Поняття кореня n ого ступеня із дійсного числа. Корінь n-ого ступеня: визначення, позначення, приклади

X 4 =1 і розв'яжемо його графічно. Для цього в одній системі координат збудуємо графік функції у = х n пряму у = 1 (рис. 164 а). Вони перетинаються у двох точках:

Є корінням рівняння х 4 = 1.
Розмірковуючи так само, знаходимо корені рівняння х 4 =16:

А тепер спробуємо вирішити рівняння х4 = 5; геометричні ілюстрації представлені на рис. 164 б. Зрозуміло, що рівняння має два корені x 1 і x 2 , причому ці числа, як і двох попередніх випадках, взаємно протилежні. Але для перших двох рівнянь коріннябули знайдені без труднощів (їх можна було знайти і не користуючись графіками), а з рівнянням х 4 =5 є проблеми: за кресленням ми не бачимо вказати значення коренів, а можемо тільки встановити, що один корінь розташовується лівіше від точки -1, а другий - Правіше точки 1.
Можна довести (приблизно так, як це зроблено в нашому підручнику «Алгебра-8» для числа л/б), що х 1 і х 2 - ірраціональні числа (тобто нескінченні неперіодичні десяткові дроби).

Зустрівшись вперше з подібною ситуацією, математики зрозуміли, що треба придумати спосіб її опису математичною мовою. Вони ввели до розгляду новий символ, який назвали коренем четвертого ступеня, і за допомогою цього символу корені рівняння х 4 = 5 записали так: (читається: "корінь четвертого ступеня з п'яти").

Зауваження 1.Порівняйте ці міркування з аналогічними міркуваннями, проведеними в § 17, 32 і 38. Нові терміни та нові позначення в математиці з'являються тоді, коли вони необхідні для опису нової математичної моделі. Це - відображення особливості математичної мови: її основна функція не комунікативна - для спілкування, а організуюча - для успішної роботи з математичними моделями в різних галузях знань.

Ми говорили про рівняння х 4 = а де а >0. З рівним успіхом ми могли говорити і про рівняння х 4 = а, де > 0, а п - будь-яке натуральне число. Наприклад, розв'язуючи графічно рівняння х 5 = 1, знаходимо х = 1 (рис. 165); вирішуючи рівняння х 5 " = 7, встановлюємо, що рівняння має один корінь хг, який розташовується на осі х трохи правіше точки 1 (див. рис. 165). Для числа хх введемо позначення Чч.

Взагалі, вирішуючи рівняння х п = а, де а > 0, n е N, п> 1, отримуємо у разі парного п два корені: (рис. 164, в); у разі непарного п - один корінь (читається: «корінь n-го ступеня з числа а»). Вирішуючи рівняння х п =0, отримуємо єдиний корінь х=0.

Примітка 2.У математичному мові, як й у повсякденному мові, буває отже той самий термін застосовується до різних понять; так, у попередній пропозиції слово «корінь» вжито у двох сенсах: як корінь рівняння (до такого тлумачення ви давно звикли) і як корінь л-го ступеня з числа (нове тлумачення). Зазвичай із контексту буває ясно, яке тлумачення терміна мають на увазі.

Тепер ми готові надати точне визначення.

Визначення 1.Коренем л-го ступеня з невід'ємного числа а (n = 2, 3,4, 5,...) називають таке невід'ємне число, яке при зведенні до ступеня n дає в результаті число а.

Це число позначають , а число при цьому називають підкореним числом, а число n - показником кореня.
Якщо n=2, то зазвичай не кажуть «корінь другого ступеня», а кажуть «корінь квадратний». У цьому випадку не пишуть Це той окремий випадок, який ви спеціально вивчали в курсі алгебри 8-го класу.

Якщо n = 3, то замість «корінь третього ступеня» часто кажуть «корінь кубічний». Перше знайомство із кубічним коренем у вас також відбулося в курсі алгебри 8-го класу. Ми використовували кубічний корінь § 36 при рішенні прикладу 6.

Взагалі, - та сама математична модель (одна й та сама залежність між неотрицательными числами а і Ь), але друга описана більш простою мовою (використовує простіші символи), ніж перша.

Операцію знаходження кореня з невід'ємної кількості називають зазвичай вилученням кореня. Ця операція є зворотною по відношенню до зведення у відповідний ступінь. Порівняйте:

Ще раз зверніть увагу: у таблиці фігурують лише позитивні числа, оскільки це обумовлено у визначенні 1. І хоча, наприклад, (-6) 6 =36 - правильна рівність, перейти від нього до запису з використанням квадратного кореня, тобто. написати, що не можна. За визначенням

Іноді вираз називають радикалом (від латинського слова гаdix – «корінь»). У російській термін термінальний використовується досить часто, наприклад, «радикальні зміни» - це означає «корінні зміни». Між іншим, і саме позначення кореня нагадує про слово гаdix: символ – це стилізована літера r.

