Постійна невизначеність. Варіанти та приклади

Згідно з двоїстою корпускулярно-хвильовою природою частинок речовини, для опису мікрочастинок використовуються то хвильові, то корпускулярні уявлення. Тому приписувати їм всі властивості частинок і властивості хвиль не можна. Природно, що необхідно внести деякі обмеження щодо об'єктів мікросвіту понять класичної механіки.

У класичній механіці стан матеріальної точки (класичної частки) визначається завданням значень координат, імпульсу, енергії тощо. (перелічені величини називаються динамічними змінними). Строго кажучи, мікрооб'єкт не можуть бути приписані зазначені динамічні змінні. Однак, інформацію про мікрочастинки ми отримуємо, спостерігаючи їхню взаємодію з приладами, що являють собою макроскопічні тіла. Тому результати вимірів мимоволі виражаються термінах, розроблених для характеристики макротіл, тобто. через значення динамічних показників. Відповідно до цього виміряні значення динамічних змінних приписуються мікрочастинкам. Наприклад, говорять про стан електрона, в якому він має таке значення енергії, і т.д.

Хвильові властивості частинок та можливість задати для частки лише ймовірність її перебування в данійточці простору призводять до того, що самі поняття координати частки та її швидкості (або імпульсу) можуть застосовуватися у квантовій механіці в обмеженій мірі. У цьому взагалі немає нічого дивного. У класичній фізиці поняття координати часом теж непридатне визначення становища об'єкта у просторі. Наприклад, немає сенсу говорити у тому, що електромагнітна хвиля перебуває у цій точці простору чи що становище фронту хвильової поверхні на воді характеризується координатами x, y, z.

Корпускулярно-хвильова двоїстість властивостей частинок, що вивчаються в квантовій механіці, призводить до того, що у ряді випадків виявляється неможливим , у класичному сенсі, одночасно характеризувати частину її становищем у просторі (координатами) та швидкістю (або імпульсом). Так, наприклад, електрон (і будь-яка інша мікрочастка) не може мати одночасно точних значень координати xта компоненти імпульсу. Невизначеності значень xі задовольняють співвідношення:

(4.2.1)

З (4.2.1) випливає, що менше невизначеність однієї величини ( xабо ), тим більша невизначеність іншої. Можливо, такий стан, в якому одна з змінних має точне значення (), інша змінна при цьому виявляється абсолютно невизначеною ( – її невизначеність дорівнює нескінченності), і навпаки. Таким чином, для мікрочастинки немає станів,у яких її координати та імпульс мали б одночасно точні значення. Звідси випливає і фактична неможливість одночасного виміру координати та імпульсу мікрооб'єкта з будь-якою заданою точністю.

Співвідношення, аналогічне (4.2.1), має місце для yі для zта , а також для інших пар величин (у класичній механіці такі пари називаються канонічно пов'язаними ). Позначивши канонічно пов'язані величини літерами Aі B, можна записати:

(4.2.2)

Співвідношення (4.2.2) називається співвідношенням невизначеностей для величин Aі B. Це співвідношення ввів у 1927 Вернер Гейзенберг.

Твердження про те, що добуток невизначеностей значень двох сполучених змінних не може бути по порядку меншим за постійну Планкаh,називається співвідношенням невизначеностей Гейзенберга .

Енергія та часє канонічно сполученими величинами. Тому для них також справедливе співвідношення невизначеностей:

(4.2.3)

Це співвідношення означає, що визначення енергії з точністю має зайняти інтервал часу, рівний щонайменше

Співвідношення невизначеностей отримано при одночасному використанні класичних характеристик руху частки (координати, імпульсу) та наявності у неї хвильових властивостей. Т.к. в класичній механіці приймається, що вимір координати та імпульсу може бути зроблено з будь-якою точністю, то співвідношення невизначеностейє, таким чином, квантовим обмеженням застосування класичної механіки до мікрооб'єктів.

Співвідношення невизначеностей показує, якою мірою можна скористатися поняттями класичної механіки стосовно мікрочастинок, зокрема з яким ступенем точності можна говорити про траєкторії мікрочастинок. Рух траєкторією характеризується цілком певними значеннями координат і швидкості у кожний момент часу. Підставивши (4.2.1) замість твір , отримаємо співвідношення:

(4.2.4)

З цього співвідношення випливає, що чим більша маса частинки, тим менше невизначеності її координати та швидкості,Тому з більшою точністю можна застосовувати до цієї частки поняття траєкторії.Так, наприклад, вже для порошинки масою кг і лінійними розмірами м, координата якої визначена з точністю до 0,01 її розмірів (м), невизначеність швидкості (4.2.4),

тобто. не позначатиметься при всіх швидкостях, з якими порошинка може рухатися.

Таким чином, для макроскопічних тіл їх хвильові властивості не відіграють жодної ролі; координати та швидкості можуть бути виміряні досить точно. Це означає, що для опису руху макротіл з абсолютною достовірністю можна скористатися законами класичної механіки.

Припустимо, що пучок електронів рухається вздовж осі xзі швидкістю м/с, яка визначається з точністю до 0,01% (м/с). Якою є точність визначення координати електрона?

За формулою (4.2.4) отримаємо:

Таким чином, положення електрона може бути визначено з точністю до тисячних часток міліметра. Така точність достатня, щоб можна було говорити про рух електронів певною траєкторією іншими словами, описувати їх рухи законами класичної механіки.

Застосуємо співвідношення невизначеностей до електрона, що рухається в атомі водню. Припустимо, що невизначеність координати електроном (порядку розмірів самого атома), тоді, згідно (4.2.4),

Використовуючи закони класичної фізики, можна показати, що при русі електрона навколо ядра по круговій орбіті радіуса приблизно м швидкість м/с. Таким чином, невизначеність швидкості в кілька разів більша за саму швидкість.Очевидно, що в даному випадку не можна говорити про рух електронів в атомі певною траєкторією. Іншими словами, для опису руху електронів в атомі не можна скористатися законами класичної фізики.

