Площа чотирикутника з різними сторонами формули. Як знайти площу чотирикутника

Якщо на площині послідовно накреслити кілька відрізків так, щоб кожен наступний починався там, де закінчився попередній, то вийде ламана лінія. Ці відрізки називають ланками, а місця їхнього перетину — вершинами. Коли кінець останнього відрізка перетнеться з початковою точкою першого, то вийде замкнута ламана лінія, що ділить площину на дві частини. Одна з них є кінцевою, а друга нескінченною.

Проста замкнута лінія разом із укладеною в ній частиною площини (тою, яка є кінцевою) називають багатокутником. Відрізки є сторонами, а утворені ними кути вершинами. Кількість сторін будь-якого багатокутника дорівнює числу його вершин. Фігура, яка має три сторони, називається трикутником, а чотири чотирикутником. Багатокутник чисельно характеризується такою величиною, як площа, що показує розмір фігури. Як знайти площу чотирикутника? Цьому вчить розділ математики – геометрія.

Щоб знайти площу чотирикутника, потрібно знати до якого типу він відноситься - опуклого чи неопуклого? весь лежить щодо прямої (а вона обов'язково містить якусь із його сторін) по одну сторону. Крім того, є і такі види чотирикутників, як паралелограм з попарно рівними і паралельними протилежними сторонами (різновиди його: прямокутник з прямими кутами, ромб з рівними сторонами, квадрат з усіма прямими кутами і чотирма рівними сторонами), трапеція з двома паралельними дельтоїд із двома парами суміжних сторін, які рівні.

Площа будь-якого багатокутника знаходять, застосовуючи загальний метод, який полягає в тому, щоб розбити його на трикутники, для кожного обчислити площу довільного трикутника і скласти отримані результати. Будь-який опуклий чотирикутник ділиться на два трикутники, непуклий — на два чи три його в цьому випадку може складатися із суми та різниці результатів. Площа будь-якого трикутника обчислюють як половину добутку підстави (a) на висоту (?), проведену до підстави. Формула, яка застосовується в цьому випадку для обчислення, записується як: S = ? a. Є.

Як знайти площу чотирикутника, наприклад, паралелограма? Потрібно знати довжину основи (a), довжину бічної сторони (ƀ) і знайти синус кута α, утвореного основою та бічною стороною (sinα), формула для розрахунку виглядатиме: S = a . ƀ . sinα. Оскільки синус кута α є добуток основи паралелограма на його висоту (? = ?) — лінію перпендикулярна до основи, то його площу обчислюють, помноживши на висоту його основу: S = a . Є. Для розрахунку площі ромба та прямокутника також підходить ця формула. Так як у прямокутника бічна сторона збігається з висотою ?, то його площу обчислюють за формулою S = a . ƀ. тому що a = ? буде дорівнювати квадрату його сторони: S = a . a = a?. обчислюється як половина суми його сторін, помножена на висоту (вона проводиться до основи трапеції перпендикулярно): S = ? (a +?) . Є.

Як знайти площу чотирикутника, якщо невідомі довжини його сторін, але відомі його діагоналі (e) і (f), а також синус кута? У цьому випадку площа обчислюють як половину твору його діагоналей (лінії, які з'єднують вершини багатокутника), помножене на синус кута α. Формула може бути записана у такому вигляді: S = ½. (e. f). sinα. Зокрема в цьому випадку дорівнюватиме половині твору діагоналей (лінії, що з'єднують протилежні кути ромба): S = ½. (e. f).

Як знайти площу чотирикутника, який є паралелограмом чи трапецією, його зазвичай прийнято називати довільний чотирикутник. Площу такої фігури виражають через його напівпериметр (Ρ — сума двох сторін із загальною вершиною), сторони a, ƀ, c, d та суму двох протилежних кутів (α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ?) . (Ρ - c). (Ρ - d) - a. ƀ . c. d. cos² ½ (α + β)].

Якщо ? (Ρ - ?) . (Ρ - c). (Ρ - d)]. Якщо чотирикутник описаний колом, то (a + c = + d), а його площа обчислюють: S = √[ a . ƀ . c. d]. sin ½ (α + β). Якщо чотирикутник одночасно є описаним одним колом і вписаним в інше коло, то для обчислення площі використовують таку формулу: S = √.

Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

Формули площі квадрата

Формула площі квадрата по довжині сторони
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
S = 1 2
2

Формула площі прямокутника

Площа прямокутника

Формули площі паралелограма

Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
Площа паралелограма
Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
a · b · sin α

Формули площі ромба

Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
Формула площі ромба по довжині сторони та куту
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.

Формули площі трапеції

Формула Герону для трапеції
Де S - Площа трапеції,
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,

Чотирьохкутникомназивається фігура, що складається з чотирьох вершин, три з яких не лежать на одній прямій, та відрізків, що з'єднують їх.

Існує безліч чотирикутників. До них належать паралелограми, квадрати, ромби, трапеції. Знайти можна знайти на всі боки, легко обчислюється по діагоналях. У довільному чотирикутнику можна використовувати всі елементи для виведення формули площі чотирикутника. Спочатку розглянемо формулу площі чотирикутника через діагональ. Для того, щоб її використовувати, знадобляться довжини діагоналей і розмір гострого кута між ними. Знаючи необхідні дані можна проводити приклад розрахунку площі чотирикутника за такою формулою:

Половина добутку діагоналей та синуса гострого кута між ними є площею чотирикутника. Розглянемо приклад розрахунку площі чотирикутника через діагональ.

Нехай дано чотирикутник з двома діагоналями d1 = 5 см; d2 = 4см. Гострий кут між ними дорівнює α = 30 °. Формула площі чотирикутника через діагоналі легко застосовується для певних умов. Підставимо дані:

Приклад розрахунку площі чотирикутника через діагоналі розуміємо, що формула дуже схожа на розрахунок .

Площа чотирикутника на всі боки

Коли відомі довжини сторін фігури, можна застосувати формулу площі чотирикутника на всі боки. Для застосування цих розрахунків потрібно знайти напівпериметр фігури. Ми пам'ятаємо, що периметр – це сума довжин усіх сторін. Напівпериметр – це половина периметра. У прямокутнику зі сторонами a, b, c, d формула напівпериметра буде виглядати так:
Знаючи сторони, виводимо формулу. Площа чотирикутника є корінням з твору різниці напівпериметра з довжиною кожної сторони:

Розглянемо приклад розрахунку площі чотирикутника через сторони. Дано довільний чотирикутник зі сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для початку знайдемо півпериметр:

використовуємо знайдене значення для розрахунку площі:

Площа чотирикутника, заданого координатами

Формула площі чотирикутника по координатах використовується для розрахунку площі фігур, які розміщені в системі координат. В цьому випадку для початку потрібен розрахунок довжин необхідних сторін. Залежно від типу чотирикутника може змінюватись і сама формула. Розглянемо приклад розрахунку площі чотирикутника, використовуючи квадрат, що лежить у системі координат XY.

Даний квадрат ABCD, розташований у системі координат XY. Знайти площу фігури, якщо координати вершин A (2; 10); B (10; 8); C (8; 0); D (0; 2).

Ми знаємо, що всі сторони фігури рівні, і формула площі квадрата знаходиться за формулою:
Знайдемо одну зі сторін, наприклад, AB :
Підставимо значення у формулу:
Знаємо, що всі сторони однакові. Підставляємо значення у формулу розрахунку площі:

Початковий рівень

Площа трикутника та чотирикутника. Приклади розв'язання задач (2019)

Визначення площі

Що таке майдан? Дивне питання - чи не так? У звичайному житті ми звикли до того, що у будь-яких плоских фігур (таких як поверхня столу, стільця, підлога наших квартир і т.д.) є не тільки довжина і ширина, а й якась ще характеристика, яку ми, не замислюючись називається площею. А тепер ось давай замислимося: що ж таке майдан?

Давай почнемо з найпростішого. За основу береться той факт, що:

Іншими словами, площу квадрата зі стороною метр ми вважаємо одним «метром площі».

Подивися уважно на картинку та переконайся, що там справді намальований – «метр квадратний»! І запам'ятай позначення.

