Від будь-якої точки можна відкласти вектор рівний цьому і лише один. Урок "відкладення вектора від цієї точки"

Вектором називається спрямований відрізок прямої евклідового простору, у якого один кінець (точка A) називається початком вектора, а інший кінець (точка B) кінцем вектора (Рис. 1). Вектори позначаються:

Якщо початок і кінець вектора збігаються, то вектор називається нульовим векторомі позначається 0 .

приклад. Нехай у двомірному просторі початок вектора має координати. A(12,6) , а кінець вектора - координати B(12,6). Тоді вектор є нульовим вектором.

Довжина відрізка ABназивається модулем (довжиною, нормою) вектора та позначається | a|. Вектор довжини, що дорівнює одиниці, називається одиничним вектором. Крім модуля вектор характеризується напрямком: вектор має напрямок від Aдо B. Вектор називається вектор, протилежнимвектору.

Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Рис. 3 червоні вектори колінеарні, т.к. вони лажать однією прямий, а сині вектори коллинеарны, т.к. вони лежать на паралельних прямих. Два колінеарних вектори називаються однаково спрямованимиякщо їх кінці лежать по одну сторону від прямої, що з'єднує їх початку. Два колінеарних вектори називаються протилежно спрямованимиякщо їх кінці лежать по різні боки від прямої, що з'єднує їх початку. Якщо два колінеарні вектори лежать на одній прямій, то вони називаються однаково спрямованими, якщо один з променів, утвореним одним вектором повністю містить промінь, утвореним іншим вектором. В іншому випадку вектори називаються протилежно спрямованими. На малюнку Рис.3 сині вектори однаково спрямовані, а червоні вектори спрямовані протилежно.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають рівні модулі та однаково спрямовані. На малюнку Рис.2 Вектори рівні т.к. їх модулі рівні та мають однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарнимиякщо вони лежать на одній площині або в паралельних площинах.

У nмірному векторному просторі розглянемо багато всіх векторів, початкова точка яких збігається з початком координат. Тоді вектор можна записати у такому вигляді:

де x 1 , x 2 , ..., x nкоординати кінцевої точки вектора x.

Вектор, записаний у вигляді (1) називається вектор-рядок, а вектор, записаний у вигляді

називається вектор-стовпчик.

Число nназивається розмірністю (порядком) вектор. Якщо то вектор називається нульовим вектором(т.к. початкова точка вектора ). Два вектори xі yрівні тоді і лише тоді, коли рівні відповідні їх елементи.

Знання та навички, отримані на даному уроці, стануть у нагоді тим, хто навчається не тільки на уроках геометрії, а й на заняттях з інших наук. Під час уроку школярі навчаться відкладати вектор від заданої точки. Це може бути звичайний урок геометрії, а також позакласне чи факультативне заняття з математики. Ця розробка допоможе вчителю заощадити свій час на підготовку до уроку на тему «Відкладання вектора від цієї точки». Йому достатньо відтворити відеоурок на занятті, а потім закріпити матеріал власною добіркою вправ.

Урок за тривалістю займаємо лише 1:44 хвилини. Але цього достатньо, щоби навчити школярів відкладати вектор від заданої точки.

Урок починається з демонстрації вектора, початок якого знаходиться у певній точці. Говорять, що вектор від неї відкладений. Потім автор пропонує довести разом з ним твердження, згідно з яким від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному і єдиний. У результаті докази автор докладно розглядає кожен випадок. По-перше, він бере ситуацію, коли цей вектор нульовий, по-друге, коли вектор - ненульовий. Під час доказу використовуються ілюстрації у вигляді малюнків та побудови, математичний запис, які формують у школярів математичну грамотність. Автор розповідає, не поспішаючи, що дозволяє учням вести записи паралельно, доки йде коментування. Побудова, яку вів автор під час доказу раніше сформульованого твердження, показує, як з певної точки можна побудувати вектор, рівний даному.

Якщо учні уважно дивитися урок і паралельно вести записи, вони легко засвоять матеріал. Тим більше, що автор розповідає докладно, розмірено та досить повно. Якщо з якихось причин щось не почули, можна повернутися і подивитися урок ще раз.

Після перегляду відеоуроку бажано розпочати закріплення матеріалу. Вчителю рекомендується підібрати завдання на цю тему, щоб відпрацювати навичку відкладання вектора від цієї точки.