Див. також «Фізичний портал»

Принцип невизначеності Гейзенберга(або Гайзенберга) у квантовій механіці - фундаментальна нерівність (співвідношення невизначеностей), що встановлює межу точності одночасного визначення пари, що характеризують квантову систему фізичних спостережуваних (див. фізична величина), що описуються некомутируючими операторами (наприклад, координати та імпульсу, струму і напруги, електричного та магнітного поля). Співвідношення невизначеностей задає нижню межу для твору середньоквадратичних відхилень кількох квантових спостережуваних. Принцип невизначеності, відкритий Вернером Гейзенбергом у м., є одним із наріжних каменів квантової механіки.

Короткий огляд

Співвідношення невизначеності Гейзенберга є теоретичною межею точності одночасних вимірів двох некоммутирующих спостерігаються. Вони справедливі як для ідеальних вимірів, іноді званих вимірами фон Неймана, так і для неідеальних вимірів чи вимірів Ландау.

Відповідно до принципу невизначеностей, частка не може бути описана як класична частка, тобто, наприклад, у неї не можуть бути одночасно точно виміряно положення і швидкість (імпульс), так само як у звичайної класичної хвилі і як хвиля. (Сам факт того, що будь-який з цих описів може бути справедливим, принаймні в окремих випадках, називають корпускулярно-хвильовим дуалізмом). Принцип невизначеності, у вигляді, спочатку запропонованому Гейзенбергом, можна застосувати і у випадку, коли жоднез цих двох описів не є повністю і виключно підходящим, наприклад частка з певним значенням енергії, що знаходиться в коробці з стінками, що ідеально відбивають; тобто для систем, які не характеризуються нібудь-яким певним «положенням» або просторовою координатою (хвильова функція частинки справакалізована на весь простір коробки, тобто її координати не мають певного значення, локалізація частинки здійснена не точніше за розміри коробки), ніпевним значенням імпульсу (включаючи його напрямок; у прикладі з часткою в коробці модуль імпульсу визначено, але не визначено його напрямок).

Співвідношення невизначеностей не обмежують точність одноразового виміру будь-якої величини (для багатовимірних величин тут мається на увазі лише одна компонента). Якщо її оператор комутує сам із собою в різні моменти часу, то не обмежена точність і багаторазового (або безперервного) виміру однієї величини. Наприклад, співвідношення невизначеностей для вільної частки не перешкоджає точному виміру її імпульсу, але не дозволяє точно виміряти її координату (це обмеження називається стандартна квантова межа для координати).

Співвідношення невизначеностей у квантової механіки є в математичному сенсі є безпосереднє пряме наслідок певної якості перетворення Фур'є.

Існує точна кількісна аналогія між співвідношеннями невизначеності Гейзенберга та властивостями хвиль чи сигналів. Розглянемо змінний у часі сигнал, наприклад, звукову хвилю . Безглуздо говорити про частотний діапазон сигналу в будь-який момент часу. Для точного визначення частоти необхідно спостерігати сигналом протягом деякого часу, таким чином втрачаючи точність визначення часу. Іншими словами, звук не може одночасно мати і точне значення часу його фіксації, як його має дуже короткий імпульс, і точного значення частоти, як це має місце для безперервного (і в принципі нескінченно тривалого) чистого тону (чистої синусоїди). Тимчасове положення та частота хвилі математично повністю аналогічні координаті та (квантово-механічному) імпульсу частинки. Що зовсім не дивно, якщо згадати, що (або p x = k x у системі одиниць ), тобто імпульс у квантовій механіці - і є просторова частота вздовж відповідної координати.

У повсякденному житті ми зазвичай не спостерігаємо квантову невизначеність тому, що значення надзвичайно мало, і тому співвідношення невизначеностей накладають такі слабкі обмеження на похибки виміру, які наперед непомітні на тлі реальних практичних похибок наших приладів або органів почуттів.

Визначення

Якщо є кілька ідентичних копій системи в даному стані, то виміряні значення координати та імпульсу підпорядковуватимуться певному розподілу ймовірності - це фундаментальний постулат квантової механіки. Вимірюючи величину середньоквадратичного відхилення Δ xкоординати та середньоквадратичного відхилення Δ pімпульсу, ми знайдемо що:

де - наведена постійна Планка.

Зазначимо, що ця нерівність дає кілька можливостей - стан може бути таким, що xможе бути виміряний з високою точністю, але тоді pбуде відомий тільки приблизно, або навпаки pможе бути визначений точно, тоді як x- Ні. У всіх інших станах, і xі pможуть бути виміряні з «розумною» (але не довільно високою) точністю.

Варіанти та приклади

Узагальнений принцип невизначеності

Принцип невизначеності не відноситься лише до координати та імпульсу (як він був вперше запропонований Гейзенбергом). У своїй загальній формі, він застосовується до кожної пари сполучених змінних. У загальному випадку, і на відміну від координати та імпульсу, обговореного вище, нижня межа твору «невизначеностей» двох сполучених змінних залежить від стану системи. Принцип невизначеності стає тоді теоремою теорії операторів, яку ми тут наведемо

Отже, вірна наступна загальна форма принципу невизначеності, вперше виведена в м. Говардом Персі Робертсоном та (незалежно) Ервіном Шредінгером:

Цю нерівність називають співвідношенням Робертсона - Шредінгера.

Оператор AB − BA називають комутатором Aі Bі позначають як [ A,B]. Він визначений для тих x, для яких визначено обидва ABxі BAx .

Зі співвідношення Робертсона - Шредінгера негайно випливає співвідношення невизначеності Гейзенберга:

Припустимо, Aі B- дві фізичні величини, пов'язані з самосполученими операторами. Якщо ABψ і BAψ визначено, тоді:

Середнє значення оператора величини Xу стані ψ системи, та

Можливе також існування двох операторів, що не комутують самосполучених. Aі B, які мають той самий власний вектор ψ . У цьому випадку ψ є чистим станом, який є одночасно вимірним для Aі B .

Загальні змінні, що спостерігаються, які підкоряються принципу невизначеності

Попередні математичні результати показують, як знайти співвідношення невизначеностей між фізичними змінними, а саме визначити значення пар змінних Aі Bкомутатор яких має певні аналітичні властивості.

найвідоміше відношення невизначеності - між координатою та імпульсом частки у просторі:

відношення невизначеності між двома ортогональними компонентами оператора повного кутового моменту частки:

де i, j, kрізні та J iпозначає кутовий момент вздовж осі x i .

