Поняття про диметричну прямокутну проекцію. Зображення плоских фігур при паралельному проектуванні

31*. Провести з точки С перпендикуляр на пряму АВ (рис. 29 а, де AB || пл. V).

Рішення. Відомо, прямий кут проектується на площину у вигляді прямого кута в тому випадку, якщо одна з сторін паралельна площині проекції, а інша перетинає цю площину під гострим кутом.

В даному випадку (рис. 29 а) пряма АВ паралельна пл. V. Тому можна з точки з" (рис. 29 б) провести пряму перпендикулярно до а"b" і знайти проекції точки К, в якій СК перетинає АВ. Отримуємо проекції c"k" і ck шуканого перпендикуляра.

32. Провести верб точки С пряму перпендикулярно до прямої АВ: 1) AB || пл. H (рис. .30, а), 2) AB || пл. W (рис. 30 б).

33*. Перетнути прямі АВ і CD (рис. 31, а) третьої прямої, перпендикулярної до них, тобто знайти найкоротшу відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, з яких одна пряма (CD) перпендикулярна до пл. проекцій Н.

Рішення. Оскільки пряма CD перпендикулярна пл. Н, будь-який перпендикуляр до неї розташовується паралельно пл. Н. Тому прямий кут між прямою і прямою АВ, що шукається, зображується на пл. Н у вигляді прямого кута. Небокрай. проекція точки перетину шуканої прямої з прямою CD - точка m - збігається з (d) (рис. 31, б). Проводимо через точку m горизонт. проекцію прямої перпендикулярно до ab до перетину з нею в точці k і знаходимо k". Фронт, проекція прямий (k"m") розташовується паралельно осі х.

34*. Побудувати ромб ABCD, знаючи, що відрізок BD є однією з його діагоналей (BD || пл. V), а вершина А має бути на прямій EF (рис. 32, а).

Рішення. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і поділяються на точці перетину навпіл. Тому ділимо (рис. 32 б) проекції діагоналі BD навпіл. Оскільки BD || пл. V, то з точки k" проводимо перпендикуляр до прямої b"d". Це відповідає правилам побудови проекції прямого кута на площині, стосовно якої діагональ BD паралельна. Точка перетину цього перпендикуляра з проекцією e"f" являє собою фронт, проекцію а "Пошук вершини ромба А. Для побудови точки з" відкладаємо на продовженні прямий a"k" відрізок k"с", різний відрізку а"k". По точці а" будуємо на ef точку а. Подальше зрозуміло з креслення.

35. Побудувати рівнобедрений трикутник ABC з основою, що дорівнює ВС (ВС || пл. Н). Вершина А має бути на прямій ЕF (рис. 33).

36. Побудувати прямокутний трикутник ABC, у якого катет АВ лежить на прямій MN (MN || пл. V) і дорівнює l. Для катета ВС дана його проекція bс (рис. 34).

37*. Побудувати рівнобедрений трикутник із основою ПС на прямій MN (MN || пл. H) і вершиною А на прямій EF (рис. 35, а). Основа ПС повинна дорівнювати висоті трикутника АК, причому для точки К дана її горизонт, проекція.

Рішення. Для побудови трикутника треба знайти його висоту АК і відкласти половину її величини на прямий М N по обидві сторони точки К. На рис. 35 б по точці k будуємо точку k". З точки k проводимо перпендикуляр до прямої mn (прямий кут між висотою АК і основою ВС, що лежить на MN, зображується на пл. проекцій Н у вигляді прямого ж кута, так як пряма MN паралельна пл.Н) Продовжуємо зстст перпендикуляр до перетину з ef. отримуємо фронт. проекцію висоти АК.

Тепер можна знайти натуральну величину висоти АК. Для цього будуємо прямокутний трикутник akK, у якого катет kK дорівнює різниці відстаней точок А і К від пл. Н. Гіпотенуза аK виражає висоту АК. Відкладаючи на прямий mn відрізки kb н kc, рівні половині висоти АК (тобто половині відрізка аK ), отримуємо точки b і с, а по них проекції b" і с". Подальше зрозуміло з креслення.

38. Побудувати квадрат ABCD зі стороною ПС на прямий ММ, яка || пл. V (рис. 36).

39. Побудувати прямокутний трикутник ABC із катетом ВС на прямій MN (MN || пл. H). Для катета АВ дана проекція а "b". Катет ВС повинен бути в 1,5 рази більшим за катет АВ (рис. 37).