Цей урок можна використовувати для самостійного вивчення теми школярами. Але для закріплення необхідно звернутися до вчителя, щоб він підібрав відповідні завдання. Адже без закріплення матеріалу складно досягти позитивного результату у навчанні.

Г – 9 клас Урок № 2

Тема: Вектор концепції. Рівність векторів. Відкладення вектора від цієї точки.

Цілі:

запровадити поняття вектора, його довжини, колінеарних та рівних векторів;

навчити учнів зображати та позначати вектори, відкладати від будь-якої точки площини вектор, рівний даному;

закріпити знання учнів під час вирішення завдань;

розвивати пам'ять, увагу, математичне мислення;

виробляти працьовитість, прагнення досягати поставленої мети та завдання.

Хід уроку.

Організаційні моменти.

Повідомлення теми та цілей уроку.

Актуалізація знань та вмінь учнів.

1. Перевірка виконання домашнього завдання. Розбір невирішених завдань.

2. Перевірка теоретичних відомостей:

Рівностегновий трикутник та його властивості. Ознаки рівності трикутників.

Визначення середньої лінії трикутника та її властивість.

Теорема Піфагора та зворотна їй теорема.

Формула обчислення площі трикутника.

Поняття паралелограма, властивості та ознаки паралелограма, ромба, прямокутника.

Визначення трапеції, види трапецій.

Площа паралелограма, площа трапеції.

Вивчення нового матеріалу.

Матеріал пунктів 76–78 викласти у вигляді невеликої лекції із застосуванням різноманітних презентацій «Вектора»

1. Поняття векторних величин (або коротко векторів).

2. Приклади векторних величин, відомих тим, хто навчається з курсу фізики: сила, переміщення матеріальної точки, швидкість та інші (рис. 240 підручника).

3. Визначення вектора (рис. 241, 242).

4. Позначення вектора – двома великими латинськими літерами зі стрілкою над ними, наприклад,, або часто позначають однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею:(Рис. 243, а, б).

5. Поняття нульового вектора: будь-яка точка площини також вектор; у цьому випадку вектор називається нульовим; позначають:(Рис. 243, а).

6. Визначення довжини або модуля ненульового вектора. Позначення:. Довжина нульового вектора= 0.

7. Знайти довжини векторів, зображених на малюнках 243, а та 243, б.

8. Виконати практичні завдання №738, 739.

9. Розглянути приклад руху тіла, при якому всі його точки рухаються з тією самою швидкістю і в тому самому напрямку (з пп. 77 підручника), рис. 244.

10. Ввести поняття колінеарних векторів (рис. 245).

11. Визначення понять співспрямованих векторів та протилежно спрямованих векторів, їх позначення (рис. 246).

12. Нульовий вектор направлений з будь-яким вектором.

13. Визначення рівних векторів: якщоі, то.

14. Пояснення сенсу висловлювання: «Векторвідкладений від точки А» (рис. 247).

15. Доказ твердження, що від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний цьому, і до того ж лише один (рис. 248).

16. Виконання практичного завдання №743.

17. Усно за готовим кресленням на дошці розв'язати задачу № 749.

Вирішення задач.

1. Розв'язати задачу № 740 (а) на дошці та у зошитах.

2. Усно вирішити задачу №744.

3. Розв'язати задачу № 742.

4. Розв'язати задачу № 745 (вибірково).

5. Усно за заготовленим кресленням розв'язати задачу № 746.

6. Довести пряме затвердження у завданні № 750:

Доведення

За умовою, то AB | CD, отже, за ознакою паралелограма АВDС – паралелограм, а діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, отже, середини відрізків AD і BC збігаються.

Повторення організувати у ході вирішення наступних завдань - Завдання для повторення з банку завдань ОДЕ (ДІА)-2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 - з модуля "Геометрія"; № 24 – із частини 2 модуля «Геометрія» Варіант № 3

Підсумки уроку.

Підбиття підсумків уроку. Виставлення відміток.

В результаті вивчення § 1 учні повинні знати визначення вектора та рівних векторів; вміти зображати та позначати вектори, відкладати від цієї точки вектор, рівний даному; вирішувати завдання типу № 741-743; 745-752.



Домашнє завдання: вивчити матеріал пунктів 76–78; відповісти на запитання 1–6, с. 213 підручника; вирішити задачі № 747, 749, 751.

