Підрахунки з кореляції спірмена. Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена
- це кількісна оцінка статистичного вивчення зв'язку між явищами, що використовується у непараметричних методах.
Показник показує, як відрізняється отримана під час спостереження сума квадратів різниць між рангами від відсутності зв'язку.
Призначення сервісу. За допомогою цього онлайн-калькулятора проводиться:
- розрахунок коефіцієнта рангової кореляції Спірмена;
- обчислення довірчого інтервалу для коефіцієнта та оцінка його значущості;
Коефіцієнт рангової кореляції Спірменавідноситься до показників оцінки тісноти зв'язку. Якісну характеристику тісноти зв'язку коефіцієнта рангової кореляції, як та інших коефіцієнтів кореляції, можна оцінити за шкалою Чеддока.
Розрахунок коефіцієнтаскладається з наступних етапів:
Властивості коефіцієнта рангової кореляції Спірмена
Галузь застосування. Коефіцієнт кореляції рангіввикористовується з метою оцінки якості зв'язку між двома сукупностями. Крім цього, його статистична значимість застосовується при аналізі даних на гетероскедастичність.
Приклад. За вибіркою даних змінних X і Y, що спостерігаються:
- скласти рангову таблицю;
- знайти коефіцієнт рангової кореляції Спірмена та перевірити його значущість на рівні 2a
- оцінити характер залежності
| X | Y | ранг X, d x | ранг Y, d y |
| 28 | 21 | 1 | 1 |
| 30 | 25 | 2 | 2 |
| 36 | 29 | 4 | 3 |
| 40 | 31 | 5 | 4 |
| 30 | 32 | 3 | 5 |
| 46 | 34 | 6 | 6 |
| 56 | 35 | 8 | 7 |
| 54 | 38 | 7 | 8 |
| 60 | 39 | 10 | 9 |
| 56 | 41 | 9 | 10 |
| 60 | 42 | 11 | 11 |
| 68 | 44 | 12 | 12 |
| 70 | 46 | 13 | 13 |
| 76 | 50 | 14 | 14 |
Матриця рангів.
| ранг X, d x | ранг Y, d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 0 |
| 4 | 3 | 1 |
| 5 | 4 | 1 |
| 3 | 5 | 4 |
| 6 | 6 | 0 |
| 8 | 7 | 1 |
| 7 | 8 | 1 |
| 10 | 9 | 1 |
| 9 | 10 | 1 |
| 11 | 11 | 0 |
| 12 | 12 | 0 |
| 13 | 13 | 0 |
| 14 | 14 | 0 |
| 105 | 105 | 10 |
Перевірка правильності складання матриці на основі обчислення контрольної суми:
Сума по стовпчиках матриці рівні між собою та контрольної суми, отже, матриця складена правильно.
За формулою обчислимо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.
Зв'язок між ознакою Y та фактором X сильний і прямий
Значення коефіцієнта рангової кореляції Спірмена
Для того щоб при рівні значимості α перевірити нульову гіпотезу про рівність нулю генерального коефіцієнта рангової кореляції Спірмена при гіпотезі конкуруючої H i . p ≠ 0, треба обчислити критичну точку:
де n – обсяг вибірки; ρ - вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена: t(α, к) - критична точка двосторонньої критичної області, яку знаходять за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, за рівнем значущості α та числом ступенів свободи k = n-2.
Якщо |p|< Т kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| >T kp – нульову гіпотезу відкидають. Між якісними ознаками існує значний ранговий кореляційний зв'язок.
За таблицею Стьюдента знаходимо t(α/2, k) = (0.1/2; 12) = 1.782
Оскільки T kp< ρ , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая.
Калькулятор нижче обчислює коефіцієнт рангової кореляції Спірмена між двома випадковими величинами. Теоретична частина, щоб не відволікатися від калькулятора, зазвичай розміщується під ним.
add import_export mode_edit delete
Зміни випадкових величин
| arrow_upwardarrow_downward X | arrow_upwardarrow_downward Y | ||
|---|---|---|---|
| mode_edit |
Зміни випадкових величин
Імпортувати даніПомилка імпорту
Для поділу полів можна використовувати один із цих символів: Tab, ";" або "," Приклад: -50.5;-50.5
Імпортувати Назад Скасувати
Метод розрахунку коефіцієнта рангової кореляції Спірмена насправді описується дуже легко. Це той самий Коефіцієнт кореляції Пірсона, тільки розрахований не для результатів вимірювань випадкових величин, а для них рангових значень.
