовно цифрами від 1 до 5. З'єднайте точки в наступній послідовності: 1 з 3, 2 з 4, 3 з 5, 4 з 1, 5 з 2. Ось і правильна п'ятикутна зірка, правильний п'ятикутник. Саме в такий спосіб будував

ТРИКУТНИКИ.

§ 17. СИМЕТРІЯ ЩОДО ПРЯМИЙ.

1. Фігури, симетричні одна одній.

Накреслимо на аркуші паперу чорнилом якусь фігуру, а олівцем поза нею - довільну пряму. Потім, не даючи чорнилу висохнути, перегнемо аркуш паперу по цій прямій так, щоб одна частина аркуша налягла на іншу. На цій іншій частині листа вийде таким чином відбиток даної фігури.

Якщо потім аркуш паперу знову розпрямити, то на ньому виявляться дві фігури, які називаються симетричнимищодо цієї прямої (чорт. 128).

Дві фігури називаються симетричними щодо деякої прямої, якщо при перегинанні площини креслення по цій прямій вони поєднуються.

Пряма, щодо якої дані фігури симетричні, називається їх віссю симетрії.

З визначення симетричних фігур випливає, що симетричні фігури рівні.

Отримати симетричні фігури можна і не користуючись перегинанням площини, а за допомогою геометричної побудови. Нехай потрібно побудувати точку С", симетричну даній точці відносно прямої АВ. Опустимо з точки С перпендикуляр
СD на пряму АВ і на продовженні його відкладемо відрізок DС" = DС. Якщо перегнемо площину креслення по АВ, точка С поєднається з точкою С": точки С і С"симетричні (чорт. 129).

Нехай потрібно тепер побудувати відрізок "D", симетричний даному відрізку СD щодо прямої АВ. Побудуємо точки С" і D", симетричні точкам С і D. Якщо перегнемо площину креслення по АВ, то точки С і D суміщаться відповідно з точками С" і D" (чорт. 130). Тому відрізки СD і С"D" , вони будуть симетричні.

Побудуємо тепер фігуру, симетричну даному багатокутнику АВСDЕ щодо цієї осі симетрії МN (чорт. 131).

Для вирішення цього завдання опустимо перпендикуляри А а, В b, З з, D dта Е ена вісь симетрії МN. Потім на продовження цих перпендикулярів відкладемо відрізки
аА" = А а, bВ" = В b, зС" = Сс; d D"" =D dі еЕ" = Е е.

Багатокутник А"В"С"D"Е" буде симетричним багатокутнику АВСDЕ. Дійсно, якщо перегнути креслення по прямій МN, то відповідні вершини обох багатокутників суміщаться, а значить, суміщаться і самі багатокутники; це і доводить, що багатокутники АВСDЕ і А" В"С"D"Е" симетричні щодо прямої MN.

2. Фігури, які з симетричних елементів.

Часто зустрічаються геометричні фігури, які якийсь прямий поділяються на дві симетричні частини. Такі фігури називаються симетричними.

Так, наприклад, кут - фігура симетрична, і бісектриса кута є його віссю симетрії, тому що при перегинанні по ній одна частина кута поєднується з іншою (чорт. 132).

У колі віссю симетрії є його діаметр, тому що при перегинанні по ньому одне півколо поєднується з іншим (чорт. 133). Так само симетричні фігури на кресленнях 134, а, б.

Симетричні фігури часто зустрічаються у природі, будівництві, в прикрасах. Зображення, поміщені на кресленнях 135 та 136, симетричні.

Слід зазначити, що симетричні фігури поєднати простим пересуванням площиною можна лише у випадках. Щоб поєднати симетричні фігури, як правило, необхідно одну з них повернути зворотним боком,