приклад 1.Обчислити:

г) На відміну від попередніх прикладів ми не можемо вказати точне значення числа Ясно лише, що воно більше, ніж 2, але менше, ніж 3, оскільки 24 = 16 (це менше, ніж 17), а З 4 = 81 (це більше, ніж 17). Помічаємо, що 24 набагато ближче до 17, ніж З4, тому є підстави використовувати знак наближеної рівності:

Втім, більш точне наближене значення числа можна знайти за допомогою калькулятора, який містить операцію вилучення кореня, воно дорівнює приблизно
Операцію вилучення кореня визначають і негативного підкореного числа, але у разі непарного показника кореня. Іншими словами, рівність (-2)5 =-32 можна переписати в еквівалентній формі як . У цьому використовується таке визначення.

Визначення 2.Коренем непарного ступеня л із негативного числа а (n = 3,5,...) називають таке негативне число, яке, будучи зведене до ступеня n, дає в результаті число а.

Це число, як і визначенні 1, позначають , число а - підкорене число, число n - показник кореня.
Отже,

Таким чином, корінь парного ступеня має сенс (тобто визначено) тільки для невід'ємного підкореного виразу; корінь непарної міри має сенс будь-якого підкореного висловлювання.
Приклад 2. Розв'язати рівняння:

Рішення:а якщо Фактично обидві частини заданого рівняння ми маємо звести у куб. Отримаємо:

б) Розмірковуючи, як у прикладі а), зведемо обидві частини рівняння на четвертий ступінь. Отримаємо:

в) Тут не треба зводити на четвертий ступінь, це рівняння не має рішень. Чому? Тому що згідно з визначенням 1 корінь парного ступеня – невід'ємне число.
г) Звівши обидві частини рівняння у шостий ступінь, отримаємо:

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Тема:«Коріння та ступеня. Поняття кореня n-го ступеня із дійсного числа.»

Цілі уроку:

освітня: вивчити поняття арифметичного кореня натурального ступеня, зокрема непарного ступеня; освоїти обчислення арифметичних коренів.

виховна: активізувати роботу учнів під час уроку, виховувати інтерес до предмета;

розвиваюча: розвивати інтелектуальні здібності, уміння переносити знання у нові ситуації.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Метод:пояснювально-ілюстративний.

Обладнання:комп'ютер, інтерактивна дошка, презентації.

Хід уроку

1. Організаційна частина

Вітання. Готовність класу до уроку. Перевірка домашнього завдання.

2. Мотивація навчальної діяльності, повідомлення теми та постановка мети заняття.

Сьогодні ми вивчатимемо тему «Коріння та ступеня. Поняття кореня n-го ступеня із дійсного числа». Хочу звернути вашу увагу на слова Анатолій Франс (1844-1924) , які будуть епіграфом нашого уроку. Ми будемо працювати з виразами, що містять коріння. Ви розширите свої знання про коріння. Наприкінці уроку проведемо невелику самостійну роботу, щоб перевірити, як ви вмієте самостійно застосовувати знання на цю тему.

«Вчитися можна лише весело…

Щоб перетравлювати знання, треба поглинати їх із апетитом».

Пояснення нового матеріалу.

Визначення 1.Коренемn-й ступеня з невід'ємного числа а(n = 2,3,4,5 ...) називають таке невід'ємне число, яке при зведенні в ступінь n дає в результаті число а.

Позначення: - Корінь n-го ступеня.

Число n називається ступенем арифметичного кореня.

Якщо n=2, то рівень кореня не вказується і пишеться

Корінь другого ступеня прийнято називати квадратним, а корінь третього ступеня кубічним.

Зведення в ступінь і добування кореня - це та сама залежність:

Основні властивості коренів

Закріплення вивченого матеріалу:

№ 1063 усно,

№ 1067 – 1069,

№ 1070 – 1071 (а, б)

№1072 -1073 (а, б)

№ 1076 (а, в)

№ 1078 (а, б)

№ 1079 (а, в)

Самостійна робота:

Варіант 1

№1070 -1071 (в)

№1072 -1073 (г)

Варіант 2

№1070 -1071 (г)

№1072 -1073 (в)

Домашнє завдання:№ 1076 (г) , № 1078 (в), № 1079 (б)

Підбиття підсумків уроку:

Сьогодні на уроці ми вивчили поняття арифметичного кореня n-го ступеня та закріпили рішенням прикладів.

