За якою формулою розраховується кількість коливань. Гармонічні коливання

Характеристика коливань

Фазавизначає стан системи, саме координату, швидкість, прискорення, енергію та інших.

Циклічна частотахарактеризує швидкість зміни фази коливань.

Початковий стан коливальної системи характеризує початкова фаза

Амплітуда коливань A- це найбільше усунення з положення рівноваги

Період T- це період часу, протягом якого точка виконує одне повне коливання.

Частота коливань- Це кількість повних коливань в одиницю часу t.

Частота, циклічна частота та період коливань співвідносяться як

Види коливань

Коливання, що відбуваються у замкнутих системах, називаються вільнимиабо власнимиколиваннями. Коливання, що відбуваються під дією зовнішніх сил, називають вимушеними. Зустрічаються також автоколивання(Вимуджуються автоматично).

Якщо розглядати коливання відповідно до змінних характеристик (амплітуда, частота, період та ін.), їх можна розділити на гармонійні, загасаючі, наростаючі(А також пилкоподібні, прямокутні, складні).

За вільних коливань у реальних системах завжди відбуваються втрати енергії. Механічна енергія витрачається, наприклад, на виконання роботи з подолання сил опору повітря. Під впливом сили тертя відбувається зменшення амплітуди коливань і через деякий час коливання припиняються. Очевидно, що чим більше сили опору руху, тим швидше припиняються коливання.

Вимушені коливання. Резонанс

Вимушені коливання незатухають. Тому необхідно поповнювати втрати енергії за кожний період коливань. Для цього необхідно впливати на тіло, що коливається, періодично змінюється силою. Вимушені коливання відбуваються із частотою, що дорівнює частоті зміни зовнішньої сили.

Вимушені коливання

Амплітуда вимушених механічних коливань досягає найбільшого значення в тому випадку, якщо частота сили, що змушує, збігається з частотою коливальної системи. Це явище називається резонансом.

Наприклад, якщо періодично смикати шнур у такт його власним коливанням, ми помітимо збільшення амплітуди його коливань.

Якщо вологий палець рухатиме по краю келиха, то келих буде видавати звуки, що дзвінять. Хоча це і непомітно, палець рухається уривчасто і передає енергію склу короткими порціями, змушуючи келих вібрувати

Стінки келиха також починають вібрувати, якщо на нього спрямувати звукову хвилю з частотою, що дорівнює його власній. Якщо амплітуда стане дуже великою, то келих може навіть розбитися. Через резонанс при співі Ф.І.Шаляпіна тремтіли (резонували) кришталеві підвіски люстр. Виникнення резонансу можна простежити у ванній кімнаті. Якщо ви неголосно співатиме звуки різної частоти, то на одній із частот виникне резонанс.

У музичних інструментах роль резонаторів виконують частини корпусів. Людина також має власний резонатор - це порожнина рота, що посилює звуки, що видаються.

Явище резонансу необхідно враховувати практично. У одних явищах може бути корисний, за іншими - шкідливий. Резонансні явища можуть викликати незворотні руйнування у різних механічних системах, наприклад, неправильно спроектованих мостах. Так, у 1905 році впав Єгипетський міст у Санкт-Петербурзі, коли по ньому проходив кінний ескадрон, а в 1940 - зруйнувався Такомський міст у США.

Явище резонансу використовується, коли за допомогою невеликої сили необхідно отримати велике збільшення амплітуди коливань. Наприклад, важкий язик великого дзвону можна розкачати, діючи порівняно невеликою силою з частотою, що дорівнює власної частоти коливань дзвона.

(Лат. amplitude- величина) - це найбільше відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги.

Для маятника це максимальна відстань, на яку віддаляється кулька від свого положення рівноваги (рисунок нижче). Для коливань з малими амплітудами за таку відстань можна приймати як довжину дуги 01 чи 02, і довжини цих відрізків.

Амплітуда коливань вимірюється в одиницях довжини - метрах, сантиметрах і т. д. На графіку коливань амплітуда визначається як максимальна (за модулем) ордината синусоїдальної кривої, (див. рис. Нижче).