наступне відношення невизначеності між енергією і часом часто подається в підручниках фізики, хоча його інтерпретація вимагає обережності, тому що не існує оператора, який представляє час:

. Проте, за умови періодичності несуттєво і принцип невизначеності набуває звичного вигляду: .

Вираз кінцевої доступної кількості інформації Фішера

Принцип невизначеності альтернативно виводиться як вираз нерівності Крамера - Рао в класичній теорії вимірів, якщо вимірюється положення частинки. Середньо-квадратичний імпульс частки входить у нерівність як інформація Фішера. також повна фізична інформація.

Інтерпретації

Ейнштейн був переконаний, що ця інтерпретація була хибною. Його міркування ґрунтувалося на тому, що всі відомі розподіли ймовірності були результатом детермінованих подій. Розподіл монети, що підкидається, або кістки, що котиться, може бути описано розподілом ймовірності (50 % орел, 50 % решка). Але це не означає, що їхні фізичні рухи непередбачувані. Звичайна механіка може обчислити точно, як кожна монета приземлиться, якщо сили, що діють на неї, будуть відомі, а орли/решки все ще розподілятимуться випадково (при випадкових початкових силах).

Ейнштейн припускав, що існують приховані змінні в квантовій механіці, які лежать в основі ймовірностей, що спостерігаються.

Ні Ейнштейн, ні хто-небудь ще з того часу не зміг побудувати задовільні теорії прихованих змінних, і нерівність Белла ілюструє деякі дуже тернисті шляхи в спробі зробити це. Хоча поведінка індивідуальної частинки випадкова, вона також скоррелирована з поведінкою інших частинок. Тому, якщо принцип невизначеності - результат деякого детермінованого процесу, то виходить, що частки великих відстані повинні негайно передавати інформацію одне одному, щоб гарантувати кореляції у своїй поведінці.

Принцип невизначеності у популярній культурі

Принцип невизначеності часто неправильно розуміється чи наводиться у популярній пресі. Одне часто неправильне формулювання в тому, що спостереження події змінює саму подію. Загалом кажучи, це не має відношення до принципу невизначеності. Майже будь-який лінійний оператор змінює вектор, на якому він діє (тобто майже будь-яке спостереження змінює стан), але для комутативних операторів жодних обмежень на можливе розкидання значень немає (). Наприклад, проекції імпульсу на осі cі yможна виміряти разом як завгодно точно, хоча кожен вимір змінює стан системи. Крім того, в принципі невизначеності йдеться про паралельний вимір величин для декількох систем, що знаходяться в одному стані, а не про послідовні взаємодії з однією і тією ж системою.

Інші (також вводять в оману) аналогії з макроскопічними ефектами були запропоновані для пояснення принципу невизначеності: одна з них розглядає придушення насіння кавуна пальцем. Ефект відомий - не можна передбачити, як швидко чи куди насіння зникне. Цей випадковий результат базується повністю на хаотичності, яку можна пояснити у найпростіших класичних термінах.

У деяких науково-фантастичних оповіданнях пристрій для подолання принципу невизначеності називають компенсатором Гейзенберга, найвідоміший використовується на зорельоті «Ентерпрайз» із фантастичного телесеріалу Зоряний Шлях у телепортаторі. Однак невідомо, що означає «подолання принципу невизначеності». На одній із прес-конференцій продюсера серіалу запитали «Як працює компенсатор Гейзенберга?», на що він відповів «Дякую, добре!»

Сама наявність у частинки хвильових властивостей накладає певні обмеження можливість корпускулярного опису її поведінки. Для класичної частки завжди можна вказати її точне положення та імпульс. Для квантового об'єкта маємо іншу ситуацію.

Уявимо цуг хвиль просторовою протяжністю - образ локалізованого електрона, положення якого відоме з точністю . Довжину хвилі де Бройля для електрона можна визначити, підрахувавши число Nпросторових періодів на відрізку :

Яка точність визначення? Ясно, що для довжини хвилі, що злегка відрізняється, ми отримаємо приблизно те ж саме значення N.Невизначеність у довжині хвилі веде до невизначеності

серед вузлів, причому виміру доступні лише . Так як

то звідси негайно випливає знамените співвідношення невизначеностей В. Гейзенбергадля координат - імпульсів (1927):

Точності заради слід зазначити, що, по-перше, величина у разі означає невизначеність проекції імпульсу на вісь OX і, по-друге, наведена міркування має швидше якісний, ніж кількісний характер, оскільки ми не дали суворого математичного формулювання, що розуміється під невизначеністю виміру. Зазвичай співвідношення невизначеностей для координат-імпульсів записується як

Аналогічні співвідношення справедливі для проекцій радіусу-вектора та імпульсу частинки на дві інші координатні осі:

Уявімо тепер, що ми стоїмо на місці і мимо проходить електронна хвиля. Спостерігаючи її протягом часу , хочемо знайти її частоту n. Нарахувавши коливань, визначаємо частоту з точністю

звідки маємо

або (з урахуванням співвідношення)

Аналогічно нерівності (3.12) співвідношення невизначеностей Гейзенберга для енергії системи найчастіше використовується у вигляді

Мал. 3.38. Вернер Карл Гейзенберг (1901–1976)

Поговоримо про фізичне значення цих співвідношень. Може скластися уявлення, що у них проявляється «недосконалість» макроскопічних приладів. Але прилади не винні: обмеження носять важливий, а чи не технічний характер. Сам мікрооб'єкт не може бути в такому стані, коли певні значення одночасно мають якась з його координат та проекція імпульсу на ту саму вісь.

Сенс другого співвідношення: якщо мікрооб'єкт живе кінцевий час, його енергія немає точного значення, вона хіба що розмита. Природна ширина спектральних липні - прямий наслідок формул Гейзенберга. На стаціонарній орбіті електрон живе необмежено довго та енергія визначено точно. У цьому – фізичний зміст поняття стаціонарного стану. Якщо невизначеність енергії електрона перевищує різницю енергій сусідніх станів

то не можна точно сказати, якому рівні перебуває електрон. Іншими словами, на короткий час порядку

електрон може перескочити з рівня 1 на рівень 2 , не випромінюючи фотона, а потім повернутися назад. Це - віртуальний процес, який немає і, отже, не порушує закону збереження енергії.