Виставлення оцінок за урок.

Література

1.А.Г. Мордкович. Алгебра та початку математичного аналізу. 10-11 класи. О 2 год. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий рівень). - М: Мнемозіна, 2012 р.

2. Александрова Л.А. Алгебра та початку аналізу. 11 кл. Самостійні роботи: посібник для загальноосвітніх установ/під. ред. Мордковича А.Г.-М.: Мнемозіна, 2014р.

3. Т.І. Купорова. Алгебра та початку аналізу. 11 кл.: Поурочні плани за підручником Мордковича А.Г. - Волгоград: Вчитель, 2008.

4. Рурукін А. Н. Поурочні розробки з алгебри та початків аналізу: 11 клас. - М.: ВАКО,2014.

5. Нечаєв М.П. Уроки з курсу "Алгебра - 11". - М.: 5 за знання, 2007

У цій статті ми запровадимо поняття кореня з числа. Діятимемо послідовно: почнемо з квадратного кореня, від нього перейдемо до опису кубічного кореня, після цього узагальнемо поняття кореня, визначивши корінь n-го ступеня. При цьому вводитимемо визначення, позначення, наводитимемо приклади коренів і даватимемо необхідні пояснення та коментарі.

Квадратний корінь, арифметичний квадратний корінь

Щоб зрозуміти визначення кореня з числа, і квадратного кореня зокрема потрібно мати . У цьому пункті ми часто зіштовхуватимемося з другим ступенем числа - квадратом числа.

Почнемо з визначення квадратного кореня.

Визначення

Квадратний корінь з числа a- Це число, квадрат якого дорівнює a.

Щоб привести приклади квадратного коріння, Візьмемо кілька чисел, наприклад, 5 , −0,3 , 0,3 , 0 , і зведемо їх у квадрат, отримаємо відповідно числа 25 , 0,09 , 0,09 і 0 (5 2 =5·5=25 , (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 і 0 2 = 0 0 = 0). Тоді за даним визначенням число 5 є квадратним коренем з числа 25 , числа −0,3 і 0,3 є квадратні корені з 0,09 , а 0 – це квадратний корінь з нуля.

Слід зазначити, що для будь-якого числа a існує , квадрат якого дорівнює a . А саме, для будь-якого негативного числа a не існує жодного дійсного числа b, квадрат якого дорівнював би a. Справді, рівність a=b 2 неможлива для будь-якого негативного a , оскільки b 2 – невід'ємне число за будь-якого b . Таким чином, на безлічі дійсних чисел немає квадратного кореня з негативного числа. Іншими словами, на безлічі дійсних чисел квадратний корінь із негативного числа не визначається і не має сенсу.

Звідси випливає логічне питання: «А чи для будь-якого невід'ємного a існує квадратний корінь з a»? Відповідь – так. Обгрунтуванням цього факту вважатимуться конструктивний спосіб, що використовується знаходження значення квадратного кореня .

Тоді постає наступне логічне питання: «Яке число всіх квадратних коренів з даного невід'ємного числа a – один, два, три, чи ще більше»? Ось відповідь на нього: якщо a дорівнює нулю, то єдиним квадратним коренем з нуля є нуль; якщо ж a – деяке позитивне число, кількість квадратних коренів із числа a дорівнює двом, причому коріння є . Обґрунтуємо це.

Почнемо з нагоди a=0 . Спочатку покажемо, що нуль справді є квадратним коренем із нуля. Це з очевидної рівності 0 2 =0·0=0 і визначення квадратного кореня.

Тепер доведемо, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля. Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що існує деяке число b, відмінне від нуля, яке є квадратним коренем з нуля. Тоді має виконуватися умова b 2 =0 , що неможливо, оскільки за будь-якому відмінному від нуля b значення виразу b 2 є позитивним. Ми дійшли суперечності. Це доводить, що 0 – єдиний квадратний корінь із нуля.

Переходимо до випадків, коли a – позитивне число. Вище ми сказали, що завжди існує квадратний корінь з будь-якого невід'ємного числа, нехай квадратним коренем a є число b . Припустимо, що є число c , яке також є квадратним коренем з a . Тоді визначення квадратного кореня справедливі рівності b 2 =a і c 2 =a , їх слід, що b 2 −c 2 =a−a=0 , але оскільки b 2 −c 2 =(b−c)·( b+c) , то (b-c) · (b + c) = 0 . Отримана рівність у силу властивостей дій із дійсними числамиможливо лише тоді, коли b-c=0 або b+c=0. Таким чином, числа b та c рівні або протилежні.

