Концепція циліндричної поверхні. Опорний конспект з геометрії на тему "циліндр"

Нескінченне тіло, обмежене замкненою нескінченною циліндричною поверхнею, називається нескінченним циліндром, обмежене замкнутим циліндричним променем та його основою, називається відкритим циліндром. Основу та утворюють циліндричного променя називають відповідно основою та утворюючими відкритого циліндра.

Кінцеве тіло, обмежене замкненою кінцевою циліндричною поверхнею і двома перерізами, що виділили її, називається кінцевим циліндром, або власне циліндром. Перерізи називаються основами циліндра. За визначенням кінцевої циліндричної поверхні, підстави циліндра рівні.

Очевидно, що утворюють бічній поверхні циліндра - рівні по довжині (званої заввишкициліндра) відрізки, що лежать на паралельних прямих, а кінцями лежать на підставах циліндра. До математичних курйозів відносять визначення будь-якої кінцевої тривимірної поверхні без самоперетинів як циліндра нульової висоти (цю поверхню вважають одночасно обома основами кінцевого циліндра). Основи циліндра якісно впливають на циліндр.

Якщо основи циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні до утворюючої, то циліндр називається прямим.

Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині - коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс - то еліптичний.

Об'єм кінцевого циліндра дорівнює інтегралу площі основи утворює. Зокрема, об'єм прямого кругового циліндра дорівнює

(де – радіус основи, – висота).

Площа бічної поверхні циліндра вважається за такою формулою:

Площа повної поверхні циліндра складається з площі бічної поверхні та площі основ. Для прямого кругового циліндра:

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Циліндр (геометрія)" в інших словниках:

Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. У… … Енциклопедія Кольєра

- (γήμετρώ земля, μετρώ мірю). Поняття про простір, становище і формі належать до первісних, з якими людина була знайома вже в давнину. Перші кроки в Р. були зроблені єгиптянами та халдеями. У Греції Р. була введена… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

ГЕОМЕТРІЯ ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ- форма вільної поверхні, що утворюється під дією сили тяжіння та відцентрової сили при обертанні рідкого металу навколо осі обертання. При горизонтальній осі обертання вільна поверхня є круговим циліндром, при вертикальній … Металургійний словник

Розділ геометрії, у якому геометричні образи вивчаються методами математичного аналізу. Головними об'єктами Д. г. є довільні досить гладкі криві (лінії) та поверхні евклідового простору, а також сімейства ліній та …

Цей термін має й інші значення, див. Пірамідацу (значення). Достовірність цього розділу статті поставлена ​​під сумнів. Необхідно перевірити точність фактів, викладених у цьому розділі. На сторінці обговорення можуть бути … Вікіпедія

Теорія, що вивчає зовнішню геометрію та зв'язок між зовнішньою та внутрішньою. геометрією підбагаток евклідова або риманова простору. П. м. р. є узагальненням класич. диференціальної геометрії поверхонь в евклідовому просторі. Математична енциклопедія

Декартова система координат Аналітична геометрія розділ геометрії, в якому … Вікіпедія

Розділ геометрії, в якому вивчаються геометрич. образи, насамперед криві та поверхні, методами математич. аналізу. Зазвичай у Д. р. вивчаються властивості кривих і поверхонь у малому, тобто властивості як завгодно малих їх шматків. Крім того, у … Математична енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Обсяг (значення). Обсяг це адитивна функція від множини (заходу), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без строгого ... Вікіпедія

Частина геометрії, що входить до елементарної математики (Див. елементарна математика). Кордони Е. р., як і взагалі елементарної математики, не є строго окресленими. Кажуть, що Е. р. є та частина геометрії, яка вивчається в… Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Геометрія. 10-11 класи. Технологічні карти уроків (CD). ФГОС, Гілярова Марина Геннадіївна. Інтерактивна дошка на уроках у старших класах - електронний сучасний інструмент, що значно прискорює доступ до необхідної інформації, полегшує її сприйняття та сприяє…

Циліндр(ін.-грец. κύλινδρος - валик, ковзанка) - геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнею і двома паралельними площинами, що перетинають її. Циліндрична поверхня - поверхня, що отримується таким поступальним рухом прямої (утворюючої) у просторі, що виділена точка утворює рухається вздовж плоскої кривої (напрямної). Частина поверхні циліндра, обмежена циліндричною поверхнею, називається бічною поверхнею циліндра. Інша частина, обмежена паралельними площинами, це основи циліндра. Таким чином, межа основи формою співпадатиме з напрямною.

У більшості випадків під циліндром мається на увазі прямий круговий циліндр, у якого напрямна - коло і підстави перпендикулярні до утворює. Такий циліндр має вісь симетрії.

Інші види циліндра - (по нахилу утворює) косою або похилий (якщо утворює стосується основи не під прямим кутом); (за формою основи) еліптичний, гіперболічний, параболічний.

Призма також є різновидом циліндра – з основою у вигляді багатокутника.

Площа поверхні циліндра

Площа бічної поверхні

До обчислення площі бічної поверхні циліндра

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює довжині твірної, помноженої на периметр перерізу циліндра площиною, перпендикулярною твірної.

Площа бічної поверхні прямого циліндра обчислюється за його розгорткою. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою і довжиною , що дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

Для похилого циліндра площа бічної поверхні дорівнює довжині утворюючої, помноженої на периметр перерізу перпендикулярного утворює:

Простої формули, що виражає площу бічної поверхні косого циліндра через параметри основи та висоту, на відміну від об'єму, на жаль, не існує.

Площа повної поверхні

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.

Для прямого кругового циліндра:

Об'єм циліндра

Для похилого циліндра існують дві формули:

Для прямого циліндра , і , і об'єм дорівнює:

Для кругового циліндра:

де d- Діаметр основи.