Подібні співвідношення існують і для інших пар так званих канонічно поєднаних динамічних змінних. Так, при обертанні частки навколо деякої осі по орбіті радіусом Rневизначеність її кутової координати тягне у себе невизначеність її становища на орбіті. Зі співвідношень (3.12) випливає, що невизначеність імпульсу частки задовольняє нерівності

Враховуючи зв'язок моменту імпульсу електрона Lз його імпульсом L = Rp,отримуємо , звідки випливає ще одне співвідношення невизначеностей

Деякі наслідки співвідношень невизначеностей

Відсутність траєкторій частинок. Для нерелятивістської частки p = mvі

Для масивних об'єктів права частина зникаюче мала, що дозволяє одночасно виміряти швидкість і становище об'єкта (область справедливості класичної механіки). В атомі Бора імпульс електрона

і невизначеність становища виявляється порядку радіусу орбіти.

Неможливість стану спокою у точці мінімуму потенційної енергії.

Наприклад, для осцилятора (тіло на пружині) енергію Еможна записати у вигляді

Основний стан у класичній механіці – це стан спокою в положенні рівноваги:

Тому величина невизначеностей і має порядок самих значень імпульсу та координати, звідки отримуємо

Мінімум енергії досягається в точці

Взагалі кажучи, такі оцінки що неспроможні претендувати на точну відповідь, хоча у разі (як і атома водню) він справді точний. Ми отримали так звані нульові коливання: квантовий осцилятор, на відміну від класичного, не може залишатися у спокої - це суперечило б співвідношенню невизначеностей Гейзенберга. Точні розрахунки показують, що формулу Планка для рівнів енергії осцилятора треба було б писати як

де n = 0, 1, 2, 3, ...- коливальне квантове число.

При вирішенні завдань застосування співвідношення невизначеностей слід пам'ятати, що у основному стані у класичній фізиці електрон лежить у точці, відповідної мінімуму потенційної енергії. Співвідношення невизначеностей не дозволяють йому це робити в квантовій теорії, тому електрон повинен мати деякий розкид імпульсів. Тому невизначеність імпульсу (його відхилення від класичного значення 0 ) і сам імпульс по порядку величини збігаються

Принцип невизначеності Гейзенберга(або Гайзенберга) - у квантовій механіці так називають принцип, що дає нижню (ненульову) межу для твору дисперсій величин, що характеризують стан системи.

Зазвичай принцип невизначеності ілюструється так. Розглянемо ансамбль невзаємодіючих еквівалентних частинок, приготовлених у певному стані, кожної з яких вимірюється чи координата q, або імпульс p. У цьому результати вимірів будуть випадковими величинами, дисперсії яких задовольняти співвідношенню неопределенностей . Зазначимо, що, хоча нас цікавлять одночасні значення координати та імпульсу в даному квантовому стані, вимірювати їх в одній і тій же частинці не можна, оскільки будь-який вимір змінить її стан.

У загальному сенсі, співвідношення невизначеності виникає між будь-якими змінними станами, що визначаються операторами, що не комутують. Це - один із наріжних каменів квантової механіки, який був відкритий Вернером Гейзенбергом у м. Павлоград.

Короткий огляд

Принцип невизначеності в квантовій механіці іноді пояснюється таким чином, що вимірювання координат обов'язково впливає на імпульс частинки. Очевидно, сам Гейзенберг запропонував це пояснення, по крайнього заходу спочатку. Те, що вплив вимірювання на імпульс несуттєво, може бути показано наступним чином: розглянемо ансамбль (невзаємодіючих) частинок, приготованих в тому самому стані; для кожної частки в ансамблі ми вимірюємо імпульс, або координату, але не обидві величини. В результаті виміру ми отримаємо, що значення розподілені з деякою ймовірністю, і для дисперсій d p і d q правильне відношення невизначеності.

Відносини невизначеності Гейзенберга – це теоретична межа точності будь-яких вимірів. Вони справедливі для про ідеальних вимірів, іноді званих вимірами фон Неймана . Вони тим паче справедливі для неідеальних вимірів чи вимірів Ландау.

Відповідно, будь-яка частка (загалом сенсі, наприклад несе дискретний електричний заряд) може бути описана одночасно як «класична точкова частка» як і хвиля . (Сам факт того, що будь-який з цих описів може бути справедливим, принаймні в окремих випадках, називають корпускулярно-хвильовим дуалізмом). Принцип невизначеності, у вигляді, запропонованому спочатку Гейзенбергом, вірний у випадку, коли жоднез цих двох описів не є повністю і виключно підходящим, наприклад, частка в коробці з певним значенням енергії; тобто для систем, які не характеризуються нібудь-яким певним «положенням» (якесь певне значення відстані від потенційної стінки), ніпевним значенням імпульсу (включаючи його напрямок).

Існує точна, кількісна аналогія між відносинами невизначеності Гейзенберга та властивостями хвиль чи сигналів. Розглянемо змінний у часі сигнал, наприклад, звукову хвилю . Безглуздо говорити про частотний діапазон сигналу в будь-який момент часу. Для точного визначення частоти необхідно спостерігати сигналом протягом деякого часу, таким чином втрачаючи точність визначення часу. Іншими словами, звук не може мати і точного значення часу, як, наприклад, короткий імпульс, і точного значення частоти, як, наприклад, у безперервному чистому тоні. Тимчасове положення та частота хвилі у часі схожі на координату та імпульс частинки у просторі.

Визначення

Якщо приготовлено декілька ідентичних копій системи в даному стані, то виміряні значення координати та імпульсу підпорядковуватимуться певному розподілу ймовірності - це фундаментальний постулат квантової механіки. Вимірюючи величину стандартного відхилення Δ xкоординати та стандартного відхилення Δ pімпульсу, ми знайдемо що:

де - постійна Дірака. У деяких випадках «невизначеність» змінної визначається як найменша ширина діапазону, що містить 50 % значень, що, у разі нормального розподілу змінних, призводить до твору невизначеностей до більшої нижньої межі . Зауважте, що ця нерівність дає кілька можливостей - стан може бути таким, що xможе бути виміряний з високою точністю, але тоді pбуде відомий тільки приблизно, або навпаки pможе бути визначений точно, тоді як x- Ні. У всіх інших станах, і xі pможуть бути виміряні з «розумною» (але не довільно високою) точністю.