А ось тепер хитре питання: а що таке? Площа квадрата зі стороною? А ось і ні!

Дивись: квадрат зі стороною.

А щоб отримати квадратні метри (тобто,), ми повинні намалювати, наприклад так:

А як отримати, скажімо,? Ну наприклад так:

Та й взагалі, якщо ми візьмемо прямокутник, у якого сторони дорівнюють метрам і метрам, то в цьому прямокутнику:

Поміститься рівно квадратних метрів. Подивися уважно: у нас є шарів, у кожному з яких рівно квадратних метрів.

Значить, у прямокутнику розміром x помістилося квадратних метрів. Ось це число, скільки квадратних метрів помістилося у прямокутнику, і є його площа.

А якщо фігура – зовсім не прямокутник, а якась абракадабра?

Здивую тебе - бувають такі жахливі абракадабри, для яких неможливо встановити скільки там квадратних метрів. Навіть приблизно! На жаль намалювати такі постаті – неможливо.

Але ж вони є! Вони схожі, наприклад, на таку «гребінець» із дуже дрібними зубами.

І ось, для нормальних фігур можна інтуїтивно (тобто для себе) вважати, що площа фігури - це таке число, скільки в цій фігурі «міститься» квадратних одиниць (метрів, сантиметрів і т.д.) Суворіше, «справжнє» визначення площі дивись у наступних рівнях теорії.

І уяви собі, математики для багатьох постатей навчилися висловлювати площі через якісь лінійні (ті, що можна виміряти лінійкою) елементи фігур. Ці вирази називаються "формули площі". Формул цих досить багато – математики довго намагалися. Ти постарайся запам'ятати спочатку найпростіші та основні формули, а потім уже ті, що складніші.

Формули площі

Квадрат

Прямокутник

Прямокутний трикутник

Трикутник (довільний)

Для трикутника є одразу кілька формул площі.

Основна формула

Друга основна формула

Третя формула

Яку формулу вибрати для твого завдання? Основними є формули 1 і 2. Третю формулу потрібно застосовувати, якщо тобі все дано: і три сторони, і радіус вписаного кола. Але ж так не буває, так? Тому формулу 3 ми використовуємо, скоріше навпаки, для знаходження радіусу вписаного кола. Тоді потрібно знайти площу по одній із формул 1, 2 або 4, а потім уже радіус: .

Ну і формула 4 дозволяє по сторонам за допомогою довжелезної арифметики знаходити площу. І не помиляйся в арифметиці, коли застосовуватимеш формулу Герона!

Довільний чотирикутник

Для довільного чотирикутника більше нічого немає, а от для «хороших» чотирикутників є інші формули.

Паралелограм

Основна формула

Друга формула

Ромб

У ромба діагоналі перпендикулярні, тому Основнийдля нього стає формула:

Друга формула

А додатковою формулою стає

Трапеція

Основна формула

Друга формула

«Хитрі питання про площу»

Крім завдань, у яких просять легко визначити площу, зустрічаються ще всякі питання. Ну ось наприклад:

Давай відповімо на це питання двома способами. Перший спосіб – формальний: використовуємо формулу площі квадрата. Отже, було, значить – площа збільшилась у раз!

У випадку з квадратами є і другий спосіб «помацати» і переконатись безпосередньо в цьому числі.

Малюємо:

Якщо ж у тебе не квадрат, то залишається тільки підставляти нові значення формули - і не дивуйся, якщо раптом числа вийдуть досить великими.

ПЛОЩА ТРИКУТНИКА І ЧОТИРИКУТНИКА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Прямокутний трикутник

У шкільних математичних завданнях часто потрібно визначити площу чотирикутника. Все досить просто, якщо заданий окремий випадок фігури - квадрат, ромб, прямокутник, трапеція, паралелограм, ромбоїд. У разі довільного чотирикутникавсе трохи складніше, але цілком доступно для середнього школяра. Нижче вивчимо різні методи розрахунків площі довільних чотирикутників, запишемо формули і розглянемо різні допоміжні приклади.

У наведеній нижче таблиці будуть вказані визначення та домовленості, які будуть використовуватись надалі під час наших міркувань.

