Основна умова правильного розрахунку середніх величин. Види середніх величин та методи їх розрахунку

У статистиці використовують різні види середніх величин, які поділяються на два великі класи:

Ступінні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна);

Структурні середні (мода, медіана).

Для обчислення статечних середніхнеобхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Модаі медіанавизначаються лише структурою розподілу, тому називають структурними, позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий або недоцільний.

Найпоширеніший вид середньої величини – середня арифметична. Під середньої арифметичноїрозуміється таке значення ознаки, яке мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності. Обчислення цієї величини зводиться до підсумовування всіх значень варіює ознаки і поділу отриманої суми на загальну кількість одиниць сукупності. Наприклад, п'ять робітників виконували замовлення на виготовлення деталей, при цьому перший виготовив 5 деталей, другий – 7, третій – 4, четвертий – 10, п'ятий – 12. Оскільки у вихідних даних значення кожного варіанта зустрічалося лише один раз, для визна-

лення середнього вироблення одного робітника слід застосувати формулу простої середньої арифметичної:

тобто в нашому прикладі середнє вироблення одного робітника дорівнює

Поряд із простою середньою арифметичною вивчають середню арифметичну зважену.Наприклад, розрахуємо середній вік студентів у групі з 20 осіб, вік яких варіюється від 18 до 22 років, де xi- Варіанти ознаки, що осредняється, fi- Частота, яка показує, скільки разів зустрічається i-езначення у сукупності (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Середній вік студентів

Застосовуючи формулу середньої арифметичної зваженої, отримуємо:

Для вибору середньої арифметичної зваженої існує певне правило: якщо є ряд даних за двома показниками, для одного з яких треба вирахувати

середню величину, і при цьому відомі чисельні значення знаменника її логічної формули, а значення чисельника невідомі, але можуть бути знайдені як добуток цих показників, то середня величина повинна вираховуватися за формулою середньої арифметичної зваженої.

У деяких випадках характер вихідних статистичних даних такий, що розрахунок середньої арифметичної втрачає сенс і єдиним узагальнюючим показником може бути лише інший вид середньої величини – середня гармонійна.В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність при розрахунку узагальнюючих статистичних показників у зв'язку з повсюдним використанням електронно-обчислювальної техніки. Велике практичне значення набула середня гармонійна величина, яка теж буває простою та виваженою. Якщо відомі чисельні значення чисельника логічної формули, а значення знаменника невідомі, але можуть бути знайдені як приватне розподілення одного показника на інший, то середня величина обчислюється за формулою середньої зваженої гармонійної.

Наприклад, нехай відомо, що автомобіль пройшов перші 210 км зі швидкістю 70 км/год, а 150 км зі швидкістю 75 км/год, що залишилися. Визначити середню швидкість автомобіля протягом усього шляху 360 км, використовуючи формулу середньої арифметичної, не можна. Оскільки варіантами є швидкості на окремих ділянках xj= 70 км/год Х2= 75 км/год, а вагами (fi) вважаються відповідні відрізки шляху, то твори варіантів на ваги не матимуть ні фізичного, ні економічного сенсу. В даному випадку сенс набувають приватні від розподілу відрізків колії на відповідні швидкості (варіанти xi), тобто витрати часу на проходження окремих ділянок колії (fi / xi). Якщо відрізки шляху позначити через fi, весь шлях висловитися як?fi, а час, витрачений весь шлях, – як? fi / xi , Тоді середня швидкість може бути знайдена як окреме від розподілу всього шляху на загальні витрати часу:

У нашому прикладі отримаємо:

Якщо при використанні середньої гармонійної ваги всіх варіантів (f) рівні, замість виваженої можна використовувати просту (невиважену) середню гармонійну:

де xi – окремі варіанти; n- Число варіантів осредняемого ознаки. У прикладі зі швидкістю просту середню гармонійну можна було б застосувати, якби дорівнювали відрізки шляху, пройдені з різною швидкістю.

Будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанта ознаки, що осредняется, не змінювалася величина деякого підсумкового, узагальнюючого показника, який пов'язаний з середнім показником. Так, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їхньою середньою величиною (середньою швидкістю) не повинна змінитися загальна відстань.

Форма (формула) середньої величини визначається характером (механізмом) взаємозв'язку цього підсумкового показника з середнім, тому підсумковий показник, величина якого не повинна змінюватися при заміні варіантів їх середньою величиною, називається визначальним показником.Для висновку середньої формули потрібно скласти і вирішити рівняння, використовуючи взаємозв'язок середнього показника з визначальним. Це рівняння будується шляхом заміни варіантів ознаки (показника) їх середньою величиною.