Період коливань.

Період коливань- Це найменший проміжок часу, через який система, що робить коливання, знову повертається в той же стан, в якому вона знаходилася в початковий момент часу, вибраний довільно.

Іншими словами, період коливань ( Т) - це час, за який відбувається одне повне коливання. Наприклад, на малюнку нижче цей час, за який вантаж маятника переміщається з крайньої правої точки через точку рівноваги Проу крайню ліву точку і назад через точку Прознову в крайню праву.

За повний період коливань, таким чином, тіло проходить шлях, рівний чотирьом амплітудам. Період коливань вимірюється в одиницях часу - секундах, хвилинах і т. д. Період коливань може бути визначений за відомим графіком коливань (див. рис. нижче).

Поняття «період коливань», строго кажучи, справедливе, лише коли значення коливається величини точно повторюються через певний проміжок часу, тобто для гармонійних коливань. Однак це поняття застосовується також і для випадків приблизно повторюваних величин, наприклад, для загасаючих коливань.

Частота коливань.

Частота коливань- Це число коливань, що здійснюються за одиницю часу, наприклад, за 1 с.

Одиниця частоти у СІ названа герцем(Гц) на честь німецького фізика Г. Герца (1857-1894). Якщо частота коливань ( v) дорівнює 1 Гц, то це означає, що за кожну секунду відбувається одне коливання. Частота та період коливань пов'язані співвідношеннями:

Теоретично коливань користуються також поняттям циклічною, або кругової частоти ω . Вона пов'язана із звичайною частотою vта періодом коливань Тспіввідношеннями:

.

Циклічна частота- Це число коливань, що здійснюються за 2πсекунд.

У якому він перебував у початковий момент, обраний довільно).

У принципі збігається з математичним поняттям періоду функції , але маю на увазі під функцією залежність фізичної величини, що робить коливання, від часу.

Це поняття в такому вигляді застосовується як до гармонійних, так і до ангармонійних строго періодичних коливань (а наближено - з тим чи іншим успіхом - і неперіодичним коливань, принаймні до близьких до періодичності).

У випадку, коли йдеться про коливання гармонійного осцилятора з загасанням, під періодом розуміється період його осцилюючої складової (ігноруючи згасання), який збігається з подвоєним часовим проміжком між найближчими проходженнями величини, що коливається через нуль. У принципі, це визначення може бути з більшою чи меншою точністю та користю поширене в деякому узагальненні та на загасаючі коливання з іншими властивостями.

Позначення:звичайне стандартне позначення періоду коливань: $T$(хоча можуть застосовуватися й інші, найчастіше це $\backslash tau$, іноді $\backslash Theta$і т.д.).

$T\; =\; \backslash frac(1)(\backslash nu),\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash nu\; =\; \backslash frac(1)(T).$

Для хвильових процесів період пов'язаний також очевидним чином з довжиною хвилі $\backslash lambda$

$v\; =\; \backslash lambda\; \backslash nu,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; T\; =\; \backslash frac(\backslash lambda)(v),$

де $v$- Швидкість поширення хвилі (точніше - фазова швидкість).

У квантовій фізиціперіод коливань прямо пов'язаний з енергією (оскільки в квантовій фізиці енергія об'єкта – наприклад, частки – є частота коливань його хвильової функції).

Теоретичне знаходженняперіод коливань тієї чи іншої фізичної системи зводиться, як правило, до знаходження рішення динамічних рівнянь (рівняння), що описує цю систему. Для категорії лінійних систем (а приблизно - і для линеаризуемых систем у лінійному наближенні, що найчастіше є дуже хорошим) існують стандартні порівняно прості математичні методи, дозволяють це зробити (якщо відомі самі фізичні рівняння, що описують систему).