Тобто,
Залишилося тільки розібратися, що таке рангові значення і для чого це потрібно.
Якщо елементи варіаційного ряду розташувати у порядку зростання чи спадання, то рангомелемент буде його номер у цьому впорядкованому ряду.
Наприклад, нехай ми маємо варіаційний ряд (17,26,5,14,21). Відсортуємо його елементи у порядку зменшення (26,21,17,14,5). 26 має ранг 1, 21 – ранг 2 і т.д. Варіаційний ряд рангових значень виглядатиме так (3,1,5,4,2).
Тобто при розрахунку коефіцієнта Спірмена вихідні варіаційні ряди перетворюються на варіаційні ряди рангових значень, після чого до них застосовується формула Пірсона.
Є одна тонкість - ранг значень, що повторюються, береться як середнє з рангів. Тобто для ряду (17, 15, 14, 15) ряд рангових значень буде виглядати як (1, 2.5, 4, 2.5), так як перший елемент 15 має ранг 2, а другий - ранг 3, і .
Якщо ж повторюваних значень немає, тобто всі значення рангових рядів – числа з діапазону від 1 до n, формулу Пірсона можна спростити до
Ну і до речі, ця формула найчастіше наводиться як формула розрахунку коефіцієнта Спірмена.
У чому ж суть переходу від самих значень до рангових значень?
А суть у тому, що досліджуючи кореляцію рангових значень можна встановити наскільки добре залежність двох змінних описується монотонною функцією.
Знак коефіцієнта свідчить про напрям зв'язок між змінними. Якщо знак позитивний, значення Y мають тенденцію збільшуватися зі збільшенням значень X; якщо знак негативний, то значення Y мають тенденцію зменшуватися зі збільшенням значень X. Якщо коефіцієнт дорівнює 0, ніякої тенденції немає. Якщо коефіцієнт дорівнює 1 або -1, то залежність між X і Y має вигляд монотонної функції - тобто, при збільшенні X, Y також збільшується, або навпаки, при збільшенні X, Y зменшується.
Тобто, на відміну від коефіцієнта кореляції Пірсона, який може виявити лише лінійну залежність однієї змінної від іншої, коефіцієнт кореляції Спірмена може виявити монотонну залежність там, де безпосередній лінійний зв'язок не виявляється.
Поясню з прикладу. Припустимо, що досліджуємо функцію y=10/x.
У нас є наступні результати вимірювань X та Y
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
Для цих даних коефіцієнт кореляції Пірсона дорівнює -0.4686, тобто зв'язок слабкий або відсутній. А ось коефіцієнт кореляції Спірмена строго дорівнює -1, що натякає досліднику, що Y має строгу негативну монотонну залежність від X.
Рангова кореляція Спірмена(Кореляція рангів). Рангова кореляція Спірмена – найпростіший спосіб визначення ступеня зв'язку між факторами. Назва методу свідчить у тому, що зв'язок визначають між рангами, тобто рядами отриманих кількісних значень, ранжированих порядку спадання чи зростання. Треба мати на увазі, що, по-перше, рангове кореляцію Не рекомендується проводити, якщо зв'язок пар менше чотирьох і більше двадцяти; по-друге, рангова кореляція дозволяє визначати зв'язок і в іншому випадку, якщо значення мають напівкількісний характер, тобто не мають числового виразу, що відображають чіткий порядок дотримання цих величин; по-третє, рангову кореляцію доцільно застосовувати у тих випадках, коли достатньо отримати приблизні дані. Приклад розрахунку коефіцієнта рангової кореляції визначення питання: замірюють питання X і Y подібні особисті якості випробуваних. За допомогою двох запитань (X та Y), які вимагають альтернативних відповідей "так" чи "ні", отримали первинні результати - відповіді 15 піддослідних (N = 10). Результати подали у вигляді суми ствердних відповідей окремо для опитувальника X і для опитувальника В. Ці результати зведені у табл. 5.19.
