Поняття квадратного тричлена та квадратичної функції. Квадратична функція

ВСТУП

Тема "Квадратний тричлен" займає в курсі алгебри одне з центральних місць. Завдання з цієї теми - неодмінний атрибут будь-якого іспиту та вступних іспитів до вузу, зокрема.

Головною метою занять з математики є розширення та поглиблення знань, розвиток інтересу учнів до предмета, розвиток їх математичних здібностей. Процес навчання заснований на спільній дослідницькій діяльності учнів.

Велику роль розвитку математичного мислення учнів на заняттях грає вивчення теми «Квадратний тричлен». Це взагалі є однією з основних у шкільному курсі математики. Але у реалізації цієї лінії зокрема, як? і коли? знайомити учнів із поняттям «квадратний тричлен», можливі різні підходи та точки зору.

Вперше про квадратний тричлен говориться в 7 класі. Після цього лінія квадратного тричлена постійно підтримується.

Тому квадратний тричлен відіграє велику і важливу роль у шкільному курсі алгебри, а й у подальшому навчанні у навчальних закладах. Завдання на цю тему так само обов'язково включають у варіанти вступних іспитів до ВНЗ. І хочеться наголосити на важливості цього невеликого розділу шкільного курсу полягає в його надзвичайно широких сферах застосування.

Тема моєї курсової роботи: «Методичні особливості вивчення квадратного тричлена під час уроків алгебри у 7 - 9 класах».

Мета дослідження: Проаналізувати рівень засвоєння квадратного тричлена на прикладах завдань на повторення.

Область дослідження – елементарна математика.

Об'єкт дослідження – алгебра.

Предмет дослідження – квадратична функція.

Завдання дослідження:

Розглянути тематичне планування з різних підручників.

Проаналізувати ступінь проблеми завдань по одному з підручників.

Проаналізувати рівень засвоєння цієї теми на прикладах завдань на повторення.

Гіпотеза: Якщо кожному уроці алгебри виконувати з учнями завдання, пов'язані з квадратним тричленом, ступінь засвоєння квадратного тричлена значно поліпшиться.

Квадратні тричлени

Поняття квадратного тричлена та квадратичної функції

У різних джерелах, поняття "квадратного тричлена", дається по-різному. В одних, квадратний тричлен- це багаточлен другого ступеня з однією змінною

ax 2 + bx + c, (1)

де x-змінна; a, b - коефіцієнти, з-вільний член, a0. В інших квадратним тричленом щодо x називається вираз виду ax 2 +bx+c, де a,b,c - деякі числа, причому a0. Числа a, b, c називаються коефіцієнтами квадратного тричлена. Надалі припускатимемо, що a, b, c - дійсні числа.

Значення x, при яких квадратний тричлен ax 2 + bx + c перетворюється на нуль, називаються корінням тричлена. Таким чином, для знаходження коріння квадратного тричлена потрібно розв'язати квадратне рівняння:

ax 2 + bx + c = 0. (2)

Нагадаємо, яким чином знаходиться коріння квадратного рівняння; при цьому ми дещо уточнимо факти, які зазвичай викладаються в шкільному курсі. Для вирішення квадратного рівняння користуються прийомом «виділення повного квадрата», тобто записують його у вигляді (нагадаємо, що a 0):

ax 2 + bx + c = a (x 2 + x) + c = a (x 2 + 2x) + c = a (x 2 + 2x +) + c - = a (x +) 2 -

Таким чином, рівняння ax2 + bx + c=0 можна записати у вигляді:

Або (переносячи дріб у праву частину і поділивши на a) у вигляді:

При цьому рівняння (3) рівносильне рівнянню ax 2 + bx + c = 0, тобто має те ж коріння, що і рівняння ax 2 + bx + c.

Справді, якщо кілька x задовольняє рівнянню

ax 2 + bx + c = 0

як показують проведені викладки, воно задовольняє і рівнянню (3) . Але ці викладки можна провести і у зворотному порядку, тобто якщо число x задовольняє рівнянню (3), воно задовольняє і рівнянню

ax 2 + bx + c = 0.

Іншими словами, рівність ax 2 + bx +c = 0 є невизначеним висловом, яке для одних значень x (а саме для коренів тричлена) є істинним, а для інших - хибним. Еквівалентність рівнянь

ax 2 + bx + с = 0 і (3) полягає в тому, що ці два невизначені висловлювання одночасно істинні та хибні. Отже, залишається розв'язати рівняння (3). Зазвичай число b 2 - 4ac позначають через "D" і його називають дискримінантомквадратного тричлена.