У ряді випадків побудова аксонометричних проекцій зручніше починати з побудови фігури основи. Тому розглянемо, як зображають в аксонометрії плоскі геометричні фігури, розташовані горизонтально.

1. квадратапоказано на рис. 1, а і б.

Уздовж осі хвідкладають бік квадрата а, вздовж осі у- половину сторони а/2для фронтальної диметричної проекції та сторону адля ізометричної проекції. Кінці відрізків з'єднують прямими.

Мал. 1. Аксонометричні проекції квадрата:

2. Побудова аксонометричної проекції трикутника показано на рис. 2, а б.

Симетрична точка Про(початку осей координат) по осі хвідкладають половину сторони трикутника а/ 2, а по осі у- Його висоту h(Для фронтальної диметричної проекції половину висоти h/2). Отримані точки з'єднують відрізками прямих.

Мал. 2. Аксонометричні проекції трикутника:

а – фронтальна диметрична; б - ізометрична

3. Побудова аксонометричної проекції правильного шестикутника показано на рис. 3.

По осі хправоруч і ліворуч від точки Провідкладають відрізки, рівні стороні шестикутника. По осі усиметрично точці Провідкладають відрізки s/2, Рівні половині відстані між протилежними сторонами шестикутника (для фронтальної диметричної проекції ці відрізки зменшують удвічі). Від точок mі nотриманих на осі у, проводять вправо і вліво паралельно осі хвідрізки, рівні половині сторони шестикутника. Отримані точки з'єднують відрізками прямих.

Мал. 3. Аксонометричні проекції правильного шестикутника:

а – фронтальна диметрична; б - ізометрична

4. Побудова аксонометричної проекції кола .

Фронтальна диметрична проекція зручна для зображення предметів з криволінійними контурами, подібними до представлених на рис. 4.

Рис.4. Фронтальні диметричні проекції деталей

На рис. 5. дана фронтальна диметричнапроекція куба з вписаними у його межі колами. Кола , розташовані на площинах, перпендикулярних осях х і z, зображуються еліпсами . Передня грань куба, перпендикулярна до осі у, проектується без спотворення, і коло, розташована на ній, зображується без спотворення, тобто описується циркулем.

Рис.5. Фронтальні диметричні проекції кіл, вписаних у межі куба

Побудова фронтальної диметричної проекції плоскої деталі із циліндричним отвором .

Фронтальну диметричну проекцію плоскої деталі з отвором циліндричним виконують наступним чином.

1. Будують контури передньої грані деталі, користуючись циркулем (рис. 6, а).

2. Через центри кола і дуг паралельно осі проводять прямі, на яких відкладають половину товщини деталі. Отримують центри кола та дуг, розташованих на задній поверхні деталі (рис. 6, б). З цих центрів проводять коло і дуги, радіуси яких повинні дорівнювати радіусам кола і дуг передньої грані.

3. Проводять дотичні до дуг. Видаляють зайві лінії та обводять видимий контур (рис. 6, в).

Мал. 6. Побудова фронтальної диметричної проекції деталі із циліндричними елементами

Ізометричні проекції кіл .

Квадрат в ізометричній проекції проектується на ромб. Кола, вписані в квадрати, наприклад, розташовані на гранях куба (рис. 7), в ізометричній проекції зображуються еліпсами. Насправді еліпси замінюють овалами, які викреслюють чотирма дугами кіл.

Мал. 7. Ізометричні проекції кіл, вписаних у межі куба

Побудова овалу, вписаного в ромб.

1. Будують ромб зі стороною, яка дорівнює діаметру зображуваного кола (рис. 8, а). Для цього через точку Пропроводять ізометричні осі хі у,і на них від точки Провідкладають відрізки, рівні радіусу зображуваного кола. Через крапки a, b, зі dпроводять прямі, паралельні до осей; одержують ромб. Велика вісь овалу розташовується на великій діагоналі ромба.

2. Вписують у ромб овал. Для цього з вершин тупих кутів (крапок Аі У) описують дуги радіусом R, що дорівнює відстані від вершини тупого кута (точок Аі У) до точок a, bабо с, dвідповідно. Від точки Удо точок аі bпроводять прямі (рис. 8, б); перетин цих прямих з більшою діагоналлю ромба дає точки Зі D, які будуть центрами малих дуг; радіус R 1малих дуг дорівнює Са (Db). Дугами цього радіусу сполучають великі дуги овалу.

Мал. 8. Побудова овалу в площині перпендикулярної осі z.

