Основи ігрового балансу: випадковість та ймовірність настання різних подій.

Бажаєте дізнатися, які математичні шанси на успіх вашої ставки? Тоді для вас є дві добрі новини. Перша: щоб порахувати прохідність, не потрібно проводити складні розрахунки та витрачати багато часу. Достатньо скористатися простими формулами, робота з якими займе кілька хвилин. Друга: після прочитання цієї статті ви з легкістю зможете розраховувати можливість проходу будь-якої вашої угоди.

Щоб правильно визначити прохідність, необхідно зробити три кроки:

• Розрахувати процент ймовірності результату події на думку букмекерської контори;
• Обчислити ймовірність за статистичними даними самостійно;
• Дізнатися цінність ставки з огляду на обидві ймовірності.

Розглянемо докладно кожен із кроків, застосовуючи як формули, а й приклади.

швидкий перехід

Підрахунок ймовірності, закладеної в букмекерські коефіцієнти

Перший крок - необхідно дізнатися, з якою ймовірністю оцінює шанси на той чи інший результат сам букмекер. Адже зрозуміло, що кефи букмекерські контори не ставлять так просто. Для цього користуємося такою формулою:

PБ=(1/K)*100%,

де P Б - ймовірність результату на думку букмекерської контори;

K - коефіцієнт БК на результат.

Припустимо, на перемогу лондонського Арсеналу у поєдинку проти Баварії коефіцієнт 4. Це означає, що ймовірність його вікторії БК розцінюють як (1/4) * 100% = 25%. Або ж Джокович грає проти Південного. На перемогу Новака множник 1.2, його шанси дорівнюють (1/1.2)*100%=83%.

Так оцінює шанси на успіх кожного гравця та команди сама БК. Здійснивши перший крок, переходимо до другого.

Розрахунок ймовірності події гравцем

Другий пункт нашого плану – власна оцінка ймовірності події. Так як ми не можемо врахувати математично такі параметри як мотивація, ігровий тонус, то скористаємося спрощеною моделлю і користуватимемося лише статистикою попередніх зустрічей. Для розрахунку статистичної ймовірності результату застосовуємо формулу:

PІ=(Розум/М)*100%,

деPІ- Імовірність події на думку гравця;

РОЗУМ – кількість успішних матчів, у яких така подія відбувалася;

М – загальна кількість матчів.

Щоб було зрозуміліше, наведемо приклади. Енді Маррей та Рафаель Надаль зіграли між собою 14 матчів. У 6 з них був зафіксований тотал менше 21 за геймами, у 8 – тотал більше. Необхідно дізнатися ймовірність того, що наступний поєдинок зіграє на тотал більше: (8/14)*100=57%. Валенсія зіграла на Местальї проти Атлетіко 74 матчі, в яких здобула 29 перемог. Імовірність перемоги Валенсії: (29/74) * 100% = 39%.

І це всі ми дізнаємось лише завдяки статистиці попередніх ігор! Природно, що на якусь нову команду чи гравця таку можливість прорахувати не вийде, тому така стратегія ставок підійде лише для матчів, у яких суперники зустрічаються не вперше. Тепер ми вміємо визначати букмекерську та власну ймовірність наслідків, і у нас є всі знання, щоб перейти до останнього кроку.

Визначення цінності ставки

Цінність (валуйність) парі та прохідність мають безпосередній зв'язок: чим вища валуйність, тим вищий шанс на прохід. Розраховується цінність так:

V=PІ*K-100%,

де V – цінність;

P І - ймовірність результату на думку беттера;

K - коефіцієнт БК на результат.

Припустимо, ми хочемо поставити на перемогу Мілана у матчі проти Роми та підрахували, що ймовірність перемоги «червоно-чорних» 45%. Букмекер пропонує нам це результат коефіцієнт 2.5. Чи буде таке парі цінним? Проводимо розрахунки: V = 45% * 2.5-100% = 12.5%. Добре, перед нами цінна ставка з добрими шансами на прохід.

Візьмемо інший випадок. Марія Шарапова грає проти Петри Квітової. Ми хочемо укласти угоду на перемогу Марії, ймовірність якої, за нашими розрахунками, 60%. Контори пропонують цей результат множник 1.5. Визначаємо валуйність: V = 60% * 1.5-100 = -10%. Як бачимо, цінності ця ставка не становить і слід утриматися від неї.