Крім середньої арифметичної та середньої гармонійної у статистиці використовуються інші види (форми) середньої величини. Усі вони є окремими випадками степеневої середньої.Якщо розраховувати всі види статечних середніх величин для тих самих даних, то значення

їх виявляться однаковими, тут діє правило мажо-рантностісередніх. Зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується і сама середня величина. Найбільш часто застосовуються в практичних дослідженнях формули обчислення різних видів статечних середніх величин представлені в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Види статечних середніх

Середня геометрична застосовується, коли є nкоефіцієнтів зростання, при цьому індивідуальні значення ознаки є, як правило, відносними величинами динаміки, побудованими у вигляді ланцюгових величин, як відношення до попереднього рівня кожного рівня в ряді динаміки. Середня характеризує, в такий спосіб, середній коефіцієнт зростання. Середня геометрична простарозраховується за формулою

Формула середньої геометричної зваженоїмає такий вигляд:

Наведені формули ідентичні, але одна застосовується при поточних коефіцієнтах чи темпах зростання, а друга – за абсолютних значень рівнів ряду.

Середня квадратичназастосовується при розрахунку з величинами квадратних функцій, використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу та обчислюється за формулою

Середня зважена квадратичнарозраховується за іншою формулою:

Середня кубічназастосовується при розрахунку з величинами кубічних функцій та обчислюється за формулою

середня кубічна зважена:

Усі розглянуті вище середні величини можуть бути представлені у вигляді загальної формули:

де – середня величина; - Індивідуальне значення; n- Число одиниць досліджуваної сукупності; k- Показник ступеня, що визначає вид середньої.

При використанні тих самих вихідних даних, чим більше kу загальній формулі статечної середньої, тим більше середня величина. З цього випливає, що між величинами статечних середніх існує закономірне співвідношення:

Середні величини, описані вище, дають узагальнене уявлення про сукупність, що вивчається, і з цієї точки зору їх теоретичне, прикладне і пізнавальне значення безперечно. Але буває, що величина середньої не збігається з жодним із реально існуючих варіантів, тому крім розглянутих середніх у статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіантів, що займають упорядкованому (ранжованому) ряду значень ознаки цілком певне становище. Серед таких величин найуживанішими є структурні,або описові, середні– мода (Мо) та медіана (Ме).

Мода- Величина ознаки, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. Стосовно варіаційного ряду модою є значення ранжованого ряду, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, що володіє найбільшою частотою. Мода може застосовуватися щодо магазинів, які частіше відвідуються, найпоширенішої ціни на будь-який товар. Вона показує розмір ознаки, властивий значній частині сукупності, і визначається за формулою

де х0 - нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; fm_ 1 – частота попереднього інтервалу; fm+ 1 – частота наступного інтервалу.

Медіаноюназивається варіант, розташований у центрі ранжованого ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що з обох боків від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення ознаки, що варіює, менше медіани, в іншої - більше її. Медіана використовується при вивченні елемента, значення якого більше або одно або одночасно менше або дорівнює половині елементів ряду розподілу. Медіана дає загальне уявлення про те, де зосереджені значення ознаки, іншими словами, де знаходиться їхній центр.

Описовий характер медіани проявляється в тому, що вона характеризує кількісну межу значень варіюючої ознаки, якими має половина одиниць сукупності. Завдання знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду вирішується просто. Якщо всім одиницям ряду надати порядкові номери, то порядковий номер медіанного варіанта визначається як (п +1) / 2 з непарним числом членів п. Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною буде середнє значення двох варіантів, що мають порядкові номери n/ 2 та n/ 2 + 1.

При визначенні медіани в інтервальних варіаційних лавах спочатку визначається інтервал, у якому вона перебуває (медіанний інтервал). Цей інтервал характерний тим, що його накопичена сума частот дорівнює або перевищує напівсуму всіх частот. Розрахунок медіани інтервального варіаційного ряду здійснюється за формулою

де X0- нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; f- Число членів ряду;

M -1 - Сума накопичених членів низки, що передують цьому.

Поряд з медіаною для більш повної характеристики структури сукупності, що вивчається, застосовують і інші значення варіантів, що займають в ранжированому ряду цілком певне положення. До них відносяться квартувалиі децилі.Квартилі ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, а децилі - на 10 рівних частин. Квартилів налічується три, а децилі – дев'ять.