Якщо ж припустити, що є число d , є ще одним квадратним коренем у складі a , то міркуваннями, аналогічними вже наведеним, доводиться, що d дорівнює числу b чи числу c . Отже, число квадратних коренів із позитивного числа дорівнює двом, причому квадратне коріння є протилежними числами.

Для зручності роботи з квадратним корінням негативний корінь «відокремлюється» від позитивного. З цією метою вводиться визначення арифметичного квадратного кореня.

Визначення

Арифметичний квадратний корінь з негативного числа a- Це невід'ємне число, квадрат якого дорівнює a.

Для арифметичного квадратного кореня у складі a прийнято позначення . Знак називається знаком арифметичного квадратного кореня. Його також називають знаком радикалу. Тому можна частину чути як «корінь», так і «радикал», що означає той самий об'єкт.

Число під знаком арифметичного квадратного кореня називають підкореним числом, а вираз під знаком кореня – підкореним виразом, у своїй термін «підкорене число» часто замінюють на «підкорене вираз». Наприклад, у записі число 151 – це підкорене число, а запису вираз a є підкореним виразом.

При читанні слово "арифметичний" часто опускається, наприклад, запис читають як "квадратний корінь із семи цілих двадцяти дев'яти сотих". Слово «арифметичний» вимовляють лише тоді, коли хочуть особливо наголосити, що йдеться саме про позитивне квадратне коріння з числа.

У світлі введеного позначення визначення арифметичного квадратного кореня слід, що й у будь-якого неотрицательного числа a .

Квадратне коріння з позитивного числа a за допомогою знака арифметичного квадратного кореня записується як і . Наприклад, квадратне коріння з числа 13 є і . Арифметичний квадратний корінь з нуля дорівнює нулю, тобто . Для негативних чисел a записи ми не надаватимемо сенсу аж до вивчення комплексних чисел. Наприклад, позбавлені сенсу вираження та .

За підсумками визначення квадратного кореня доводяться властивості квадратних коренів , які найчастіше застосовуються практично.

На закінчення цього пункту зауважимо, що квадратне коріння з числа a є рішеннями виду x 2 =a щодо змінної x .

Кубічний корінь із числа

Визначення кубічного кореняу складі a дається аналогічно визначенню квадратного кореня. Тільки воно базується на понятті куба числа, а чи не квадрата.

Визначення

Кубічним коренем з числа aназивається число, куб якого дорівнює a.

Наведемо приклади кубічного коріння. Для цього візьмемо кілька чисел, наприклад, 7 , 0 , −2/3 і зведемо їх у куб: 7 3 =7·7·7=343 , 0 3 =0·0·0=0 , . Тоді, ґрунтуючись на визначенні кубічного кореня, можна стверджувати, що число 7 – це кубічний корінь із 343 , 0 є кубічний корінь із нуля, а −2/3 є кубічним коренем із −8/27 .

Можна показати, що кубічний корінь у складі a , на відміну квадратного кореня, завжди існує, причому як для неотрицательных a , але й будь-якого дійсного числа a . Для цього можна використовувати той самий спосіб, про який ми згадували щодо квадратного кореня.

Більше того, існує лише єдиний кубічний корінь з даного числа a. Доведемо останнє твердження. І тому окремо розглянемо три випадки: a – позитивне число, a=0 і a – негативне число.

Легко показати, що при позитивному кубічний корінь з a не може бути ні негативним числом, ні нулем. Справді, нехай b є кубічним коренем з a тоді за визначенням ми можемо записати рівність b 3 =a . Відомо, що це рівність може бути правильним при негативних b і за b=0 , оскільки у випадках b 3 =b·b буде негативним числом чи нулем відповідно. Отже, кубічний корінь із позитивного числа a є позитивним числом.

Тепер припустимо, що крім числа b існує ще один кубічний корінь із числа a, позначимо його c. Тоді c 3 = a. Отже, b 3 −c 3 =a−a=0 , але b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(це формула скороченого множення різницю кубів), звідки (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0 . Отримана рівність можлива лише коли b−c=0 або b 2 +b·c+c 2 =0 . З першої рівності маємо b=c , а друга рівність немає рішень, тому що ліва його частина є позитивним числом для будь-яких позитивних чисел b і c як сума трьох позитивних доданків b 2 , b·c і c 2 . Цим доведено єдиність кубічного кореня з позитивного числа a.