Це ставлення кількості тих спостережень, у яких дана подія настала, до кількості спостережень. Таке трактування допустиме у разі досить великої кількості спостережень чи дослідів. Наприклад, якщо серед людей, що зустріли на вулиці, приблизно половина - жінки, то можна говорити, що ймовірність того, що зустрінута на вулиці людина виявиться жінкою, дорівнює 1/2. Інакше кажучи, оцінкою ймовірності події може бути частота його наступу тривалої серії незалежних повторень випадкового експерименту .

Ймовірність у математиці

У сучасному математичному підході класична (тобто квантова) ймовірність задається аксіоматикою Колмогорова. Імовірністю називається міра P, яка задається на безлічі X, Називається імовірнісним простором . Цей захід повинен мати такі властивості:

Із зазначених умов випливає, що імовірнісний захід Pтакож має властивість адитивності: якщо множини A 1 та A 2 не перетинаються, то . Для підтвердження потрібно покласти все A 3 , A 4 , … рівними порожньому множині і застосувати властивість лічильної адитивності.

Імовірнісний захід може бути визначений не для всіх підмножин множини X. Достатньо визначити її на сигма-алгебри, що складається з деяких підмножин множини X. При цьому випадкові події визначаються як вимірні підмножини простору Xтобто як елементи сигма-алгебри .

Імовірність сенсі

Коли ми знаходимо, що підстави для того, щоб якийсь можливий факт стався насправді, переважують протилежні підстави, ми вважаємо цей факт ймовірним, в іншому випадку - неймовірним. Ця перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, може становити невизначену кількість ступенів, внаслідок чого ймовірність(і неймовірність) буває більшоюабо меншою .

Складні поодинокі факти не допускають точного обчислення ступенів своєї ймовірності, але й тут важливо встановити деякі великі підрозділи. Приміром, у сфері юридичної , коли підлягає суду особистий факт встановлюється виходячи з показань свідків, він завжди залишається, строго кажучи, лише ймовірним, і потрібно знати, наскільки ця ймовірність значна; у римському праві тут приймалося четверне поділ: probatio plena(де ймовірність практично переходить у достовірність), далі - probatio minus plena, Потім - probatio semiplena majorі наостанок, probatio semiplena minor .

Окрім питання про ймовірність справи, може виникати, як у галузі права, так і в галузі моральної (за відомої етичної точки зору) питання про те, наскільки ймовірно, що цей приватний факт є порушенням загального закону. Це питання, що є основним мотивом у релігійній юриспруденції Талмуда, викликало і в римсько-католицькому моральному богослов'ї (особливо з кінця XVI століття) дуже складні систематичні побудови та величезну літературу, догматичну та полемічну (див. Пробабілізм).

Поняття ймовірності допускає певний чисельний вираз у застосуванні лише до таких фактів, що входять до складу певних однорідних рядів. Так (у найпростішому прикладі), коли хтось кидає сто разів поспіль монету, ми знаходимо тут один загальний або великий ряд (сума всіх падінь монети), що складається з двох приватних або менших, у даному випадку чисельно рівних, рядів (падіння « орлом» та падіння «решкою»); Імовірність, що в цей раз монета впаде рішкою, тобто цей новий член загального ряду належатиме до цього з двох менших рядів, дорівнює дробу, що виражає чисельне відношення між цим малим рядом і великим, саме 1/2, тобто однакова ймовірність належить до того чи іншого із двох приватних рядів. У менш простих прикладах висновок може бути виведено з даних самої завдання, а вимагає попередньої індукції . Так, наприклад, питається: яка ймовірність існує для новонародженого дожити до 80 років? Тут має скласти загальний, або великий, ряд із відомої кількості людей, народжених у подібних умовах і вмираючих у різному віці (це число має бути досить велике, щоб усунути випадкові відхилення, і досить мало, щоб зберігалася однорідність ряду, бо для людини, народженого, наприклад, у Санкт-Петербурзі в забезпеченому культурному сімействі, все мільйонне населення міста, значна частина якого складається з осіб різноманітних груп, які можуть померти раніше часу - солдатів, журналістів, робітничих небезпечних професій, - представляє групу занадто різнорідну для справжнього визначення ймовірності) ; нехай цей загальний ряд складається із десяти тисяч людських життів; до нього входять менші ряди, що становлять число тих, хто доживає до того чи іншого віку; один із цих менших рядів представляє число тих, що доживають до 80 років. Але визначити чисельність цього меншого ряду (як і всіх інших) неможливо a priori; це робиться суто індуктивним шляхом, за допомогою статистики. Припустимо, статистичні дослідження встановили, що з 10 000 петербуржців середнього класу до 80 років доживають лише 45; таким чином, цей менший ряд відноситься до великого, як 45 до 10000, і ймовірність для цієї особи належати до цього меншого ряду, тобто дожити до 80 років, виражається дробом 0,0045. Дослідження ймовірності з математичної точки зору становить особливу дисципліну – теорію ймовірностей.