Медіана і мода на відміну від середньої арифметичної не погашають індивідуальних відмінностей у значеннях ознаки, що варіює, і тому є додатковими і дуже важливими характеристиками статистичної сукупності. Насправді вони часто використовуються замість середньої чи поруч із нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить кілька одиниць з дуже великим або дуже малим значенням ознаки, що варіює. Ці не дуже характерні для сукупності значення варіантів, впливаючи на величину середньої арифметичної, не впливають на значення медіани і моди, що робить останні дуже цінними для економіко-статистичного аналізу показниками.

Лекція 5. Середні величини

Поняття середньої величини у статистиці

Середня арифметична та її властивості

Інші види статечних середніх величин

Мода та медіана

Квартили та децилі

Велике поширення у статистиці мають середні величини. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.

Середня- це один із поширених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значимість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне і випадкове дозволяє виявити загальне і вкрай важливе, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина- це узагальнюючі показники, у яких знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища.

Середня величина (У статистиці) - узагальнюючий показник, що характеризує типовий розмір або рівень суспільних явищ у розрахунку на одиницю сукупності за інших рівних умов.

За допомогою методу середніх вирішуються наступні основні завдання:

1. Характеристика рівня розвитку явищ.

2. Порівняння двох чи кількох рівнів.

3. Вивчення взаємозв'язків соціально – економічних явищ.

4. Аналіз розміщення соціально-економічних явищ у просторі.

Статистичні середні розраховуються з урахуванням масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного і вибіркового). При цьому статистична середня буде об'єктивна і типова, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає всякий сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, які виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження. Наприклад, середнє вироблення продавця залежить від багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я і т.д.

Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією базових чинників. Це дозволяє середній відбивати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і цей ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про досліджувану сукупність за низкою істотних ознак, в цілому вкрай важливо мати систему середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні середні:

Середня арифметична;

Середня геометрична;

Середня гармонійна;

Середня квадратична;

Середня хронологічна.

Поняття середньої величини у статистиці - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Поняття середньої величини у статистиці" 2017, 2018.

Метод середніх величин

3.1 Сутність та значення середніх величин у статистиці. Види середніх величин

Середньою величиноюу статистиці називається узагальнена характеристика якісно однорідних явищ і процесів за якою-небудь ознакою, що варіює, яка показує рівень ознаки, віднесений до одиниці сукупності. Середня величина абстрактна, т.к. характеризує значення ознаки у деякої знеособленої одиниці сукупності.Сутністьсередньої величини полягає в тому, що через одиничне та випадкове виявляється загальне та необхідне, тобто тенденція та закономірність у розвитку масових явищ. Ознаки, які узагальнюють у середніх величинах, притаманні всім одиницям сукупності. Завдяки цьому середня величина має значення для виявлення закономірностей, властивих масовим явищам і не помітних в окремих одиницях сукупності

Загальні засади застосування середніх величин:

необхідний обґрунтований вибір одиниці сукупності, на яку розраховується середня величина;

щодо середньої величини треба виходити з якісного змісту осредняемого ознаки, враховувати взаємозв'язок досліджуваних ознак, і навіть наявні до розрахунку дані;

середні величини повинні розраховуватися за якісно однорідними сукупностями, які отримують методом угруповань, що передбачає розрахунок системи узагальнюючих показників;

загальні середні мають підкріплюватися груповими середніми.

Залежно від характеру первинних даних, галузі застосування та способу розрахунку у статистиці розрізняють такі основні види середніх:

1) статечні середні(середня арифметична, гармонійна, геометрична, середня квадратична та кубічна);

2) структурні (непараметричні) середні(мода та медіана).

У статистиці правильну характеристику досліджуваної сукупності за ознакою, що варіює, в кожному окремому випадку дає тільки цілком певний вид середньої. Питання про те, який вид середньої необхідно застосувати в окремому випадку, вирішується шляхом конкретного аналізу сукупності, що вивчається, а також виходячи з принципу свідомості результатів при підсумовуванні або при зважуванні. Ці та інші принципи у статистиці виражаються теорією середніх.

Наприклад, середня арифметична і середня гармонійна використовуються для характеристики середнього значення ознаки, що варіює, у досліджуваній сукупності. Середня геометрична застосовується лише за обчисленні середніх темпів динаміки, а середня квадратична лише за обчисленні показників варіації.