Таблиця 5.19. Табулювання первинних результатів для розрахунку коефіцієнта рангової кореляції за Спірменом (р) *
Аналіз зведеної кореляційної матриці. Метод кореляційних плеяд.
приклад. У табл. 6.18 наведено інтерпретації одинадцяти змінних, які тестуються за методикою Векслера. Дані одержали на однорідній вибірці віком від 18 до 25 років (n = 800).
Перед розшаровуванням кореляційну матрицю доцільно ранжувати. Для цього у вихідній матриці обчислюють середні значення коефіцієнтів кореляції кожної змінної з усіма іншими.
Потім табл. 5.20 визначають допустимі рівні розшарування кореляційної матриці при заданих довірчій ймовірності 0,95 і n - кількості
Таблиця 6.20. Східна кореляційна матриця
| Змінні | 1 | 2 | 3 | 4 | б | 0 | 7 | 8 | 0 | 10 | 11 | M (rij) | Ранг |
| 1 | 1 | 0,637 | 0,488 | 0,623 | 0,282 | 0,647 | 0,371 | 0,485 | 0,371 | 0,365 | 0,336 | 0,454 | 1 |
| 2 | 1 | 0,810 | 0,557 | 0,291 | 0,508 | 0,173 | 0,486 | 0,371 | 0,273 | 0,273 | 0,363 | 4 | |
| 3 | 1 | 0,346 | 0,291 | 0,406 | 0,360 | 0,818 | 0,346 | 0,291 | 0,282 | 0,336 | 7 | ||
| 4 | 1 | 0,273 | 0,572 | 0,318 | 0,442 | 0,310 | 0,318 | 0,291 | 0,414 | 3 | |||
| 5 | 1 | 0,354 | 0,254 | 0,216 | 0,236 | 0,207 | 0,149 | 0,264 | 11 | ||||
| 6 | 1 | 0,365 | 0,405 | 0,336 | 0,345 | 0,282 | 0,430 | 2 | |||||
| 7 | 1 | 0,310 | 0,388 | 0,264 | 0,266 | 0,310 | 9 | ||||||
| 8 | 1 | 0,897 | 0,363 | 0,388 | 0,363 | 5 | |||||||
| 9 | 1 | 0,388 | 0,430 | 0,846 | 6 | ||||||||
| 10 | 1 | 0,336 | 0,310 | 8 | |||||||||
| 11 | 1 | 0,300 | 10 |
Позначення: 1 – загальна поінформованість; 2 - поняттєвість; 3 – уважність; 4 - вдатність До узагальнення; б - безпосереднє запам'ятовування (на цифрах) 6 - рівень освоєння рідною мовою; 7 - швидкість оволодіння сенсомоторними навичками (кодування символами) 8 - спостережливість; 9 - комбінаторні здібності (до аналізу та синтезу) 10 - здатність до організації елементів в осмислене ціле; 11 – здатність до евристичного синтезу; M (rij) - середнє значення коефіцієнтів кореляції змінної з рештою змінних спостережень (у нашому випадку n = 800): r(0) - значення нульової "Розсікає" площини - мінімальна значуща абсолютна величина коефіцієнта кореляції (n - 120, r(0) = 0,236;n = 40, r(0) = 0,407) | Δr | - допустимий крок розшарування (n = 40, | Δr | = 0,558) - допустима кількість рівнів розшарування (n = 40, s = 1; n = 120, s = 2); r(1), r(2), ..., r(9) - абсолютне значення січної площини (n = 40, r(1) = 0,965).
Для n = 800 знаходимо значення гтип і межі гі після чого розшаровує ранжовані кореляційну матрицю, виділяючи кореляційні плеяди всередині шарів, або відокремлюємо частини кореляційної матриці, вимальовуючи об'єднання кореляційних плеяд для вище шарів (рис. 5.5).
