Побудова рядів розподілу. Зведення та угруповання статистичних даних

Дискретний варіаційний ряд будується для дискретних ознак.

Для того, щоб побудувати дискретний варіаційний ряд, потрібно виконати наступні дії: 1) упорядкувати одиниці спостереження за зростанням досліджуваного значення ознаки,

2) визначити всі можливі значення ознаки x i, упорядкувати їх за зростанням,

значенням ознаки, i .

частота значення ознаки і позначають f i . Сума всіх частот ряду дорівнює кількості елементів у сукупності, що вивчається.

Приклад 1 .

Список оцінок, отриманих студентами на іспитах: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

Тут число Х - Оцінкає дискретною випадковою величиною, а одержаний список оцінок -статистичні (спостерігаються) дані .

упорядкувати одиниці спостереження щодо зростання досліджуваного значення ознаки:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) визначити всі можливі значення ознаки x i, упорядкувати їх за зростанням:

У цьому прикладі всі оцінки можна розділити чотирма групи з такими значеннями: 2; 3; 4; 5.

Значення випадкової величини, що відповідає окремій групі даних, що спостерігаються, називають значенням ознаки, варіантом (варіантою) і визначають x i .

Число, яке показує, скільки разів зустрічається відповідне значення ознаки в ряді спостережень називають частота значення ознаки і позначають f i .

Для нашого прикладу

оцінка 2 зустрічається - 8 разів,

оцінка 3 зустрічається - 12 разів,

оцінка 4 зустрічається - 23 рази,

оцінка 5 зустрічається – 17 разів.

Усього 60 оцінок.

4) записати отримані дані в таблицю з двох рядків (стовпців) - x i і f i.

З цих даних можна побудувати дискретний варіаційний ряд

Дискретний варіаційний ряд - це таблиця, в якій вказані значення, що вивчається ознаки як окремі значення за зростанням та їх частоти

1. Побудова інтервального варіаційного ряду

Крім дискретного варіаційного ряду, часто зустрічається такий спосіб групування даних, як інтервальний варіаційний ряд.

Інтервальний ряд будується якщо:

ознака має безперервний характер зміни;

дискретних значень вийшло дуже багато (більше 10)

частоти дискретних значень дуже малі (не перевищують 1-3 за відносно більшої кількості одиниць спостереження);

багато дискретних значень ознаки з однаковими частотами.

Інтервальний варіаційний ряд – це спосіб угруповання даних як таблиці, що має дві графи (значення ознаки як інтервалу значень і частота кожного інтервалу).

На відміну від дискретного ряду значення ознаки інтервального ряду представлені окремими значеннями, а інтервалом значень («від - до»).

Число, яке показує, скільки одиниць спостереження потрапило до кожного виділеного інтервалу, називається частота значення ознаки і позначають f i . Сума всіх частот ряду дорівнює кількості елементів (одиниць спостереження) в сукупності, що вивчається.

Якщо одиниця має значення ознаки, що дорівнює величині верхньої межі інтервалу, то її слід відносити до наступного інтервалу.

Наприклад, дитина зі зростанням 100 см потрапить у другий інтервал, а не в перший; а дитина зі зростом 130 см потрапить в останній інтервал, а не в третій.

З цих даних можна побудувати інтервальний варіаційний ряд.

У кожного інтервалу є нижня межа (х н), верхня межа (х в) та ширина інтервалу ( i).

Кордон інтервалу – це значення ознаки, що лежить межі двох інтервалів.

Якщо інтервал має верхню і нижню межу, він називається закритий інтервал. Якщо інтервал має лише нижній або тільки верхній кордон, то це – відкритий інтервал.Відкритим може бути тільки перший або останній інтервал. У наведеному прикладі останній інтервал – відкритий.

Ширина інтервалу (i) - Різниця між верхнім і нижнім кордоном.

i = х н - х в

Ширина відкритого інтервалу приймається такою самою, як ширина сусіднього закритого інтервалу.

Усі інтервальні ряди поділяються на інтервальні ряди з рівними інтервалами та інтервальні ряди з нерівними інтервалами . У інтервальних рядах із рівними інтервалами ширина всіх інтервалів однакова. В інтервальних рядах із нерівними інтервалами ширина інтервалів різна.