Для експериментального визначенняперіоду використовуються годинники, секундоміри, частотоміри, стробоскопи, строботахометри, осцилографи. Також застосовуються биття, метод гетеродинування у різних видах, використовується принцип резонансу. Для хвиль можна поміряти період побічно – через довжину хвилі, для чого застосовуються інтерферометри, дифракційні грати тощо. Іноді потрібні і витончені методи, спеціально розроблені для конкретного важкого випадку (трудність можуть представляти як саме вимір часу, особливо якщо йдеться про гранично малі або навпаки дуже великі часи, так і труднощі спостереження коливається величини).

Періоди коливань у природі

Уявлення про періоди коливань різних фізичних процесів дає стаття Частотні інтервали (враховуючи те, що період у секундах є обернена величина частоти в герцах).

Деяке уявлення про величини періодів різних фізичних процесів також може дати шкалу частот електромагнітних коливань (див. Електромагнітний спектр).

Періоди коливань чутного людиною звуку перебувають у діапазоні

Від 5·10 −5 до 0,2

(чіткі межі його дещо умовні).

Періоди електромагнітних коливань, що відповідають різним кольорам видимого світла – у діапазоні

Від 1,1 · 10 -15 до 2,3 · 10 -15.

Оскільки при екстремально великих та екстремально маленьких періодах коливань методи вимірювання мають тенденцію стають дедалі непрямими (аж до плавного перетікання в теоретичні екстраполяції), важко назвати чітку верхню та нижню межі для періоду коливань, виміряного безпосередньо. Якусь оцінку для верхньої межі може дати час існування сучасної науки (сотні років), а для нижньої – період коливань хвильової функції найважчої з відомих зараз частинок ().

В будь-якому випадку кордоном знизуможе бути планковское час , яке настільки мало, що з сучасним уявленням як навряд чи може взагалі якось фізично виміряно , а й навряд чи у більш-менш найближчому майбутньому видається можливість наблизитися до виміру величин навіть набагато порядків великих, а кордоном зверху- час існування Всесвіту - понад десять мільярдів років.

Періоди коливань найпростіших фізичних систем

Пружинний маятник

Математичний маятник

$T=2\backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(l)(g))$

де $l$- Довжина підвісу (наприклад, нитки), $g$- прискорення вільного падіння .

Період малих коливань (на Землі) математичного маятника довжиною 1 метр з гарною точністю дорівнює 2 секундам.

Фізичний маятник

$T=2\backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(J)(mgl))$

Крутильний маятник

$T\; =\; 2\; \backslash pi\; \backslash sqrt(\backslash frac(I)(K))$

Цю формулу вивів у 1853 році англійський фізик У. Томсон.

Напишіть відгук про статтю "Період коливань"

