Показова функція має ряд тейлора. Ступінні ряди, їх збіжність, розкладання функцій у статечні ряди

Вивчаючим вищу математику має бути відомо, що сумою якогось статечного ряду, що належить інтервалу збіжності даного нам ряду, виявляється безперервне і безмежне число разів диференційована функція. Виникає питання: чи можна стверджувати, що задана довільна функція f(х) - це сума якогось статечного ряду? Тобто за яких умов ф-ия f(х) може бути зображена статечним рядом? Важливість такого питання полягає в тому, що існує можливість приблизно замінити ф-ію f(х) сумою декількох перших членів статечного ряду, тобто многочленом. Така заміна функції досить простим виразом - багаточлен - є зручною і при вирішенні деяких завдань а саме: при вирішенні інтегралів, при обчисленні і т.д.

Доведено, що для певної ф-ії f(х), в якій можна обчислити похідні до (n+1)-го порядку, включаючи останній, в околиці (α - R; x 0 + R) деякої точки х = α справедливою є формула:

Ця формула носить ім'я відомого вченого Брука Тейлора. Ряд, який отримують із попереднього, називається ряд Маклорена:

Правило, яке дає змогу розкласти ряд Маклорена:

Визначити похідні першого, другого, третього… порядків.
Обчислити, чому рівні похідні х=0.
Записати ряд Маклорена для цієї функції, після чого визначити інтервал його збіжності.
Визначити інтервал (-R;R), де залишкова частина формули Маклорена

R n (х) -> 0 при n -> нескінченності. Якщо така існує, у ньому функція f(х) повинна збігатися з сумою ряду Маклорена.

Розглянемо тепер ряди Маклорена окремих функцій.

1. Отже, першою буде f(x) = е х. Вочевидь, що з своїм особливостям така ф-ия має похідні найрізноманітніших порядків, причому f (k) (х) = e x , де k дорівнює всім підставимо х=0. Отримаємо f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 ... Виходячи з вищесказаного, ряд їх виглядатиме таким чином:

2. Ряд Маклорена для функції f(x) = sin x. Відразу ж уточнимо, що ф-ия для всіх невідомих матиме похідні, до того ж f "(х) = cos x = sin (х + п / 2), f "" (х) = -sin x = sin (х +2*п/2)..., f(k)(х) = sin(х+k*п/2), де k дорівнює будь-якому натуральному числу, тобто, зробивши нескладні розрахунки, можемо дійти висновку, що ряд для f(х) = sin х буде такого вигляду:

3. Тепер спробуємо розглянути ф-ію f(x) = cos x. Вона всім невідомих має похідні довільного порядку, причому |f (k) (x)| = | cos (x + k * п/2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Отже, ми перерахували найважливіші функції, які можна розкласти до ряду Маклорена, проте їх доповнюють ряди Тейлора деяких функцій. Нині ми перерахуємо і їх. Варто також зазначити, що ряди Тейлора та Маклорена є важливою частиною практикуму вирішення рядів у вищій математиці. Отже, лави Тейлора.

1. Першим буде ряд ф-ії f(х) = ln(1+x). Як і попередніх прикладах, для даної нам f(х) = ln(1+х) можна скласти ряд, використовуючи загальний вигляд ряду Маклорена. однак для цієї функції ряд Маклорен можна отримати значно простіше. Проінтегрувавши якийсь геометричний ряд, ми отримаємо ряд для f(х) = ln(1+х) такого зразка:

2. І другим, який буде заключним у нашій статті, буде ряд для f(x) = arctg x. Для х, що належить проміжку [-1;1] справедливим є розкладання:

На цьому все. У цій статті були розглянуті ряди Тейлора і Маклорена у вищій математиці, зокрема, в економічних і технічних вузах.

Теоретично функціональних рядів центральне місце займає розділ, присвячений розкладу функції ряд.

Таким чином, ставиться завдання: за заданою функцією потрібно знайти такий статечний ряд

який на деякому інтервалі сходився і його сума дорівнювала
, тобто.

= ..

Це завдання називається завданням розкладання функції в статечний ряд.

Необхідною умовою розкладності функції в статечний рядє її диференційованість нескінченне число разів – це випливає з властивостей статечних рядів, що сходяться. Така умова виконується, зазвичай, для елементарних функцій у сфері визначення.

Отже, припустимо, що функція
має похідні будь-якого порядку. Чи можна її розкласти в статечний ряд, якщо можна, то як знайти цей ряд? Найпростіше вирішується друга частина завдання, з неї і почнемо.

