Паралелограм із різними висотами. Паралелограм та його властивості

Паралелограм є чотирикутною фігурою, у якої протилежні сторони попарно паралельні і попарно рівні. Рівні в нього також і протилежні кути, а точка перетину діагоналей паралелограма ділить їх навпіл, будучи центром симетрії фігури. Приватними випадками паралелограм є такі геометричні фігури як квадрат, прямокутник і ромб. Площа паралелограма може бути знайдена у різний спосіб, залежно від того, якими вихідними даними супроводжується постановка задачі.

1. У найпростішому випадку площа паралелограма визначається як добуток його основи на висоту.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   де S – площа паралелограма;
   a - основа;
   h - висота, проведена до цієї основи.

   Цю формулу дуже легко зрозуміти та запам'ятати, якщо поглянути на наступний малюнок.

   

   Як видно з цього зображення, якщо ліворуч від паралелограма відрізати уявний трикутник і приєднати його праворуч, то в результаті ми отримаємо прямокутник. Як відомо, площа прямокутника перебуває перемноженням його довжини на висоту. Тільки у випадку паралелограма довжина буде основою, а висота прямокутника - висотою паралелограма, опущеною на цю сторону.

2. Площа паралелограма може бути знайдена в результаті перемноження довжин двох суміжних основ і синуса кута між ними:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   де AD, AB - суміжні основи, що утворюють точку перетину та кут між собою;
   α - кут між основами AD та AB.

   

3. Також площу паралелограма можна знайти розділивши навпіл добуток довжин діагоналей паралелограма на синус кута між ними.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   де AC, BD - діагоналі паралелограма;
   β – кут між діагоналями.

   

4. Існує також формула для знаходження площі паралелограма через радіус вписаного в нього кола. Вона записується наступним чином:

Точніше за планіметрією та тригонометрією, іноді потрібно знайти висоту паралелограма, виходячи із заданих значень сторін, кутів, діагоналей тощо.

Щоб знайти висоту паралелограма, знаючи його площу та довжину основи, необхідно скористатися правилом площі паралелограма. Площа паралелограма, як відомо, дорівнює добутку висоти на довжину основи:

S - площа паралелограма,

а - довжина основи паралелограма,

h - довжина опущеної на бік а висоти (або її продовження).

Звідси отримуємо, що висота паралелограма буде площі, розділеної на довжину основи:

Наприклад,

дано: площа паралелограма дорівнює 50 кв.см., основа - 10 см.;

знайти: висоту паралелограма.

h = 50/10 = 5 (см).

Так як висота паралелограма, частина основи і прилегла до основи сторона утворюють прямокутний, то для висоти паралелограма можна використовувати деякі співвідношення сторін і кутів прямокутних.

Якщо відома сторона паралелограма d (AD), що прилягає до висоти h (DE), і протилежний висоті кут A (BAD), то розрахунку висоти паралелограма потрібно помножити довжину прилеглої сторони на синус протилежного кута:

наприклад, якщо d=10 см, а кут А=30 градусів, то

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (см).

Якщо задачі задані довжина прилеглої до висоті h (DE) паралелограма d (AD) і довжина відсіканої висотою підстави (АЕ), то висоту паралелограма можна знайти скориставшись теоремою Піфагора:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, звідки визначаємо:

h=|ED|=√(|AD|^2-|AE|^2),

тобто. висота паралелограма дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів довжини прилеглої сторони і висотою частини основи, що відсікається.

Наприклад, якщо довжина прилеглої сторони дорівнює 5 см, а довжина частини основи, що відсікає, дорівнює 3 см, то довжина висоти буде:

h=√(5^2-3^2)=4 (см).

Якщо відомі довжина прилеглої до висоті діагональ (DВ) паралелограма і довжина відсікається висотою частини основи (ВЕ), то висоту паралелограма можна знайти скориставшись теоремою Піфагора:

|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, звідки визначаємо:

h=|ED|=√(|ВD|^2-|ВE|^2),

тобто. висота паралелограма дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів довжини прилеглої діагоналі і відсікається висотою (і) частини основи.

Наприклад, якщо довжина прилеглої сторони дорівнює 5 см, а довжина частини основи, що відсікає, дорівнює 4 см, то довжина висоти буде:

h=√(5^2-4^2)=3 (см).

Відео на тему

Джерела:

• що таке висота паралелограма

Висотою багатокутника називають перпендикулярний до однієї зі сторін фігури відрізок прямої, який з'єднує її з вершиною протилежного кута. Таких відрізків у плоскій опуклій фігурі існує кілька, і довжини їх не однакові, якщо хоч одна зі сторін багатокутника має відмінну від інших величину. Тому завдання з курсу геометрії іноді потрібно визначити довжину більшої висоти, наприклад, трикутника чи паралелограмма.

Інструкція

Якщо крім довжини найкоротшої зі сторін трикутника (a) в умовах наведена (S) фігури, більша з висот (Hₐ) буде досить простою. Подвійте площу і розділіть отримане значення на довжину короткої - це буде висота: Hₐ = 2*S/a.

Не знаючи площі, але маючи довжину трикутника (a, b і c), теж можна знайти найдовшу з його висот, проте математичних операцій буде значно більше. Почніть з обчислення допоміжної величини напівпериметра (р). Для цього складіть довжини всіх сторін та розділіть результат

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.