Знаходження площі чотирикутника різними способами та методами

Дізнаємося як знайти площу чотирикутника коли дано його діагоналі і гострий кут, що утворюється при їх перетині.. Тоді площа чотирикутника обчислюватиметься за формулою: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Розглянемо приклад. Нехай d1 = 15 сантиметрів, d2 = 12 сантиметрів і кут між ними 30 градусів. Визначимо S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметрів квадратних.

Тепер нехай дані сторони та протилежні кути чотирикутника.

Нехай a, b, c, d відомі сторони багатокутника; p – його напівпериметр. Корінь квадратного виразу умовимося позначати як rad (від латинського radical). Формула площі чотирикутника буде знаходитись за формулою: S = rad((p − a) (p − b) (p − c) (p − d) − a b c d ⋅ c o s^2((a,b) + (c,d) )/2), де p = 1/2 * (a + b + c + d).

На перший погляд, формула здається дуже складною та химерною. Однак нічого складного тут немає, що ми й доведемо, розглянувши приклад. Нехай дані нашої умови такі: a = 18 мм, b = 23 мм, c = 22 мм, d = 17 мм. Протилежні кути дорівнюватимуть (a,b) = 0,5 градуси і (c,d) = 1,5 градуси. Для початку знаходимо напівпериметр: p = 1/2 * (18 + 23 + 22 + 17) = 1 / 2 * 80 = 40 міліметрів.

Тепер знайдемо квадрат косинусанапівсуми протилежних кутів: c o s^2((a,b) + (c,d))/2) = c o s^2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2) * (1/2) = 0,9996.

Підставимо отримані дані в нашу формулу, отримаємо: S = rad((40 - 18) * (40 - 23) * (40 - 22) * (40 - 17) - 18 * 23 * 22 * 17 * 0,97) = rad(22*17*18*23 - 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 - 0,9996)) = rad(154836*0,0004 ) = rad62 = 7,875 мм квадратного.

Розберемося як знаходити площу за допомогою вписаного та описаного кіл. При вирішенні завдань цієї теми має сенс супроводжувати свої дії допоміжним малюнком, хоча ця вимога не є обов'язковою.

Якщо є вписане коло і потрібно знайти площу чотирикутника формула має вигляд:

S = ((a + b + c + d) / 2) * r

Знову візьмемо на розгляд приклад: a=16 метрів, b=30 метрів, c=28 метрів, d=14 метрів, r=6 метрів. Підставимо аші значення у формулу, отримаємо:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2) * 6 = 44 * 6 = 264 метрів квадратних.

Тепер займемося варіантом коли коло описане навколо чотирикутника. Тут ми зможемо скористатися такою формулою:

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), де p дорівнює половині довжини периметра. Нехай у нашому випадку сторони мають такі значення a = 26 дециметрів, b = 35 дециметрів, c = 39 дециметрів, d = 30 дециметрів.

Насамперед визначимо напівпериметр, p = (26 + 35 + 39 + 30) / 2 = 65 дециметрів. Підставимо знайдене значення на нашу формулу. Отримаємо:

S = rad ((65 - 26) * (65 - 35) * (65 - 39) * (65 - 30)) = rad (39 * 30 * 26 * 35) = 1032 (округлено) дециметрів квадратних.

Висновок

Уважно вивчивши все вищевикладене, можна зробити висновок - визначення площі довільного чотирикутника з різними сторонами складніше, ніж у них спеціальних видів - квадрата, прямокутника, ромба, трапеції, паралелограма. Однак уважно вивчившивсі наведені методи, можна легко вирішувати завдання необхідні школярів. Зведемо всі наші формули в одну таблицю:

S = 1/2 * d1 * d2 * sin (d1, d2);
S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d) − a*b*c*d*co s^2((a,b) + (c,d ))/2), де p = 1/2*(a + b + c + d);
S = ((a + b + c + d) / 2) * r

S = rad((p − a)*(p − b)*(p − c)*(p − d), де p дорівнює половині периметра.

Таким чином, реально складною є лише формула номер 2, але вона цілком доступна, за умови хорошого розуміння даних у статті визначень і угод.

Відео

Розібратися у цій темі вам допоможе відео.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.