Припустимо, що функцію
можна подати у вигляді суми статечного ряду, що сходиться в інтервалі, що містить точку х 0 :

= .. (*)

де а 0 ,а 1 ,а 2 ,...,а п ,... – невизначені (поки що) коефіцієнти.

Покладемо у рівності (*) значення х = х 0 , тоді отримаємо

Продиференціюємо статечний ряд (*) почленно

= ..

і вважаючи тут х = х 0 , отримаємо

При наступному диференціюванні отримаємо ряд

= ..

вважаючи х = х 0 , отримаємо
, звідки
.

Після п-кратного диференціювання отримаємо

Вважаючи в останній рівності х = х 0 , отримаємо
, звідки

Отже, коефіцієнти знайдено

,
,
, …,
,….,

підставляючи які в ряд (*), отримаємо

Отриманий ряд називається поряд Тейлора для функції
.

Таким чином, ми встановили, що якщо функцію можна розкласти в статечний ряд за ступенями (х - х 0 ), то це розкладання єдино і отриманий ряд обов'язково є поряд Тейлора.

Зауважимо, що ряд Тейлора можна отримати для будь-якої функції, що має похідні будь-якого порядку в точці х = х 0 . Але це ще означає, що з функцією і отриманим поруч можна поставити знак рівності, тобто. що сума ряду дорівнює вихідній функції. По-перше, така рівність може мати сенс тільки в області збіжності, а отриманий для функції ряд Тейлора може і розходитися, по-друге, якщо ряд Тейлора буде сходитися, його сума може не збігатися з вихідною функцією.

3.2. Достатні умови розкладності функції до ряду Тейлора

Сформулюємо твердження, за допомогою якого буде вирішено поставлене завдання.

Якщо функція
в деякій околиці точки х 0 має похідні до (n+ 1)-го порядку включно, то в цій околиці має місцеформула Тейлора

деR n (х)-залишковий член формули Тейлора – має вигляд (форма Лагранжа)

де крапкаξ лежить між х і х 0 .

Зазначимо, що між Тейлора і формулою Тейлора є відмінність: формула Тейлора є кінцеву суму, тобто. п -фіксоване число.

Нагадаємо, що сума ряду S(x) може бути визначена як межа функціональної послідовності часткових сум S п (x) на деякому проміжку Х:

Відповідно до цього, розкласти функцію в ряд Тейлора означає знайти такий ряд, що для будь-якого хX

Запишемо формулу Тейлора у вигляді, де

Зауважимо, що
визначає ту помилку, яку ми отримуємо, замінюй функцію f(x) багаточленом S n (x).

Якщо
, то
,Тобто. функція розкладається на ряд Тейлора. Інакше, якщо
, то
.

Тим самим ми довели критерій розкладності функції до ряду Тейлора.

Для того, щоб у деякому проміжку функціяf(х) розкладалася в ряд Тейлора, необхідно і достатньо, щоб на цьому проміжку
, деR n (x) - Залишковий член ряду Тейлора.

За допомогою сформульованого критерію можна отримати достатніумови розкладності функції до ряду Тейлора.

Якщо вдеякої околиці точки х 0 абсолютні величини всіх похідних функції обмежені одним і тим самим числом М≥ 0, тобто.

, тпро цю околицю функція розкладається на ряд Тейлора.

З вищевикладеного випливає алгоритмрозкладання функції f(x) у ряд Тейлорана околиці точки х 0 :

1. Знаходимо похідні функції f(x):

f(x), f'(x), f”(x), f”(x), f (n) (x),…

2. Обчислюємо значення функції та значення її похідних у точці х 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f'”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Формально записуємо ряд Тейлора і знаходимо область збіжності отриманого статечного ряду.

4. Перевіряємо виконання достатніх умов, тобто. встановлюємо, для яких хз області збіжності, залишковий член R n (x) прагне до нуля при
або
.

Розкладання функцій у ряд Тейлора за цим алгоритмом називають розкладанням функції до ряду Тейлора за визначеннямабо безпосереднім розкладанням.

Якщо функція f(x)має на деякому інтервалі, що містить точку а, похідні всіх порядків, то до неї може бути застосована формула Тейлора:

де r n- так званий залишковий член або залишок ряду, його можна оцінити за допомогою формули Лагранжа:

, де число x укладено між хі а.