Таким чином, рівняння (3) можна записати так:

(x +) 2 = де D=b 2 - 4ac (4)

Тепер пропонуються три різні випадки - залежно від того, яким є число D:

а)Якщо число D є позитивним, то позитивним є і число. Тому є два числа, квадрат кожного з яких дорівнює: це будуть числа і - (де, як завжди, - арифметичний корінь з позитивного числа D). Але згідно з (4) x+ якраз є таке число, квадрат якого дорівнює. Отже, x задовольняє рівняння (4) у двох випадках:

1) якщо x + = (і тоді x =)

2) якщо x + = (і тоді х =)

Отже, при D>0 рівняння (4), а значить і рівняння ax 2 + bx + c = 0, має два корені:

X 1 =, X 2 =, Де D=b 2 -4ac (5)

Зауважимо, що в цьому випадку обидва корені x 1 x 2 дійсні, причому x 1 x 2 (тобто рівняння дійсно має два корені).

Б) якщо число D дорівнює нулю, то рівняння (4) набуває вигляду:

Але квадрат числа дорівнює нулю тільки в тому випадку, якщо саме число дорівнює нулю, тому ми звідси отримуємо

x = 0, або x = -.

Отже, при D=0 рівняння (4), отже, і рівняння x 2 + bx + c = 0, має тільки одинкорінь x = -, тобто існує лише одне число(а саме -), що задовольняє цього рівняння. Однак з метою однаковості вважають, що і в цьому випадку рівняння ax 2 + bx + c = 0 має два корені, тільки вони збігаються. Іншими словами, умовно вважають, що і при D = 0 рівняння ax 2 + bx + c = 0 має два корені:

Зауважимо, що те саме виходить і з формул (5), оскільки D = 0. Таким чином, якщо ми умовимося при D = 0 вважати корінь X = - два рази (або, як ще кажуть, промовляємо вважати його дворазовим коренем), то Формули (5) для коренів зберігають сили і в цьому випадку. Ми побачимо, що й у багатьох подальших випадках ця угода (вважати при D = 0 корінь дворазовою) виявляється дуже зручною: інакше в багатьох теоремах доводилося робити спеціальні застереження, що стосуються цього випадку. Тому в математиці завжди прийнято вважати, що при D = 0 рівняння ax 2 + bx + c = 0 має два збігаються корені. Однак усвідомлюємо, що це лише умовна угода:при D = 0 зі всіх дійсних чисел лише одне (а саме -) задовольняє рівняння ax 2 + bx + c = 0.

У) Залишилося розглянути випадок, коли D негативно. У цьому випадку і число є негативним. Оскільки квадрат дійсного числа може бути негативним, отже, у разі рівняння ax 2 + bx + c = 0 не має дійсних коренів. Як знаємо, існує два комплексних числа, квадрат кожного у тому числі дорівнює негативному числу D. Ці числа є суто уявними і до того ж сполученими. Якщо ми умовимося одне з них (байдуже, яке) позначати через, то інше буде одно

Тоді числами, квадрат кожного з яких дорівнює негативному числу, будуть чисто уявні числа і - (а інших таких чисел немає). Але згідно з (4) x + є число, квадрат якого дорівнює.

Отже, x задовольняє рівнянню (4), отже, і рівнянню

ax 2 + bx + c = 0, у двох випадках:

1) Якщо x + (і тоді x =);

2) Якщо x + (і тоді x =).

Таким чином, і в цьому випадку (тобто D< 0) уравнение ax 2 + bx +c = 0

Має два корені, що обчислюються за формулами (5) і є комплексно сполученими числами. Ще раз підкреслю, що це твердження має лише умовний зміст - якщо ми прославляємося через позначати якесь одне з комплексних чисел, квадрат якого дорівнює негативному числу D. Це, насправді, лише умовна угода, оскільки знак «» використовується, визначення, для позначення арифметичного кореня з позитивного дійсного числа, а комплексної області цей знак однозначного сенсу немає. Тим не менш, промовляються при вирішенні квадратних рівнянь з негативним дискримінантом завжди вважати, що позначає одне з двох чисел, квадрат якого дорівнює D. Тоді формули (5) для коренів зберігають сенс і при D<0.