Див. також

Примітки

Література

• Альфред Реньї. Листи про ймовірність / пров. з угор. Д.Сааса та А.Крамлі за ред. Б. В. Гнєденко. М: Світ. 1970
• Гнєденко Б. В.Курс теорії ймовірностей. М., 2007. 42 с.
• Купцов В. І.Детермінізм та ймовірність. М., 1976. 256 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Антоніми:

Дивитись що таке "Вірогідність" в інших словниках:

Загальнонаукова та філос. категорія, що позначає кількісний рівень можливості появи масових випадкових подій за фіксованих умов спостереження, що характеризує стійкість їх відносних частот. У логіці семантичний ступінь. Філософська енциклопедія

Імовірність, число в інтервалі від нуля до одиниці включно, що представляє можливість здійснення даної події. Імовірність події визначається як відношення кількості шансів того, що подія може статися, до загальної кількості можливих… Науково-технічний енциклопедичний словник

Словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Російські словники, 1999. Можливість можливість, можливість, шанс, об'єктивна можливість, маза, допустимість, ризик. Ant. неможливість… … Словник синонімів

ймовірність- Міра того, що подія може статися. Математичне визначення ймовірності: «дійсне число в інтервалі від 0 до 1, що відноситься до випадкової події». Число може відображати відносну частоту в серії спостережень. Довідник технічного перекладача

Ймовірність- «математична, числова характеристика ступеня можливості появи будь-якої події у тих чи інших певних, які можуть повторюватися необмежену кількість разів умов». Якщо виходити з цього класичного… Економіко-математичний словник

- (probability) Можливість настання якоїсь події чи певного результату. Може бути представлена ​​у вигляді шкали з поділками від 0 до 1. При нульовій ймовірності події його настання неможливе. При ймовірності, що дорівнює 1, наступ … Словник бізнес-термінів

Знати, як оцінити ймовірність тієї чи іншої події на основі коефіцієнтів, дуже важливо для вибору правильної ставки. Якщо ви не розумієте, як перевести букмекерський коефіцієнт на ймовірність, то ніколи не зможете визначити, як співвідноситься букмекерський коефіцієнт з реальними шансами того, що подія відбудеться. Слід розуміти, якщо ймовірність події за версією букмекерів нижче, ніж ймовірність цієї події за вашою власною версією, ставка на цю подію буде цінною. Порівняти коефіцієнти на різні події можна на сайті Odds.ru.

1.1. Типи коефіцієнтів

Букмекерські контори, як правило, пропонують три типи коефіцієнтів – десятковий, дробовий та американський. Розберемо кожен із різновидів.

1.2. Десятні коефіцієнти

Десяткові коефіцієнти при множенні на розмір ставки дають змогу розрахувати всю суму, яку ви отримаєте на руки у разі виграшу. Наприклад, якщо ви поставили 1 долар на коефіцієнт 1,80, у разі виграшу ви отримаєте 1 долар 80 центів (1 долар – повернена сума ставки, 0,80 – виграш за ставкою, він же ваш чистий прибуток).

Тобто ймовірність результату за версією букмекерів становить 55%.

1.3. Дробові коефіцієнти

Дробові коефіцієнти – найтрадиційніший вид коефіцієнтів. У чисельнику показано потенційну суму чистого виграшу. У знаменнику – сума ставки, яку потрібно зробити, щоб цей виграш отримати. Наприклад, коефіцієнт 7/2 означає, що для того щоб отримати чистий виграш у розмірі 7 доларів, вам необхідно поставити 2 долари.

Щоб розрахувати ймовірність події з урахуванням десяткового коефіцієнта, слід провести прості обчислення – знаменник розділити у сумі чисельника і знаменника. Для вищезазначеного коефіцієнта 7/2 розрахунок буде таким:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Тобто ймовірність результату за версією букмекерів становить 22%.

1.4. Американські коефіцієнти

Цей вид коефіцієнтів популярний у Північній Америці. На перший погляд, вони здаються досить складними та незрозумілими, але не варто лякатися. Розуміння американських коефіцієнтів може стати в нагоді, наприклад, при грі в американських казино, для розуміння котирувань, що демонструються в північноамериканських спортивних трансляціях. Розберемо, як оцінити ймовірність результату з урахуванням американських коефіцієнтів.