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Циліндр" в інших словниках:

- (Лат. cylindrus) 1) геометричне тіло, обмежене з кінців двома колами, з боків площиною, що обгинає ці кола. 2) у годинниковій майстерності: особливий важіль подвійного колеса. 3) капелюх, що має форму циліндра. Словник іноземних слів, … Словник іноземних слів російської мови

циліндр- а, м. cylindre m., нім. Zylinder, лат. cylindrus гр. 1. Геометричне тіло, яке утворюється обертання прямокутника навколо однієї з його сторін. Об'єм циліндра. БАС 1. Товстота циліндра дорівнює площі його основи, помноженої на висоту. Даль ... Історичний словник галицизмів російської

Чол., грец. пряма стопка, вал; облець, хмара; тіло, обмежене нарешті двома колами, а з боків гнутою по колах площиною. Товстота циліндра дорівнює площі його основи, помноженої на висоту, геом. Паровий циліндр, халява, труба, в якій… Тлумачний словник Даля- Високий чоловічий капелюх з шовкового плюшу з невеликими твердими полями. Великий Енциклопедичний словник

ЦИЛІНДР, тверде тіло або поверхню, що утворюються обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін як осі. Об'єм циліндра, якщо позначити його висоту як h, а радіус основи як r дорівнює pr2h, а площа вигнутої поверхні 2prh … Науково-технічний енциклопедичний словник

Циліндр, циліндра, чоловік. (Від грец. kylindros). 1. Геометричне тіло, що утворюється обертанням прямокутника біля однієї з його сторін, званої віссю, і має в основі коло (мат.). 2. Частина машин (двигунів, насосів, компресорів і т.д.) в ... Тлумачний словник Ушакова

Циліндр, а, чоловік. 1. Геометричне тіло, утворене обертанням прямокутника навколо однієї з його сторін. 2. Колонновидний предмет, напр. частина поршневої машини. 3. Високий твердий капелюх такої форми з невеликими полями. Чорний ц. | прил.… … Тлумачний словник Ожегова

- (Steam cylinder) одна з основних деталей поршневих машин. Виконується як порожнистого круглого Ц., у якому рухається поршень. Ц. парових машин забезпечується зазвичай паровою сорочкою для обігріву його стінок з метою зменшення конденсації пари.

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавній Греції. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасного вигляду. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми у повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад, основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх два) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена ​​у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Циліндр (круговий циліндр) – тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються паралельним переносом, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл колів, - утворюють циліндра.

Основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах, а утворюють циліндри паралельні й рівні. Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бокову поверхню складають утворюючі.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні площинам основи. Циліндр можна як тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї зі сторін як осі. Існують інші види циліндра – еліптичний, гіперболічний, параболічний. Призму так само розглядають як різновид циліндра.

На малюнку 2 зображено похилий циліндр. Кола з центрами Про і Про є його основами.

Радіус циліндра – радіус його основи. Висота циліндра – відстань між площинами основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином. Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра.

Площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.

Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, основи якої рівні багатокутники, вписані в основи циліндра. Її бічні ребра є утворюючими циліндрами. Призма називається описаною біля циліндра, якщо її основи - рівні багатокутники, описані біля основ циліндра. Площини її граней стосуються бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити, помноживши довжину утворюючої на периметр перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Площу бічної поверхні прямого циліндра можна знайти по його розгортці. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою h і довжиною P, яка дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

P = 2πR, і S b = 2πRh.

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.

Для прямого кругового циліндра:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Для знаходження об'єму похилого циліндра є дві формули.

Можна знайти об'єм, помноживши довжину утворюючої на площу перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Об'єм похилого циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту (відстань між площинами, в яких лежать основи):

V = Sh = S l sin α,

де l – довжина утворюючої, а α – кут між утворюючою та площиною основи. Для прямого циліндра h = l.

Формула для знаходження об'єму кругового циліндра виглядає так:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

де d – Діаметр основи.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Циліндр

Опр. Циліндром називається тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються

паралельним перенесенням та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки

цих кіл.

Кола називають основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл цих кіл – утворюють циліндра (рис. 1)

Рис. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4

Властивості циліндра:

1) Основи циліндра рівні і лежать у паралельних площинах.

2) Утворювальні циліндри рівні і паралельні.

Опр. Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Опр. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ.

Опр. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином.

Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами 2R та l(У прямому циліндрі l= Н) рис. 2

Перетин циліндра, паралельні осі, є прямокутниками (рис. 3).

Перетин циліндра площиною, паралельною основам – коло, рівне основам (рис. 4)

Площа поверхні циліндра.

Бічна поверхня циліндра складена з утворюючих.

Повна поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні.

S повний = 2 S осн + S бік ; S осн = П ∙ R 2 ; S бік = 2 П ∙ R ∙НS повний = 2ПR ∙(R + Н)

Практична частина:

№1. Радіус циліндра дорівнює 3см, яке висота- 5см. Знайдіть площу осьового перерізу і площу пів-

ної поверхні циліндра.

№2. Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом.
і дорівнює 20 см. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№3. Радіус циліндра дорівнює 2см, яке висота- 3см. Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра.

№4. Діагональ осьового перерізу циліндра, рівна
, утворює з площиною основи кут
. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

№5. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 15 . Знайдіть площу осьового перерізу.

№6. Знайдіть висоту циліндра, якщо площа його основи дорівнює 1, а S бік =
.

№7. Діагональ осьового перерізу циліндра має довжину 8см і нахилена до площини основи під кутом.
. Знайдіть повну поверхню циліндра.

Циліндрична димова труба з діаметром 65см має висоту 18м. Скільки жерсті потрібно для виготовлення, якщо на заклепку йде 10% матеріалу?