Квадратний тричлен тісно пов'язаний із квадратичною функцією.

Функція виду

f(x) = ax 2 + bx + c (6)

де a?0, b і c - постійні, а змінна x належить множині R дійсних чисел, називається квадратичною функцією.

З визначення ясно, що квадратичною є кожна з функцій

F(x) = ax 2 + bx, (де b0, с?0),

y = ax 2 + c (де b = 0, c = 0)

ЗАТВЕРДЖЕННЯ №1

Якщо a?0, то

ax 2 +bx +c= a x+ (7)

Це тотожність легко довести перетворенням правої частини. Трохи складніше перетворення лівої частини шляхом виділення точного квадрата. Використовуючи це твердження та рівність (6), можна записати таку схему:

На підставі рівності (7) легко довести таке твердження:

ЗАТВЕРДЖЕННЯ № 2

Квадратична функція при:

А) a>0 має глобальний мінімум

y 0 = при x 0 = -;

Б) a<0 имеет глобальный максимум

y 0 = при x 0 = -

Зрозуміло, що в кожному з двох випадків відповідний екстремум є єдиним і збігається з найбільшим або найменшим значенням функції R. Твердження № 2 можемо тлумачити і у зв'язку з графіком квадратичної функції: при традиційному розташуванні координатної системи на площину. (-;) при a>0 є найнижчою точкою графіка функції, а при a<0 - самой верхней точкой графика.

ЗАТВЕРДЖЕННЯ №3

Квадратична функція при:

a) a >0 зменшується на проміжку

D 1 = (-?; -] і зростає на проміжку

D 2 = [-; +?);

б) a<0 возрастает на промежутке D 1 и убывает на промежутке D 2 .

ДОВЕДЕННЯ:

Доведемо, що з a 0 на інтервалі D 1 зменшується. Дамо довільні різні значення x 1 і x 2 змінної, і для певності нехай

Позначимо a(x1+)+ через f(x1), а a(x2+)2+

через f(x2). Тоді достатньо довести, що f(x1) f(x2).

На підставі (8) послідовно знаходимо

-(x 1 +) -(x 2 +) 0, (x 1 +) 2 (x 2 +) 2

a (x 1 +) 2 + a (x 2 +) 2 + ,

тобто f(x1) f(x2). Отже, на інтервалі D 1 квадратична функція зменшується.

До цього висновку коротше можна дійти наступних міркувань:

f (x 2) - f (x 1) = a (x - x) + b (x 2 - x 1) =

(x 2 - x 1) (a (x 2 + x 1) + b) (x 2 - x 1) (a (x 2 - x 1) (a (-) + b) = 0,

звідки, f(x1) f(x2).

Аналогічним чином розглядаємо та інші випадки. За допомогою похідної функції затвердження 3 можемо довести, використовуючи необхідну та достатню умову зменшення або зростання функції. Твердження 2 доводиться з використанням похідної функції, точніше, за допомогою достатньої умови існування локального екстремуму.

ЗАТВЕРДЖЕННЯ № 4

Графік квадратичної функції f(x) = ax 2 + bx + c симетричний щодо прямої q 0 яка проходить через точку А (-; 0) і паралельна осі ординат (або збігається з нею).

Щоб довести це твердження, даємо два довільні значення x 1 і x 2 змінної, симетричні щодо точки x 0 = -, і, використовуючи рівність (7), знаходимо, що відповідні значення функції рівні. Можемо також дати довільне значення x 3 змінної, отримавши точку P(x 3 ; f(x 3)) графіка функції, і показуємо, що точка Q, симетрична точці P щодо прямої q 0 теж належить графіку.

Графік квадратичної функції є кривою лінією, що називається параболою.Пряма q 0 і (-;) називаються відповідно віссю та вершиною параболи. Відомо, що вісь абсцис містить ті й тільки ті точки, ординати яких дорівнюють 0. Значить, щоб встановити, при яких значеннях аргументу x квадратична функція набуває значення, що дорівнює 0, потрібно перевірити, чи має парабола хоча б одну загальну точку з віссю абсцис тоді і лише тоді, коли ордината її вершини? 0, тобто коли b 2 -4ac? 0. Число b 2 - 4ac позначається через D і називається дискримінантом як квадратичної функції, так і квадратного рівняння:

ax 2 + bx + c = 0 (9)

Отже, якщо a>0, то:

При D>0 рівняння (9) має різні дійсні коріння x 1 і x 2;

При D=0 рівняння (9) має дійсний корінь;

При D<0 уравнение (9) не имеет действительных корней.