Насамперед треба розуміти, що американські коефіцієнти бувають позитивними та негативними. Негативний американський коефіцієнт завжди йде у форматі, наприклад, «-150». Це означає, що для того щоб отримати 100 доларів чистого прибутку (виграш), необхідно поставити 150 доларів.

Позитивний американський коефіцієнт розраховується навпаки. Наприклад, ми маємо коефіцієнт «+120». Це означає, що для того щоб отримати 120 доларів чистого прибутку (виграш), вам необхідно поставити 100 доларів.

Розрахунок ймовірності на основі негативних американських коефіцієнтів робиться за такою формулою:

(-(негативний американський коефіцієнт)) / ((-(негативний американський коефіцієнт)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Тобто ймовірність події, на яку дається негативний американський коефіцієнт -150, становить 60%.

Тепер розглянемо аналогічні обчислення для позитивного коефіцієнта. Імовірність у цьому випадку розраховується за такою формулою:

100/(позитивний американський коефіцієнт + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Тобто ймовірність події, на яку дається позитивний американський коефіцієнт +120, становить 45%.

1.5. Як переводити коефіцієнти з одного формату до іншого?

Вміння переводити коефіцієнти з одного формату в інший може згодом послужити вам хорошу службу. Як не дивно, досі є контори, в яких коефіцієнти не конвертуються і показані лише в одному, незвичному для нас форматі. Розглянемо приклади, як це робити. Але для початку нам треба навчитися обчислювати ймовірність результату на основі цього коефіцієнта.

1.6. Як на основі ймовірності розрахувати десятковий коефіцієнт?

Тут усе дуже просто. Необхідно 100 поділити на ймовірність події у відсотковому відношенні. Тобто, якщо імовірність події становить 60%, вам треба:

При передбачуваній ймовірності події 60% десятковий коефіцієнт становитиме 1,66.

1.7. Як на основі ймовірності розрахувати дрібний коефіцієнт?

В даному випадку необхідно 100 розділити на ймовірність події і від отриманого результату відібрати одиницю. Наприклад, ймовірність події становить 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Тобто ми отримуємо дробовий коефіцієнт 1,5/1 або для зручності рахунку – 3/2.

1.8. Як на основі можливого результату розрахувати американський коефіцієнт?

Тут багато залежатиме від ймовірності події – чи буде вона понад 50% або менше. Якщо ймовірність події більше 50%, то розрахунок буде здійснюватися за такою формулою:

- ((ймовірність) / (100 - ймовірність)) * 100

Наприклад, якщо ймовірність події становить 80%, то:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

При ймовірній ймовірності події 80% ми отримали негативний американський коефіцієнт «-400».

Якщо ймовірність події менше 50 відсотків, то формула буде такою:

((100 - ймовірність) / ймовірність) * 100

Наприклад, якщо ймовірність події становить 40%, то:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

При ймовірній ймовірності події в 40% ми отримали позитивний американський коефіцієнт +150.

Ці обчислення допоможуть вам краще зрозуміти концепцію ставок та коефіцієнтів, навчитися оцінювати справжню вартість тієї чи іншої ставки.

ймовірність (probability)- Число від 0 до 1, яке відображає шанси того, що випадкова подія відбудеться, де 0 - це повна відсутність ймовірності походження події, а 1 означає, що подія, що розглядається, безумовно відбудеться.

Імовірність події E є числом від 1 до 1.
Сума ймовірностей взаємовиключних подій дорівнює 1.

емпірична ймовірність- ймовірність, яка порахована як відносна частота події у минулому, вилучена з аналізу історичних даних.

Імовірність дуже рідкісних подій не можна вважати емпірично.

суб'єктивна ймовірність- ймовірність, заснована на особистій суб'єктивній оцінці події безвідносно історичних даних. Інвестори, які приймають рішення про купівлю та продаж акцій, часто діють саме виходячи з міркувань суб'єктивної ймовірності.

апріорна ймовірність -

Шанс 1 з ... (odds) те, що подія відбудеться через поняття ймовірності. Шанс появи події виражається через можливість так: P/(1-P).

Наприклад, якщо ймовірність події 0,5, то шанс події 1 із 2 т.к. 0,5/(1-0,5).

Шанс того, що подія не відбудеться, обчислюється за формулою (1-P)/P

Неузгоджена можливість- наприклад, у ціні акцій компанії А на 85% враховано можливу подію E, а в ціні акцій компанії Б лише на 50%. Це називається неузгоджена ймовірність. Відповідно до теореми голландських ставок, неузгоджена можливість створює можливості для отримання прибутку.