Змістовний аналіз одержаних плеяд виходить за межі математичної статистики. Слід зазначити два формальні показники, які допомагають при змістовній інтерпретації плеяд. Одним суттєвим показником є ступінь вершини, тобто кількість ребер, що примикають до вершини. Змінна з найбільшою кількістю ребер є "ядром" плеяди і її можна розглядати як індикатор інших змінних цієї плеяди. Інший суттєвий показник – щільність зв'язку. Змінна може мати менше зв'язків в одній плеяді, але вже і більше зв'язків в іншій плеяді, проте менш тісних.
Передбачення та оцінки. Рівняння у = b1x + b0 називається загальним рівнянням прямою. Воно свідчить про те, що пара точок (x, y), які
Мал. 5.5. Кореляційні плеяди, одержані розшаруванням матриці
лежать на деякій прямий, пов'язані так, що для будь-якого значення х величину в знаходиться в ньому в парі, можна знайти, помноживши х на деяке число b1 додавши других, число b0 до цього твору.
p align="justify"> Коефіцієнт регресії дозволяє визначити ступінь зміни слідчого фактора при зміні причинного фактора на одну одиницю. Абсолютні величини характеризують залежність між змінними факторами за їх абсолютними значеннями. Коефіцієнт регресії обчислюють за такою формулою:
Планування та аналіз експериментів. Планування та аналіз експериментів – це третя важлива галузь статистичних методів, розроблених для знаходження та перевірки причинних зв'язків між змінними.
Для дослідження багатофакторних залежностей останнім часом дедалі частіше використовують методи математичного планування експерименту.
Можливість одночасного варіювання всіма факторами дозволяє: а) зменшити кількість дослідів;
б) звести помилку експерименту до мінімуму;
в) спростити обробку даних;
г) забезпечити наочність та легкість у порівнянні результатів.
Кожен фактор може набувати певної відповідної кількості різних значень, які називаються рівнями і позначають -1, 0 і 1. Фіксований набір рівнів факторів визначає умови одного з можливих дослідів.
Сукупність всіх можливих поєднань обчислюють за такою формулою:
Повним факторним експериментом називається експеримент, у якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів факторів. Повні факторні експерименти можуть мати властивість ортогональності. При ортогональному плануванні фактори в експерименті є некорельованими, коефіцієнти регресії, що вираховуються в результаті, визначають незалежно один від одного.
Важливою перевагою методу математичного планування експерименту є його універсальність, придатність у багатьох сферах досліджень.
Розглянемо приклад порівняння впливу деяких чинників формування рівня психічного напруги в регулювальників кольорових телевізорів.
В основу експерименту покладено ортогональний План 2 три (три фактори змінюються на двох рівнях).
Експеримент проводили з повною частиною 2+3 з трикратним повторенням.
Ортогональне планування виходить з побудові рівняння регресії. Для трьох факторів воно виглядає так:
Обробка результатів у цьому прикладі включає:
а) побудова ортогонального плану 2+3 таблиці для розрахунку;
б) обчислення коефіцієнтів регресії;
в) перевірку їхньої значущості;
г) інтерпретацію одержаних даних.
Для коефіцієнтів регресії згаданого рівняння треба було поставити N = 2 3 = 8 варіантів, щоб мати можливість оцінити значущість коефіцієнтів, де кількість повторень До дорівнювала 3.
Складена матриця планування експерименту виглядала.
Коефіцієнт кореляції рангів, запропонований К. Спірменом, відноситься до непараметричних показників зв'язку між змінними, виміряними в ранговій шкалі. При розрахунку цього коефіцієнта не потрібно ніяких припущень про характер розподілу ознак у генеральній сукупності. Цей коефіцієнт визначає ступінь тісноти зв'язку порядкових ознак, які у разі є ранги порівнюваних величин.
Величина коефіцієнта кореляції Спірмена лежить в інтервалі +1 і -1. Він, як і коефіцієнт Пірсона, може бути позитивним та негативним, характеризуючи спрямованість зв'язку між двома ознаками, виміряними у ранговій шкалі.
У принципі число ранжируемых ознак (якостей, чорт тощо.) може бути будь-яким, але процес ранжирування більшого, ніж 20 числа ознак - скрутний. Можливо, що саме тому таблиця критичних значень рангового коефіцієнта кореляції розрахована лише сорока ранжируемых ознак (n< 40, табл. 20 приложения 6).