Примітки

Посилання

• - стаття з Великої радянської енциклопедії

Уривок, що характеризує період коливань

Увечері того ж дня на квартирі Денисова йшла жвава розмова офіцерів ескадрону.
— А я кажу вам, Ростове, що вам треба вибачитися перед полковим командиром, — говорив, звертаючись до червоного червоного, схвильованого Ростова, високий штаб ротмістр, з сивілим волоссям, величезними вусами і великими рисами зморшкуватого обличчя.
Штаб ротмістр Кірстен був двічі розжалований у солдати за справи честі і двічі вислужився.
- Я нікому не дозволю собі говорити, що я брешу! – скрикнув Ростов. - Він сказав мені, що я брешу, а я сказав йому, що він бреше. Так і залишиться. На чергування може мене призначати хоч щодня і під арешт саджати, а вибачатися мене ніхто не змусить, бо коли він, як полковий командир, вважає негідним себе дати мені задоволення, так…
- Та ви зачекайте, батюшку; ви послухайте мене, – перебив штаб ротмістр своїм басистим голосом, спокійно розгладжуючи свої довгі вуса. - Ви за інших офіцерів кажете полковому командиру, що офіцер вкрав...
– Я не винен, що розмова зайшла за інших офіцерів. Можливо, не треба було говорити при них, та я не дипломат. Я потім у гусари і пішов, думав, що тут не потрібно тонкощів, а він мені каже, що я брешу… то хай дасть мені задоволення…
- Це все добре, ніхто не думає, що ви боягуз, та не в тому річ. Запитайте у Денисова, схоже це на щось, щоб юнкер вимагав задоволення у полкового командира?
Денисов, закусивши вус, з похмурим виглядом слухав розмову, мабуть не бажаючи вступати до нього. На запитання штаб ротмістра він заперечливо похитав головою.
— Ви при офіцерах кажете полковому командиру про цю гидоту, — вів далі штаб ротмістр. – Богданович (Богдановичем називали полкового командира) вас обложив.
- Не обложив, а сказав, що я неправду говорю.
- Ну так, і ви наговорили йому дурниць, і треба перепросити.
- Нізащо! – крикнув Ростов.
- Не думав я цього від вас, - серйозно і суворо сказав штаб ротмістр. — Ви не хочете вибачитись, а ви, батюшка, не тільки перед ним, а перед усім полком, перед усіма нами, ви навкруги винні. А от як: якби ви подумали та порадилися, як обійтися з цією справою, а то ви прямо, та за офіцерів, і бухнули. Що тепер робити полковому командиру? Потрібно віддати під суд офіцера і забруднити весь полк? За одного негідника весь полк осоромити? Так, чи що, на вашу думку? А на нашу думку, не так. І Богданович молодець, він вам сказав, що ви неправду кажете. Неприємно, та що робити, батюшка, самі наскочили. А тепер, як справу хочуть зам'яти, так ви з-за фанаберії якийсь не хочете вибачитися, а хочете все розповісти. Вам прикро, що ви подежурите, та що вибачитися перед старим і чесним офіцером! Який би там не був Богданович, а все чесний і хоробрий, старий полковнику, так вам прикро; а забруднити полк вам нічого? - Голос штабу ротмістра починав тремтіти. - Ви, батюшка, у полку без року тиждень; нині тут, завтра перейшли кудись до ад'ютантики; вам начхати, що будуть говорити: «Між Павлоградськими офіцерами злодії!» А нам не байдуже. То чи що, Денисов? Не все одно?
Денисов все мовчав і не ворушився, зрідка поглядаючи своїми блискучими чорними очима на Ростова.
– Вам своя фанаберія дорога, вибачитись не хочеться, – продовжував штаб ротмістр, – а нам, старим, як ми виросли, та й померти, Бог дасть, приведеться в полку, то нам честь полку дорога, і Богданович це знає. Ох, як дорога, тату! А це недобре, недобре! Там ображайтеся чи ні, а я завжди скажу правду матку. Не добре!
І штаб ротмістр підвівся і відвернувся від Ростова.
- Пг"авда, чог"т візьми! - Закричав, схоплюючись, Денисов. - Ну, Г"кістя! Ну!
Ростов, червоніючи й блідівши, дивився то на одного, то на іншого офіцера.
– Ні, панове, ні… ви не думайте… я дуже розумію, ви даремно про мене думаєте так… я… для мене… я за честь полку… та що? це насправді я покажу, і для мене честь прапора… ну, все одно, правда, я винен!.. – Сльози стояли в його очах. – Я винен, навкруги винен!… Ну, що вам ще?…
- Оце так, графе, - повертаючись, гукнув штаб ротмістр, ударяючи його великою рукою по плечу.
- Я тобі кажу, - закричав Денисов, - він малий славний.
- Так краще, графе, - повторив штаб ротмістр, ніби за його визнання починаючи звати його титулом. - Ідіть і вибачтеся, ваше сіятельство, та с.
- Панове, все зроблю, ніхто від мене слова не почує, - благаючим голосом промовив Ростов, - але вибачатися не можу, їй Богу, не можу, як хочете! Як я вибачатимуся, точно маленький, прощення просити?
Денисов засміявся.
– Вам гірше. Богданович зла пам'ятний, поплатіться за впертість, – сказав Кірстен.
- Їй Богу, не впертість! Я не можу вам описати, яке почуття не можу…
– Ну, ваша воля, – сказав штаб ротмістр. — Що ж, мерзотник цей куди подівся? - Запитав він у Денисова.
- Дався взнаки хворим, завтга велено пказином виключити, - промовив Денисов.
- Це хвороба, інакше не можна пояснити, - сказав штаб ротмістр.
- Вже там хвороба не хвороба, а не трапляйся він мені на очі - уб'ю! – кровожерно прокричав Денисов.
До кімнати зайшов Жерков.
- Ти як? – раптом звернулися офіцери до того, хто увійшов.
- Похід, панове. Мак у полон здався і з армією, зовсім.
- Брешеш!
– Сам бачив.
– Як? Мака живого бачив? з руками, з ногами?
– Похід! Похід! Дати йому пляшку за таку новину. Ти як сюди потрапив?
– Знову в полк вислали за чорта, за Мака. Австрійський генерал поскаржився. Я його привітав з приїздом Мака… Ти що, Ростов, з лазні?
– Тут, брате, у нас така каша другий день.
Увійшов полковий ад'ютант і підтвердив звістку, привезену Жерковим. На завтра велено було виступати.
- Похід, панове!
- Ну, і слава Богу, засиділися.