Безумовна ймовірність- це відповідь на запитання «Яка ймовірність того, що подія станеться?»

Умовна ймовірність- це відповідь на запитання: «Яка ймовірність події A, якщо подія Б відбулася». Умовна ймовірність позначається як P(A|B).

Спільна ймовірність- ймовірність того, що події А та Б відбудуться одночасно. Позначається як P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Правило підсумовування ймовірностей:

Імовірність того, що станеться або подія A або подія B -

P (A або B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Якщо події A та B взаємовиключні, то

P (A або B) = P(A) + P(B)

Незалежні події- події A та B незалежні якщо

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Тобто це послідовність результатів, де значення ймовірності завжди від одного події до іншого.
Кидок монети – приклад такої події, – результат кожного наступного кидка не залежить від результату попереднього.

Залежні події- Це такі події, коли ймовірність появи одного залежить від ймовірності появи іншого.

Правило множення ймовірностей незалежних подій:
Якщо події A та B незалежні, то

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Правило повної ймовірності:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S і S" - взаємовиключні події

математичне очікування (expected value)Довільною змінною є середнє можливих наслідків випадкової величини. Для події X маточування починається як E(X).

Допустимо у нас є 5 значень взаємовиключних подій з певною ймовірністю (наприклад, дохід компанії склав таку суму з такою ймовірністю). Маточенням буде сума всіх результатів помножених на їхню ймовірність:

Дисперсія випадкової величини - маточкування квадратних відхилень випадкової величини від її маточіння:

s 2 = E(2) (6)

Умовне маточування (conditional expected value) - маточіння випадкової величини X за умови того, що подія S вже відбулася.

"Випадковості не випадкові"... Звучить так, ніби сказав філософ, але на ділі вивчати випадковості долю великої науки математики. У математиці випадковостями займається теорія ймовірності. Формули та приклади завдань, а також основні визначення цієї науки будуть представлені у статті.

Що таке теорія ймовірності?

Теорія ймовірності – це одна з математичних дисциплін, яка вивчає випадкові події.

Щоб було трохи зрозуміліше, наведемо невеликий приклад: якщо підкинути монету вгору, вона може впасти «орлом» або «решкою». Поки монета перебуває у повітрі, обидві ці ймовірності можливі. Тобто можливість можливих наслідків співвідноситься 1:1. Якщо з колоди з 36 картами витягнути одну, тоді ймовірність буде позначатися як 1:36. Здавалося б, тут нічого досліджувати і передбачати, тим паче з допомогою математичних формул. Проте, якщо повторювати певну дію багато разів, можна виявити певну закономірність і її основі спрогнозувати результат подій за інших умов.

Якщо узагальнити все сказане вище, теорія ймовірності в класичному розумінні вивчає можливість виникнення однієї з можливих подій у числовому значенні.

Зі сторінок історії

Теорія ймовірності, формули та приклади перших завдань з'явилися ще в далекому Середньовіччі, коли вперше виникли спроби спрогнозувати результати карткових ігор.

Спочатку теорія ймовірності не мала нічого спільного з математикою. Вона обгрунтовувалася емпіричними фактами чи властивостями події, яку можна було відтворити практично. Перші роботи у цій сфері як у математичній дисципліні з'явилися торік у XVII столітті. Родоначальниками стали Блез Паскаль та П'єр Ферма. Довгий час вони вивчали азартні ігри та побачили певні закономірності, про які й вирішили розповісти суспільству.

Таку ж методику винайшов Християн Гюйгенс, хоча він не був знайомий з результатами досліджень Паскаля та Ферма. Поняття «теорія ймовірності», формули та приклади, що вважаються першими в історії дисципліни, були запроваджені саме ним.

Важливе значення мають роботи Якоба Бернуллі, теореми Лапласа і Пуассона. Вони зробили теорію ймовірності більш схожою на математичну дисципліну. Свій теперішній вид теорія ймовірностей, формули та приклади основних завдань набули завдяки аксіомам Колмогорова. В результаті всіх змін теорія ймовірності стала одним із математичних розділів.

Базові поняття теорії ймовірностей. Події

Головним поняттям цієї дисципліни є подія. Події бувають трьох видів:

• Достовірні.Ті, що відбудуться у будь-якому випадку (монета впаде).
• Неможливі.Події, що не відбудуться за жодного розкладу (монета залишиться висіти в повітрі).
• Випадкові.Ті, що відбудуться чи не відбудуться. Вони можуть вплинути різні чинники, які передбачити дуже важко. Якщо говорити про монету, то випадкові фактори, що можуть вплинути на результат: фізичні характеристики монети, її форма, вихідне положення, сила кидка тощо.