Ранговий коефіцієнт кореляції Спірмена підраховується за такою формулою:
де n - кількість ранжованих ознак (показників, випробуваних);
D - різниця між рангами по двох змінних для кожного випробуваного;
Сума квадратів різниць рангів.
Використовуючи ранговий коефіцієнт кореляції, розглянемо такий приклад.
приклад: Психолог з'ясовує, як пов'язані між собою індивідуальні показники готовності до школи, отримані до початку навчання у школі у 11 першокласників та їхня середня успішність наприкінці навчального року.
Для вирішення цього завдання було проранжовано, по-перше, значення показників шкільної готовності, отримані під час вступу до школи, і, по-друге, підсумкові показники успішності наприкінці року в тих учнів у середньому. Результати представимо в табл. 13.
Таблиця 13
|
№ учнів | |||||||||||
|
Ранги показників шкільної готовності | |||||||||||
|
Ранги середньорічної успішності | |||||||||||
Підставляємо отримані дані у формулу та проводимо розрахунок. Отримуємо:
Для знаходження рівня значущості звертаємось до табл. 20 додатка 6, в якій наведено критичні значення коефіцієнтів рангової кореляції.
Підкреслимо, що у табл. 20 додатка 6, як і таблиці для лінійної кореляції Пірсона, всі величини коефіцієнтів кореляції дані по абсолютній величині. Тому, знак коефіцієнта кореляції враховується лише за його інтерпретації.
Знаходження рівнів значимості у цій таблиці здійснюється за кількістю n, т. е. за кількістю піддослідних. У нашому випадку n = 11. Для цього числа знаходимо:
0,61 для P 0,05
0,76 для P 0,01
Будуємо відповідну ``вісь значущості'':
Отриманий коефіцієнт кореляції збігся з критичним значенням рівня значимості в 1%. Отже, можна стверджувати, що показники шкільної готовності та підсумкові оцінки першокласників пов'язані позитивною кореляційною залежністю - інакше кажучи, чим вищий показник шкільної готовності, тим краще навчається першокласник. У термінах статистичних гіпотез психолог повинен відхилити нульову (Нгіпотезу про подібність і прийняти альтернативну (Але наявності відмінностей, яка говорить про те, що зв'язок між показниками шкільної готовності та середньою успішністю відрізняється від нуля).
Випадок однакових (рівних) рангів
За наявності однакових рангів формула розрахунку коефіцієнта лінійної кореляції Спірмена буде дещо іншою. У цьому випадку до формули обчислення коефіцієнтів кореляції додаються два нових члени, що враховують однакові ранги. Вони називаються поправками на однакові ранги і додаються до чисельника розрахункової формули.
де n - число однакових рангів у першому стовпці,
k – число однакових рангів у другому стовпці.
Якщо є дві групи однакових рангів, у якомусь стовпці то формула поправки дещо ускладнюється:
де n - число однакових рангів у першій групі стовпця, що ранжується,
k - число однакових рангів у другій групі стовпця, що ранжується. Модифікація формули у випадку така:
приклад: Психолог, використовуючи тест розумового розвитку (ШТУР) проводить дослідження інтелекту у 12 учнів 9 класу. Поруч із, але вимагає вчителів літератури та математики провести ранжування цих учнів за показниками розумового розвитку. Завдання полягає в тому, щоб визначити, як пов'язані між собою об'єктивні показники розумового розвитку (дані ШТУРу) та експертні оцінки вчителів.
Експериментальні дані цієї задачі та додаткові стовпці, необхідні для розрахунку коефіцієнта кореляції Спірмена, представимо у вигляді табл. 14.
Таблиця 14
|
№ учнів |
Ранги тестування за допомогою ШТУРу |
Експертні оцінки вчителів з математики |
Експертні оцінки вчителів з літератури |
D (другого та третього стовпців) |
D (другого та четвертого стовпців) |
(другого та третього стовпців) |
(другого та четвертого стовпців) |
Оскільки при ранжируванні використовувалися однакові ранги, необхідно перевірити правильність ранжирування у другому, третьому і четвертому стовпцях таблиці. Підсумовування у кожному з цих стовпців дає однакову суму - 78.