Якщо для деякого значення х r n®0 при n®¥, то в межі формула Тейлора перетворюється для цього значення на схожий ряд Тейлора:

Таким чином, функція f(x)може бути розкладена в ряд Тейлора в точці, що розглядається х, якщо:

1) вона має похідні всіх порядків;

2) побудований ряд сходиться у цій точці.

При а=0 отримуємо ряд, званий поруч Маклорена:

Приклад 1 f(x)= 2x.

Рішення. Знайдемо значення функції та її похідних при х=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2 = ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n) (x) = 2x ln n 2, f(n) ( 0) = 2 0 ln n 2 = ln n 2.

Підставляючи отримані значення похідних формулу ряду Тейлора, отримаємо:

Радіус збіжності цього ряду дорівнює нескінченності, тому дане розкладання справедливе для -<x<+¥.

Приклад 2 х+4) для функції f(x)= e x.

Рішення. Знаходимо похідні функції e xта їх значення у точці х=-4.

f(x)= е x, f(-4) = е -4 ;

f¢(x)= е x, f¢(-4) = е -4 ;

f¢¢(x)= е x, f¢¢(-4) = е -4 ;

f(n) (x)= е x, f(n) ( -4) = е -4 .

Отже, шуканий ряд функції Тейлора має вигляд:

Дане розкладання також справедливе для -¥<x<+¥.

Приклад 3 . Розкласти функцію f(x)=ln xв ряд за ступенями ( х- 1),

(Тобто в ряд Тейлора в околиці точки х=1).

Рішення. Знаходимо похідні цієї функції.

Підставляючи ці значення формулу, отримаємо шуканий ряд Тейлора:

За допомогою ознаки Даламбера можна переконатися, що ряд сходиться при

½ х- 1½<1. Действительно,

Ряд сходиться, якщо? х- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При х=2 отримуємо ряд, що чергується, що задовольняє умовам ознаки Лейбніца. При х=0 функцію не визначено. Таким чином, областю збіжності ряду Тейлора є напіввідкритий проміжок (0; 2).

Наведемо отримані подібним чином розкладання до ряду Маклорена (тобто в околиці точки х=0) для деяких елементарних функцій:

(2) ,

(3) ,

(останнє розкладання називають біномним рядом)

Приклад 4 . Розкласти в статечний ряд функцію

Рішення. У розкладанні (1) замінюємо хна – х 2, отримуємо:

Приклад 5 . Розкласти в ряд функцію Маклорена

Рішення. Маємо

Користуючись формулою (4), можемо записати:

підставляючи замість ху формулу -х, Отримаємо:

Звідси знаходимо:

Розкриваючи дужки, переставляючи члени ряду та роблячи приведення подібних доданків, отримаємо

Цей ряд сходиться в інтервалі

(-1;1), оскільки він отриманий із двох рядів, кожен із яких сходиться у цьому інтервалі.

Зауваження .

Формулами (1)-(5) можна й для розкладання відповідних функцій до ряду Тейлора, тобто. для розкладання функцій за цілими позитивними ступенями ( х-а). Для цього над заданою функцією необхідно зробити такі тотожні перетворення, щоб отримати одну з функцій (1)-(5), в якій замість хстоїть k( х-а) m, де k - постійне число, m - ціле позитивне число. Часто при цьому зручно зробити заміну змінною t=х-аі розкладати отриману функцію щодо t ряд Маклорена.

Цей метод ілюструє теорему про єдиність розкладання функції в статечний ряд. Сутність цієї теореми полягає в тому, що в околиці однієї і тієї ж точки не може бути отримано два різні статечні ряди, які б сходилися до однієї і тієї ж функції, яким би способом її розкладання не проводилося.

Приклад 6 . Розкласти функцію в ряд Тейлора на околиці точки х=3.

Рішення. Це завдання можна вирішити, як і раніше, за допомогою визначення ряду Тейлора, для чого потрібно знайти похідні функції та їх значення при х=3. Однак простіше буде скористатися наявним розкладанням (5):

Отриманий ряд сходиться за або -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Приклад 7 . Написати ряд Тейлора за ступенями ( х-1) функції .

Рішення.

Ряд сходиться за , або -2< x£5.