Так будують овал, що лежить у площині, перпендикулярній до осі. z(Овал 1 на рис. 7). Овали, що знаходяться в площинах, перпендикулярних до осей х(овал 3) та у(овал 2), будують так само, як овал 1., тільки побудова овалу 3 ведуть на осях уі z(рис. 9, а), а овалу 2 (див. рис. 7) - на осях хі z(Рис. 9, б).

Мал. 9. Побудова овалу в площинах, перпендикулярних до осей. хі у

Побудова ізометричної проекції деталі із циліндричним отвором.

Якщо на ізометричній проекції деталі потрібно зобразити наскрізний циліндричний отвір, просвердлений перпендикулярно передній грані, представлений на малюнку. 10 а.

Побудови виконує в такий спосіб.

1. Знаходять положення центру отвору на передній межі деталі. Через знайдений центр проводять ізометричні осі. (Для визначення їх напрямку зручно скористатися зображенням куба на рис. 7.) На осях від центру відкладають відрізки, рівні радіусу кола, що зображається (рис. 10, а).

2. Будують ромб, сторона якого дорівнює діаметру зображуваного кола; проводять велику діагональ ромба (рис. 10 б).

3. Описують великі дуги овалу; знаходять центри для малих дуг (рис. 10, в).

4. Проводять малі дуги (рис. 10, г).

5. Будують такий самий овал на задній грані деталі і проводять дотичні до обох овалів (рис. 10, д).

Мал. 10. Побудова ізометричної проекції деталі із циліндричним отвором

у статті було розказано про суть методу паралельного проектування та її властивості. Але, як показує практика, учням важко сприймати теоретичні викладки без демонстрації на конкретних прикладах.

У цій статті покажемо, як використовувати властивості паралельного проектування та властивості відомих школярам плоских фігур (трикутника, паралелограма, трапеції, кола та шестикутника) для зображення цих фігур при паралельному проектуванні .

1. Зображення трикутника

1) Будь-який трикутник (прямокутний, рівнобедрений, правильною) зображується довільним трикутником у зручному розташуванні на малюнку.

2) Якщо ΔA 1 B 1 C 1 – прямокутне, то зображення напрямків двох його висот (катетів) задано. Довільно зображуються висота, опущена на гіпотенузу, і центр вписаного кола. Зображення перпендикуляра, опущеного із заданої точки гіпотенузи на якийсь катет, є відрізком, паралельним іншому катету.

3) Якщо ΔA 1 B 1 C 1 – рівнобедрений, то зображення медіани B 1 D 1 є зображенням висоти та бісектриси ΔA 1 B 1 C 1 . Зображення центру вписаного та описаного кіл належать BD.

4) Якщо ΔA 1 B 1 C 1 – правильний (рівносторонній), то центри вписаного та описаного кіл збігаються і лежать у точці перетину медіан. Тому побудова зображення цього трикутника може бути довільним, якщо заданий, наприклад, центр однієї з цих кіл.

2. Зображення паралелограма

Будь-який заданий паралелограм A1B1C1D1 (включаючи прямокутник, квадрат, ромб) може бути зображений довільним паралелограмом ABCD.

На зображенні довільного паралелограма зображення двох його висот, проведених із однієї вершини, можна побудувати довільно. Причому висоти, проведені з вершини гострого кута паралелограма – оригіналу, лежать поза паралелограмом, а висоти, проведені з вершини тупого кута – всередині нього.

1) Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 – ромб, то на зображенні визначається пара взаємно перпендикулярних до прямих – це діагоналі ABCD. Тому довільно можна побудувати зображення лише однієї висоти з цієї вершини ромб на його бік.

При зображенні іншої висоти ромба враховують, що підстави цих висот лежать на прямій паралельній діагоналі ромба.

Аналогічно зображуються перпендикуляри, опущені на сторони ромба будь-якої точки його діагоналі.

2) Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 – квадрат, його зображення – довільний паралелограм ABCD. Причому зображення висот, бісектрис, кутів, перпендикулярів до сторін будувати довільно не можна.

3. Зображення трапеції

Будь-яка трапеція A 1 B 1 C 1 D 1 (а також рівнобока та прямокутна) може бути зображена довільною трапецією ABCD.

1) Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 - трапеція загального вигляду, то зображення її висоти та одного з перпендикулярів, опущених з точки основи на бічні сторони, можна будувати довільно.

2) Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 - прямокутна трапеція, то C 1 B 1 ⊥ A 1 B 1 зображення висоти трапеції вже задано на малюнку, тому довільно може бути зображений лише перпендикуляр до похилої бічної сторони.