У повсякденному житті ми зазвичай не спостерігаємо невизначеності, тому що значення надзвичайно мало.

Інші характеристики

Було розвинене безліч додаткових характеристик, включаючи такі:

Вираз кінцевої доступної кількості інформації Фішера

Принцип невизначеності альтернативно виводиться як вираз нерівності Крамера – Рао у класичній теорії вимірів. Якщо вимірюється положення частки. Середньо-квадратичний імпульс частки входить у нерівність як інформація Фішера. також повна фізична інформація.

Узагальнений принцип невизначеності

Принцип невизначеності не відноситься лише до координати та імпульсу. У своїй загальній формі, він застосовується до кожної пари сполучених змінних. У загальному випадку, і на відміну від випадку координати та імпульсу, обговореного вище, нижня межа добутку невизначеностей двох сполучених змінних залежить від стану системи. Принцип невизначеності стає тоді теоремою теорії операторів, яку ми тут наведемо

Цю нерівність називають співвідношенням Робертсона - Шредінгера.

Зі співвідношення Робертсона - Шредінгера негайно випливає співвідношення невизначеності Гейзенберга:

Припустимо, Aі B- дві фізичні величини, пов'язані з самосполученими операторами. Якщо ABψ і BAψ визначено, тоді:

Середнє значення оператора величини Xу стані ψ системи, та

Загальні змінні, що спостерігаються, які підкоряються принципу невизначеності

Попередні математичні результати показують, як знайти відносини невизначеності між фізичними змінними, а саме визначити значення пар змінних Aі Bкомутатор яких має певні аналітичні властивості.

найвідоміше відношення невизначеності - між координатою та імпульсом частки у просторі:

відношення невизначеності між двома ортогональними компонентами оператора повного кутового моменту частки:

де i, j, kрізні та J iпозначає кутовий момент вздовж осі x i .

наступне відношення невизначеності між енергією і часом часто подається в підручниках фізики, хоча його інтерпретація вимагає обережності, тому що не існує оператора, який представляє час:

. Проте, за умови періодичності несуттєво і принцип невизначеності набуває звичного вигляду:

Інтерпретації

Альберту Ейнштейну принцип невизначеності не дуже сподобався, і він кинув виклик Нільсу Бору і Вернеру Гейзенбергу відомим уявним експериментом: заповнимо коробку радіоактивним матеріалом, який випускає радіацію випадковим чином. Коробка має відкритий затвор, який негайно після заповнення закривається за допомогою годинника в певний момент часу, дозволяючи піти невеликій кількості радіації. Таким чином, час уже точно відомий. Ми ще хочемо точно виміряти сполучену змінну енергії. Ейнштейн запропонував зробити це зважуючи коробку до і після. Еквівалентність між масою та енергією за спеціальною теорією відносності дозволить точно визначити, скільки енергії залишилося в коробці. Бор заперечив таким чином: якщо енергія піде, тоді коробка, що полегшала, зрушить трохи на терезах. Це змінить положення годинника. Таким чином, годинник відхиляється від нашої нерухомої системи відліку , і за спеціальною теорією відносності, їх вимір часу відрізнятиметься від нашого, призводячи до деякого неминучого значення помилки. Детальний аналіз показує, що неточність дається правильно співвідношенням Гейзенберга.

У межах широко, але не універсально прийнятої Копенгагенської інтерпретації квантової механіки принцип невизначеності прийнятий на елементарному рівні. Фізична всесвіт існує над детерміністичної формі, а скоріш як набір ймовірностей, чи можливостей. Наприклад, картина (розподіл ймовірності) вироблена мільйонами фотонів, що дифрагують через щілину може бути обчислена за допомогою квантової механіки, але точний шлях кожного фотона не може бути передбачений жодним відомим методом. Копенгагенська інтерпретація вважає, що це не може бути передбачено взагалі ніякимметодом.

Саме цю інтерпретацію Ейнштейн ставив під сумнів, коли писав Максу Борну: «я впевнений, що Бог не кидає кістки» ( Die Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt). Нільс Бор, який був одним із авторів Копенгагенської інтерпретації, відповів: «Ейнштейн, не кажіть Богові, що робити».

Ейнштейн був переконаний, що ця інтерпретація була хибною. Його міркування ґрунтувалося на тому, що всі відомі розподіли ймовірності були результатом детермінованих подій. Розподіл монети, що підкидається, або кістки, що котиться, може бути описано розподілом ймовірності (50 % орел, 50 % решка). Але це не означає, що їхні фізичні рухи непередбачувані. Звичайна механіка може визначити точно, як кожна монета приземлиться, якщо сили, що діють на неї будуть відомі, а орли/решки все ще розподілятимуться випадково (при випадкових початкових силах).

Принцип невизначеності у популярній культурі

Науковий гумор

Незвичайна природа принципу невизначеності Гейзенберга та його незабутня назва, зробили його джерелом кількох жартів. Говорять, що популярним написом на стінах фізичного факультету університетських містечок є: «Тут, можливо, був Гейзенберг».

В іншому жарті про принцип невизначеності квантового фізика зупиняє на шосе поліцейський і запитує: «Ви знаєте, як швидко Ви їхали, сер?». На що фізик відповідає: Ні, але я точно знаю, де я!

Література

Використана література

Журнальні статті

W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Zeitschrift für Physik, 43 1927, pp 172-198. English translation: J. A. Wheeler and H. Zurek, Quantum Theory and Measurement Princeton Univ. Press, 1983, pp. 62–84.
Л. І. Мандельштам, І. Є. Тамм «Співвідношення невизначеності енергія-час у нерелятивістській квантовій механіці», Изв. Акад. Наук СРСР (сер. фіз.) 9 , 122-128 (1945).
G. Folland, A. Sitaram, The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey, Journal of Fourier Analysis and Applications, 1997 pp 207-238.