Перевіряємо за розрахунковою формулою. Перевірка дає:
У п'ятому та шостому стовпцях таблиці наведено величини різниці рангів між експертними оцінками психолога за тестом ШТУР для кожного учня та величинами експертних оцінок вчителів, відповідно до математики та літератури. Сума величин різниць рангів повинна дорівнювати нулю. Підсумовування величин D в п'ятому і шостому стовпцях дало результат. Отже, віднімання рангів проведено правильно. Подібну перевірку необхідно робити щоразу під час проведення складних видів ранжування.
Перш ніж розпочати розрахунок за формулою, необхідно розрахувати поправки на однакові ранги для другого, третього і четвертого стовпців таблиці.
У нашому випадку у другому стовпці таблиці два однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D1 буде: 
У третьому стовпці три однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D2 буде: 
У четвертому стовпці таблиці дві групи по три однакові ранги, отже, за формулою величина поправки D3 буде: 
Перш, ніж почати вирішення завдання, нагадаємо, що психолог з'ясовує два питання - як пов'язані величини рангів за тестом ШТУР з експертними оцінками з математики та літератури. Саме тому розрахунок проводиться двічі.
Вважаємо перший ранговий коефіцієнт з урахуванням добавок за формулою. Отримуємо:
Підрахуємо без урахування добавки:
Як бачимо, різниця у величинах коефіцієнтів кореляції виявилася дуже незначною.
Вважаємо другий ранговий коефіцієнт з урахуванням добавок за формулою. Отримуємо:
Підрахуємо без урахування добавки:
І знову, відмінності виявилися дуже незначними. Оскільки кількість учнів у обох випадках однаково, по табл. 20 додатка 6 знаходимо критичні значення при n = 12 одночасно для обох коефіцієнтів кореляції.
0,58 для P 0,05
0,73 для P 0,01
Відкладаємо перше значення на "осі значущості"":
У першому випадку отриманий коефіцієнт рангової кореляції перебуває у зоні значимості. Тому психолог повинен відхилити нульову Нгіпотезу про схожість коефіцієнта кореляції з нулем і прийняти альтернативну Але значну відмінність коефіцієнта кореляції від нуля. Іншими словами, отриманий результат говорить про те, що чим вищі експертні оцінки учнів з тесту ШТУР, тим вищі їх експертні оцінки з математики.
Відкладаємо друге значення на "осі значущості"":
У другому випадку коефіцієнт рангової кореляції знаходиться у зоні невизначеності. Тому психолог може прийняти нульову Нгіпотезу про схожість коефіцієнта кореляції з нулем і відхилити альтернативну Але значну відмінність коефіцієнта кореляції від нуля. У цьому випадку отриманий результат свідчить, що експертні оцінки учнів з тесту ШТУР не пов'язані з експертними оцінками з літератури.
Для застосування коефіцієнта кореляції Спірмена, необхідно дотримуватись наступних умов:
1. Змінні змінні повинні бути отримані в порядковій (ранговій) шкалі, але можуть бути виміряні також у шкалі інтервалів та відносин.
2. Характер розподілу корелюваних величин не має значення.
3. Число змін, що варіюють, в порівнюваних змінних X і Y повинно бути однаковим.
Таблиці визначення критичних значень коефіцієнта кореляції Спірмена (табл. 20 додаток 6) розраховані від числа ознак рівних n = 5 до n = 40 і за більшому числі порівнюваних змінних слід використовувати таблицю для пірсоновского коефіцієнта кореляції (табл. 19 додаток 6). Знаходження критичних значень здійснюється за k = n.
Кореляція Пірсона є мірою лінійного зв'язку між двома змінними. Вона дозволяє визначити, наскільки пропорційна мінливість двох змінних. Якщо змінні пропорційні один одному, то графічно зв'язок між ними можна подати у вигляді прямої лінії з позитивним (пряма пропорція) або негативним (зворотна пропорція) нахилом.