3) Якщо A 1 B 1 C 1 D 1 - рівнобока трапеція (є вісь симетрії), то зображенням висоти є відрізок, що з'єднує середини верхньої та нижньої основ трапеції (або йому паралельний).

4. Зображення кола

Паралельною проекцією кола є еліпс. Центром кола на зображенні є точка перетину сполучених діаметрів еліпса. Два діаметри кола (еліпса) називаються сполученими, якщо кожен із них ділить навпіл усі хорди, паралельні іншому діаметру.

4. Зображення правильного шестикутника

Правильний шестикутник A1B1C1D1E1F1 зображується так: спочатку зображується довільний паралелограм BCEF і проводяться його діагоналі BE і CF; потім від точки їх перетину Про відкладаються рівні відрізки довільної довжини (але більшої половини сторони ВС) паралельно сторонам BC та EF. Кінці побудованих відрізків – вершини A і D.

Отже, ми розглянули різні варіанти зображення плоских фігур на площині з використанням методу паралельного проектування .

У наступній статті ми розглянемо зображення просторових фігур на площині.

8.1. Фронтальні диметричні проекції кіл. Якщо аксонометрическом зображенні хочуть деякі елементи. наприклад кола (рис. 64), зберегти неспотвореними, то застосовують фронтальну диметричну проекцію. Побудова фронтальної диметричної проекції деталі з циліндричним отвором, два види якої дано на малюнку 64, а виконують так:

1. Користуючись осями х, у, z, будують тонкими лініями контуру зовнішньої форми деталі (рис. 64, б).
2. Знаходять центр отвору на передній грані. Через нього паралельно осі проводять вісь отвори і відкладають на ній половину товщини деталі. Отримують центр отвору, що розташований на задній грані.
3. З отриманих точок як із центрів проводять кола, діаметр яких дорівнює діаметру отвору (рис. 64, в).
4. Видаляють зайві лінії та обводять видимий контур деталі (рис. 64, г).

Мал. 64. Побудова фронтальної диметричної проекції

Побудуйте у робочому зошиті фронтальну диметричну проекцію деталі, зображеної на малюнку 64, а. Ось направте в інший бік. Величину зображення збільште приблизно вдвічі.

8.2. Ізометричні проекції кіл. Ізометричною проекцією кола (рис. 65) є крива, яка називається еліпсом. Еліпси будувати важко. У практиці креслення замість них часто будують овали. Овал - замкнена крива, окреслена дугами кіл. Овал зручно будувати, вписуючи в ромб, що є ізометричною проекцією квадрата.

Мал. 65. Зображення в ізометричній проекції кіл вписаних у куб.

Побудову овалу, вписаного в ромб, виконують у такій послідовності.

Спочатку будують ромб зі стороною, яка дорівнює діаметру зображуваного кола (рис. 66, а). Для цього через точку проводять ізометричні осі х і у. На них від точки О відкладають відрізки, рівні радіусу кола, що зображається. Через точки а, b, з і d проводять прямі, паралельні осям; одержують ромб.

Мал. 66. Побудова овалу

Велика вісь овалу розташовується на великій діагоналі ромба.

Після цього вписують у ромб овал. Для цього з вершин тупих кутів (точок А та В) описують дуги. Їхній радіус R дорівнює відстані від вершини тупого кута (точок А і В) до точок с, d або a, b відповідно (рис. 66, б).

Через точки і, В і b проводять прямі. У перетині прямих В і В з більшою діагоналлю ромба знаходять точки С і D (рис. 66, а). Ці точки будуть центрами малих дуг. Їхній радіус R1 дорівнює Са (або Db). Дугами цього радіусу плавно з'єднують великі дуги овалу.

Ми розглянули побудову овалу, що лежить у площині перпендикулярної осі z (овал 1 на малюнку 65). Овали, що знаходяться в площинах, перпендикулярних до осі (овал 2) і осі х (овал 3), будують також. Тільки для овалу 2 будову ведуть на осях х і z (рис. 67, а), а для овалу 3 - на осях у і z (рис. 67, б). Розглянемо, як застосовуються вивчені побудови практично.

Мал. 67. Побудова овалів: а лежачого в площині перпендикулярної осі у; б - лежачого в площині перпендикулярної осі x

Мал. 68. Побудова ізометричної проекції деталі із циліндричним отвором

8.3. Спосіб побудови аксонометричних проекцій предметів, що мають круглі поверхні. На малюнку 68 а дана ізометрична проекція планки. Треба зобразити циліндричний отвір, просвердлений перпендикулярно передній грані. Побудову виконують так:

1. Знаходять центр отвору на передній грані. Визначають напрямок ізометричних осей для побудови ромба (див. рис. 65). Знайденого центру проводять осі (рис. 68, а) і відкладають на них відрізки, рівні радіусу кола.
2. Будують ромб. Проводять його велику діагональ (рис. 68 б).
3. Описують величезні дуги. Знаходять центри малих дуг (рис. 68. в).
4. Проводять із знайдених центрів малі дуги.