Про співвідношення невизначеностей Шредінгера

Шредінгер Е.До принципу невизначеності Гейзенберга. Вибрані праці з квантової механіки. М: Наука, 1976. стор.210-217.
Додонов В. В., Манько В. І.Узагальнення співвідношень невизначеностей у квантовій механіці. Праці ФІАН СРСР. 1987. Том 183 стор.5-70.
Суханов А. Д.Співвідношення невизначеностей Шредінгера та фізичні особливості кореляційно-когерентних станів, Теор. Мат. Фіз. Том.132. N.3. (2002) с.449-468.
Суханов А. Д.Співвідношення невизначеностей Шредінгера для квантового осцилятора в термостаті. Теорія. Мат. Фіз. Том.148. N.2. (2006) с.295-308.

Концепція невизначеності квантової механіки

Поняття та принципи класичної фізики виявилися незастосовними не тільки до вивчення властивостей простору та часу, але ще більшою мірою до дослідження фізичних властивостей найдрібніших частинок матерії або мікрооб'єктів, таких як електрони, протони, нейтрони, атоми та подібні до них об'єкти, які часто називають атомними частинками. Вони утворюють невидимий нами мікросвіт,і тому властивості об'єктів цього світу зовсім не схожі на властивості звичного об'єктів нам макросвіту.Планети, зірки, комети, квазари та інші небесні тіла утворюють мегасвіт.

Переходячи до вивчення властивостей та закономірностей об'єктів мікросвіту, необхідно відразу ж відмовитися від звичних уявлень, які нав'язані нам предметами та явищами навколишнього макросвіту. Звичайно, зробити це нелегко, бо весь наш досвід та уявлення виникли та спираються на спостереження звичайних тіл, та й самі ми є макрооб'єктами. Тому потрібні чималі зусилля, щоб подолати наш колишній досвід щодо мікрооб'єктів. Для опису поведінки мікрооб'єктів широко використовуються абстракції та математичні методи дослідження.

Спочатку фізики були вражені незвичайними властивостями тих найдрібніших частинок матерії, які вони вивчали в мікросвіті. Спроби описати, а тим більше пояснити властивості мікрочастинок за допомогою понять та принципів класичної фізики зазнали явної невдачі. Пошуки нових понять та методів пояснення врешті-решт призвели до виникнення нової квантової механіки, в остаточну побудову та обґрунтування якої значний внесок зробили Е. Шредінгер (1887-1961), В. Гейзенберг (1901-1976), М. Борн (1882-19) ). На самому початку ця механіка була названа хвильовийна противагу звичайної механіки, яка розглядає свої об'єкти як такі, що складаються з корпускул,чи частинок. Надалі для механіки мікрооб'єктів утвердилася назва квантової механіки

4.1. Дуалізм хвилі та частки в мікрооб'єктах.

Обговорення незвичайних властивостей мікрооб'єктів почнемо з опису експериментів, з яких вперше було встановлено, що ці об'єкти в одних дослідах виявляють себе як матеріальні частинки, або корпускули, в інших - як хвилі. Для порівняння пошлемося на історію вивчення оптичних явищ. Відомо, що Ньютон розглядав світло у вигляді дрібних корпускул, але після відкриття явищ інтерференції та дифракції взяла гору хвилева теорія світла, згідно з якою світло представлялося у вигляді хвилеподібного руху, що виникає в особливому середовищі, названому ефіром. На початку нашого століття відкриття явища фотоефекту сприяло визнанню корпускулярної природи світла: фотони й представляли такі світлові корпускули. Ще раніше (1900 р.) уявлення про дискретні порції (кванти) енергії і було використане німецьким фізиком Максом

Планком (1858-1947) для пояснення процесів поглинання та випромінювання енергії та. Згодом А. Ейштейн показав, що світло не лише поглинається та випромінюється, а й поширюється квантами. На цій основі він зумів пояснити явище фотоефекту, що полягає у вириванні квантами світла, названими фотонами,електронів із поверхні тіла. Енергія я Ефотона пропорційна частоті: Е = hv, де Е -енергії я, v – частота, h - Постійна Планка.

З іншого боку, такі світлові явища, як інтерференція та дифракція, ще минулого століття пояснювалися за допомогою хвильових уявлень. У теорії Максвелла світло розглядалося як особливий вид електромагнітних хвиль. Таким чином, класичні уявлення про світло як хвильовий процес були доповнені новими поглядами, що розглядають його як потік світлових корпускул, квантів або фотонів. В результаті виник так званий корпускулярно-хвильовий дуалізм,згідно з яким одні оптичні явища (фотоефект) пояснювалися за допомогою корпускулярних уявлень, інші (інтерференція та дифракція) – хвильових поглядів. З погляду повсякденного свідомості важко було уявити світло як потік частинок - фотонів, але з менш звичним раніше здавалося зводити світло до хвильовому процесу. Ще менш зрозумілим здавалося уявити світло у вигляді своєрідного створення, що поєднує властивості корпускул і хвиль. Проте, визнання корпускулярно-хвильового характеру світла багато в чому сприяло прогресу фізичної науки.

Новий радикальний крок у розвитку фізики був із поширенням корпускулярно-хвильового дуалізму на найдрібніші частинки речовини – електрони, протони, нейтрони та інші мікрооб'єкти.У класичній фізиці речовина завжди вважалася складовою частинок і тому хвильові властивості здавалися явно чужими йому. Тим дивним виявилося відкриття про наявність у мікрочастинок хвильових властивостей, першу гіпотезу про існування яких висловив у 1924 р. відомий французький вчений Луї де Бройль (1875-1960). Експериментально ця гіпотеза була підтверджена в 1927 р. американськими фізиками К. Девіссоном і Л. Джермером, які вперше виявили явище дифракції електронів на кристалі нікелю, тобто типово хвильову картину.

Гіпотез а де Бройля:

Кожній матеріальній частині незалежно від її природи слід поставити у відповідність хвилю, довжина якої обернено пропорційна імпульсу частинки: λ = h / p , де h - Постійна Планка, р - імпульс частки, рівний добутку її маси на швидкість.