При a=0 кубічним коренем у складі a є лише число нуль. Дійсно, якщо припустити, що існує число b , яке є відмінним від нуля кубічним коренем з нуля, то повинна виконуватись рівність b 3 =0 , яка можлива лише при b = 0 .

Для негативних a можна навести міркування, аналогічні випадку позитивних a . По-перше, показуємо, що кубічний корінь з негативного числа не може дорівнювати ні позитивному числу, ні нулю. По-друге, припускаємо, що існує другий кубічний корінь із негативного числа і показуємо, що він обов'язково збігатиметься з першим.

Отже, завжди існує кубічний корінь з будь-якого даного дійсного числа a, причому єдиний.

Дамо визначення арифметичного кубічного кореня.

Визначення

Арифметичним кубічним коренем із невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, куб якого дорівнює a.

Арифметичний кубічний корінь з невід'ємного числа a позначається як знак називається знаком арифметичного кубічного кореня, число 3 в цьому записі називається показником кореня. Число під знаком кореня – це підкорене число, вираз під знаком кореня – це підкорене вираз.

Хоча арифметичний кубічний корінь визначається лише негативних чисел a , але зручно також використовувати записи, у яких під знаком арифметичного кубічного кореня перебувають негативні числа. Розумітимемо їх так: , де a – позитивне число. Наприклад, .

Про властивості кубічного коріння ми поговоримо в загальній статті властивості коренів.

Обчислення значення кубічного кореня називається вилученням кубічного кореня, це дію розібрано у статті витяг коренів: способи, приклади, рішення .

На закінчення цього пункту скажемо, що кубічний корінь у складі a є рішенням виду x 3 =a .

Корінь n-ого ступеня, арифметичний корінь ступеня n

Узагальнемо поняття кореня з числа – введемо визначення кореня n-ого ступенядля n.

Визначення

Корінь n-ого ступеня з числа a- Це число, n-я ступінь якого дорівнює a .

З цього визначення зрозуміло, що корінь першого ступеня з числа a є число a , оскільки щодо ступеня з натуральним показником ми прийняли a 1 =a .

Вище ми розглянули окремі випадки кореня n-ого ступеня при n=2 і n=3 – квадратний корінь і кубічний корінь. Тобто квадратний корінь – це корінь другого ступеня, а кубічний корінь – корінь третього ступеня. Для вивчення коренів n-ого ступеня при n=4, 5, 6, … їх зручно розділити на дві групи: перша група – коріння парних ступенів (тобто, при n=4, 6, 8, …), друга група – коріння непарних ступенів (тобто, при n=5, 7, 9, …). Це з тим, що коріння парних ступенів аналогічні квадратному кореню, а коріння непарних ступенів – кубическому. Розберемося з ними по черзі.

Почнемо з коренів, ступенями яких є парні числа 4, 6, 8, … Як ми вже сказали, вони аналогічні квадратного кореня з числа a . Тобто корінь будь-якого парного ступеня з числа a існує лише для невід'ємного a . Причому, якщо a=0 , то корінь a єдиний і дорівнює нулю, а якщо a>0 , то існує два корені парного ступеня з числа a , причому вони є протилежними числами.

Обґрунтуємо останнє твердження. Нехай b – корінь парного ступеня (позначимо її як 2m, де m – деяке натуральне число) з числа a. Припустимо, що є число c – ще один корінь ступеня 2·m у складі a . Тоді b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Але ми знаємо виду b 2·m −c 2·m = (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)тоді (b−c)·(b+c)· (b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2)=0. З цієї рівності випливає, що b−c=0 , або b+c=0 , або b 2·m−2 +b 2·m−4 ·c 2 +b 2·m−6 ·c 4 +…+c 2·m−2 =0. Перші дві рівності означають, що числа b та c рівні або b та c – протилежні. А остання рівність справедлива лише за b=c=0 , оскільки у його лівої частини перебуває вираз, яке неотрицательно при будь-яких b і як сума неотрицательных чисел.

Що стосується коренів n-ого ступеня при непарних n, то вони аналогічні кубічному кореню. Тобто корінь будь-якого непарного ступеня з числа a існує для будь-якого дійсного числа a, причому для даного числа a він є єдиним.