Такий самий овал будують на задній грані, але обводять лише видиму його частину (рис. 68, г).

Зображення кіл в ізометричній проекції

Розглянемо, як у ізометричній проекції зображуються кола. Для цього зобразимо куб із вписаними в його межі колами (рис. 3.16). Кола, розташовані відповідно в площинах, перпендикулярних до осей х, у, z, зображуються в ізометрії у вигляді трьох однакових еліпсів.

Мал. 3.16.

Для спрощення роботи еліпси замінюють овалами, що окреслюються дугами кіл, їх будують так (рис. 3.17). Викреслюють ромб, в який повинен вписуватися овал, що зображує це коло в ізометричній проекції. Для цього на осях відкладають від крапки Проу чотирьох напрямках відрізки, рівні радіусу зображуваного кола (рис. 3.17, а). Через отримані точки a, b, с, dпроводять прямі, що утворюють ромб. Його сторони рівні діаметру зображуваного кола.

Мал. 3.17.

З вершин тупих кутів (крапок Аі У) описують між точками аі b,а також зі dдуги радіусом R,рівним довжині прямих Ваабо Вb(Рис. 3.17, б).

Крапки Зта Д лежачі на перетині діагоналі ромба з прямими Ваі Вb,є центрами малих дуг, які сполучають великі.

Малі дуги описують радіусом. R,рівним відрізку Са (Db).

Побудова ізометричних проекцій деталей

Розглянемо побудову ізометричної проекції деталі, два види якої наведено на рис. 3.18, а.

Побудову виконують у такому порядку. Спочатку викреслюють вихідну форму деталі – косинець. Потім будують овали, що зображують дугу (рис. 3.18, б) та кола (рис. 3.18, в).

Мал. 3.18.

Для цього на вертикально розташованій площині знаходять точку О,через яку проводять ізометричні осі хі z.Такою побудовою одержують ромб, в який вписано половину овалу (рис. 3.18, б). Овали на паралельно розташованих площинах будують перенесенням центрів дуг на відрізок, що дорівнює відстані між даними площинами. Подвійними кружальцями на рис. 3.18 показано центри цих дуг.

На тих же осях хі zбудують ромб зі стороною, що дорівнює діаметру кола d.У ромб вписують овал (рис. 318 в).

Знаходять центр кола на горизонтально розташованій грані, проводять ізометричні осі, будують ромб, який вписують овал (рис. 3.18, г).

Поняття про диметричну прямокутну проекцію

Розташування осей диметричної проекції та спосіб їх побудови наведено на рис. 3.19. Ось zпроводять вертикально, вісь х– під кутом близько 7° до горизонталі, а вісь уутворює з горизонталлю кут приблизно 41° (рис. 3.19, а). Побудувати осі можна, користуючись лінійкою та циркулем. Для цього з точки Провідкладають по горизонталі вправо та вліво по вісім рівних поділів (рис. 3.19, б). З крайніх точок відновлюють перпендикуляри. Висота їх рівна: для перпендикуляра до осі х –одному поділу, для перпендикуляра до осі у– семи поділів. Крайні точки перпендикулярів з'єднують із точкою О.

Мал. 3.19.

При кресленні диметричної проекції, як і при побудові фронтальної, розміри по осі ускорочують у 2 рази, а по осях хі zвідкладають без скорочень.

На рис. 3.20 показано диметричну проекцію куба з вписаними в його межі колами. Як очевидно з цього малюнка, кола в диметричній проекції зображуються еліпсами.

Мал. 3.20.

Технічний малюнок

Технічний малюнок –це наочне зображення, виконане за правилами аксонометричних проекцій від руки на око. Їм користуються у тих випадках, коли потрібно швидко та наочно показати на папері форму предмета. Зазвичай у цьому виникає необхідність при конструюванні, винахідництві та раціоналізації, а також під час навчання читання креслень, коли за допомогою технічного малюнка потрібно пояснити форму деталі, представленої на кресленні.

Виконуючи технічний малюнок, дотримуються правил побудови аксонометричних проекцій: під тими ж кутами мають осі, так само скорочують розміри по осях, дотримуються форми еліпсів і послідовність побудови.