Формули розрахунку середніх величин представлені у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1 - Формули розрахунку середніх величин

Види середніх величин	Формули розрахунку
Види середніх величин	проста	зважена
1. Середня арифметична
2. Середня гармонійна
3. Середня геометрична
4. Середня квадратична

Позначення:- величини, котрим обчислюється середня; - середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень; - Частота (повторюваність індивідуальних значень ознаки).

Очевидно, що різні середні виводяться з загальної формули статечної середньої (3.1) :

, (3.1)

при k = + 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = +2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніми називаються величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність; у зв'язку з цим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. «Весами» у своїй виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньою.

В підсумку правильний вибір середньої величинипередбачає таку послідовність:

а) встановлення узагальнюючого показника сукупності;

б) визначення даного узагальнюючого показника математичного співвідношення величин;

в) заміна індивідуальних значень середніми величинами;

г) розрахунок середньої за допомогою відповідного рівняння.

3.2 Середня арифметична та її властивості та техніка обчислення. Середня гармонійна

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої величини; вона обчислюється в тих випадках, коли обсяг усредняемого ознаки утворюється як сума його значень в окремих одиниць статистичної сукупності, що вивчається.

Найважливіші властивості середньої арифметичної:

1. Добуток середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант (окремих значень) на частоти.

2. Якщо від кожної варіанти відібрати (додати) якесь довільне число, то нова середня зменшиться (збільшиться) на те ж число.

3. Якщо кожну версію помножити (розділити) на якесь довільне число, то нова середня збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.

4. Якщо всі частоти (ваги) розділити або помножити на якесь число, то середня арифметична від цього не зміниться.

5. Сума відхилень окремих варіантів від середньої арифметичної завжди дорівнює нулю.

Можна з усіх значень ознаки відняти довільну постійну величину (краще значення серединної варіанти або варіанти з найбільшою частотою), отримані різниці скоротити на загальний множник (краще на величину інтервалу), а частоти виразити частками (у відсотках) і обчислену середню помножити на загальний множник додати довільну постійну величину. Цей спосіб розрахунку середньої арифметичної називається способом розрахунку від умовного нуля .

Середня геометричназнаходить своє застосування щодо середніх темпів зростання (середніх коефіцієнтів зростання), коли індивідуальні значення ознаки представлені як відносних величин. Вона використовується також, якщо необхідно знайти середню між мінімальним та максимальним значеннями ознаки (наприклад, між 100 та 1000000).

Середня квадратичназастосовується для виміру варіації ознаки в сукупності (розрахунки середнього квадратичного відхилення).

У статистиці діє правило мажорантності середніх:

Х гарм.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Структурні середні величини (мода та медіана)

Для визначення структури сукупності використовують спеціальні середні показники, до яких належать медіана та мода або так звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується на основі використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана та мода характеризують величину того варіанту, який займає певне середнє положення у ранжованому варіаційному ряду

Мода- Найбільш типове, найчастіше зустрічається значення ознаки. Для дискретного рядумодою буде варіант з найбільшою частотою. Для визначення моди інтервального рядуспочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім у межах цього інтервалу знаходять значення ознаки, яке може бути модою.

Щоб знайти конкретне значення моди інтервального ряду необхідно використовувати формулу (3.2)

(3.2)

де Х Мо - нижня межа модального інтервалу; i Мо - величина модального інтервалу; f Мо - частота модального інтервалу; f Мо-1 - частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1 - частота інтервалу, наступного за модальним.

Мода має стала вельми поширеною у маркетингової діяльності щодо купівельного попиту, особливо щодо користуються найбільшим попитом розмірів одягу та взуття, під час регулювання цінової політики.

Медіана - Значення варіює ознаки, що припадає на середину ранжованої сукупності. Для ранжованого ряду з непарним числоміндивідуальних величин (наприклад, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) медіаною буде величина, розташована в центрі ряду, тобто. четверта величина – 6. Для ранжованого ряду з парним числоміндивідуальних величин (наприклад, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медіаною буде середня арифметична величина, яка розраховується із двох суміжних величин. Для нашого випадку медіана дорівнює (7+10)/2=8,5.

Т. о., для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номер (її положення в ранжованому ряду) за формулами (3.3):

(якщо частот немає)

N Me =
(якщо частоти є) (3.3)

де n – число одиниць у сукупності.