Якщо a 0, парабола має хоча б одну загальну точку з віссю абсцис тоді і лише тоді, коли ордината її вершини? 0, тобто коли

4ac - b 2? 0 або коли D? 0.

Таким чином, знову отримуємо той самий висновок.

З цих міркувань та тверджень 2 та 3 випливає, що при a 0 можливі такі випадки:

А) При D 0 і x 1 x 2 функція приймає значення, рівні 0 для значень змінної x 1 і x 2 позитивні значення для кожного

x (-, x 1) (x 2; +),

негативні значення для кожного x (x1; x2).

Б) При D = 0 функція набуває значення, що дорівнює 0, тільки для значень змінної x 1 і x 2 = -, Позитивні значення для кожного x - ; В) При D 0 функція набуває позитивного значення для кожного значення змінної. Аналогічно, якщо a 0, то:

А) При D 0 і x 1 x 2 функція набуває значення, що дорівнює 0, для значень змінної x 1 і x 2 негативні значення для кожного

x (- ; x 1) (x 2 ; +), позитивні значення для кожного

x (-; x 1) (x 2; +), позитивні значення для кожного x (x 1; x 2).

Б) При D = 0 функція набуває значення, що дорівнює 0, тільки для значення змінної x 1 = x 2 = -, Від'ємні значення для кожного x - ;

В) При D 0 функція набуває негативних значень для кожного значення змінної.

Можна особливо відзначити, що й D 0, то кожного значення змінної знак значення функції збігається зі знаком коефіцієнта a.

Всі ці властивості, що містяться у твердженнях 1 - 3, можуть бути відображені у схемі, зображеній на малюнку (на кожному з креслень вісь ординат не показана, тому, що це зазвичай не має суттєвого значення при розгляді зазначених властивостей).

Таким чином, тема: «квадратний тричлен» є основною в курсі алгебри, яка тісно пов'язана з квадратичною функцією. Викладений вище матеріал корисний для подальшої роботи з квадратними нерівностями (за одним можливим способом за допомогою графіка квадратичної функції) і деякою мірою з квадратними рівняннями.

В якій були розглянуті функції у складі яких є квадратний тричлен. Завдання знаходження точок максимуму (мінімуму) чи обчислення найбільшого (найменшого) значення функції.

Нещодавно мене попросили розповісти і показати, яким чином такі завдання можна вирішити за стандартним алгоритмом, тобто через похідну. Відразу скажу, що такий підхід до рішення нераціональний, потребує більше часу і він «незручний». Наводжу його для вас (щоб знали).

Рекомендую подивитися статтю « », також пам'ятайте, що функцій потрібно знати напам'ять, в похідній темі без цього ніяк не можна. Також необхідно розуміння того, що таке складна функція, у зазначеній статті є відео.

Розглянемо завдання:

Знайдіть точку максимуму функції

Спочатку визначимо, у яких х функція має сенс (знайдемо область визначення функції). Оскільки підкорене вираз є число невід'ємним, то вирішуємо нерівність:

13 + 6х - х 2 ≥ 0

*Як вирішується квадратна нерівність докладно можна подивитися.

Дане коріння розбиває вісь х на три інтервали.

Перевіримо при яких значеннях нерівність буде вірним. Підставимо з кожного інтервалу будь-яке значення х у нерівність:

Отже рішенням нерівності будуть всі значення х належать інтервалу (включаючи межі):

* Приблизно отримані вирази дорівнюють:

Область визначення цієї функції знайдено.

Обчислимо похідну функції. Це складна функція:

Знайдемо нулі похідної:

Дроб дорівнює нулю тоді, коли її чисельник дорівнює нулю, значить:

6 - 2х = 0

х = 3

Отримане значення х входить в область визначення та розбиває її на два відрізки. Визначимо знаки похідної кожному з них (підставимо вибірково будь-які значення вираз похідної), наприклад 2 і 4:

Отримали, що у точці х = 3 похідна функції змінює свій знак з позитивного на негативний, але це означає, що це точка є точка максимуму.