Єдиність кореня непарного ступеня 2·m+1 у складі a доводиться за аналогією з доказом єдиності кубічного кореня з a . Тільки тут замість рівності a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2)використовується рівність виду b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Вираз в останній дужці можна переписати як b 2·m +c 2·m +b·c·(b 2·m−2 +c 2·m−2 + b·c·(b 2·m−4 +c 2·m−4 +b·c·(…+(b 2 +c 2 +b·c)))). Наприклад, при m=2 маємо b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Коли a і b обидва позитивні чи обидва негативні їх добуток є позитивним числом, тоді вираз b 2 +c 2 +b·c , що у дужках найвищого ступеня вкладеності, є позитивним як сума позитивних чисел. Тепер, просуваючись послідовно до виразів у дужках попередніх ступенів вкладеності, переконуємося, що вони також є позитивними як суми позитивних чисел. У результаті отримуємо, що рівність b 2·m+1 −c 2·m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0можливо тільки тоді, коли b−c=0 , тобто коли число b дорівнює числу c .

Настав час розібратися з позначеннями коренів n-ого ступеня. Для цього дається визначення арифметичного кореня n-ого ступеня.

Визначення

Арифметичним коренем n-го ступеня з невід'ємного числа aназивається невід'ємне число, n -я ступінь якого дорівнює a.

Арифметичний корінь n-го ступеня з невід'ємного числа a позначається як . Число a називають підкореним числом, а число n показником кореня. Наприклад розглянемо запис , тут підкореним числом є 125,36 , а показник кореня дорівнює 5 .

Зауважимо, що з n=2 маємо справу з квадратним коренем у складі, у разі показник кореня прийнято не записувати, тобто, записи і означають одне й те число.

Незважаючи на те, що визначення арифметичного кореня n-ого ступеня, а також його позначення введені для невід'ємних підкорених чисел, ми з метою зручності для непарних показників кореня і негативних підкорених чисел використовуватимемо записи виду, які розуміємо як . Наприклад, і .

Корінням же парного ступеня з негативними підкореними числами ми не надаватимемо жодного сенсу (до початку вивчення комплексних чисел). Наприклад, висловлювання і немає сенсу.

На підставі даного вище визначення обґрунтовуються властивості коренів n-ого ступеня, які мають широке практичне застосування.

На закінчення варто сказати, що коріння n-ого ступеня є корінням рівнянь виду x n = a.

Практично важливі результати

Перший практично важливий результат: .

Цей результат насправді відбиває визначення кореня парного ступеня. Знак ⇔ означає рівносильність. Тобто, наведений запис варто розуміти так: якщо , то і якщо , то . А тепер те саме, але словами: якщо b є корінь парного ступеня 2 k з числа a , то b - це невід'ємне число, що задовольняє рівності b 2 k = a , і назад, якщо b - ненегативне число, що задовольняє рівності b 2 · k = a, тобто b є корінь парного ступеня 2 · k з числа a.

З першої рівності системи зрозуміло, що число a – невід'ємне, тому що воно дорівнює невід'ємному числу b, зведеному в парний ступінь 2 · k.

Таким чином, у школі розглядають коріння парних ступенів лише з невід'ємних чисел, розуміють їх як , а коріння парних ступенів з негативних чисел не надають жодного сенсу.

Другий практично важливий результат: .

Він по суті поєднує визначення арифметичного кореня непарного ступеня та визначення кореня непарного ступеня з негативного числа. Пояснимо це.

З визначень, даних у попередніх пунктах, зрозуміло, що надають сенсу корінням непарних ступенів з будь-яких дійсних чисел, не тільки невід'ємних, а й негативних. Для невід'ємних чисел b вважають, що . З останньої системи випливає умова a≥0. Для негативних чисел −a (при цьому a – позитивне число) приймають . Відомо, що з такому визначенні - негативне число, оскільки воно одно , а є позитивне число. Також зрозуміло, що зведення в ступінь 2 K + 1 кореня дає підкорене число -a. Дійсно, враховуючи таке визначення та властивості ступенів, маємо

З цього укладаємо, що корінь непарного ступеня 2 k + 1 з негативного числа −a є таке негативне число b , ступінь 2 k +1 якого дорівнює −a , в буквеному вигляді . Об'єднуючи результати для a≥0 та для -a<0 , приходим к следующему выводу: корень нечетной степени 2·k+1 из произвольного действительного числа a есть число b (оно может быть как неотрицательным, так и отрицательным), которое при возведении в степень 2·k+1 равно a , то есть .

Таким чином, у школі розглядають коріння непарних ступенів з будь-яких дійсних чисел і розуміють їх так: .

На закінчення ще раз запишемо два цікаві для нас результати: і .

Лекція 7. Коріння натурального ступеня із числа.

Корінням ступеня nз дійсного числа a, де n- натуральне число, називається таке дійсне число x, n-а ступінь якого дорівнює a.