Чисельне значення медіани інтервального рядувизначають за накопиченими частотами дискретному варіаційному ряду. Для цього спочатку слід зазначити інтервал знаходження медіани в інтервальному ряду розподілу. Медіанним називають перший інтервал, де сума накопичених частот перевищує половину спостережень від загальної кількості всіх спостережень.

Чисельне значення медіани зазвичай визначають за формулою (3.4)

(3.4)

де x Ме – нижня межа медіанного інтервалу; iМе – величина інтервалу; SМе -1 - накопичена частота інтервалу, яка передує медіанному; fМе – частота медіанного інтервалу.

Усередині знайденого інтервалу розрахунок медіани проводиться також за формулою Ме = xlе, де другий множник у правій частині рівності показує розташування медіани всередині медіанного інтервалу, а x - довжина цього інтервалу. Медіана ділить варіаційний ряд навпіл за частотами. Визначають ще квартували , які ділять варіаційний ряд на 4 рівновеликі за ймовірністю частини, і децилі , Що ділять ряд на 10 рівновеликих частин.

Середня - це один із поширених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина - це узагальнюючі показники, у яких знаходять вираз дії загальних умов, закономірностей досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого масового спостереження (суцільного та вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в кооперативах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо.

Середнє вироблення відбиває загальне властивість всієї сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваного ознаки, отже, вимірюється у тому розмірності, як і це ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, в цілому необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні середні:

середня арифметична;

середня геометрична;

середня гармонійна;

середня квадратична;

середня хронологічна.

Розглянемо деякі види середніх, які найчастіше використовуються у статистиці.

Середня арифметична

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х(); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х-16 разів і т.д.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою та позначається символом n.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника у руб.:

Фонд заробітної плати за кожною групою робітників дорівнює добутку варіанти на частоту, а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників.

Відповідно до цього, розрахунки можна подати у загальному вигляді:

Отримана формула називається середньою арифметичною завислою.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Обчислення середньої за згрупованими даними проводиться за формулою середньої арифметичної зваженої:

У практиці економічної статистики іноді доводиться обчислювати середню за груповим середнім або середнім окремих частин сукупності (приватним середнім). У разі за варіанти (х) приймаються групові чи приватні середні, виходячи з яких обчислюється загальна середня як звичайна середня арифметична зважена.

Основні властивості середньої арифметичної .

Середня арифметична має ряд властивостей:

1. Від зменшення або збільшення частот кожного значення ознаки х у п раз величина середньої арифметичної не зміниться.

Якщо всі частоти розділити або помножити на якесь число, то величина середньої не зміниться.

2. Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньої:

3. Середня суми (різниці) двох або кількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх:

4. Якщо х = с, де с – постійна величина, то
.

5. Сума відхилень значень ознаки Х від середньої арифметичної х дорівнює нулю:

Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою.

Характеристиками варіаційних рядів, поряд із середніми, є мода та медіана.

Мода - це величина ознаки (варіанту), що найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності. Для дискретних рядів розподілу модою буде значення варіанта із найбільшою частотою.

Для інтервальних рядів розподілу з рівними інтервалами мода визначається за такою формулою:

де
- Початкове значення інтервалу, що містить моду;

- Величина модального інтервалу;

- Частота модального інтервалу;

- частота інтервалу, що передує модальному;

- Частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана - Це варіанта, розташована в середині варіаційного ряду. Якщо ряд розподілу дискретний і має непарне число членів, то медіаною буде варіанта, що знаходиться в середині впорядкованого ряду (упорядкований ряд - це розташування одиниць сукупності у порядку, що зростає або спадає).

Лекція 5. Середні величини

Поняття середньої величини у статистиці

Середня арифметична та її властивості

Інші види статечних середніх величин

Мода та медіана

Квартили та децилі

Середня- це один із поширених прийомів узагальнень. Правильне розуміння сутності середньої визначає її особливу значущість в умовах ринкової економіки, коли середня через одиничне та випадкове дозволяє виявити загальне та необхідне, виявити тенденцію закономірностей економічного розвитку.

За допомогою методу середніх вирішуються наступні основні завдання:

1. Характеристика рівня розвитку явищ.

2. Порівняння двох чи кількох рівнів.

3. Вивчення взаємозв'язків соціально – економічних явищ.

4. Аналіз розміщення соціально-економічних явищ у просторі.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження. Наприклад, середнє вироблення продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо.

Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відбивати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Існують різні середні:

Середня арифметична;

Середня геометрична;

Середня гармонійна;

Середня квадратична;

Середня хронологічна.