Відповідь: 3

Коментар: представлене рішення – це повне, математично грамотне рішення, тобто таке, як має бути. Що я? Справа в тому, що для складання «повної картини» насамперед необхідно знайти область визначення. Звісно, ​​можна посперечатися. Справа в тому, що можна відразу знаходити похідну, потім її «нулі» і далі встановити чи має функція значення при цьому х. Потім визначити знаки в «сусідних» точках і стане зрозуміло, чи ця точка є точкою максимуму (або мінімуму). Так, можна й так.

Хто проаналізував всі типи таких прикладів з єдиного банку завдань ЄДІ з математики, той справедливо може сказати, що взагалі знайти нулі похідної, отримане (ціле) значення x і буде шуканим. Згоден! Але розуміти суть усього процесу вирішення «від і до» потрібно.

Якщо у подібному завданні на ЄДІ стоятиме питання про обчислення найбільшого (найменшого) значення, то воно буде у точці х, отриманій при вирішенні f′(х) = 0, тобто в нулі функції.

Знайдіть точку максимуму функції у = log 7 (-2 - 12х - х 2) + 10.

Обчислимо похідну функції, використовуємо формулу похідної логарифму та похідної складної функції:

Знайдемо нулі похідної:

Дроб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли її чисельник дорівнює нулю:

- 2х -12 = 0

х = - 6

Дане значення звертає підлогарифмічний вираз у позитивне:

–2 – 12∙(–6) – (–6) 2 = 34

тобто воно належить області визначення функції.

Визначимо знаки похідної в «сусідних» точках, наприклад, візьмемо точки –7 і –5:

Отримали, що у точці х = – 6 похідна функції змінює свій знак з позитивного на негативний, але це означає, що це точка є точка максимуму функції.

Відповідь: -6

Квадратний тричлен та застосування його до вирішення завдань із параметром.

Квадратний тричлен з повним правом можна назвати основною функцією, що вивчаються в шкільному курсі математики. Тому знання властивостей квадратного тричлена та вміння застосовувати їх є необхідними умовами успішного виконання ЄДІ та вступної екзаменаційної роботи.

Численні завдання із зовсім інших, на перший погляд, областей математики (дослідження екстремальних властивостей функцій, тригонометричні, логарифмічні та показові рівняння, системи рівнянь та нерівностей) часто зводяться до розв'язання квадратних рівнянь або дослідження квадратного тричлена.

У цій роботі розглянуто теореми про розташування коренів квадратного тричлена та показано прийоми розв'язання задач на основі властивостей квадратного тричлена та графічних зображень.

Поняття квадратного тричлена та його властивості.

Квадратним тричленомназивається вираз виду ax 2 +bx+c де а0. Графіком відповідної квадратичної функції парабола. При a<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 гілки спрямовані нагору.

Вираз x 2 +px+q називається наведеним квадратним тричленом.

Залежно від величини дискримінанта D=b 2 - 4ac можливі такі випадки розташування графіка квадратного тричлена:

при D>0 існують дві різні точки перетину параболи з віссю Ох (два різні корені тричлена);

при D=0 ці дві точки зливаються в одну, тобто парабола стосується осі Ох (один корінь тричлена);

при D<0 точек пересечения с осью Ох нет (и корней трехчлена нет).

В останньому випадку при а>0 парабола лежить повністю вище осі Ох, при а<0- целиком ниже оси Ох (см. приложение 1 , приложение 2 и приложение 3).

Знання властивостей квадратного тричлена та вміння застосовувати їх є необхідною умовою успішного вирішення численних завдань елементарної математики.

Розглянемо деякі властивості квадратного тричлена.

Найважливішою теоремою про коріння квадратного тричлена є теорема Вієта.

Теорема Вієта. Між корінням квадратного тричлена ax 2 +bx+c і коефіцієнтами цього

тричлена є співвідношення: x 1 +x 2 = -b/a,

Ця теорема справедлива і для наведеного квадратного тричлена x 2 +px+q: x 1 +x 2 = -p,

Теорема, обернена теоремі Вієта, Застосовується лише для наведеного квадратного тричлена.

Якщо числа x 1 та x 2 такі, що x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 =q, то x 1 та x 2 – коріння наведеного

квадратного тричлена.

Теорема Вієта успішно застосовується при розв'язанні різних завдань, зокрема задач на дослідження знаків коренів квадратного тричлена. Це потужний інструмент для вирішення багатьох завдань з параметрами для квадратичної функції.

Теореми про знаки коренів квадратного тричлена.