Корінь ступеня nз числа aпозначається символом. Відповідно до цього визначення.

Знаходження кореня n-ого ступеня з числа aназивається вилученням кореня. Число аназивається підкореним числом (виразом), n- Показником кореня. При непарному nіснує корінь n-ой міри для будь-якого дійсного числа a. При парному nіснує корінь n-ой міри тільки для невід'ємного числа a. Щоб усунути двозначність кореня n-ого ступеня з числа a, вводиться поняття арифметичного кореня n-ого ступеня з числа a.

Поняття арифметичного кореня ступеня N

Якщо і n- натуральне число, більше 1 , то існує, і лише одне, невід'ємне число х, Таке, що виконується рівність . Це число хназивається арифметичним коренем n-й ступеня з невід'ємного числа аі позначається. Число аназивається підкореним числом, n- Показником кореня.

Отже, відповідно до визначення запис , де , означає, по-перше, як і, по-друге, що , тобто. .

Поняття ступеня з раціональним показником

Ступінь із натуральним показником: нехай а- дійсне число, а n- натуральне число, більше одиниці, n-й ступенем числа аназивають твір nмножників, кожен з яких дорівнює а, тобто. . Число а- основа ступеня, n- показник ступеня. Ступінь з нульовим показником: вважають за визначенням, якщо , то . Нульовий ступінь числа 0 не має сенсу. Ступінь з негативним цілим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, то . Ступінь із дробовим показником: вважають за визначенням, якщо і n- натуральне число, m- ціле число, то .

Операції з корінням.

У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь (підкорене вираз позитивно).

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню коренів ділимого та дільника:

3. При зведенні кореня в ступінь достатньо звести в цей ступінь підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в n разів і одночасно звести в n-ий ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в n разів і одночасно отримати корінь n-ого ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Розширення поняття ступеня. Досі ми розглядали ступені лише з натуральним показником; але дії зі ступенями і корінням можуть призводити також до негативних, нульових та дробових показників. Всі ці показники ступенів потребують додаткового визначення.

Ступінь із негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині негативного показника:

Тепер формула a m: a n = a m - n може бути використана не тільки при m, більшому, ніж n, але і при m меншому, ніж n.

П р і м е р. a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Якщо ми хочемо, щоб формула a m: a n = a m - n була справедлива за m = n , нам необхідне визначення нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

Приміри. 2 0 = 1, (-5) 0 = 1, (-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-ого ступеня цього числа а:

Про висловлювання, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.

Випадок 1.

Де a ≠ 0 не існує.

Справді, якщо припустити, що x - деяке число, то відповідно до визначення операції поділу маємо: a = 0 x, тобто. a = 0, що суперечить умові: a ≠ 0

Випадок 2

Будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що це вираз дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції поділу маємо: 0 = 0 · x. Але ця рівність має місце за будь-якого числа x, що й потрібно було довести.

Справді,

Розв'язання. Розглянемо три основні випадки:

1) x = 0 - це значення не задовольняє даному рівнянню

2) за x > 0 отримуємо: x / x = 1, тобто. 1 = 1, звідки випливає, що x – будь-яке число; але з огляду на, що у разі x > 0 , відповіддю є x > 0 ;

3) при x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

у разі немає рішення. Отже, x > 0.

Урок та презентація на тему: "Корінь n-ого ступеня з дійсного числа"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Алгебраїчні завдання з параметрами, 9–11 класи
"Інтерактивні завдання на побудову у просторі для 10 та 11 класів"

Корінь n ступеня. Повторення пройденого.