Усі події у прикладах позначаються великими латинськими літерами, крім Р, якій відведена інша роль. Наприклад:

• А = "студенти прийшли на лекцію".
• = = «студенти не прийшли на лекцію».

У практичних завданнях події записано словами.

Одна з найважливіших характеристик подій – їхня рівноможливість. Тобто якщо підкинути монету, всі варіанти вихідного падіння можливі, поки вона не впала. Але також події бувають не рівноможливими. Це відбувається, коли хтось спеціально впливає на результат. Наприклад, "мічені" гральні карти або гральні кістки, в яких зміщений центр тяжіння.

Ще події бувають сумісними та несумісними. Сумісні події не виключають один одного. Наприклад:

• А = "студентка прийшла на лекцію".
• В = "студент прийшов на лекцію".

Ці події незалежні одна від одної, і поява одного з них не впливає на появу іншого. Несумісні події визначаються тим, що одна виключає поява іншого. Якщо говорити про ту саму монету, то випадання «решки» унеможливлює появу «орла» в цьому ж експерименті.

Дії над подіями

Події можна множити та складати, відповідно, в дисципліні вводяться логічні зв'язки «І» та «АБО».

Сума визначається тим, що може з'явитися або подія А або В, або два одночасно. Якщо вони несумісні, останній варіант неможливий, випаде або А, або У.

Множення подій полягає у появі А та В одночасно.

Тепер можна навести кілька прикладів, щоб краще запам'яталися основи, теорія ймовірності та формули. Приклади розв'язання задач далі.

Завдання 1: Фірма бере участь у конкурсі на отримання контрактів на три різновиди роботи Можливі події, які можуть статися:

• А = "фірма отримає перший контракт".
• А 1 = "фірма не отримає перший контракт".
• В = "фірма отримає другий контракт".
• У 1 = "фірма не отримає другий контракт"
• З = «фірма отримає третій договір».
• З 1 = "фірма не отримає третій контракт".

За допомогою дій над подіями спробуємо виразити такі ситуації:

• К = "фірма отримає всі контракти".

У математичному вигляді рівняння матиме такий вигляд: К = АВС.

• М = «фірма не отримає жодного договору».

М = А 1 В 1 З 1 .

Ускладнюємо завдання: H = "фірма отримає один контракт". Оскільки не відомо, який саме контракт отримає фірма (перший, другий чи третій), необхідно записати низку можливих подій:

Н = А 1 НД 1 υ АВ 1 З 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - це ряд подій, де фірма не отримує першого і третього контракту, але отримує другий. Відповідним методом записані та інші можливі події. Символ υ у дисципліні позначає зв'язку «АБО». Якщо перевести наведений приклад людською мовою, то фірма отримає або третій контракт, або другий, або перший. Подібним чином можна записувати інші умови в дисципліні «Теорія ймовірності». Формули та приклади вирішення задач, представлені вище, допоможуть зробити це самостійно.

Власне, ймовірність

Мабуть, у цій математичній дисципліні ймовірність події – це центральне поняття. Існує 3 визначення ймовірності:

• класичне;
• статистичне;
• геометричне.

Кожне має місце у вивченні ймовірностей. Теорія ймовірності, формули та приклади (9 клас) в основному використовують класичне визначення, яке звучить так:

• Імовірність ситуації А дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють її появі, до всіх можливих результатів.

Формула має такий вигляд: Р(А)=m/n.

А – власне, подія. Якщо з'являється випадок, протилежний А, його можна записувати як або А 1 .

m – кількість можливих сприятливих випадків.

n – всі події, які можуть статися.

Наприклад, А = "витягнути карту червової масті". У стандартній колоді 36 карт, 9 із них червовий масті. Відповідно, формула рішення завдання матиме вигляд:

Р(А) = 9/36 = 0,25.

У результаті ймовірність того, що з колоди витягнуть карту червової масті, становитиме 0,25.

До вищої математики

Тепер стало трохи відомо, що таке теорія ймовірності, формули та приклади вирішення завдань, що трапляються у шкільній програмі. Однак теорія ймовірностей зустрічається і у вищій математиці, яка викладається у вишах. Найчастіше там оперують геометричними та статистичними визначеннями теорії та складними формулами.

Дуже цікава теорія ймовірності. Формули та приклади (вища математика) краще починати вивчати з малого – зі статистичного (або частотного) визначення ймовірності.