У прикладі - інтервальний ряд з нерівними інтервалами.

Число груп (інтервалів)приблизно визначається за формулою Стерджесса:

m = 1 + 3,322 × lg(n)

де n – загальна кількість одиниць спостереження (загальна кількість елементів у сукупності тощо), lg(n) – десятковий логарифм від n.

Отриману за формулою Стерджес величину округлюють зазвичай до цілого більшогочисла, оскільки кількість груп може бути дробовим числом.

Якщо ряд інтервальний ряд з такою кількістю груп за якимись критеріями не влаштовує, можна побудувати інший інтервальний ряд, округливши mдо цілого меншого числа і вибрати з двох рядів більш підходящий.

Кількість груп не повинна перевищувати 15.

Також можна скористатися наступною таблицею, якщо немає можливості обчислити десятковий логарифм.

Визначаємо ширину інтервалу

Ширина інтервалудля інтервального варіаційного ряду з рівними інтервалами визначається за такою формулою:

де X макс - максимальне із значень x i , X хв - мінімальне із значень x i ; m – число груп (інтервалів).

Величину інтервалу (i ) зазвичай округляють до цілого числа,виняток становлять лише випадки, коли вивчаються найменші коливання ознаки (наприклад, при угрупованні деталей за величиною розміру відхилень від номіналу, що вимірюється у частках міліметра).

Часто застосовується таке правило:

Визначаємо межі інтервалів

Нижній кордон першого інтервалуприймають рівною мінімального значення ознаки (найчастіше його попередньо округляють до цілого меншого числа з таким же розрядом як ширина інтервалу). Наприклад, х хв = 15, i = 130, х н першого інтервалу = 10.

х н1 ≈ х хв

Верхня межапершого інтервалу відповідає значенню (Хmin + i).

Нижня межа другого інтервалу завжди дорівнює верхній межі першого інтервалу. Для наступних груп кордону визначаються аналогічно, тобто послідовно додається величина інтервалу.

x в i = x н i + i

x н i = x в i-1

Визначаємо частоти інтервалів.

Вважаємо, скільки значень потрапило до кожного інтервалу. При цьому пам'ятаємо, що якщо одиниця має значення ознаки, що дорівнює величині верхньої межі інтервалу, то її слід відносити до наступного інтервалу.

Будуємо інтервальний ряд у вигляді таблиці.

Визначаємо середини інтервалів.

Для подальшого аналізу інтервального ряду потрібно вибрати значення ознаки для кожного інтервалу. Це значення ознаки буде загальним всім одиниць спостереження, які у цей інтервал. Тобто. окремі елементи «втрачають» свої індивідуальні значення ознаки і їм надається одне загальне значення ознаки. Таким загальним значенням є середина інтервалуяка позначається x" i .

Розглянемо з прикладу зі зростанням дітей, як побудувати інтервальний ряд із рівними інтервалами.

Є початкові дані.

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 , 92, 93, 94, 95, 96, 98 , , 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109 , 100, 101, 102, 104 , 110, 112, 114, 116, 117, 120, 122, 123, 124, 129, 110, 111, 113, 115, 116, 117, 121, 125, 126, 127 , 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129 , 111, 113, 116, 127 , 123, 122, 130, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150 , 131, 133, 135, 136, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 148

Найважливішим етапом дослідження соціально-економічних явищ та процесів є систематизація первинних даних та отримання на цій основі зведеної характеристики всього об'єкта за допомогою узагальнюючих показників, що досягається шляхом зведення та угруповання первинного статистичного матеріалу.

Статистичне зведення - це комплекс послідовних операцій із узагальнення конкретних одиничних фактів, що утворюють сукупність, виявлення типових рис і закономірностей, властивих досліджуваному явище загалом. Проведення статистичного зведення включає наступні етапи :

• вибір групувального ознаки;
• визначення порядку формування груп;
• розробка системи статистичних показників для характеристики груп та об'єкта загалом;
• розробка макетів статистичних таблиць для представлення результатів зведення.

Статистичним угрупованням називається розчленування одиниць сукупності, що вивчається, на однорідні групи за певними істотними для них ознаками. Угруповання є найважливішим статистичним методом узагальнення статистичних даних, основою правильного обчислення статистичних показників.