Теорема 1. Для того, щоб коріння квадратного тричлена мали однакові знаки, необхідно і

достатньо виконання співвідношень: D=b 2 -4ac0; x 1 x 2 =c/a>0.

При цьому обидва корені будуть позитивними, якщо додатково виконується умова:

x 1 +x 2 = -b/a>0 ,

а обидва корені будуть негативними, якщо x 1 +x 2 = -b/a<0.

Теорема 2.Для того, щоб коріння квадратного тричлена мали різні знаки, необхідно і

залишкове виконання співвідношення x 1 x 2 =c/a<0.

В даному випадку немає необхідності перевіряти знак дискримінанта, оскільки під час виконання умови c/a<0 будет выполняться и условие c a<0, а это значит, что дискриминант D=b 2 -4ac>0.

Розташування коріння квадратного тричлена (див. додаток).

Дидактичний матеріал учнів.

1. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких корені квадратного тричлена х 2 +ах +1 різні і лежать на відрізку .

2. При яких значеннях параметра а рівняння х 2 -(2а-1)х+1-а=0 має два різні позитивні корені?

3. За яких значень параметра а рівняння х 2 -(2а-6)+3а+9=0 має коріння різних знаків?

4. Знайдіть усі значення параметра а, за яких коріння рівняння х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 менше, ніж 1 .

5. Знайдіть усі значення параметра а, при яких одне з коренів рівняння х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 менше 1, а інше – більше 1?

6. За яких значень параметра а рівняння 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 має хоча б один корінь?

7. За яких значень параметра а рівняння (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 має два корені, одне з яких більше 1, а інше менше 1?

8. При яких значеннях параметра корені рівняння (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 позитивні?

9. Чи існують такі значення параметра а, при яких обидва корені рівняння х 2 -2(а-3)х-а+3=0 укладені в інтервалі (-3; 0)?

10. При яких значеннях параметра коріння рівняння х 2 -2ах+(а+1) (а-1)=0 належать відрізку [-5; 5]?

11. При яких значеннях параметра а один корінь квадратного рівняння х 2 +(а+1)х-а 2 =0 більший від числа 1/2 , а інший менший за 1/2?

12. За яких значень параметра а рівняння х 2 -4х+(2-а) (2+а)=0 має коріння різних знаків?

13. При яких значеннях параметра а рівняння х 2 +2(а+1)х+9=0 має два різні позитивні корені?

14. Знайти всі значення параметра, а при яких усі корені рівняння (2-а)х 2 -3ах+2а=0 більше 1/2?

15. При яких значеннях параметра всі коріння рівняння х 2 -2ах+а 2 -а=0 розташовані на відрізку [-2; 6]?

16. За яких значень параметра а сума квадратів коренів рівняння х 2 -2ах+2(а+1)=0 дорівнює 20?

17. За яких значень параметра а сума коренів рівняння х 2 -2а(х-1)-1=0 дорівнює сумі квадратів його коренів?

18. При яких значеннях параметра всі коріння рівняння (а-3)х 2 -2ах+6а=0 позитивні?

19. При яких значеннях параметра а всі коріння рівняння (1+а)х 2 -3ах+4а=0 більше 1?

Література

Предмет: математика (алгебра).

Клас: 9 (загальноосвітній).

Підручник:Алгебра: навч. Для 9 кл. загальноосвіт. установ. За ред. С. А. Теляковського. - М: Просвітництво, 2012.

Тривалість:45 хвилин.

Ціль:відпрацювати знання про властивості елементарних функцій та вміння розкладати квадратний тричлен на множники.

Завдання:

· освітні:

узагальнити знання про властивості елементарних функцій;

Закріпити вміння розкладати квадратний тричлен на множники;

· виховні:

Залучити до активної діяльності всіх учнів класу;

Виховувати в учнів допитливість та позитивну мотивацію до вчення;

Виховувати комунікативну культуру спілкування;

· розвиваючі :

Розвивати пізнавальний інтерес та логічне мислення;

Розвивати навички колективної роботи учнів у поєднанні із самостійною;

Розвивати вміння виступати та захищати свою точку зору.

Тип уроку:урок узагальнення з дидактичною грою «Хрестики-нуліки».

Обладнання:комп'ютер, проектор, презентація «Гра «Хрестики-нуліки», набір хрестиків та нуліків.