Таким чином, було встановлено, що не тільки фотони, тобто кванти світла, а й матеріальні, речові частинки, такі, як електрон, протон, нейтрон та інші, мають подвійні властивості. Отже, всі мікрооб'єкти мають як корпускулярні, так і хвильові властивості. Це явище, назване згодом дуалізмом хвилі та частинки,зовсім не вкладалося в рамкикласичноїфізики,об'єкти вивчення якої могли мати або корпускулярні,або хвильові властивості.На відміну від цього мікрооб'єкти мають одночасно як корпускулярні, так і хвильові властивості. Наприклад, в одних експериментах електрон виявляв типово корпускулярні властивості, а в інших – хвильові властивості, тому його можна було назвати як часткою, так і хвилею. Той факт, що потік електронів є потіком найдрібніших частинок речовини, знали і раніше, але те, що цей потік виявляє хвильові властивості, утворюючи типові явища інтерференції та дифракції, подібно до хвиль світла, звуку і рідини, виявилося повною несподіванкою для фізиків.

Для кращого розуміння всіх подальших питань зробимо такий уявний експеримент. Нехай маємо пристрій, який дає потік електронів, наприклад, електронну гармату. Поставимо перед нею тонку металеву пластинку із двома дірочками, через які можуть пролітати електрони. Проходження електронів через ці отвори реєструється спеціальним приладом, наприклад лічильником Гейгера або електронним помножувачем, приєднаним до динаміка. Якщо підрахувати кількість електронів, що пройшли окремо через перший отвір, коли друге закрито, і через друге, коли перше закрито, а потім через обидва отвори, то виявиться, що сума ймовірностей проходження електронів, коли відкрито один з отворів, не дорівнюватиме ймовірності їх проходження при двох відкритих отворах:

де Р -ймовірність проходження електронів при двох відкритих отворах, Р1-ймовірність проходження електронів при відкритті першого отвору, Р2-ймовірність при відкритті другого отвору.

Ця нерівність свідчить про наявність інтерференціїпри проходженні електронів через обидва отвори. Цікаво відзначити, що якщо на електрони, що пройшли, впливати світлом, то інтерференція зникає. Отже, фотони, у тому числі складається світло, змінюють характер руху електронів.

Таким чином, перед нами зовсім нове явище, що полягає в тому, що будь-яка спроба спостереження мікрооб'єктів супроводжується зміною характеру їхнього руху. Тому ніяке спостереження мікрооб'єктів незалежно від приладів та вимірювальних засобів суб'єкта у світі найдрібніших частинок матерії неможливе. Саме ця обставина зазвичай викликає заперечення з боку тих, хто не бачить відмінності між мікро- і макрооб'єктами. У макросвіті, в якому ми живемо, ми не помічаємо впливу приладів спостереження та вимірювання на макротіла, які вивчаємо, оскільки практично такий вплив є надзвичайно малим і тому ним можна знехтувати. У цьому світі як прилади та інструменти, так і тіла, що вивчаються, характеризуються тим же порядком величин. Зовсім інакша справа в мікросвіті, де макроприлад не може не впливати на мікрооб'єкти. Однак подібна дія не фігурує в класичній механіці.

Інша важлива відмінність мікрооб'єктів від макрооб'єктів полягає в наявності у перших корпускулярно-хвильових властивостей, але поєднання таких суперечливих властивостей у макрооб'єктів начисто відкидається класичною фізикою. Хоча класична фізика і визнає існування речовини і поля, але заперечує існування об'єктів, що мають корпускулярні властивості, властиві речовині, і одночасно хвильовими властивостями, які характерні для фізичних полів (акустичних, оптичних або електромагнітних).

В силу такої суперечності корпускулярних і хвильових властивостей датський фізик Нільс Бор висунув принцип додатковостідля квантово-механічного мікрооб'єктів, згідно з яким корпускулярна картина такого опису має бути доповнена хвильовим альтернативним описом.Дійсно, в одних експериментах мікрочастинки, наприклад електрони, поводяться як типові корпускули, в інших – як хвильові структури. Не можна, звичайно, думати, що хвильові та корпускулярні властивості мікрооб'єктів виникають внаслідок відповідних експериментів. Насправді такі властивості при цих експериментах лише виявляються. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що дуалізм мікрооб'єктів, що полягає в об'єднанні в одному мікрооб'єкті одночасно хвильових і корпускулярних властивостей, представляє собою фундаментальну характеристику об'єктів мікросвіту. Спираючись саме на цю характеристику, ми можемо зрозуміти та пояснити інші особливості мікросвіту.

4.2. Імовірнісний характер передбачень квантової Механіки.

Принципова відмінність квантової механіки від класичної полягає також у тому, що її передбачення завжди мають імовірнісний характер.Це означає, що ми не можемо точно передбачити, в яке саме місце потрапляє, наприклад, електрон у розглянутому вище експерименті, які б досконалі засоби спостереження та вимірювання не використовували. Можна оцінити лише його шанси потрапити у певне місце, а отже, застосувати для цього поняття та методи теорії ймовірностей, яка служить для аналізу невизначених ситуацій. Підкреслюючи це "дуже важливу різницю між класичною і квантовою механікою", Р. Фейнман вказує, що "ми не вміємо передбачати, що мало б статися в цих обставинах". Мало того, додає він, ми впевнені, що це немислимо:

єдине, що піддається передрахуванню, - це можливість різних подій. Доводиться визнати, що ми зрадили нашим колишнім ідеалам розуміння природи. Можливо, це крок назад, але ніхто не навчив нас, як його уникнути!

Ідеалом класичної механіки було прагнення до точного та достовірного передбачення досліджуваних явищ та подій. Дійсно, якщо повністю задані положення та швидкість руху механічної системи в даний момент часу, то рівняння механіки дозволяють з достовірністю обчислити координати та швидкість її руху у будь-який заданий момент часу у майбутньому чи минулому. Насправді, небесна механіка, спираючись на цей принцип, дає на багато років вперед точні і достовірні прогнози про сонячні та місячні затемнення, так само як і про минулі затемнення. Звідси випливає, що за таких прогнозів ніяк не враховується зміна подій у часі, але найголовніше полягає в тому, що класична механіка абстрагується (або відволікається) від багатьох ускладнюючих факторів. Вона, наприклад, розглядає планети, що рухаються навколо Сонця, як матеріальні точки, оскільки відстані між ними набагато більші, ніж розміри самих планет. Тож передбачення руху планет цілком припустимо розглядати їх як такі точки, тобто. геометричні точки, в яких сконцентровано всю масу планет. Ми вже не говоримо про те, що для визначення положення та швидкості їх руху можна відволікатися від багатьох інших факторів, наприклад, від впливу інших систем у Галактиці, руху самої Галактики тощо. Завдяки такому I спрощення реальної картини, її схематизації можливі точні пророцтва про рух небесних тіл.