Розрізняють такі види угруповань: типологічні, структурні, аналітичні. Всі ці угруповання поєднує те, що одиниці об'єкта поділені на групи за якоюсь ознакою.

Групувальною ознакою називається ознака, яким проводиться розбиття одиниць сукупності деякі групи. Від правильного вибору групувального ознаки залежить висновки статистичного дослідження. Як основу угруповання необхідно використовувати суттєві, теоретично обґрунтовані ознаки (кількісні чи якісні).

Кількісні ознаки угруповання мають числове вираження (обсяг торгів, вік людини, дохід сім'ї тощо), а якісні ознаки угруповання відображають стан одиниці сукупності (стаття, сімейний стан, галузева приналежність підприємства, його форма власності тощо).

Після того, як визначено підставу угруповання, слід вирішити питання про кількість груп, на які треба розбити досліджувану сукупність. Число груп залежить від завдань дослідження та виду показника, покладеного в основу угруповання, обсягу сукупності, ступеня варіації ознаки.

Наприклад, угруповання підприємств за формами власності враховує муніципальну, федеральну та власність суб'єктів федерації. Якщо угруповання проводиться за кількісною ознакою, тоді необхідно звернути особливу увагу на кількість одиниць досліджуваного об'єкта і ступінь коливання групувального ознаки.

Коли визначено кількість груп, слід визначити інтервали угруповання. Інтервал - Це значення варіює ознаки, що лежать у певних межах. Кожен інтервал має свою величину, верхню та нижню межі або хоча б одну з них.

Нижнім кордоном інтервалу називається найменше значення ознаки в інтервалі, а верхнім кордоном - Найбільше значення ознаки в інтервалі. Величина інтервалу є різницею між верхньою та нижньою межами.

Інтервали угруповання залежно від їхньої величини бувають: рівні та нерівні. Якщо варіація ознаки проявляється у порівняно вузьких межах і розподіл має рівномірний характер, то будують угруповання з рівними інтервалами. Величина рівного інтервалу визначається за такою формулою :

де Хmax, Хmin - максимальне та мінімальне значення ознаки в сукупності; n – число груп.

Найпростіше угруповання, у якому кожна виділена група характеризується одним показником є ​​ряд розподілу.

Статистичний ряд розподілу - це упорядкований розподіл одиниць сукупності на групи за певною ознакою. Залежно від ознаки, покладеної основою освіти низки розподілу, розрізняють атрибутивні і варіаційні ряди розподілу.

Атрибутивними називають ряди розподілу, побудовані за якісними ознаками, тобто ознаками, що не мають числового виразу (розподіл за видами праці, за статтю, за професією тощо). Атрибутивні ряди розподілу характеризують склад сукупності за тими чи іншими суттєвими ознаками. Взяті за кілька періодів ці дані дозволяють досліджувати зміну структури.

Варіаційними рядами називають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Будь-який варіаційний ряд складається з двох елементів: варіантів та частот. Варіантами називаються окремі значення ознаки, які він приймає в варіаційному ряду, тобто конкретне значення ознаки, що варіює.

Частотами називаються чисельності окремих варіантів або кожної групи варіаційного ряду, тобто це числа, які показують, як часто зустрічаються ті чи інші варіанти у ряді розподілу. Сума всіх частот визначає чисельність усієї сукупності, її обсяг. Частинами називаються частоти, виражені у частках одиниці чи відсотках до результату. Відповідно сума частостей дорівнює 1 чи 100%.

Залежно від характеру варіації ознаки розрізняють три форми варіаційного ряду: ранжований ряд, дискретний ряд та інтервальний ряд.

Ранжований варіаційний ряд - це розподіл окремих одиниць сукупності у порядку зростання чи спадання досліджуваного ознаки. Ранжування дозволяє легко розділити кількісні дані по групам, відразу виявити найменше та найбільше значення ознаки, виділити значення, які найчастіше повторюються.

Дискретний варіаційний ряд характеризує розподіл одиниць сукупності за дискретною ознакою, що приймає лише цілі значення. Наприклад, тарифний розряд, кількість дітей у сім'ї, кількість працівників для підприємства та інших.

