Перетин циліндра та конуса. Тема: Прямий круговий конус

Нехай дано прямий круговий циліндр, горизонтальна площина проекцій паралельна до його основи. При перетині циліндра площиною загального положення (вважаємо, що площина не перетинає основ циліндра) лінією перетину є еліпс, сам переріз має форму еліпса, його горизонтальна проекція збігається з проекцією основи циліндра, а фронтальна має форму еліпса. Але якщо січна площина становить з віссю циліндра кут, рівний 45°, то переріз, що має форму еліпса, проектується коло на ту площину проекцій, до якої перетин нахилено на той же кут.

Якщо січна площина перетинає бічну поверхню циліндра та одну з його основ (рис. 8.6), то лінія перетину має форму неповного еліпса (частини еліпса). Горизонтальна проекція перерізу у разі - частина кола (проекції основи), а фронтальна - частина еліпса. Площина може розташовуватися перпендикулярно до будь-якої площини проекцій, тоді на цю площину проекцій перетин буде проектуватися прямою лінією (частина сліду січної площини).

Якщо циліндр перетинається площиною, що паралельно утворює, то лінії перетину з бічною поверхнею - прямі, а сам переріз має форму прямокутника, якщо циліндр прямий, або паралелограма, якщо циліндр похилий.

Як відомо, і циліндр, і конус утворені лінійчастими поверхнями.

Лінією перетину (лінією зрізу) лінійчастої поверхні та площини в загальному випадку є деяка крива, яка будується по точках перетину утворюють із січною площиною.

Нехай даний прямий круговий конус.При перетині його площиною лінія перетину може мати форму: трикутника, еліпса, кола, параболи, гіперболи (рис. 8.7) залежно від розташування площини.

Трикутник виходить у разі, коли січна площина, перетинаючи конус, проходить через його вершину. При цьому лінії перетину з бічною поверхнею являють собою прямі, що перетинаються у вершині конуса, які разом з лінією перетину основи утворюють трикутник, що проеціюється на площині проекцій з спотворенням. Якщо площина перетинає вісь конуса, то в перерізі виходить трикутник, у якого кут з вершиною, що збігається з вершиною конуса, буде максимальним для перерізів-трикутників цього конуса. В цьому випадку перетин проектується на горизонтальну площину проекцій (вона паралельна його основи) відрізком прямої.

Еліпсом лінія перетину площини та конуса буде, якщо площина не паралельна жодній із утворюючих конуса. Це рівносильно тому, що площина перетинає всі утворюючі (всю бічну поверхню конуса). Якщо січна площина при цьому паралельна основі конуса, то лінія перетину є коло, сам перетин проектується на горизонтальну площину проекцій без спотворень, а на фронтальну - відрізком прямої лінії.

Параболою лінія перетину буде тоді, коли січна площина паралельна тільки якійсь одній утворює конуса. Якщо січна площина паралельна одночасно двом утворюючим, то лінія перетину - гіпербола.

Усічений конус виходить, якщо прямий круговий конус перетнути площиною, паралельною до основи і перпендикулярної осі конуса, і відкинути верхню частину. У разі коли горизонтальна площина проекцій паралельна основам усіченого конуса, ці основи проектуються на горизонтальну площину проекцій без спотворень концентричними колами, а фронтальна проекція є трапецією. При перетині зрізаного конуса площиною в залежності від її розташування лінія зрізу може мати форму трапеції, еліпса, кола, параболи, гіперболи або частини однієї з даних кривих, кінці якої з'єднані прямий.

Вступ

Актуальність теми дослідження.Конічні перерізи були вже відомі математикам Стародавню Грецію (наприклад, Менехму, 4 в. е.); за допомогою цих кривих вирішувалися деякі завдання на побудову (подвоєння куба та ін), що виявилися недоступними при використанні найпростіших креслярських інструментів - циркуля та лінійки. У перших дослідженнях, що дійшли до нас, грецькі геометри отримували конічні перерізи, проводячи січну площину перпендикулярно до однієї з утворюючих, при цьому, залежно від кута розчину при вершині конуса (тобто найбільшого кута між утворюючими однієї порожнини), лінія перетину виявлялася еліпсом, якщо цей кут – гострий, параболою, якщо – прямий, та гіперболою, якщо – тупий. Найбільш повним твором, присвяченим цим кривим, були «Конічні перерізи» Аполлонія Пергського (близько 200 е.). Подальші успіхи теорії конічних перерізів пов'язані зі створенням 17 в. нових геометричних методів: проективного (французькі математики Ж. Дезарг, Б. Паскаль) та особливо координатного (французькі математики Р. Декарт, П. Ферма).

Інтерес до конічних перерізів завжди підтримувався тим, що це криві часто зустрічаються у різних явищах природи й у діяльності. У науці конічні перерізи набули особливого значення після того, як німецький астроном І. Кеплер відкрив із спостережень, а англійський учений І. Ньютон теоретично обґрунтував закони руху планет, один з яких стверджує, що планети та комети Сонячної системи рухаються конічними перерізами, в одному із фокусів якого знаходиться Сонце. Наступні приклади відносяться до окремих типів конічних перерізів: параболу описує снаряд або камінь, кинутий похило до горизонту (правильна форма кривої дещо спотворюється опором повітря); у деяких механізмах користуються зубчастими колесами еліптичної форми («еліптична зубчатка»); гіпербола служить графіком зворотної пропорційності, що часто спостерігається в природі (наприклад, закон Бойля – Маріотта).

Мета роботи:

Вивчення теорії конічних перерізів.

Тема дослідження:

Конічні перерізи.

Мета дослідження:

Теоретично вивчити особливості конічних перерізів.

Об'єкт дослідження:

Конічні перерізи.

Предмет дослідження:

Історичний розвиток конічних перерізів.

1. Утворення конічних перерізів та їх типи

Конічні перерізи – це лінії, які утворюються у перерізі прямого кругового конуса з різними площинами.

Зауважимо, що конічною поверхнею називається поверхня, утворена рухом прямої, що проходить весь час через нерухому точку (вершину конуса) і перетинає весь час нерухому криву - напрямну (у нашому випадку - коло).

Класифікуючи ці лінії за характером розташування сіючих площин щодо утворюють конуса, одержують криві трьох типів:

I. Криві, утворені перетином конуса площинами, що не паралельні жодній з утворюючих. Такими кривими будуть різні кола та еліпси. Ці криві називаються кривими еліптичного типу.

ІІ. Криві, утворені перетином конуса площинами, кожна з яких паралельна до однієї з утворюючих конуса (рис. 1 б). Такими кривими будуть лише параболи.

ІІІ. Криві, утворені перетином конуса площинами, кожна з яких паралельна якимось двом утворюючим (рис. 1 в). такими кривими будуть гіперболи.

Ніякого IV типу кривих вже не може, оскільки може бути площині, паралельної відразу трьом утворюючим конуса, оскільки ніякі три утворюючі конуса самі не лежать у одній площині.

Зауважимо, що конус можна перетнути площинами і так, щоб у перерізі вийшли дві прямі. Для цього січучі площини треба проводити через вершину конуса.

2. Еліпс

Для вивчення властивостей конічних перерізів важливими є дві теореми:

Теорема 1. Нехай дано прямий круговий конус, який розсічений площинами б 1 б 2 б 3 перпендикулярними до його осі. Тоді всі відрізки утворюють конуса між будь-якої парою кіл (отриманих у перерізі з цими площинами) дорівнюють одне одному, тобто. А 1 В 1 = А 2 В 2 = і т.д. і В1С1 = В2С2 = і т.д. Теорема 2. Якщо дана кульова поверхня і деяка точка S поза нею, то відрізки дотичних, проведених з точки S до кульової поверхні, дорівнюють один одному, тобто. SA 1 = SA 2 = SA 3 і т.д.

2.1 Основна властивість еліпса

Розсічемо прямий круговий конус площиною, що перетинає всі його утворюють У перерізі ми отримаємо еліпс. Проведемо через вісь конуса площину перпендикулярну до площини.

Впишемо в конус дві кулі так, щоб, розташовуючись по різні боки від площини і торкаючись конічної поверхні, кожен із них торкався площини у певній точці.

Нехай один шар стосується площині в точці F 1 і стосується конуса по колу С 1 , а інший - в точці F 2 і стосується конуса по колу З 2 .

Візьмемо довільну точку Р на еліпсі.

Це означає, що всі висновки, зроблені щодо неї, будуть справедливими для будь-якої точки еліпса. Проведемо утворюючу ОР конуса і відзначимо точки R 1 і R 2 в яких вона стосується побудованих куль.

З'єднаємо точку Р з точками F1 і F2. Тоді РF 1 =РR 1 і РF 2 =РR 2 так як РF 1 , РR 1 - дотичні, проведені з точки Р до однієї кулі, а РF 2 , РR 2 - дотичні, проведені з точки Р до іншої кулі (теорема 2 ). Склавши почленно обидві рівності, знайдемо

РF 1 +РF 2 = РR 1 +РR 2 = R 1 R 2 (1)

Це співвідношення показує, що сума відстаней (РF 1 і РF 2) довільної точки Р еліпса до двох точок F 1 і F 2 є постійна величина для даного еліпса (тобто вона не залежить від положення точки Р на еліпсі).

Точки F1 і F2 називаються фокусами еліпса. Точки, в яких пряма F1F2 перетинає еліпс, називаються вершинами еліпса. Відрізок між вершинами називається великою віссю еліпса.

Відрізок твірної R 1 R 2 по довжині дорівнює великій осі еліпса. Тоді основна властивість еліпса формулюється наступним чином: сума відстаней довільної точки Р еліпса до його фокусів F 1 і F 2 є постійна величина для даного еліпса, що дорівнює довжині його великої осі.

Зауважимо, що й фокуси еліпса збігаються, то еліпс є коло, тобто. коло - окремий випадок еліпса.

2.2 Рівняння еліпса

Щоб скласти рівняння еліпса, ми повинні розглядати еліпс як геометричне місце точок, що мають деяку властивість, що характеризує це геометричне місце. Приймемо основну властивість еліпса за його визначення: Еліпс - це геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 цієї площини, званих фокусами, є постійна величина, що дорівнює довжині його великої осі.

Нехай довжина відрізка F 1 F 2 =2с, а довжина великої осі дорівнює 2а. Для виведення канонічного рівняння еліпса виберемо початок О декартової системи координат у середині відрізка F 1 F 2 , а осі Ох і Оу направимо так, як зазначено на малюнку 5. (Якщо фокуси збігаються, то Збігається з F 1 і F 2 , а за вісь Ох можна взяти будь-яку вісь, що проходить через О). Тоді у вибраній системі координат точки F 1 (с, 0) та F 2 (-с, 0). Вочевидь, 2а>2с, тобто. а>с. Нехай М (х, у) – точка площини, що належить еліпсу. Нехай МF1 = r1, МF2 = r2. Відповідно до визначення еліпса рівність

r 1 +r 2 =2а (2) є необхідною і достатньою умовою розташування точки М (х, у) на даному еліпсі. Використовуючи формулу відстані між двома точками, отримаємо

r 1 =, r 2 =. Повернемося до рівності (2):

Перенесемо один корінь у праву частину рівності і зведемо у квадрат:

Скорочуючи, отримуємо:

Наводимо подібні, скорочуємо на 4 і усамітнюємо радикал:

Зводимо у квадрат

Розкриваємо дужки та скорочуємо на:

звідки отримуємо:

(а 2 -з 2) х 2 + а 2 у 2 = а 2 (а 2 - з 2). (3)

Зауважимо, що а 2 -з 2> 0. Дійсно, r 1 +r 2 є сума двох сторін трикутника F 1 MF 2 а F 1 F 2 є його третя сторона. Отже, r 1 +r 2 > F 1 F 2 або 2а> 2с, тобто. а>с. Позначимо а2-с2 = b2. Рівняння (3) матиме вигляд: b 2 х 2 +а 2 у 2 = а 2 b 2 . Виконаємо перетворення, що приводить рівняння еліпса до канонічного (дослівно: прийнятого за зразок) виду, а саме поділимо обидві частини рівняння а 2 b 2:

(4) - канонічне рівняння еліпса

Так як рівняння (4) є алгебраїчним наслідок рівняння (2*), то координати х і в будь-якої точки М еліпса будуть задовольняти і рівнянню (4). Оскільки при перетвореннях алгебри, пов'язаних з позбавленням від радикалів, могли з'явитися «зайві коріння», необхідно переконатися в тому, що будь-яка точка М, координати якої задовольняють рівнянню (4), розташовується на даному еліпсі. Для цього достатньо довести, що величини r 1 і r 2 кожної точки задовольняють співвідношенню (2). Отже, нехай координати х і точки М задовольняють рівнянню (4). Підставляючи значення у 2 з (4) у вираз r 1 після нескладних перетворень знайдемо, що r 1 =. Оскільки, то r 1 =. Абсолютно аналогічно знайдемо, що r 2 =. Отже, для аналізованої точки М r 1 =, r 2 =, тобто. r 1 +r 2 =2а, тому точка М розташовується на еліпсі. Величини а і b називаються відповідно великою та малою півосями еліпса.

2.3 Дослідження форми еліпса щодо його рівняння

Встановимо форму еліпса, користуючись його канонічним рівнянням.

1. Рівняння (4) містить х і у тільки у парних ступенях, тому якщо точка (х, у) належить еліпсу, то йому також належать точки (х, - у), (-х, у), (-х, - у). Звідси випливає, що еліпс симетричний щодо осей Ох і Оу, і навіть щодо точки О (0,0), яку називають центром еліпса.

2. Знайдемо точки перетину еліпса з осями координат. Поклавши у = 0, знаходимо дві точки А 1 (а, 0) та А 2 (-а, 0), в яких вісь Ох перетинає еліпс. Поклавши в рівнянні (4) х = 0, знаходимо точки перетину еліпса з віссю Оу: B 1 (0, b) і. B 2 (0, - b) Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 називаються вершинами еліпса.

3. З рівняння (4) випливає, що кожен доданок у лівій частині вбирається у одиниці, тобто. мають місце нерівності та або в. Отже, всі точки еліпса лежать усередині прямокутника, утвореного прямими.

4. У рівнянні (4) сума невід'ємних доданків і дорівнює одиниці. Отже, у разі зростання одного доданку інше буде зменшуватися, тобто. якщо х зростає, то зменшується і навпаки.

Зі сказаного випливає, що еліпс має форму, зображену на рис. 6 (овальна замкнута крива).

Зауважимо, що якщо a = b, то рівняння (4) набуде вигляду x 2 + y 2 = a 2 . Це – рівняння кола. Еліпс можна отримати з кола з радіусом a, якщо стиснути її в раз уздовж осі Oy. При такому стиску точка (x; y) перейде в точку (x; y 1), де. Підставляючи рівняння кола, отримаємо рівняння еліпса: .

Введемо ще одну величину, що характеризує форму еліпса.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані 2c до довжини 2a великої осі.

Ексцентриситет зазвичай позначають е: е=Оскільки c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

З останньої рівності легко отримати геометричне тлумачення ексцентриситету еліпса. За дуже малого числа a і b майже рівні, тобто еліпс близький до кола. Якщо ж близько до одиниці, то b дуже мало в порівнянні з числом a і еліпс сильно витягнутий вздовж великої осі. Таким чином, ексцентриситет еліпса характеризує міру витягнутості еліпса.

3. Гіперболу

3.1 Основна властивість гіперболи

Досліджуючи гіперболу за допомогою побудов, подібних до побудов, проведених для дослідження еліпса, ми виявимо, що гіпербола має властивості, аналогічні властивостям еліпса.

Розсічемо прямий круговий конус площиною б, що перетинає обидві його площини, тобто. паралельною двом його утворюючим. У перетині вийде гіпербола. Проведемо через вісь ST конуса площину АSB перпендикулярну до площини б.

Впишемо в конус дві кулі - один в одну його порожнину, інший в іншу, так щоб кожен з них торкався конічної поверхні і площини, що січе. Нехай перший шар стосується площині б у точці F 1 і стосується конічної поверхні по колу UґVґ. Нехай другий шар стосується площині б у точці F 2 і стосується конічної поверхні по колу UV.

Виберемо на гіперболі довільну точку М. Проведемо через неї утворюючу конуса МS і відзначимо точки d і D, в яких вона торкнеться першої та другої куль. З'єднаємо точку М з точками F1, F2, які назвемо фокусами гіперболи. Тоді МF 1 =Md, тому що обидва відрізки є дотичними до першої кулі, проведеними з точки М. Аналогічно МF 2 =MD. Віднімаючи почленно з першої рівності друге, знайдемо

МF 1 -МF 2 =Md-MD=dD,

де dD - величина постійна (як утворює конуса з основами UґVґ та UV), яка не залежить від вибору точки М на гіперболі. Позначимо через Р та Q точки, в яких пряма F 1 F 2 перетинає гіперболу. Ці точки Р і Q називаються вершинами гіпербол. Відрізок РQ називається справжньою віссю гіперболи. У курсі елементарної геометрії доводиться, що dD = PQ. Тому МF1-MF2=PQ.

Якщо точка М перебуватиме на тій галузі гіперболи, біля якої розташований фокус F 1 , то МF 2 -MF 1 = PQ. Тоді остаточно отримуємо МF1-MF2=PQ.

Модуль різниці відстаней довільної точки М гіперболи від її фокусів F 1 і F 2 є постійна величина, що дорівнює довжині дійсної осі гіперболи.

3.2 Рівняння гіперболи

Приймемо основну властивість гіперболи за її визначення: Гіпербола - це геометричне місце точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок F 1 і F 2 цієї площини, званих фокусами, є постійна величина, що дорівнює довжині її дійсної осі.

Нехай довжина відрізка F1F2=2с, а довжина дійсної осі дорівнює 2а. Для виведення канонічного рівняння гіперболи виберемо початок Про декартову систему координат у середині відрізка F 1 F 2 , а осі Ох і Оу направимо так, як зазначено на малюнку 5. Тоді в обраній системі координат точки F 1 (с, 0) і F 2 ( -С, 0). Очевидно, 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2а (5) є необхідною та достатньою умовою розташування точки М (х, у) на даній гіперболі. Використовуючи формулу відстані між двома точками, отримаємо

r 1 =, r 2 =. Повернемося до рівності (5):

Зведемо у квадрат обидві частини рівності

(х+с) 2 +у 2 =4а 2 ±4а+(х-с) 2 +у 2

Скорочуючи, отримуємо:

2 хс = 4а 2 ± 4а-2 хс

±4а=4а 2 -4 хс

а 2 х 2 -2а 2 хс + а 2 з 2 + а 2 у 2 = а 4 -2а 2 хс + х 2 з 2

х 2 (з 2 -а 2) - а 2 у 2 = а 2 (з 2 -а 2) (6)

Зауважимо, що з 2-а 2> 0. Позначимо з 2-а2 = b2. Рівняння (6) матиме вигляд: b 2 х 2 -а 2 у 2 = 2 b 2 . Виконаємо перетворення, що приводить рівняння гіперболи до канонічного вигляду, а саме поділимо обидві частини рівняння на а 2 b 2: (7) - канонічне рівняння гіперболи, величини а і b - відповідно дійсна та уявна півосі гіперболи.

Ми повинні переконатися, що рівняння (7), отримане шляхом алгебраїчних перетворень рівняння (5*), не набуло нових коренів. Для цього достатньо довести, що для кожної точки М координати х і у якої задовольняють рівняння (7), величини r 1 і r 2 задовольняють співвідношенню (5). Проводячи міркування, аналогічні тим, які були зроблені при виведенні формули еліпса, знайдемо для r1 і r2 вирази:

Таким чином, для точки М, що розглядається, маємо r 1 -r 2 =2а, і тому вона розташовується на гіперболі.

3.3 Дослідження рівняння гіперболи

Тепер спробуємо на підставі розгляду рівняння (7) скласти собі уявлення про розташування гіперболи.
1. Насамперед рівняння (7) показує, що гіпербола симетрична щодо обох осей. Це тим, що у рівняння кривої входять лише парні ступеня координат. 2. Відзначимо тепер ту область площини, де лежатиме крива. Рівняння гіперболи, дозволене щодо у, має вигляд:

Воно показує, що існує завжди, коли х 2 ? а 2 . Це означає, що за х? а і при х? - а ордината у буде дійсною, а при - а

Далі, при х зростаючому (і більшому а) ордината теж буде весь час зростати (зокрема, звідси видно, що крива не може бути хвилястою, тобто такою, щоб зі зростанням абсциси х ордината у то збільшувалася, то зменшувалася) .

З. Центром гіперболи називається точка, щодо якої кожна точка гіперболи має у ній симетричну собі точку. Точка О(0,0) початок координат, як і для еліпса, є центром гіперболи, заданої канонічним рівнянням. Це означає, що кожна точка гіперболи має симетричну точку на гіперболі щодо точки О. Це випливає із симетрії гіперболи щодо осей Ох та Оу. Будь-яка хорда гіперболи, що проходить через її центр, називається діаметром гіперболи.

4. Точки перетину гіперболи з прямою, на якій лежать її фокуси, називаються вершинами гіперболи, а відрізок між ними називається справжньою віссю гіперболи. У разі справжньої віссю є вісь Ох. Зауважимо, що справжньою віссю гіперболи називається часто як відрізок 2а, і сама пряма (вісь Ох), де він лежить.

Знайдемо точки перетину гіперболи із віссю Оу. Рівняння осі Оу має вигляд х = 0. Підставляючи х = 0 у рівняння (7), отримаємо, що точок перетину з віссю Оу гіпербола немає. Це і зрозуміло, так як у смузі шириною 2а, що охоплює вісь Оу, точок гіпербол немає.

Пряма, перпендикулярна до дійсної осі гіперболи і через її центр, називається уявною віссю гіперболи. У разі вона збігається з віссю Оу. Отже, у знаменниках членів з х 2 і у 2 у рівнянні гіперболи (7) стоять квадрати дійсної та уявної півосей гіперболи.

5. Гіпербола перетинається із прямою y = kx при k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Доведення

Для визначення координат точок перетину гіперболи та прямої y = kx потрібно вирішити систему рівнянь

Виключаючи y, отримуємо

або При b 2 -k 2 a 2 0 тобто при k отримане рівняння, а тому система рішень не мають.

Прямі з рівняннями y = і y = називаються асимптотами гіперболи.

При b 2 -k 2 a 2 >0 тобто при k< система имеет два решения:

Отже, кожна пряма, яка проходить через початок координат, з кутовим коефіцієнтом k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Оптична властивість гіперболи: оптичні промені, що виходять з одного фокусу гіперболи, відбившись від неї, здаються вихідними з другого фокусу.

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення фокусної відстані 2c до довжини 2a її дійсної осі?
тобто. з боку її увігнутості.

3.4 Сполучена гіпербола

Поряд з гіперболою (7) розглядають так звану сполучену по відношенню до неї гіперболу. Сполучена гіпербола визначається канонічним рівнянням.

На рис. 10 зображені гіпербола (7) та пов'язана їй гіпербола. Пов'язана гіпербола має самі асимптоти, що й дана, але F 1 (0, c),

4. Парабола

4.1 Основна властивість параболи

Встановимо основні властивості параболи. Розсічемо прямий круговий конус з вершиною S площиною, паралельною до однієї з його утворюючих. У перетині отримаємо параболу. Проведемо через вісь ST конуса площину АSB, перпендикулярну до площини (рис. 11). Утворююча SА, що лежить у ній, буде паралельна площині. Впишемо в конус кульову поверхню, що стосується конуса по колу UV і площині, що стосується точці F. Проведемо через точку F пряму, паралельну утворює SA. Позначимо точку її перетину з твірною SB через P. Точка F називається фокусом параболи, точка Р - її вершиною, а пряма РF, що проходить через вершину і фокус (і паралельна твірної SA), називається віссю параболи. Другий вершини - точки перетину осі РF з утворюючою SA у параболи не буде: ця точка «іде в нескінченність». Назвемо директрисою (у перекладі означає «напрямна») лінію q 1 q 2 перетину площини з площиною, в якій лежить коло UV. Візьмемо на параболі довільну точку М і з'єднаємо її з вершиною конуса S. Пряма МS торкнеться кулі в точці D, що лежить на колі UV. З'єднаємо точку М з фокусом F і опустимо з точки М перпендикуляр МК на директрису. Тоді виявляється, що відстані довільної точки М параболи до фокусу (МF) і до директриси (МК) дорівнюють один одному (основна властивість параболи), тобто. МF = МК.

Доказ: МF=MD (як дотичні до кулі з однієї точки). Позначимо кут між будь-яким з утворюють конуса та віссю ST через ц. Спроектуємо відрізки МD та МК на вісь ST. Відрізок MD утворює проекцію на вісь ST, рівну МDcosц, так як MD лежить на конуса, що утворює; відрізок МК утворює проекцію на вісь ST, рівну МКсоsц, так як відрізок МК паралельний утворює SA. (Дійсно, директриса q 1 q 1 перпендикулярна площині АSB. Отже, пряма РF перетинає директрису в точці L під прямим кутом. Але прямі МК і РF лежать в одній площині, причому МК теж перпендикулярна до директриси). Проекції обох відрізків МК і МD на вісь ST дорівнюють один одному, тому що один їх кінець - точка М - загальний, а два інших D і К лежать у площині перпендикулярної осі ST (рис.). Тоді МDcosц = МКсоsц або МD = МК. Отже, МF = MK.

Властивість 1.(Фокальна властивість параболи).

Відстань від будь-якої точки параболи до середини головної хорди дорівнює її відстані до директорки.

Доведення.

Точка F - точка перетину прямої QR та головної хорди. Ця точка лежить на осі симетрії Оу. Справді, трикутники RNQ та ROF рівні, як прямокутні

трикутники з ранними катетами (NQ = OF, OR = RN). Тому яку б точку N ми не взяли, побудована по ній пряма QR перетне головну хорду в її середині F. Тепер ясно, що трикутник FMQ - рівнобедрений. Дійсно, відрізок MR є одночасно медіаною і висотою цього трикутника. Звідси випливає, що MF=MQ.

Властивість 2.(Оптична властивість параболи).

Будь-яка дотична до параболи складає рівні кути з фокальним радіусом, проведеним в точку торкання, і променем, що проходить з точки торкання і сонаправленным з віссю (або, промені, що виходять з єдиного фокусу, відбиваючись від параболи, підуть паралельно осі).

Доведення. Для точки N, що лежить на самій параболі справедлива рівність |FN|=|NH|, а точки N", що лежить у внутрішній області параболи, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, тобто точка M" лежить у зовнішній ділянці параболи. Отже, вся пряма l, крім точки М, лежить у зовнішній ділянці, тобто внутрішня область параболи лежить по одну сторону від l, а це означає, що l - дотична до параболи. Це дає доказ оптичної властивості параболи: кут 1 дорівнює куту 2, тому що l - бісектриса кута FМК.

4.2 Рівняння параболи

На основі основної властивості параболи сформулюємо її визначення: параболою називається безліч усіх точок площини, кожна з яких однаково віддалена від даної точки, яка називається фокусом, і даною прямою, званою директрисою. Відстань від фокусу F до директриси називається параметром параболи і позначається через p (p > 0).

Для виведення рівняння параболи виберемо систему координат Оху так, щоб вісь Ох проходила через фокус F перпендикулярно до директриси в напрямку від директриси до F, а початок координат Про розташуємо посередині між фокусом і директрисою (рис. 12). У вибраній системі фокус F(, 0), а рівняння директриси має вигляд х=-, або х+=0 Нехай м(х, у) – довільна точка параболи. З'єднаємо точку М з F. Проведемо відрізок МН перпендикулярно до директриси. Відповідно до визначення параболи MF = МН. За формулою відстані між двома точками знаходимо:

Отже, Звівши обидві частини рівняння у квадрат, отримаємо

тобто. (8) Рівняння (8) називається канонічним рівнянням параболи.

4.3 Дослідження форм параболи щодо її рівняння

1. У рівнянні (8) змінна у входить парною мірою, значить, парабола симетрична щодо осі Ох; вісь Ох є віссю симетрії параболи.

2. Оскільки з > 0, то з (8) випливає, що х>0. Отже, парабола розташована праворуч від осі Оу.

3. Нехай х = 0, тоді у = 0. Отже парабола проходить через початок координат.

4. При необмеженому зростанні x модуль також необмежено зростає. Парабола у 2 =2 рх має вигляд (форму), зображений на малюнку 13. Точка О (0; 0) називається вершиною параболи, відрізок FM = r називається фокальним радіусом точки М. Рівняння у 2 =-2 рх, х 2 =- 2 ру, х 2 =2 ру (p>0) також визначають параболи.

1.5. Директоріальна властивість конічних перерізів .

Тут ми доведемо, що кожен відмінний від кола (невироджений) конічний переріз можна визначити як безліч точок M, відношення відстані MF яких від фіксованої точки F до відстані MP від ​​фіксованої прямої d, що не проходить через точку F, дорівнює постійній величині е: де F - фокусом конічного перерізу, пряма d – директриса, а відношення е – ексцентриситет. (Якщо точка F належить прямий d, то умова визначає безліч точок, що є парою прямих, тобто вироджений конічний переріз; при е = 1 ця пара прямих зливається в одну пряму. Для доказу розглянемо конус, утворений обертанням прямий l навколо перетинальної її в точці O прямий p, що становить l кут б< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Впишемо в конус шар K, що стосується площини р в точці F і що стосується конуса по колу S. Лінію перетину площини р з площиною у кола S позначимо через d.

Тепер з'єднаємо довільну точку M, що лежить на лінії Л перетину площини р конуса, з вершиною O конуса і з точкою F і опустимо з M перпендикуляр MP на пряму d; позначимо ще через E точку перетину утворює MO конуса з колом S.

При цьому MF = ME як відрізки двох дотичних кулі K, проведених з однієї точки M.

Далі, відрізок ME утворює з віссю p конуса постійний (тобто не залежить від вибору точки M) кут б, а відрізок MP - постійний кут; тому проекції цих двох відрізків на вісь p відповідно дорівнюють ME cos б і MP cos в.

Але це проекції збігаються, оскільки відрізки ME і MP мають загальний початок M, а кінці їх лежать у площині, перпендикулярної до осі p.

Тому ME cos б = MP cos в або, оскільки ME = MF, MF cos б = MP cos в, звідки і слідує, що

Неважко також показати, що й точка M площині р не належить конусу, то. Таким чином, кожен переріз прямого кругового конуса може бути описаний як безліч точок площини, для яких. З іншого боку, змінюючи значення кутів б і в, ми можемо надати ексцентриситет будь-яке значення е > 0; Далі, з міркувань подібності неважко зрозуміти, що відстань FQ від фокусу до директриси прямо пропорційно радіусу r кулі K (або відстані d площини р від вершини O конуса). Можна показати, що таким чином, вибираючи відповідним чином відстань d, можемо надати відстані FQ будь-яке значення. Тому кожна множина точок M, для яких відношення відстаней від M до фіксованої точки F і до фіксованої прямої d має постійну величину, можна описати як криву, одержувану в перерізі прямого кругового конуса площиною. Тим самим було доведено, що (невироджені) конічні перерізи можна визначити тим властивістю, про яку йдеться у цьому пункті.

Ця властивість конічних перерізів називають їх директоріальною властивістю. Ясно, що якщо в > б, то< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. З іншого боку, неважко бачити, що якщо > б, то площина р перетинає конус по замкнутій обмеженій лінії; якщо = б, то площина р перетинає конус по необмеженої лінії; якщо в< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Конічний перетин, для якого є< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 називається гіперболою. До еліпсів відносять також коло, яку не можна задати директоріальним властивістю; так як для кола ставлення звертається в 0 (т. до. в цьому випадку = 90є), то умовно вважають, що коло являє собою конічний перетин з ексцентриситетом 0.

6. Еліпс, гіпербола та парабола як конічні перерізи

конічний переріз еліпс гіпербола

Давньогрецький математик Менехм, який відкрив еліпс, гіперболу та параболу, визначав їх як переріз кругового конуса площиною, перпендикулярною до однієї з утворюючих. Він назвав отримані криві перерізами гострокутного, прямокутного та тупокутного конусів, залежно від осьового кута конуса. Перше, як побачимо нижче, є еліпс, друге - параболу, третє - одну гілка гіперболи. Назви «еліпс», «гіперболу» та «параболу» було введено Аполлонієм. До нас дійшло майже повністю (7 з 8 книг) твір Аполлонія «Про конічні перерізи». У цьому творі Аполлоній розглядає обидві підлоги конуса і перетинає конус площинами, не обов'язково перпендикулярними до однієї з утворювальних.

Теорема.Перетином будь-якого прямого круглого конуса площиною (яка не проходить через його вершину) визначається крива, яка може бути лише гіперболою (рис. 4), параболою (рис. 5) або еліпсом (рис. 6). При цьому якщо площина перетинає тільки одну площину конуса і по замкнутій кривій, то ця крива є еліпс; якщо площина перетинає лише одну площину незамкнутою кривою, то ця крива - парабола; якщо січна площина перетинає обидві площини конуса, то у перерізі утворюється гіпербола.

Витончений доказ цієї теореми було запропоновано в 1822 Данделеном, який використовував сфери, які прийнято тепер називати сферами Данделена. Розглянемо цей доказ.

Впишемо в конус дві сфери, що стосуються площини перерізу П з різних боків. Позначимо через F1 та F2 точки торкання цієї площини зі сферами. Візьмемо на лінії перерізу конуса площиною П довільну точку М. Зазначимо на конуса, що утворює, проходить через М, точки Р1 і Р2, що лежать на колі к1 і к2, за якими сфери стосуються конуса.

Зрозуміло, що МF1=МР1 як відрізки двох дотичних до першої сфери, що виходять із М; аналогічно, МF2 = МР2. Отже, МF1+МF2=МР1+МР2=Р1Р2. Довжина відрізка Р1Р2 - та сама для всіх точок М нашого перерізу: це - утворює усіченого конуса, обмеженого паралельними площинами 1 і 11, в яких лежать кола к1 і к2. Отже, лінія перерізу конуса площиною П - еліпс з фокусами F1 та F2. Справедливість цієї теореми також можна встановити виходячи з того загального положення, що перетин поверхні другого порядку площиною, є лінія другого порядку.

Література

1. Атанасян Л.С., Базильов В.Т. Геометрія. У 2-х ч. ч. 1. Навчальний посібник для студентів фіз.-мат. пед. ін - тов.-М.: Просвітництво, 1986.

2. Базильов В.Т. та ін. Геометрія. Навч. посібник для студентів 1 курсу фіз. - мат. фак - тов пед. ін. - тов.-М.: Просвітництво, 1974.

3. Погорєлов А.В. Геометрія. Навч. для 7-11 кл. середовищ. шк. - 4-те вид.-М.: Просвітництво, 1993.

4. Історія математики з давніх часів на початок ХІХ століття. Юшкевич А.П. - М: Наука, 1970.

5. Болтянський В.Г. Оптичні властивості еліпса, гіперболи та параболи. //Квант. – 1975. – №12. - с. 19 – 23.

6. Єфремов Н.В. Стислий курс аналітичної геометрії. – М: Наука, 6-те видання, 1967. – 267 с.

Подібні документи

Поняття конічних перерізів. Конічні перерізи-перетину площин та конусів. Види конічних перерізів. Побудова конічних перерізів. Конічний перетин є геометричним місцем точок, що задовольняють рівняння другого порядку.

реферат, доданий 05.10.2008


"Конічні перерізи" Аполлонія. Виведення рівняння кривої для перерізу прямокутного конуса обертання. Виведення рівняння для параболи, для еліпса та гіперболи. Інваріантність конічних перерізів. Подальший розвиток теорії конічних перерізів у працях Аполлонія.

реферат, доданий 04.02.2010


Поняття та історична довідка про конус, характеристика його елементів. Особливості утворення конуса та види конічних перерізів. Побудова сфери Данделена та її параметри. Застосування властивостей конічних перерізів. Розрахунки площ поверхонь конусу.

презентація , доданий 08.04.2012


Математичне кривої концепції. Загальне рівняння кривої другого порядку. Рівняння кола, еліпса, гіперболи та параболи. Осі симетрії гіперболи. Дослідження форми параболи. Криві третього та четвертого порядку. Ан'єзі локон, декарт лист.

дипломна робота , доданий 14.10.2011


Огляд та характеристика різних методів побудови перерізів багатогранників, визначення їх сильних та слабких сторін. Метод допоміжних перерізів як універсальний спосіб побудови перерізів багатогранників. Приклади вирішення завдань на тему дослідження.

презентація , доданий 19.01.2014


Загальне рівняння кривої другого порядку. Складання рівнянь еліпса, кола, гіперболи та параболи. Ексцентриситет гіперболи. Фокус і параболи директриса. Перетворення загального рівняння до канонічного виду. Залежність виду кривої інваріантів.

презентація , додано 10.11.2014


Елементи геометрії трикутника: ізогональне та ізотомічне сполучення, чудові точки та лінії. Коніки, пов'язані з трикутником: властивості конічних перерізів; коники, описані біля трикутника та вписані в нього; застосування до розв'язання задач.

курсова робота , доданий 17.06.2012


Еліпс, гіпербола, парабола як криві другого порядку, що застосовуються у вищій математиці. Поняття кривої другого порядку - лінії на площині, що у деякій декартової системі координат визначається рівнянням. Теорема Паскамля та теорема Бріаншона.

реферат, доданий 26.01.2011


Про походження завдання подвоєння куба (одного з п'яти знаменитих завдань давнини). Перша відома спроба розв'язання задачі, рішення Архіта Тарентського. Розв'язання завдання у Стародавній Греції після Архіту. Рішення за допомогою конічних перерізів Менехма та Ератосфена.

реферат, доданий 13.04.2014


Основні види перерізу конуса. Перетин, утворений площиною, що проходить через вісь конуса (осьове) і його вершину (трикутник). Утворення перерізу площиною, паралельною (парабола), перпендикулярною (коло) та не перпендикулярною (еліпс) осі.

Муніципальний загальноосвітній заклад

Олексіївська середня загальноосвітня школа

"Освітній центр"

Розробка уроку

Тема: ПРЯМИЙ КРУГОВИЙ КОНУС.

ПЕРЕЧЕННЯ КОНУСА ПЛОЩИНАМИ

Учитель математики

навчальний рік

Тема: ПРЯМИЙ КРУГОВИЙ КОНУС.

ПЕРЕЧЕННЯ КОНУСА ПЛОЩИНАМИ.

Мета уроку:розібрати визначення конуса та підлеглих понять (вершина, основа, що утворюють, висота, вісь);

розглянути перерізи конуса, що проходять через вершину, у тому числі осьові;

сприяти розвитку просторової уяви учнів.

Завдання уроку:

Освітня: вивчити основні поняття тіла обертання (конус).

Розвиваюча: продовжити формування вмінь навичок аналізу, порівняння; умінь виділяти головне, формулювати висновки.

Виховна: виховання в учнів інтересу до навчання, прищеплення навичок комунікативного спілкування.

Тип уроку:лекція.

Методи навчання:репродуктивний, проблемний, частково пошуковий.

Обладнання:таблиці, моделі обертових тіл, мультимедійне обладнання.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

На попередніх уроках ми вже познайомилися з тілами обертання і детальніше зупинилися на понятті циліндра. На таблиці ви бачите два креслення і працюючи в парах сформулюйте правильно питання пройденої теми.

П. Перевірка домашнього завдання.

Роботу в парах із використанням тематичної таблиці (призму, вписана в циліндр та призма, описана біля циліндра).

Наприклад, у парах та індивідуально учні можуть поставити запитання:

Що таке круговий циліндр (утворювальна циліндра, основи циліндра, бічна поверхня циліндра)?

Яка призма називається описаною біля циліндра?

Яка площина називається дотичною до циліндра?

Якими фігурами можна назвати багатокутники ABC, A1 B1 C1 , ABCDEіA1 B1 C1 D1 E1 ?

- Якою призмою є призма ABCDEABCDE? (Прямій.)

- Доведіть, що вона є прямою призмою.

(за бажанням 2 пари учнів біля дошки виконують роботу)

III. Актуалізація опорних знань.

За матеріалом планіметрії:

Теорема Фалеса;

Властивості середньої лінії трикутника;

Площа кола.

За матеріалом стереометрії:

Концепція гомотетія;

Кут між прямою та площиною.

IV.Вивчення нового матеріалу.

(навчально – методичний комплект «Жива математика », Додаток 1.)

Після представленого матеріалу пропонується план роботи:

1. Визначення конусу.

2. Визначення прямого конуса.

3. Елементи конуса.

4. Розгорнення конусу.

5. Отримання конуса як тіла обертання.

6. Види перерізів конуса.

Відповіді на ці питання учні самостійнодять у п.184-185, супроводжуючи їх малюнками.

Валеологічна пауза:Втомилися? Давайте перед наступним практичним етапом роботи відпочинемо!

· Масаж рефлекторних зон на вушній раковині, які відповідають за роботу внутрішніх органів;

· Масаж рефлекторних зон на долонях рук;

· Гімнастика для очей (зажмурити і різко відкрити очі);

· Розтяжка хребта (підняти руки вгору, підтягнутися правою, а потім лівою рукою)

· Дихальна гімнастика, спрямована на процес насичення киснем головного мозку (різко вдихнути носом 5 разів)

Складається тематична таблиця (спільно з учителем), супроводжуючи заповнення таблиці питаннями та отриманим матеріалом із різних джерел (підручник та комп'ютерна презентація)

«Конус. Усічений конус".

V.Закріплення матеріалу.

Фронтальна робота

· Усно (за допомогою готового креслення)вирішуються №9 та №10.

(двоє учнів пояснюють вирішення завдань, інші можуть виконувати короткі записи у зошитах)

№9. Радіус основи конуса 3м., висота конуса – 4м. знайдіть утворюючу.

(Рішення:l=√ R2 + H2 =√32+42=√25=5м.)

№10 Утворюючи конуса lнахилена до площини основи під кутом 30◦. Знайдіть висоту.

(Рішення:H = l sin 30◦ = l|2.)

· Розв'яжіть задачу по готовому кресленню.

Висота конуса дорівнює h. Через утворюючі МАі MBпроведена площина, що становить кут аз площиною основи конуса. Хорда АВстягує дугу з градусною мірою нар.

1. Доведіть, що перетин конуса площиною МАВ- рівнобедрений трикутник.

2. Поясніть, як побудувати лінійний кут двогранного кута, утворений січною площиною та площиною основи конуса.

3. Знайдіть МС.

4. Складіть (і поясніть) план обчислення довжини хорди АВта площі перерізу МАВ.

5. Покажіть малюнку, як можна провести перпендикуляр з точки Продо площини перерізу МАВ(Обґрунтуйте побудову).

· Повторення:

вивченого матеріалу із планіметрії:

Визначення рівнобедреного трикутника;

Властивості рівнобедреного трикутника;

Площа трикутника

вивченого матеріалу із стереометрії:

Визначення кута між площинами;

Спосіб побудови лінійного кута двогранного кута.

Тест для самоперевірки

1. Намалюйте тіла обертання, утворені обертанням плоских фігур, що зображені на малюнку.

2. Вкажіть, обертанням якої плоскої фігури вийшло зображене тіло обертання.