Нічого подібного немає у світі найдрібніших частинок матерії, про властивості яких ми можемо судити лише опосередковано за свідченнями наших макроскопічних приладів. Поведінка мікрооб'єктів абсолютно не схожа на поведінку навколишніх нас макротіл, з спостереження і вивчення яких накопичується наш досвід. На жаль, цей досвід не можна використовувати при вивченні мікрооб'єктів, тому що й самі їх розміри не можна порівняти з розмірами макротіл, і сили взаємодії, що існують у мікросвіті, мають зовсім інший, складніший характер. Ось чому явища, що відбуваються в мікросвіті, важко піддаються розумінню і людьми, які вперше знайомляться з ними, і самими вченими, які багато років витратили на їх вивчення. Значне значення тут має особливий принцип обмеження або заборони, який ми обговоримо нижче.

4.3. Принцип невизначеності у квантовій механіці.

Цей принцип вперше сформулював видатний німецький фізик Вернер Гейзенберг (1901-1976) у вигляді співвідношення неточностей щодо сполучення величин в квантовій механіці, який тепер зазвичай називають принципом невизначеності.Суть його полягає в наступному: якщо ми прагнемо визначити значення однієї зі сполучених величин у квантово-механічному описі, наприклад, координати х,то значення іншої величини, а саме швидкості чи швидше імпульсу р = mv, не можна визначити з такою ж

точністю. Інакше висловлюючись, що точніше визначається одне із сполучених величин, тим менш точної виявляється інша величина. Це співвідношення неточностей, чи принцип невизначеності, виражається такою формулою:

де х -позначає координату, р -імпульс,h - Постійну планку, а Δ - збільшення величини.

Таким чином, принцип невизначеності постулює:

Неможливо з однаковою точністю визначити і положення та імпульс мікрочастинки. Добуток їх неточностей не повинен перевищувати постійну Планку.

Насправді, звісно, неточності виміру бувають значно більше, ніж той мінімум, який наказує принцип невизначеності, але йдеться про принципову сторону справи. Кордони, які встановлюються цим принципом, неможливо знайти подолані шляхом вдосконалення засобів виміру. Тому принцип невизначеності принаймні нині вважається фундаментальним становищем квантової механіки і неявно фігурує в ній у всіх міркуваннях. Теоретично не виключається можливість відхилення цього принципу і відповідно зміни пов'язаних з ним законів квантової механіки, але в даний час він вважається загальновизнаним.

З принципу невизначеності безпосередньо випливає, що цілком можливо здійснити експеримент, за допомогою якого можна з великою точністю визначити положення мікрочастинки, але в такому разі її імпульс буде визначено неточно. Навпаки, якщо імпульс буде визначений із можливим ступенем точності, тоді її положення стане відомим недостатньо точно.

У квантовій механіці будь-який стан системи описується за допомогою так званої "хвильової функції", але на відміну від класичної механіки ця функція визначає параметри її майбутнього стану не достовірно, а лише з тим чи іншим ступенем ймовірності. Це означає, що у тому чи іншого параметра системи хвильова функція дає лише ймовірнісні передбачення. Наприклад, майбутнє становище будь-якої частки системи буде визначено лише в деякому інтервалі значень, точніше кажучи, для неї буде відомо лише ймовірнісний розподіл значень.

Таким чином, квантова теорія фундаментально відрізняється від класичної тим, що її передбачення мають лише імовірнісний характер і тому вона не забезпечує точних передбачень, до яких ми звикли в класичній механіці. Саме ця невизначеність і неточність її прогнозів найбільше викликає суперечки серед учених, деякі з яких стали у зв'язку з цим говорити про індетермінізм квантової механіки. (Докладніше про це див. наступний розділ). Зазначимо, що представники колишньої, класичної фізики були переконані, що з розвитком науки та вдосконаленням вимірювальної техніки закони науки стануть все більш точними та достовірними. Тому вони вірили, що жодної межі для точності передбачень немає. Принцип невизначеності, що лежить в основі квантової механіки, докорінно підірвав цю віру.

4.4. Філософські висновки із квантової механіки.

Принцип невизначеності, як неважко помітити, тісно пов'язаний із такою фундаментальною проблемою наукового пізнання, як взаємодія об'єкта та суб'єкта, що має філософський характер.

Що нового дає квантова механіка на її розуміння?

Насамперед, вона ясно показує, що суб'єкт, тобто фізик, що досліджує світ найдрібніших частинок матерії, не може не впливати своїми приладами та вимірювальними пристроями на ці частинки. Класична фізика теж визнавала, що прилади спостереження і виміру надають свій обурливий вплив на процеси, що вивчаються, але воно було там настільки незначно, що їм можна було знехтувати. Зовсім інше становище ми маємо у квантовій механіці, бо прилади та вимірювальні пристрої, що використовуються для вивчення мікрооб'єктів, є макрооб'єктами.Тому вони вносять такі обурення в рух мікрочастинок, що в результаті їх майбутні стани не можна визначити цілком точно і достовірно. Прагнучи точно визначити один параметр, набувають неточність у вимірі іншого параметра.

Найважливіший філософський висновок із квантової механіки полягає у принциповій невизначеності результатів виміру і, отже, неможливості точного передбачення майбутнього.

Однак звідси зовсім не випливає, що передбачення в галузі мікросвіту абсолютно неможливі. Йдеться лише про те, що впливи приладів спостереження та вимірювання на найдрібніші частинки матерії позначаються на їх поведінці значно сильніше, ніж на поведінці макротіл. Однак навіть у галузі макросвіту абсолютно точне передбачення здійснити неможливо.Тим більше це стосується недоступного нашим почуттям мікросвіту. Не дивно тому, що після виникнення квантової механіки багато хто заговорив про повну непередбачуваність майбутнього, про "свободу волі" електрона та подібних до нього частинок, про панування випадковості у світі та відсутність у ньому детермінізму. Докладніше про це ми розповімо у наступному розділі.