Хід уроку:

I. Організаційний момент

Сьогодні на уроці ми закріпимо знання про властивості функції та вміння, пов'язані з розкладанням квадратного тричлена на множники. Наш урок проходитиме у формі всім вам відомої гри «Хрестики-нуліки». У грі беруть участь 2 команди: I варіант та II варіант. У ході жеребкування одна з команд-варіантів отримає назву "хрестики", а інша - "нуліки".

ІІ. Активізація раніше вивченого матеріалу
Той з вас, хто перший вірно відповість на поставлене запитання, отримує «хрестик» і питання знімається. А якщо ви відповідаєте невірно або припускаєтеся помилки, то вам видається «нулик» і можливість відповісти переходить до іншого учня.

Запитання:

 Дайте визначення функції.

 Яку змінну називають аргументом?

 Яку змінну називають функцією?

 Що розуміють під значенням функції?

 Що називається областю визначення функції?

 Що називається областю значення функції?

 Що називається графіком функції?

 Що являє собою графік лінійної функції?

 Що являє собою графік прямої пропорційності?

 Що являє собою графік зворотної пропорційності?

 Дайте визначення функції, що зростає у проміжку.

 Дайте визначення функції, що зменшується в проміжку.

 Наведіть приклад зростаючої функції.

 Наведіть приклад спадної функції.

 Дайте визначення квадратному тричлену.

 Як розкласти квадратний тричлен на множники?

 Чи завжди можна розкласти квадратний тричлен на множники?

Підрахуємо кількість «хрестиків» та «нуликів» у I варіанта, потім у II варіанта. Який варіант більше хрестиків, та варіант-команда будуть «хрестики», а інша - «нулики».

ІІІ. Узагальнення вивченого матеріалу

Як і у звичайній грі «Хрестики-нуліки» у нас є поле з 9 осередками. У грі перемагає та команда, якій вдалося поставити три свої знаки в один ряд або, якщо жодній із команд це не вдалося, то перемога присвоюється команді, яка поставила на поле 5 своїх знаків.

При проведенні гри повинні дотримуватися наступні правила:

Той учень, хто перший впорався із завданням, своє рішення представляє біля дошки. Якщо рішення виконано правильно, то місці завдання виставляється знак варіанта-команди, і якщо рішення виконано з помилкою, то знак команди противника.

Тільки тому, хто відповідає біля дошки, надається можливість вибрати наступне завдання.

Кожен має право лише один раз надавати своє рішення біля дошки.

Усі правильні рішення завдань мають бути занесені до зошита.

1) Розіграш права обирати завдання:Відновіть запис...

2) Гра «Хрестики-нуліки» : (презентацію завантажити з сервера)

IV. Підсумок уроку

Підбити підсумки гри. Учням, які відповідають біля дошки, виставляються оцінки за урок.

V. Домашнє завдання

Скласти сценарій гри із сусідом по парті, придумавши нові завдання.

VI. Рефлексія

Обговорити з учнями урок:

Яке завдання було найцікавішим (нецікавим, складним, простим)?

Що нового ви дізналися на уроці?

Література:

1. Алгебра: навч. для 9 кл. загальноосвіт. установ/[Ю.М. Макарічев та ін]; за ред.С.А. Теляковського. - М: Просвітництво, 2012.

2. Ганенкова І.С. Математика 8-9 класи: багаторівневі самостійні роботи у формі тестів. – Волгоград: Вчитель, 2008.

3. Коваленко В.Г. Дидактичні ігри під час уроків математики: Кн. Для учителя. - М: «Просвіта», 1990.

4. Математика. Ігрові уроки. 5 - 9 класи/Авт. - Упоряд. О.В. Бощенко – Волгоград: «Учитель», 2004.

1. Загальні положення

1.1. З метою підтримки ділової репутації та забезпечення виконання норм федерального законодавства ФДАУ ДНДІ ІТТ «Інформіка» (далі – Компанія) вважає найважливішим завданням забезпечення легітимності обробки та безпеки персональних даних суб'єктів у бізнес-процесах Компанії.

1.2. Для вирішення цього завдання в Компанії запроваджено, функціонує та проходить періодичний перегляд (контроль) система захисту персональних даних.