Що таке вектор? Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, що характеризуються величиною та напрямком: наприклад, швидкість, сила, тиск. Такі величини називають векторними величинами або векторами. Поняття вектора виникає там, де доводиться мати справу з об'єктами, що характеризуються величиною та напрямком: наприклад, швидкість, сила, тиск. Такі величини називають векторними величинами або векторами.

Розглянемо довільний відрізок. На ньому можна вказати два напрямки. Щоб вибрати один із напрямків, один кінець відрізка назвемо ПОЧАТКОМ, а інший – КІНЦЕМ і вважатимемо, що відрізок спрямований від початку до кінця. Визначення. Визначення. Відрізок, котрому зазначено, який із його кінців вважається початком, який - кінцем, називається спрямованим відрізком чи вектором. Відрізок, котрому зазначено, який із його кінців вважається початком, який - кінцем, називається спрямованим відрізком чи вектором.

Поняття вектора Вектори часто позначають і однією малою латинською літерою зі стрілкою над нею. Початок нульового вектора збігається з його кінцем: Будь-яка точка площини також є вектором, який називається нульовим. Початок нульового вектора збігається з його кінцем: ММ = 0. ММ = 0. a b c М

Поняття вектора Довжиною або модулем ненульового вектора АВ називається довжина відрізка АВ: Довжиною або модулем ненульового вектора АВ називається довжина відрізка АВ: АВ = а = АВ = 5 АВ = а = АВ = 5 с = 17 с = 17 Довжина нульового вектора вважається рівною нулю : Довжина нульового вектора вважається рівною нулю: ММ = 0. ММ = 0. a М В А с

Колінеарні вектори Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути співспрямованими або протилежно спрямованими. Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать або на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути співспрямованими або протилежно спрямованими. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. аb c d m ns L

Якщо точка А – початок вектора а, то кажуть, що вектор а відкладений від точки А. Якщо точка А – початок вектора а, то кажуть, що вектор а відкладено від точки А. Твердження: Від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору а, і лише один. Твердження: Від будь-якої точки М можна відкласти вектор, рівний даному вектору а, і лише один. Рівні вектори, відкладені від різних точок, часто позначають однією і тією ж літерою.

Розглянемо приклад: Розглянемо приклад: Петя з дому(D) зайшов до Васі(V), а потім поїхав у кінотеатр(К). Петя з дому (D) зайшов до Васі (V), а потім поїхав до кінотеатру (К). У цих двох переміщень, які можна представити векторами DV і VK, Петя перемістився з точки D до, тобто. на вектор DК: Внаслідок цих двох переміщень, які можна представити векторами DV і VK, Петя перемістився з точки D до, тобто. на вектор DC: DK = DB + BK. DK=DB+BK. Вектор DK називається сумою векторів DB та BK. D V K

Сума двох векторів Правило трикутника Нехай а та b – два вектори. Відзначимо довільну точку А та відкладемо від цієї точки АВ = а, потім від точки В відкладемо вектор ВС = b. Нехай а та b – два вектори. Відзначимо довільну точку А та відкладемо від цієї точки АВ = а, потім від точки В відкладемо вектор ВС = b. АС = а + b АС = а + b a b A a b B C
Протилежні вектори Нехай а довільний ненульовий вектор. Нехай а довільний ненульовий вектор. Визначення. Вектор b називається протилежним вектору а якщо а і b мають рівні довжини і протилежно спрямовані. a = АВ, b = BA Вектор, протилежний вектору c, позначається так: -c. Очевидно, з + (-с) = 0 або АВ + ВА = 0 А B a b c -c

Віднімання векторів Визначення. Різницею двох векторів і b називається такий вектор, сума якого з вектором b дорівнює вектору а. Визначення. Різницею двох векторів і b називається такий вектор, сума якого з вектором b дорівнює вектору а. Теорема. Для будь-яких векторів і b справедлива рівність а - b = а + (-b). Завдання. Дано вектори а та b. Побудувати вектор а – b. а а b -b a - b

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У даному випадкупочатком відрізка є точка, кінцем відрізка - точка. Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини або простору. Це дуже крута властивість! Уявіть вектор довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все математично коректно – вектор можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка докладання вектора має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Переставте доданки місцями і простежте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за потреби ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .