Період cosx. Вирази через комплексні змінні

З центром у точці A.
α - Кут, виражений у радіанах.

Визначення
Сінус (sin α)- це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, рівна відношенню довжини протилежного катета |BC| до довжини гіпотенузи | AC |

Косінус (cos α)- це тригонометрична функція, яка залежить від кута між гіпотенузою і катетом прямокутного трикутника, що дорівнює відношенню довжини прилеглого катета |AB| до довжини гіпотенузи | AC |

Прийняті позначення

;
;
.

;
;
.

Графік функції синус, y = sin x

Графік функції косинус, y = cos x

Властивості синуса та косинуса

Періодичність

Функції y = sin xта y = cos xперіодичні з періодом 2 π.

Парність

Функція синус – непарна. Функція косинус – парна.

Область визначення та значень, екстремуми, зростання, спадання

Функції синус і косинус безперервні у своїй області визначення, тобто всім x (див. доказ безперервності). Їхні основні властивості представлені в таблиці (n - ціле).

Основні формули

Сума квадратів синуса та косинуса

Формули синуса та косинуса від суми та різниці

;
;

Формули твору синусів та косинусів

Формули суми та різниці

Вираз синуса через косинус

;
;
;
.

Вираз косинуса через синус

;
;
;
.

Вираз через тангенс

; .

При , маємо:
; .

При:
; .

Таблиця синусів та косинусів, тангенсів та котангенсів

У цій таблиці представлені значення синусів і косінусів при деяких значеннях аргументу.

Вирази через комплексні змінні

;

Формула Ейлера

Вирази через гіперболічні функції

;
;

Похідні

; . Висновок формул > > >

Похідні n-го порядку:
{ -∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

Зворотні функції

Зворотними функціями до синуса і косинус є арксинус і арккосинус, відповідно.

Арксінус, arcsin

Арккосинус, arccos

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Число T, що для будь-якого x F(x + T) = F(x). Це число T називається періодом функції.

Періодів може бути кілька. Наприклад, функція F = const для будь-яких значень аргументу приймає одне й те саме значення, тому будь-яке число може вважатися її періодом.

Зазвичай цікавить найменший не рівний нулю період функції. Його для стислості і називають просто періодом.

Класичний приклад періодичних функцій – тригонометричні: синус, косинус та тангенс. Їх період однаковий і дорівнює 2π, тобто sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) тощо. Однак, зрозуміло, тригонометричні функції – не єдині періодичні.

Щодо простих, базових функцій єдиний спосіб встановити їх періодичність чи неперіодичність – обчислення. Для складних функцій вже є кілька простих правил.

Якщо F(x) - з періодом T, і для неї визначена похідна, то ця похідна f(x) = F′(x) - теж періодична функція з періодом T. у цій точці до осі абсцис, а оскільки періодично повторюється, то має повторюватися . Наприклад, похідна від функції sin(x) дорівнює cos(x) і вона періодична. Беручи похідну cos(x), ви отримаєте –sin(x). Періодичність зберігається постійно.

Однак протилежне не завжди вірне. Так, функція f(x) = const періодична, та її первісна F(x) = const*x + C - немає.

Якщо F(x) - періодична функція з періодом T, то G(x) = a*F(kx + b), де a, b, і k - константи і k не дорівнює нулю - теж періодична функція, і її період дорівнює T/k. Наприклад sin(2x) - періодична функція, та її період дорівнює π. Наочно це можна так: помножуючи x на якесь число, ви стискаєте функції по горизонталі саме в стільки разів

Якщо F1(x) і F2(x) - періодичні функції, та його періоди рівні T1 і T2 відповідно, то сума цих функцій також може бути періодичною. Однак її період не буде простою сумою періодів T1 та T2. Якщо результат розподілу T1/T2 - раціональне число, то сума функцій періодична, та її період дорівнює найменшому загальному кратному (НОК) періодів T1 і T2. Наприклад, якщо період першої функції дорівнює 12, а період другої - 15, то період їх суми дорівнюватиме НОК (12, 15) = 60.

Наочно це можна уявити так: функції йдуть з різною «шириною кроку», але якщо відношення їх ширин раціонально, то рано чи (а точніше, саме через НОК кроків) вони знову зрівняються, і їхня сума почне новий період.

Однак якщо співвідношення періодів, то сумарна функція не буде періодичною. Наприклад, нехай F1(x) = x mod 2 (залишок від поділу x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут дорівнюватиме 2, а T2 дорівнює 2π. Співвідношення періодів дорівнює π - ірраціональному числу. Отже, функція sin(x) + x mod 2 не є періодичною.

Джерела:

• Теоретичні відомості про функції

Багато математичних функцій мають одну особливість, що полегшує їх побудову, - це періодичністьтобто повторюваність графіка на координатній сітці через рівні проміжки.

Інструкція

Найвідомішими періодичними функціями математики синусоїда та косінусоїда. Ці функції мають хвилеподібний та основний період, що дорівнює 2П. Також окремим випадком періодичної функції є f(x)=const. На позицію х підходить будь-яке число, основного періоду дана функція немає, оскільки є пряму.

Взагалі функція є періодичною, якщо є ціле число N, яке від нуля і задовольняє правилу f(x)=f(x+N), таким чином забезпечуючи повторюваність. Період функції - і є найменше число N, але з нуль. Тобто, наприклад, функція sin x дорівнює функції sin (x+2ПN), де N=±1, ±2 тощо.

Іноді при функції може множник (наприклад, sin 2x), який збільшить або скоротить період функції. Для того щоб знайти період по

Інструкція

Щоб знайти період тригонометричної функції, зведеної в ступінь, оцініть парність ступеня. Для зменшення стандартного періоду в два рази. Наприклад, якщо вам дана функція у = 3 cos ^ 2х, то стандартний період 2П зменшиться в 2 рази, таким чином, період дорівнюватиме П. Зверніть , функції tg, ctg в будь-якій мірі періодичні П.

Якщо вам дано рівняння, що містить або часткове двох тригонометричних функцій, спочатку знайдіть період для кожної з них окремо. Потім знайдіть мінімальне число, яке вміщало б у собі цілу кількість обох . Наприклад, дана функція у = tgx * cos5x. Для тангенса період П, косинуса 5х – період 2П/5. Мінімальне число, в яке можна вмістити обидва ці періоди, це 2П, отже, шуканий період – 2П.

Якщо ви не можете діяти запропонованим чином або сумніваєтеся у відповіді, спробуйте діяти за визначенням. Візьміть як період функції Т, він більший за нуль. Підставте в рівняння замість х вираз (х+Т) і розв'яжіть отриману рівність, якби Т було параметром чи числом. В результаті ви знайдете значення тригонометричної функції та зможете підібрати мінімальний період. Наприклад, в результаті спрощення у вас вийшло тотожність sin (Т/2)=0. Мінімальне значення Т, у якому воно виконується, 2П, і завдання.

Джерела:

• період sin

Періодичною функцією називається функція, що повторює свої значення через якийсь ненульовий період. Період функції називається число, при додаванні якого до аргументу функції значення функції не змінюється.

Вам знадобиться

• Знання з елементарної математики та початків аналізу.

Інструкція

Відео на тему

Зверніть увагу

Усі тригонометричні функції є періодичними, проте поліноміальні зі ступенем більше 2 - апериодическими.

Корисна порада

Періодом функції, що складається з двох періодичних функцій, є найменший загальний кратний період цих функцій.

Тригонометричні рівняння - це рівняння, які містять функції невідомого аргументу (для прикладу: 5sinx-3cosx =7). Щоб навчитися вирішувати їх – потрібно знати деякі для цього методи.

Інструкція

Розкладання рівняння на множники. Спочатку переносимо всі члени вліво та розкладаємо на множники.

Важливо пам'ятати, що парність і непарність функції має пряму з областю визначення функції. Якщо, наприклад, парна чи непарна функція не за х=5, вона не існує і за х=-5, чого не можна сказати про функцію загального виду. Під час встановлення парності та непарності звертайте увагу на область визначення функції.

Дослідження функції на парність та непарність корелює зі знаходженням безлічі значень функції. Для знаходження безлічі значень парної функції досить розглянути половину функції, правіше чи лівіше нуля. Якщо при x>0 парна функція y(x) приймає від А до В, то самі значення вона буде і при x<0.
Для знаходження безлічі значень, що приймаються непарною функцією, також досить розглянути лише одну функції. Якщо при x>0 непарна функція y(x) набуває діапазону значень від А до В, то при x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).

«Тригонометричними» колись стали називати функції, які визначаються залежністю гострих кутів у прямокутному трикутнику від довжин його сторін. До таких функцій відносять в першу чергу синус і косинус, у другу - зворотні цим функціям секанс і косеканс, похідні від них тангенс і котангенс, а також зворотні функції арксинус, арккосинус та ін. Правильніше говорити не про «вирішення» таких функцій, а про їх "обчисленні", тобто про знаходження чисельного значення.

Інструкція

Якщо аргумент тригонометричної невідомий, то обчислити її значення можна непрямим способом, виходячи з визначень цих функцій. Для цього потрібно знати довжини сторін трикутника, тригонометричну для одного з кутів якого потрібно обчислити. Наприклад, синус гострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення довжини катета, що протилежить цьому куту, до довжини гіпотенузи. З цього випливає, що для кута достатньо знати довжини цих двох сторін. Аналогічне свідчить, що синусом гострого кута є відношення довжини катета, що прилягає до цього кута, до довжини гіпотенузи. Тангенс гострого кута можна обчислити, розділивши довжину катета, що протилежить йому, на довжину прилеглого, а вимагає поділу довжини прилеглого катета до довжини протилежного. Для обчислення секансу гострого кута треба знайти відношення довжини гіпотенузи до довжини катета, що прилягає до потрібного кута, а косеканс визначається ставленням довжини гіпотенузи до довжини протилежного катета.

Якщо аргумент тригонометричної функції відомий, то знати довжини сторін трикутника не потрібно - можна скористатися таблицями значень або калькуляторами тригонометричних функцій. Такий серед стандартних програм операційної системи Windows. Для його запуску можна натиснути клавіші Win + R, ввести команду calc і клацнути кнопку «OK». В інтерфейсі програми слід розкрити розділ «Вигляд» та пункт «Інженерний» або «Науковий». Після цього можна вводити аргумент тригонометричної функції. Для обчислення функцій синус, косинус і достатньо після введення значення клацнути по відповідній кнопці інтерфейсу (sin, cos, tg), а для знаходження арксинуса, арккосинуса, що ним оборотні, і слід попередньо поставити позначку в чекбоксі Inv.

Є й альтернативні методи. Один з них - перейти на сайт пошукової системи Nigma або Google і ввести як пошуковий запит потрібну функцію та її аргумент (наприклад, sin 0.47). Ці пошукові системи мають вбудовані калькулятори, тому після надсилання такого запиту ви отримаєте значення введеної вами тригонометричної функції.

Відео на тему

Тригонометричні функції спочатку виникли як інструменти абстрактних математичних обчислень залежностей величин гострих кутів у прямокутному трикутнику від довжин його сторін. Зараз вони дуже широко застосовуються як у наукових, так і в технічних галузях людської діяльності. Для практичних обчислень тригонометричних функцій від заданих аргументів можна використовувати різні інструменти – нижче описано кілька найбільш доступних із них.

Інструкція

Скористайтеся, наприклад, програмою-калькулятором, яка встановлюється за умовчанням разом з операційною системою. Вона відкривається вибором пункту «Калькулятор» у папці «Службові» з підрозділу «Стандартні», розміщеному у розділі «Всі програми». Цей розділ можна, відкривши клацанням по кнопці «Пуск» головне меню операційної. Якщо ви використовуєте версію Windows 7, то можете просто ввести «Калькулятор» у полі «Знайти програми та файли» головного меню, а потім клацнути за відповідним посиланням у результатах пошуку.

Введіть кута, для якого треба розрахувати тригонометричну функцію, а потім клацніть по цій кнопці - sin, cos або tan. Якщо вас цікавлять зворотні тригонометричні функції (арксинус, арккосинус або ), то спочатку клацніть кнопку з написом Inv - вона змінює присвоєні кнопкам функції на протилежні.

У попередніх версіях ОС (наприклад, Windows XP) для доступу до тригонометричних функцій треба розкрити в меню калькулятора розділ «Вигляд» і вибрати рядок «Інженерний». Крім того, замість кнопки Inv в інтерфейсі старих версій програми присутній чекбокс з написом.

Можна і без калькулятора, якщо у вас є доступ до Інтернету. У мережі є багато сервісів, які пропонують по-різному організовані обчислювачі тригонометричних функцій. Один із найбільш зручних вбудований у пошукову систему Nigma. Перейшовши на її головну сторінку, просто введіть у поле пошукового запиту значення, що вас цікавить - наприклад, «арктангенс 30». Після натискання кнопки "Знайти!" пошукач розрахує та покаже результат обчислення - 0,482347907101025.

Відео на тему

Тригонометрія – розділ математики вивчення , що виражають різні залежності сторін прямокутного трикутника від величин гострих кутів при гіпотенузі. Такі функції отримали назву тригонометричних, а для спрощення роботи з ними були виведені тригонометричні тотожності.

Концепція тотожностіозначає рівність, яка виконується при будь-яких значеннях аргументів входять до нього функцій. Тригонометричні тотожності– це рівні тригонометричних функцій, доведені та прийняті для полегшення роботи з тригонометричними формулами. Тригонометрична функція – це елементарна функція залежності одного з катетів прямокутного трикутника від величини гострого кута при гіпотенузі. Найчастіше використовуються шість основних тригонометричних функцій: sin (синус), cos (косинус), tg (тангенс), ctg (котангенс), sec (секанс) та cosec (косеканс). Ці функції називаються прямими, існують також

Відеоурок «Періодичність функцій у = sin х, у = cos х» розкриває поняття періодичності функції, розглядає опис прикладів розв'язання задач, у яких використовується поняття періодичності функції. Цей відеоурок є наочним посібником для пояснення теми учням. Також цей посібник може стати самостійною частиною уроку, звільняючи вчителя для проведення індивідуальної роботи з учнями.

Наочність у поданні цієї теми дуже важлива. Щоб уявити поведінку функції, побудову графіка, її необхідно візуалізувати. Зробити побудови за допомогою класної дошки та крейди не завжди вдається так, щоб вони були зрозумілі всім учням. У відеоуроці є можливість при побудові виділяти частини малюнку кольором, робити перетворення за допомогою анімації. Таким чином, побудови стають більш зрозумілими для більшості учнів. Також можливості відеоуроку сприяють кращому запам'ятовування матеріалу.

Демонстрація починається з подання теми уроку, а також нагадування учням матеріалу, вивченого на минулих уроках. Зокрема, підсумовується перелік властивостей, виявлених у функціях у = sin х, і навіть у = cos х. Серед властивостей функцій, що розглядаються, відзначені область визначення, область значень, парність (непарність), інші особливості - обмеженість, монотонність, безперервність, точки найменшого (найбільшого) значення. Учням повідомляється, що на даному уроці вивчається ще одна властивість функції – періодичність.

Представлено визначення періодичної функції y=f(x), де xx, у якій виконується умова f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) для деякого Т≠0. Інакше число Т називають період функції.