Кутузов відступив до Відня, знищуючи за собою мости на річках Інні (у Браунау) та Трауні (у Лінці). 23 жовтня. Російські війська переходили річку Енс. Російські обози, артилерія і колони військ у середині дня тяглися через місто Енс, звідси і з того боку мосту.

Гармонічні коливання - коливання, які здійснюються за законами синуса та косинуса. На наступному малюнку представлений графік зміни координати точки з часом за законом косинуса.

малюнок

Амплітуда коливань

Амплітудою гармонійного коливання називається найбільше значення усунення тіла від положення рівноваги. Амплітуда може набувати різних значень. Вона залежатиме від того, наскільки ми змістимо тіло в початковий час від положення рівноваги.

Амплітуда визначається початковими умовами, тобто енергією тілу, що повідомляється в початковий момент часу. Так як синус і косинус можуть набувати значення в діапазоні від -1 до 1, то в рівнянні повинен бути множник Xm, що виражає амплітуду коливань. Рівняння руху при гармонійних коливаннях:

x = Xm * cos (ω0 * t).

Період коливань

Період коливань – це час здійснення одного повного коливання. Період коливання позначається буквою Т. Одиниці виміру періоду відповідають одиницям часу. Тобто в СІ – це секунди.

Частота коливань – кількість коливань скоєних за одиницю часу. Частота коливань позначається буквою ν. Частоту коливань можна виразити через період коливання.

ν = 1/Т.

Одиниці вимірювання частоти СІ 1/сек. Ця одиниця виміру отримала назву Герца. Число коливань за час 2*pi секунд дорівнюватиме:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота коливань

Ця величина називається циклічною частотою коливань. У деякій літературі трапляється назва кругова частота. Власна частота коливальної системи – частота вільних коливань.

Частота власних коливань розраховується за такою формулою:

Частота своїх коливань залежить від властивостей матеріалу та маси вантажу. Чим більша жорсткість пружини, тим більша частота власних коливань. Чим більша маса вантажу, тим менша частота власних коливань.

Ці два висновки очевидні. Чим жорсткіша пружина, тим більше прискорення вона повідомить тілу, при виведенні системи з рівноваги. Чим більша маса тіла, тим повільніше змінюватиметься ця швидкість цього тіла.

Період вільних коливань:

T = 2 * pi / ω0 = 2 * pi * √ (m / k)

Примітний той факт, що при малих кутах відхилення період коливання тіла на пружині та період коливання маятника не залежатимуть від амплітуди коливань.

Запишемо формули періоду та частоти вільних коливань для математичного маятника.

тоді період дорівнюватиме

T = 2*pi*√(l/g).

Ця формула буде справедлива лише малих кутів відхилення. З формули бачимо, що період коливань зростає із збільшенням довжини нитки маятника. Чим більше буде довжина, тим повільніше тіло коливатиметься.

Від маси вантажу період коливань не залежить. Натомість залежить від прискорення вільного падіння. При зменшенні g період коливань буде збільшуватися. Ця властивість широко використовують на практиці. Наприклад, вимірювання точного значення вільного прискорення.