Розкладання функції в ряд Тейлора, Маклорена та Лорана на сайт для тренування практичних навичок. Це розкладання функції у ряд дає уявлення математикам оцінити наближене значення функції у певній точці області її визначення. Набагато простіше обчислити таке значення функції, порівняно із застосуванням таблиці Бредіса, так неактуальною у вік обчислювальної техніки. У ряд Тейлора розкласти функцію означає обчислити коефіцієнти перед лінійними функціями цього й записати це у правильному вигляді. Плутають студенти ці два ряди, не розуміючи, що є спільним випадком, а що окремим випадком другого. Нагадуємо раз і назавжди, ряд Маклорена - окремий випадок ряду Тейлорівського, тобто це і є ряд Тейлора, але в точці x = 0. Всі короткі записи розкладання відомих функцій, таких як e^x, Sin(x), Cos(x) та інші, це і є розкладання до ряду Тейлора, але у точці 0 для аргументу. Для функцій комплексного аргументу ряд Лоран є найчастішим завданням у ТФКП, оскільки представляє двосторонній нескінченний ряд. Він є сумою двох рядів. Ми пропонуємо вам переглянути приклад розкладання прямо на сайті сайт, це зробити дуже просто, натиснувши на "Приклад" з будь-яким номером, а потім кнопку "Рішення". Саме такому розкладанню функції в ряд зіставлений ряд, що мажорує, що обмежує функцію вихідну в деякій області по осі ординат, якщо змінна належить області абсцис. Векторного аналізу постачається порівняно інша цікава дисципліна в математиці. Оскільки досліджувати потрібно кожне доданок, необхідно досить багато часу на процес. Будь-якому ряду Тейлора можна порівняти ряд Маклорена, замінивши x0 на нуль, тоді як по ряду Маклорена часом очевидно уявлення ряду Тейлора назад. Як би це не потрібно робити в чистому вигляді, але цікаво для загального саморозвитку. Кожному ряду Лорана відповідає двосторонній нескінченний статечний ряд за цілими ступенями z-a, тобто ряд типу того ж Тейлора, але трохи відрізняється обчисленням коефіцієнтів. Про область збіжності низки Лорана розповімо трохи згодом, після кількох теоретичних викладок. Як і в минулому столітті, поетапного розкладання функції в ряд навряд чи можна досягти лише приведенням доданків до спільного знаменника, оскільки функції в знаменниках нелінійні. Наближене обчислення функціонального значення потребує встановлення завдань. Задумайтеся над тим, що коли аргумент ряду Тейлора є лінійна змінна, то розкладання відбувається в кілька дій, але зовсім інша картина, коли в якості аргументу функції, що розкладається, виступає складна або нелінійна функція, тоді очевидний процес представлення такої функції в статечний ряд, оскільки, таким чином, легко обчислити, нехай і наближене, але значення в будь-якій точці області визначення з мінімальною похибкою, що мало впливає на подальші розрахунки. Це стосується й низки Маклорена. коли необхідно обчислити функцію в нульовій точці. Однак сам ряд Лорана тут представлений розкладанням на площині з уявними одиницями. Також не без успіху буде правильне вирішення завдання під час загального процесу. У математиці такого підходу не знають, але він існує об'єктивно. В результаті ви можете дійти висновку так званих крапкових підмножин, і в розкладанні функції в ряд потрібно застосовувати відомі для цього процесу методи, такі як теорія похідних. Зайвий раз переконуємось у правоті вчителя, який зробив свої припущення з приводу підсумків пост обчислювальних викладок. Давайте відзначимо, що ряд Тейлора, отриманий за всіма канонами математики, існує і визначений на всій числовій осі, однак, шановні користувачі сервісу сайт, не забувайте про вид вихідної функції, адже може вийти так, що спочатку необхідно встановити область визначення функції, тобто виписати та виключити з подальших розглядів ті точки, за яких функція не визначена в ділянці дійсних чисел. Це покаже вашу спритність при вирішенні завдання. Не винятком висловленого буде й побудова низки Маклорена з нульовим значенням аргументу. Процес знаходження області визначення функції ніхто при цьому не скасовував, і ви повинні підійти з усією серйозністю до цієї математичної дії. У разі змісту поруч Лорана головної частини, параметр "a" називатиметься ізольованою особливою точкою, і ряд Лорана буде розкладений у кільці - це перетин областей збіжності його частин, звідси слідуватиме відповідна теорема. Але не все так складно, як може здатися на перший погляд недосвідченому студенту. Вивчивши якраз ряд Тейлора, можна легко зрозуміти ряд Лорана - узагальнений випадок розширення простору чисел. Будь-яке розкладання функції в ряд можна проводити лише у точці області визначення функції. Слід враховувати властивості таких функцій, наприклад, як періодичність чи нескінченна диференційність. Також пропонуємо вам скористатися таблицею готових розкладів у ряд Тейлора елементарних функцій, оскільки одна функція може бути представлена до десятків відмінних від одного статечних рядів, що можна бачити із застосування нашого калькулятора онлайн. Онлайн ряд Маклорена простіше простого визначити, якщо скористатися унікальним сервісом сайт, вам достатньо лише ввести правильну записану функцію і подану відповідь отримаєте за лічені секунди, він буде гарантовано точним і в стандартно записаному вигляді. Можете переписати результат одразу в чистовик на здачу викладачеві. Правильно спочатку визначити аналітичність розглянутої функції в кільцях, а потім однозначно стверджувати, що вона розкладена в ряд Лорана у всіх таких кільцях. Важливий момент щоб не випустити з виду членів ряду Лорана, що містять негативних ступенів. На цьому зосередьтеся якнайсильніше. Використовуйте теорему Лорана про розкладання функції в ряд за цілими ступенями.

