Площа повної поверхні октаедра формули. Октаедр – правильні багатогранники (методична розробка)

Геометрія. тіло, обмежене 8 рівносторонніми трикутниками. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Павленков Ф., 1907. ОКТАЕДР грецьк. oktaedros, від okto, вісім, і hedra, основа. Восьмигранник. Пояснення 25000… … Словник іноземних слів російської мови

Багатогранник, восьмигранник Словник російських синонімів. октаедр сущ., кіл у синонімів: 2 восьмигранник (2) … Словник синонімів

октаедр- а, м. octaèdre m. octaedron. Правильний восьмигранник, тіло, обмежене вісьмома трикутниками. СІС 1954. В октаєдрах. Вітт Пром. хім. 1848 2 187. З кристалічних форм металів переважають куби і особливо октаедри. МБ 1900. Історичний словник галицизмів російської

- (Від грецького окто вісім і hedra сидіння, площину, грань), один з п'яти типів правильних багатогранників; має 8 граней (трикутних), 12 ребер, 6 вершин (у кожній сходяться 4 ребра). Сучасна енциклопедія

- (Від грец. okto вісім і hedra грань) один з п'яти типів правильних багатогранників; має 8 граней (трикутних), 12 ребер, 6 вершин (у кожній сходяться 4 ребра). Великий Енциклопедичний словник

ОКТАЕДР, октаедра, чоловік. (від грец. okto вісім і hedra основа). Правильний восьмигранник, обмежений вісьмома правильними трикутниками. Тлумачний словник Ушакова. Д.М. Ушаків. 1935 1940 … Тлумачний словник Ушакова

Одна з форм структурної організації вірусів (бактеріофагів), віріони яких є правильним багатогранником з 8 гранями і 6 вершинами. (Джерело: «Мікробіологія: словник термінів», Фірсов Н.Н., М: Дрофа, 2006) Словник мікробіології

- [όχτώ (ξхто) вісім; έδρα (γедра) грань] замкнутий восьмигранник з гранями у вигляді правильних трикутників. Символ О. (111). Див Форми кристалів прості вищої (кубічної) сингонії. Геологічна енциклопедія

октаедр- - [Англо-російський гемологічний словник. Красноярськ, КрасБеррі. 2007.] Тематики гемологія та ювелірне виробництво EN octahedron … Довідник технічного перекладача

Октаедр- (Від грецького окто вісім і hedra сидіння, площину, грань), один з п'яти типів правильних багатогранників; має 8 граней (трикутних), 12 ребер, 6 вершин (у кожній сходяться 4 ребра). … Ілюстрований енциклопедичний словник

Книги

Чарівні грані №15. Зірчастий октаедр. Зірчастий багатогранник, . Набір для складання багатогранника "Зоряний октаедр" . Розміри готового багатогранника, зібраного із набору: 170x180x200 мм. Рівень складності - "Старт" (не вимагає досвіду та додаткових…)
Чарівні грані №21. Архімедові тіла. Частина 2 , . Спеціальний випуск. Архімедові тіла. Два багатогранники в одному наборі. Набори для складання багатогранників: 171; Архімедові тіла: ромбо-кубо-октаедр, ромбо-усічений кубо-октаедр 187;.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Правильний октаедр має 8 трикутних граней, 12 ребер, 6 вершин, у кожній його вершині сходяться 4 ребра.

Розміри

Якщо довжина ребра октаедра дорівнює а, То радіус сфери, описаної навколо октаедра, дорівнює:

r u = a 2 2 ≈ 0.7071067 ⋅ a (\displaystyle r_(u)=(\frac(a)(2))(\sqrt(2))\approx 0.7071067\cdot a),

радіус вписаної в октаедр сфери може бути обчислений за формулою:

r i = a 6 6 ≈ 0.4082482 ⋅ a . (\displaystyle r_(i)=(\frac (a)(6))(\sqrt (6))\approx 0.4082482\cdot a.) Ортогональні проекції

Центровані	Ребром	Нормаллю до грані	Вершиною	Гранью
Образ
Проектна симетрія

Сферична мозаїка

Октаедр можна уявити, як сферичну мозаїку та спроектувати на площину за допомогою стереографічної проекції. Ця проекція конформна, зберігає кути, але не довжини і площу. Відрізки на сфері відображаються в дуги кіл на площині.

Ортогональна проекція	Стереографічна проекція
	трикутно-центрована

Декартові координати

Октаедр з довжиною ребра 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))може бути поміщений на початок координат, так що його вершини лежатимуть на осях координат. Декартові координати вершин тоді будуть

(±1, 0, 0); (0, ±1, 0); (0, 0, ±1).

Октаедр унікальний серед платонових тіл у цьому, що він має парне число граней за кожної вершині. Крім того, це єдиний член цієї групи, який має площини симетрії, що не перетинають жодну грань.

Якщо використовувати стандартну термінологію багатогранників Джонсона, октаедр можна назвати квадратною біпірамідою. Усічення двох протилежних вершин призводить до усіченої біпіраміді.

Октаедр можна вписати в тетраедр, причому чотири з восьми граней октаедра будуть поєднані з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть поєднані з центрами шести ребер тетраедра.
Октаедр можна вписати в куб, причому всі шість вершин октаедра будуть поєднані з центрами шести граней куба.
У октаедр можна вписати куб, причому всі вісім вершин куба будуть розташовані в центрах восьми граней октаедра.

Однорідне розфарбовування та симетрія

Є 3 однорідних розфарбовуванняоктаедра, названих за їхніми кольорами граней: 1212, 1112, 1111.

Групою симетрії октаедра є O h з порядком 48, тривимірна гіпероктаедральна група. Підгрупи цієї групи входять D 3d (порядку 12), група симетрії трикутної антипризми , D 4h(порядку 16), група симетрії квадратної біпіраміди і T d (порядку 24), група симетрії . Ці симетрії можна підкреслити шляхом різного розфарбовування граней.

Назва	Октаедр	Повністю усічений тетраедр (Тетратетраедр)	Трикутна антипризму	Квадратна біпіраміда	Ромбічна біпіраміда
Малюнок (Розмальовка граней)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Діаграма Коксетера		=