Тепер графічно розв'яжемо рівняння: $x^4=16$.
На нашому графіку функції проведемо пряму $y=16$ і подивимося, в яких точках два наші графіки перетинаються.
За графіком функції добре видно, що ми маємо два рішення. Функції перетинаються у двох точках з координатами (-2; 16) та (2; 16). Абсциси наших точок є рішення нашого рівняння: $x_1=-2$ і $x_2=2$. Також легко знайти коріння рівняння $x^4=1$, очевидно, що $x_1=-1$ та $x_2=1$.
Як бути, якщо є рівняння $x^4=7$.
Давайте побудуємо графік наших функцій:
За нашим графіком добре видно, що рівняння має також два корені. Вони симетричні щодо осі ординат, тобто протилежні. Знайти точне рішення за графіком функцій неможливо. Ми можемо тільки сказати, що наші рішення по модулю менше 2, але більше 1. Також можна сказати, що наше коріння є ірраціональними числами.
Зіткнувшись із такою проблемою, математикам треба було її описати. Вони ввели нове позначення: $\sqrt()$, який назвали коренем четвертого ступеня. Тоді коріння нашого рівняння $x^4=7$ запишуться ось у такому вигляді: $x_1=-\sqrt(7)$ і $x_2=\sqrt(7)$. Читається, як корінь четвертого ступеня із семи.
Ми говорили про рівняння виду $x^4=a$, де $а>0$ $(а=1,7,16)$. Ми можемо розглядати рівняння виду: $x^n=a$, де $а>0$, n – будь-яке натуральне число.
Нам, слід звернути увагу на ступінь при х, парності або непарності ступеня - змінюється кількість рішень. Розгляньмо конкретний приклад. Розв'яжемо рівняння $x^5=8$. Побудуємо графіки функції:
За графіком функцій добре видно, що у нашому випадку маємо лише одне рішення. Рішення прийнято позначати як $ sqrt (8) $. Вирішуючи рівняння виду $x^5=a$ і пробігши по всій осі ординат, неважко зрозуміти, що це рівняння завжди матиме одне рішення. При цьому значення а може бути і меншим за нуль.

Корінь n ступеня. Визначення

Визначення. Коренем n-ого ступеня ($n=2,3,4…$) з неотрицательного числа а називають таке неотрицательное число, при зведенні якого в ступінь n виходить число а.

Це число позначають $sqrt[n](a)$. Число а називається підкореним число, n – показник кореня.

Коріння другого і третього ступеня прийнято називати корінням квадратним і кубічним відповідно. Ми їх вивчали у восьмому та дев'ятому класі.
Якщо $а≥0$, $n=2,3,4,5…$, то:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Операцію знаходження кореня з невід'ємного числа називають "вилученням кореня".
Зведення в ступінь і добування кореня - це та сама залежність:

Діти, зверніть увагу, що в таблиці представлені тільки позитивні числа. У визначенні ми обмовили, що корінь вилучається лише з невід'ємного числа а. Далі ми внесемо уточнення, коли можна видобувати корінь і з негативного числа а.

Корінь n ступеня. Приклади рішення

Б) $ \ sqrt (0,064) $.
Рішення: $ \ sqrt (0,064) = 0,4 $, так як $ 0,4> 0 $ і $ 0,4 ^ 3 = 0,064 $.

В) $ \ sqrt (0) $.
Рішення: $ \ sqrt (0) = 0 $.

Г) $ \ sqrt (34) $.
Рішення: У цьому прикладі точного значення ми дізнатися не можемо, наше число ірраціональне. Але ми можемо сказати, що воно більше 2 і менше 3, тому що 2 в 5 ступені дорівнює 32, а 3 в 5 ступені дорівнює 243. 34 лежить між цими числами. Наближене значення ми можемо знайти за допомогою калькулятора, який може обчислювати коріння $ sqrt (34) ≈ 2,02 $ з точністю до тисячних.
У нашому визначенні ми домовилися обчислювати коріння n-го ступеня лише з позитивних чисел. На початку уроку ми бачили приклад, що можна добувати коріння n-ого ступеня і з негативних чисел. Ми розглянули непарний показник функції і тепер внесемо уточнення.

Визначення. Коренем непарного ступеня n (n = 3,5,7,9 ...) з негативного числа а називають таке негативне число, при зведенні якого в ступінь n виходить а.

Позначення прийнято використовувати такі самі.
Якщо $а 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Корінь парного ступеня має сенс лише позитивного підкореного числа, корінь непарного ступеня має сенс будь-якого підкореного числа.

приклади.
а) Вирішити рівняння: $ sqrt (3x +3) = -3 $.
Рішення: Якщо $\sqrt(y)=-3$, то $y=-27$. Тобто обидві частини нашого рівняння треба звести в куб.
$3х+3=-27$.
$ 3х = -30 $.
$ х = -10 $.

Б) Вирішити рівняння: $ sqrt (2х-1) = 1 $.
Зведемо обидві частини у четвертий ступінь:
$ 2х-1 = 1 $.
$ 2х = 2 $.
$ х = 1 $.

В) Розв'язати рівняння: $ sqrt (4x-1) = -5 $.
Рішення: Згідно з нашим визначенням, корінь парного ступеня можна отримувати тільки з позитивного числа, а нам дано негативне, тоді коріння немає.

Г) Вирішити рівняння: $ \ sqrt (x ^ 2-7x + 44) = 2 $.
Рішення: Зведемо обидві частини рівняння в п'ятий ступінь:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ і $x_2=3$.

Завдання для самостійного вирішення