Для функцій синуса і косинуса, що розглядаються, виконання умови перевіряється, застосовуючи формули приведення. Очевидно, що вид тотожності sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) відповідає виду виразу визначального умова періодичності функції. Така ж рівність можна відзначити для косинуса cos (x-2π) = cos x = cos (x + 2π). Отже, ці тригонометричні функції є періодичними.

Далі наголошується, як властивість періодичності допомагає будувати графіки періодичних функцій. Розглядається функція у = sin x. На екрані будується координатна площина, де відзначені абсциси від -6π до 8π з кроком π. На поверхні будується частина графіка синуса, представлений однією хвилею на відрізку . На малюнку демонструється, як графік функції формується по всій області визначення зсувом побудованого фрагмента, і отримуючи довгу синусоїду.

Будується графік функції у = cos х, використовуючи властивість її періодичності. Для цього на малюнку будується координатна площина, де зображується фрагмент графіка. Зазначається, зазвичай такий фрагмент будується на відрізку [-π/2;3π/2]. Аналогічно графіку функції синуса, побудова графіка косинуса виконується зсувом фрагмента. В результаті побудови утворюється довга синусоїда.

Побудова графіка періодичної функції має особливості, які можна використовувати. Тому вони даються у узагальненому вигляді. Наголошується, що для побудови графіка такої функції спочатку будують гілка графіка на деякому проміжку довжиною Т. потім необхідно зрушити побудовану гілка вправо та вліво на Т, 2Т, 3Т і т.д. при цьому вказується ще на одну особливість періоду – для будь-якого цілого k≠0 число kТ також є періодом функції. Проте Т називається основним періодом, оскільки він найменших із усіх. Для тригонометричних функцій синуса та косинуса основним періодом є 2π. Однак також є періодами 4π, 6π тощо.

Далі пропонується розглянути знаходження основного періоду функції у = cos 5х. Рішення починається з припущенням, що Т – період функції. Отже, необхідне виконання умови f(x-Т)=f(x)=f(x+Т). У цьому тотожності f(x)= cos 5х, а f(x+Т)=cos 5(x+Т)= cos (5x+5Т). У цьому cos (5x+5Т)= cos 5х, отже 5Т=2πn. Тепер можна знайти Т = 2 / 5. Завдання вирішено.

У другому завданні необхідно знайти основний період функції y=sin(2x/7). Передбачається, що основний період функції Т. для цієї функції f(x)= sin(2x/7), а через період f(x+Т)=sin(2x/7)(х+Т)= sin(2x/7) + (2/7) Т). після приведення отримуємо (2/7)Т=2πn. Проте необхідно знайти основний період, тому беремо найменше значення (2/7)Т=2π, з якого знаходимо Т=7π. Завдання вирішено.

Наприкінці демонстрації результати прикладів узагальнюються, сформувавши правило визначення основного періоду функції. Зазначається, що з функцій у=sinkxи y=coskx основними періодами є 2π/k.

Відеоурок «Періодичність функцій у = sin х, у = cos х» може застосовуватися на традиційному уроці математики підвищення ефективності уроку. Також цей матеріал рекомендується використовувати вчителю, який здійснює дистанційне навчання для підвищення наочності пояснення. Відео може бути рекомендоване учню, що відстає, для поглиблення розуміння теми.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

"Періодичність функцій у = cos x, y = sin x".

Для побудови графіків функцій y = sin x та у = cos x були використані властивості функцій:

1 область визначення,

2 область значення,

3 парність або непарність,

4 монотонність,

5 обмеженість,

6 безперервність,

7 найбільше та найменше значення.

Сьогодні ми вивчимо ще одну властивість: періодичність функції.