Статистичний підхід не суперечить класичному, а трохи розширює його. Якщо в першому випадку потрібно було визначити, з якою ймовірністю станеться подія, то в цьому методі необхідно вказати, як часто воно відбуватиметься. Тут запроваджується нове поняття «відносна частота», яку можна позначити W n (A). Формула нічим не відрізняється від класичної:

Якщо класична формула обчислюється для прогнозування, то статистична згідно з результатами експерименту. Візьмемо, наприклад, невеличке завдання.

Відділ технологічного контролю перевіряє вироби якість. Серед 100 виробів знайшли 3 неякісні. Як знайти можливість частоти якісного товару?

А = "поява якісного товару".

W n (A) = 97/100 = 0,97

Отже, частота якісного товару становить 0,97. Звідки взяли 97? Зі 100 товарів, які перевірили, 3 виявилися неякісними. Від 100 забираємо 3, отримуємо 97, це кількість якісного товару.

Трохи про комбінаторику

Ще один метод теорії ймовірності називають комбінаторикою. Його основний принцип полягає в тому, що якщо певний вибір А можна здійснити m різними способами, а вибір - n різними способами, то вибір А і В можна здійснити шляхом множення.

Наприклад, із міста А до міста В веде 5 доріг. З міста В до міста С веде 4 шляхи. Скількими способами можна дістатися з міста А до міста С?

Все просто: 5х4 = 20, тобто двадцятьма різними способами можна дістатися з точки А до точки С.

Ускладнимо завдання. Скільки існує способів розкладання карток у пасьянсі? У колоді 36 карт – це вихідна точка. Щоб дізнатися кількість способів, потрібно від вихідної точки віднімати по одній карті і множити.

Тобто 36х35х34х33х32 ... х2х1 = результат не вміщається на екран калькулятора, тому його можна просто позначити 36! Знак «!» біля числа вказує на те, що весь ряд чисел перемножується між собою.

У комбінаториці присутні такі поняття, як перестановка, розміщення та поєднання. Кожна з них має свою формулу.

Упорядкований набір елементів множини називають розміщенням. Розміщення може бути з повтореннями, тобто один елемент можна використовувати кілька разів. І без повторень, коли елементи не повторюються. n – це всі елементи, m – елементи, які беруть участь у розміщенні. Формула для розміщення без повторень матиме вигляд:

A n m =n!/(n-m)!

З'єднання з n елементів, які відрізняються лише порядком розміщення, називають перестановкою. У математиці це має вигляд: Рn = n!

Поєднаннями з n елементів по m називають такі з'єднання, в яких важливо, які це були елементи і яка їхня загальна кількість. Формула матиме вигляд:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернуллі

Теоретично ймовірності, як і у кожній дисципліні, є праці видатних у сфері дослідників, які вивели її нового рівня. Одна з таких праць – формула Бернуллі, що дозволяє визначати ймовірність появи певної події за незалежних умов. Це говорить про те, що поява А в експерименті не залежить від появи або появи тієї ж події в раніше проведених або наступних випробуваннях.

Рівняння Бернуллі:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Імовірність (р) появи події (А) є незмінною для кожного випробування. Імовірність того, що ситуація відбудеться рівно m разів у кількості експериментів, буде обчислюватися формулою, що представлена ​​вище. Відповідно, виникає питання, як дізнатися число q.

Якщо подія А настає кількість разів, відповідно, вона може і не наступити. p align="justify"> Одиниця - це число, яким прийнято позначати всі результати ситуації в дисципліні. Тому q - число, що означає можливість ненастання події.

Тепер вам відома формула Бернуллі (теорія ймовірності). Приклади розв'язання задач (перший рівень) розглянемо далі.

Завдання 2:Відвідувач магазину зробить покупку із ймовірністю 0,2. До магазину зайшли незалежно 6 відвідувачів. Якою є ймовірність того, що відвідувач зробить покупку?

Рішення: Оскільки невідомо, скільки відвідувачів мають зробити покупку, один чи всі шість, необхідно прорахувати всі можливі ймовірності, користуючись формулою Бернуллі.

А = "відвідувач здійснить покупку".

У цьому випадку: р = 0,2 (як зазначено у завданні). Відповідно, q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (оскільки у магазині 6 відвідувачів). Число m змінюватиметься від 0 (жоден покупець не здійснить покупку) до 6 (всі відвідувачі магазину щось куплять). У результаті отримаємо рішення:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Жоден із покупців не здійснить покупку з ймовірністю 0,2621.

Як використовується формула Бернуллі (теорія ймовірності)? Приклади розв'язання задач (другий рівень) далі.