На практиці зв'язок між двома змінними, якщо він є, є імовірнісним і графічно виглядає як хмара розсіювання еліпсоїдної форми. Цей еліпсоїд, однак, можна уявити (апроксимувати) у вигляді прямої лінії, або лінії регресії. Лінія регресії – це пряма, побудована методом найменших квадратів: сума квадратів відстаней (обчислених по осі Y) від кожної точки графіка розсіювання до прямої є мінімальною
Особливого значення для оцінки точності передбачення має дисперсія оцінок залежної змінної. По суті, дисперсія оцінок залежної змінної Y - це та частина її повної дисперсії, яка обумовлена впливом незалежної змінної X. Інакше кажучи, відношення дисперсії оцінок залежної змінної до її істинної дисперсії дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції.
Квадрат коефіцієнта кореляції залежної та незалежної змінних представляє частку дисперсії залежної змінної, обумовленої впливом незалежної змінної, і називається коефіцієнтом детермінації. Коефіцієнт детермінації, таким чином, показує, якою мірою мінливість однієї змінної обумовлена (детермінована) впливом іншої змінної.
Коефіцієнт детермінації має важливу перевагу порівняно з коефіцієнтом кореляції. Кореляція __________не є лінійною функцією зв'язку між двома змінними. Тому, середнє арифметичне коефіцієнтів кореляції для кількох вибірок не збігається з кореляцією, обчисленою відразу всім випробовуваних із цих вибірок (тобто. коефіцієнт кореляції не аддитивний). Навпаки, коефіцієнт детермінації відбиває зв'язок лінійно і тому аддитивним: допускається його усереднення кількох вибірок.
Додаткову інформацію про силу зв'язку дає значення коефіцієнта кореляції у квадраті – коефіцієнт детермінації: це частина дисперсії однієї змінної, яка може бути пояснена впливом іншої змінної. На відміну від коефіцієнта кореляції, коефіцієнт детермінації лінійно зростає зі збільшенням сили зв'язку.
Коефіцієнти кореляції Спірмена та τ-Кендала (рангові кореляції)
Якщо обидві змінні, між якими вивчається зв'язок, представлені у порядковій шкалі, або одна з них – у порядковій, а інша – у метричній, то застосовуються рангові коефіцієнти кореляції: Спірмена або Кендела. І той, і інший коефіцієнт вимагає для застосування попереднього ранжування обох змінних.
p align="justify"> Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена - це непараметричний метод, який використовується з метою статистичного вивчення зв'язку між явищами. У цьому випадку визначається фактичний ступінь паралелізму між двома кількісними рядами ознак, що вивчаються, і дається оцінка тісноти встановленого зв'язку за допомогою кількісно вираженого коефіцієнта.
Якщо члени групи чисельністю були ранжировані спочатку змінною x, потім – змінною y, то кореляцію між змінними x і y можна отримати, просто обчисливши коефіцієнт Пірсона для двох рядів рангів. За умови відсутності зв'язків у рангах (тобто відсутності повторюваних рангів) за тією та іншою змінною, формула для Пірсона може бути суттєво спрощена у обчислювальному відношенні та перетворена на формулу, відому як Спірмена.
Потужність коефіцієнта рангової кореляції Спірмена дещо поступається потужністю параметричного коефіцієнта кореляції.
Коефіцієнт рангової кореляції доцільно застосовувати за наявності невеликої кількості спостережень. Даний метод може бути використаний не тільки для кількісно виражених даних, але також і у випадках, коли значення, що реєструються, визначаються описовими ознаками різної інтенсивності.
Коефіцієнт рангової кореляції Спірмена при великій кількості однакових рангів по одній або обох змінним, що зіставляється, дає огрублені значення. В ідеалі обидва корелювані ряди повинні являти собою дві послідовності значень, що не збігаються.
Альтернативу кореляції Спірмена для рангів є кореляція τ-Кендала. В основі кореляції, запропонованої М.Кендаллом, лежить ідея про те, що про напрям зв'язку можна судити, попарно порівнюючи між собою випробуваних: якщо у пари випробуваних зміна x збігається у напрямку зі зміною y, то це свідчить про позитивний зв'язок, якщо не збігається - то про негативний зв'язок.