ВИЗНАЧЕННЯ. Функцію у = f (x), де х ϵ Х(гравець дорівнює еф від ікс, де ікс належить множині ікс), називають періодичною, якщо існує відмінне від нуля число Т таке, що для будь-якого х із множини Х виконується подвійна рівність: f (x - Т) = f (x) = f (x + Т) (еф від ікс мінус те дорівнює еф від ікс і дорівнює еф від ікс плюс те). Число Т, яке задовольняє таку подвійну рівність, називають періодом функції

А так як синус і косинус визначені на всій числовій прямій і для будь-якого х виконуються рівності sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (синус від ікс мінус два пі дорівнює синусу ікс і дорівнює синусу від ікс плюс два пі ) та

cos (x - 2π) = cos x = cos (x + 2π) (косинус від ікс мінус два пі дорівнює косинус ікс і дорівнює косінус від ікс плюс два пі), то синус і косинус - це періодичні функції з періодом 2π.

Періодичність дозволяє швидко збудувати графік функції. Адже для того, щоб побудувати графік функції y = sin x досить побудувати одну хвилю (найчастіше на відрізку (від нуля до двох пі), а потім за допомогою зсуву побудованої частини графіка вздовж осі абсцис вправо і вліво на 2π, потім на 4π і так далі отримати синусоїду.

(показати зсув праворуч і ліворуч на 2π, 4π)

Аналогічно для графіка функції

у = cos x, тільки будуємо одну хвилю найчастіше на відрізку [; ] (від мінус пі на два до трьох пі на два).

Узагальнемо вище сказане і зробимо висновок: для побудови графіка періодичної функції з періодом Т спочатку потрібно побудувати гілка (або хвилю, або частину) графіка на будь-якому проміжку довжини Т (найчастіше це проміжок з кінцями в точках 0 і Т або - і (мінус е на два і те на два), а потім зрушити цю гілку вздовж осі х (ікс) вправо і вліво на Т, 2Т, 3Т і т.д.

Очевидно, що якщо функція періодична з періодом Т, то при будь-якому цілому k0(не рівному нулю) число виду kT(ка те) теж період цієї функції. Зазвичай намагаються виділити найменший позитивний період, який називають основним періодом.

Як період функцій у = cos x, y = sin x можна було б взяти - 4π, 4π, - 6π, 6π і т.д. (мінус чотири пі, чотири пі, мінус шість пі, шість пі і так далі). Але число 2 є основним періодом і тієї, і іншої функції.

Розглянемо приклади.

ПРИКЛАД 1. Знайти основний період функції у = сos5x (ігрок дорівнює косинус п'яти ікс).

Рішення. Нехай Т – основний період функції у = сos5x. Покладемо

f (x) = сos5x, тоді f (x + Т) = сos5(x + Т) = сos (5x + 5Т) (еф від ікс плюс те дорівнює косінусу п'яти, помноженого на суму ікса і те дорівнює косінусу від суми п'яти ікс та п'яти те).

сos (5x + 5Т) = сos5x. Звідси 5Т= 2πn (п'ять те дорівнює два пі ен), але за умовою потрібно знайти основний період, отже, 5Т= 2π. Отримуємо Т=

(Період цієї функції дорівнює два пі, поділене на п'ять).

Відповідь: Т =.

ПРИКЛАД 2. Знайти основний період функції у = sin (гравець дорівнює синус приватного двох ікс на сім).

Рішення. Нехай Т - основний період функції у = sin. Покладемо

f (x) = sin , тоді f (x + Т) = sin (x + Т) = sin (x + Т) (еф від ікс плюс те дорівнює синусу добутку двох сьомих і суми ікса і те дорівнює синусу від суми двох сьомих ікс та двох сьомих те).

Щоб число Т було періодом функції, має виконуватися тотожність

sin (x + Т) = sin. Звідси Т= 2πn (дві сьомі те дорівнює два пі ен), але за умовою потрібно знайти основний період, отже, Т= 2π. Отримуємо Т=7

(Період цієї функції дорівнює семи пі).

Відповідь: Т = 7.

Узагальнюючи результати, отримані в прикладах, можна зробити висновок: основний період функцій y = sin kx або у = cos kx (ігрок дорівнює синус ка ікс або гравець дорівнює косинус ка ікс) дорівнює (два пі, поділено на ка).