1.3. Обробка персональних даних у Компанії ґрунтується на наступних принципах:

Законності цілей та способів обробки персональних даних та сумлінності;

Відповідність цілей обробки персональних даних цілям, заздалегідь визначеним та заявленим при зборі персональних даних, а також повноваженням Компанії;

Відповідності обсягу та характеру оброблюваних персональних даних, способів обробки персональних даних цілям обробки персональних даних;

Достовірності персональних даних, їх актуальності та достатності для цілей обробки, неприпустимості обробки надлишкових по відношенню до цілей збору персональних даних;

Легітимності організаційних та технічних заходів щодо забезпечення безпеки персональних даних;

Безперервності підвищення рівня знань працівників Компанії у сфері забезпечення безпеки персональних даних під час їх обробки;

Прагнення постійного вдосконалення системи захисту персональних даних.

2. Цілі обробки персональних даних

2.1. Відповідно до принципів обробки персональних даних, у Компанії визначено склад та цілі обробки.

Цілі обробки персональних даних:

Укладання, супровід, зміна, розірвання трудових договорів, що є підставою для виникнення або припинення трудових відносин між Компанією та її працівниками;

Надання порталу, сервісів особистого кабінету для учнів, батьків та вчителів;

Зберігання результатів навчання;

виконання зобов'язань, передбачених федеральним законодавством та іншими нормативними правовими актами;

3. Правила обробки персональних даних

3.1. У Компанії здійснюється обробка лише тих персональних даних, які представлені у затвердженому Переліку персональних даних, що обробляються у ФДАУ ДНДІ ІТТ «Інформіка»

3.2. У Компанії не допускається обробка наступних категорій персональних даних:

Расова приналежність;

Політичні погляди;

Філософські переконання;

Про стан здоров'я;

Стан інтимного життя;

Національна приналежність;

Релігійні переконання.

3.3. У Компанії не обробляються біометричні персональні дані (відомості, що характеризують фізіологічні та біологічні особливості людини, на підставі яких можна встановити її особистість).

3.4. У Компанії не здійснюється транскордонна передача персональних даних (передача персональних даних на територію іноземної держави до органу влади іноземної держави, іноземної фізичної особи або іноземної юридичної особи).

3.5. У Компанії заборонено ухвалення рішень щодо суб'єктів персональних даних на підставі виключно автоматизованої обробки їх персональних даних.

3.6. У Компанії не здійснюється опрацювання даних про судимість суб'єктів.

3.7. Компанія не розміщує персональні дані суб'єкта у загальнодоступних джерелах без його попередньої згоди.

4. Реалізовані вимоги щодо забезпечення безпеки персональних даних

4.1. З метою забезпечення безпеки персональних даних при їх обробці в Компанії реалізуються вимоги наступних нормативних документів РФ у галузі обробки та забезпечення безпеки персональних даних:

Федеральний закон від 27.07.2006 р. № 152-ФЗ "Про персональні дані";

Постанова Уряду Російської Федерації від 1 листопада 2012 р. N 1119 "Про затвердження вимог щодо захисту персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних";

Постанова Уряду Російської Федерації від 15.09.2008 р. №687 "Про затвердження Положення про особливості обробки персональних даних, що здійснюється без використання засобів автоматизації";

Наказ ФСТЕК Росії від 18.02.2013 N 21 "Про затвердження Складу та змісту організаційних та технічних заходів щодо забезпечення безпеки персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних";

Базова модель загроз безпеці персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних (затверджена заступником директора ФСТЕК Росії 15.02.2008);

Методика визначення актуальних загроз безпеці персональних даних при їх обробці в інформаційних системах персональних даних (затверджено заступником директора ФСТЕК Росії 14.02.2008 р.).

4.2. Компанія проводить оцінку шкоди, яка може бути заподіяна суб'єктам персональних даних та визначає загрози безпеці персональних даних. Відповідно до виявлених актуальних загроз Компанія застосовує необхідні та достатні організаційні та технічні заходи, що включають використання засобів захисту інформації, виявлення фактів несанкціонованого доступу, відновлення персональних даних, встановлення правил доступу до персональних даних, а також контроль та оцінку ефективності вживаних заходів.

4.3. У Компанії призначено осіб, відповідальних за організацію обробки та забезпечення безпеки персональних даних.

4.4. Керівництво Компанії усвідомлює необхідність і зацікавлене у забезпеченні належного як з погляду вимог нормативних документів РФ, і обгрунтованого з погляду оцінки ризиків бізнесу рівня безпеки персональних даних, оброблюваних у межах виконання основний діяльності Компанії.