"Знайти розкладання в ряд Маклорена функції f(x) "- саме так звучить завдання з вищої математики, яке одним студентам під силу, інші не можуть впоратися з прикладами. Є кілька способів розкладання ряду за ступенями, тут буде дано методику розкладання функцій до ряду Маклорена. При розвитку функції ряд потрібно добре вміти обчислювати похідні.

Приклад 4.7 Розкласти функцію в ряд за ступенями x

Обчислення: Виконуємо розкладання функції згідно з формулою Маклорена. Спочатку розкладемо в ряд знаменник функції

насамкінець помножимо розкладання на чисельник.
Перший доданок - значення функції в нулі f(0) = 1/3.
Знайдемо похідні функції першого та вищих порядків f(x) та значення цих похідних у точці x=0

Далі із закономірності зміни значення похідних 0 записуємо формулу для n-ї похідної

Отже, знаменник представимо у вигляді розкладання до ряду Маклорена

Помножуємо на чисельник і отримуємо розкладання функції в ряд за ступенями х

Як бачите, нічого складного тут немає.
Усі ключові моменти базуються на вмінні обчислювати похідні та швидкому узагальненні значення похідної старших порядків у нулі. Наступні приклади допоможуть вам навчитися швидко розкладати функцію в ряд.

Приклад 4.10 Знайти розкладання ряду Маклорена функції

Обчислення: Як Ви здогадалися розкладати в ряд будемо косинус в чисельнику. Для цього можете використовувати формули для нескінченно малих величин або вивести розкладання косинуса через похідні. В результаті прийдемо до наступного ряду за ступенями x

Як бачите, маємо мінімум обчислень і компактний запис розкладання в ряд.

Приклад 4.16 Розкласти функцію в ряд за ступенями x:
7/(12-x-x^2)
Обчислення: У подібних прикладах необхідно дріб розкласти через суму найпростіших дробів.
Як це робити ми зараз не показуватимемо, але за допомогою невизначених коефіцієнтів прийдемо до суми дох дробів.
Далі записуємо знаменники у показовій формі

Залишилося розкласти доданки за допомогою формули Маклорена. Підсумовуючи доданки при однакових ступенях "ікс" складаємо формулу загального члена розкладання функції до ряду

Останню частину початку ряду на початку важко реалізувати, оскільки складно об'єднати формули для парних і непарних індексів (ступенів), але з практикою це буде виходити дедалі краще.

Приклад 4.18 Знайти розкладання ряду Маклорена функції

Обчислення: Знайдемо похідну цієї функції:

Розкладемо функцію в ряд, скориставшись однією з формул Макларена:

Ряди почленно підсумовуємо на основі того, що обидва абсолютно збігаються. Проінтегрувавши почленно весь ряд отримаємо розкладання функції в ряд за ступенями x

Між останніми двома рядками розкладання є перехід, який на початку у Вас буде забирати багато часу. Узагальнення формули ряду не всім дається легко, тому не хвилюйтеся з приводу того, що не можете дістати красивої і компактної формули.

Приклад 4.28 Знайти розкладання ряду Маклорена функції:

Запишемо логарифм в такий спосіб

За формулою Маклорена розкладаємо в ряд за ступенями x логарифм функцію

Кінцеве згортання на перший погляд складне, проте при чергуванні знаків Ви завжди отримаєте щось подібне. Вхідний урок на тему розкладу функцій у ряд завершено. Інші не менш цікаві схеми розкладання будуть детально розглянуті у таких матеріалах.