Після наведеного вище прикладу виникають питання про те, куди поділися С і р. Відносно р число в ступені 0 дорівнюватиме одиниці. Що стосується С, то його можна знайти формулою:

Cnm=n! /m!(n-m)!

Оскільки у першому прикладі m = 0, відповідно, С=1, що у принципі впливає результат. Використовуючи нову формулу, спробуємо дізнатися, якою є можливість купівлі товарів двома відвідувачами.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не така вже й складна теорія ймовірності. Формула Бернуллі, приклади якої представлені вище, є прямим тому доказом.

Формула Пуассона

Рівняння Пуассона використовують для обчислення малоймовірних випадкових ситуацій.

Основна формула:

P n (m) = m /m! e (-λ) .

При цьому = n х p. Ось така проста формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади розв'язання задач розглянемо далі.

Завдання 3: На заводі виготовили деталі у кількості 100000 штук Поява бракованої деталі = 0,0001. Якою є ймовірність, що в партії буде 5 бракованих деталей?

Як бачимо, шлюб - це малоймовірна подія, у зв'язку з чим обчислення використовується формула Пуассона (теорія ймовірності). Приклади розв'язання подібних завдань нічим не відрізняються від інших завдань дисципліни, в наведену формулу підставляємо необхідні дані:

А = "випадково обрана деталь буде бракованою".

р = 0,0001 (відповідно до умови завдання).

n = 100000 (кількість деталей).

m = 5 (браковані деталі). Підставляємо дані у формулу та отримуємо:

Р 100 000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так само як і формула Бернуллі (теорія ймовірності), приклади рішень за допомогою якої написані вище, рівняння Пуассон має невідоме е. По суті його можна знайти формулою:

е -λ = lim n -> ∞ (1-λ/n) n .

Проте є спеціальні таблиці, у яких перебувають майже всі значення е.

Теорема Муавра-Лапласа

Якщо у схемі Бернуллі кількість випробувань досить велика, а ймовірність появи події А у всіх схемах однакова, то ймовірність появи події А певну кількість разів у серії випробувань можна знайти формулою Лапласа:

Р n (m) = 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Щоб краще запам'яталася формула Лапласа (теорія ймовірності), приклади завдань нижче.

Спочатку знайдемо X m , підставляємо дані (вони зазначені вище) у формулу і отримаємо 0,025. За допомогою таблиць знаходимо число ϕ(0,025), значення якого 0,3988. Тепер можна підставляти всі дані у формулу:

Р 800 (267) = 1/√ (800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким чином, ймовірність того, що рекламна листівка спрацює рівно 267 разів, становить 0,03.

Формула Байєса

Формула Байєса (теорія ймовірності), приклади вирішення завдань за допомогою якої будуть наведені нижче, є рівнянням, яке описує ймовірність події, спираючись на обставини, які могли бути пов'язані з ним. Основна формула має такий вигляд:

Р(А|B) = Р(В|А) х Р(А)/Р(В).

А і є певними подіями.

Р(А|B) - умовна ймовірність, тобто може статися подія А за умови, що подія істинна.

Р (В|А) - умовна ймовірність події Ст.

Отже, заключна частина невеликого курсу «Теорія ймовірності» - формула Байєса, приклади розв'язання задач з якою нижче.

Завдання 5: На склад привезли телефони від трьох компаній При цьому частка телефонів, що виготовляються на першому заводі, становить 25%, на другому – 60%, на третьому – 15%. Відомо також, що середній відсоток бракованих виробів у першої фабрики становить 2%, другий - 4%, і в третьої - 1%. Необхідно знайти ймовірність того, що випадково вибраний телефон виявиться бракованим.

А = "випадково взятий телефон".

У 1 – телефон, який виготовила перша фабрика. Відповідно, з'являться вступні В 2 і В 3 (для другої та третьої фабрик).

У результаті отримаємо:

Р (1) = 25%/100% = 0,25; Р(2) = 0,6; Р (У 3) = 0,15 - таким чином ми знайшли ймовірність кожного варіанта.

Тепер потрібно знайти умовні ймовірності події, що шукається, тобто ймовірність бракованої продукції у фірмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В3) = 0,01.

Тепер підставимо дані у формулу Байєса та отримаємо:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01 = 0,0305.

У статті представлена ​​теорія ймовірності, формули та приклади вирішення завдань, але це лише вершина айсберга великої дисципліни. І після всього написаного логічно запитатиме, чи потрібна теорія ймовірності в житті. Простій людині складно відповісти, краще запитати про це у того, хто з її допомогою не раз зривав джек-пот.