Якщо ознака має безперервну зміну, які в певних межах можуть набувати будь-яких значень («від - до»), то для цієї ознаки потрібно будувати інтервальний варіаційний ряд . Наприклад, розмір доходу, стаж роботи, вартість основних фондів підприємства та ін.

Приклади розв'язання задач на тему «Статистичне зведення та угруповання»

Завдання 1 . Є інформація про кількість книг, отриманих студентами за абонементом за минулий навчальний рік.

Побудувати ранжований та дискретний варіаційні ряди розподілу, позначивши елементи ряду.

Рішення

Ця сукупність є безліч варіантів кількості одержуваних студентами книг. Підрахуємо кількість таких варіантів та упорядкуємо у вигляді варіаційного ранжованого та варіаційного дискретного рядів розподілу.

Завдання 2 . Є дані про вартість основних фондів у 50 підприємств, тис. руб.

Побудувати низку розподілу, виділивши 5 груп підприємств (з рівними інтервалами).

Рішення

Для вирішення оберемо найбільше та найменше значення вартості основних фондів підприємств. Це 30,0 та 10,2 тис. руб.

Знайдемо розмір інтервалу: h = (30,0-10,2): 5 = 3,96 тис. руб.

Тоді до першої групи входитимуть підприємства, розмір основних фондів яких становить від 10,2 тис. руб. до 10,2 +3,96 = 14,16 тис. руб. Таких підприємств буде 9. До другої групи увійдуть підприємства, розмір основних фондів яких складе від 14,16 тис. руб. до 14,16 +3,96 = 18,12 тис. руб. Таких підприємств буде 16. Аналогічно знайдемо кількість підприємств, що входять до третьої, четвертої та п'ятої групи.

Отриманий ряд розподілу помістимо до таблиці.

Завдання 3 . По ряду підприємств легкої промисловості отримано такі дані:

Здійсніть угруповання підприємств за кількістю робітників, утворюючи 6 груп з рівними інтервалами. Підрахуйте по кожній групі:

1. кількість підприємств
2. число робітників
3. обсяг виробленої продукції протягом року
4. середнє фактичне вироблення одного робітника
5. обсяг основних засобів
6. середній розмір основних засобів одного підприємства
7. середню величину виробленої продукції одним підприємством

Результати розрахунку оформіть у таблиці. Зробіть висновки.

Рішення

Для вирішення виберемо найбільше та найменше значення середньооблікового числа робітників на підприємстві. Це 43 та 256.

Знайдемо розмір інтервалу: h = (256-43): 6 = 35,5

Тоді до першої групи входитимуть підприємства, середньооблікова кількість робітників на яких становить від 43 до 43 +35,5 = 78,5 чоловік. Таких підприємств буде 5. До другої групи увійдуть підприємства, середньооблікова кількість робітників на яких складе від 78,5 до 78,5 +35,5 = 114 осіб. Таких підприємств буде 12. Аналогічно знайдемо кількість підприємств, що входять до третьої, четвертої, п'ятої та шостої групи.

Отриманий ряд розподілу помістимо до таблиці та обчислимо необхідні показники по кожній групі:

Висновок : Як видно з таблиці, друга група підприємств є найчисленнішою До неї входять 12 підприємств. Найменшими є п'ята і шоста групи (по два підприємства). Це найбільші підприємства (за кількістю робітників).

Оскільки друга група найчисленніша, обсяг виробленої продукції за рік підприємствами цієї групи та обсяг основних засобів значно вищий за інші. Водночас середній фактичний вироблення одного робітника на підприємствах цієї групи найбільшого не є. Тут лідирують підприємства четвертої групи. На цю групу припадає досить великий обсяг основних засобів.

У висновку зазначимо, що середній розмір основних засобів та середня величина виробленої продукції одного підприємства прямо пропорційні розмірам підприємства (за кількістю робітників).

Лабораторна робота №1

За математичною статистикою

Тема: Первинна обробка експериментальних даних

3. Оцінка у балах. 1

5. Контрольні питання.

6. Методика виконання лабораторної роботи.

Мета роботи

Набуття навичок первинної обробки емпіричних даних методами математичної статистики.

На основі сукупності дослідних даних виконати такі завдання:

Завдання 1.Побудувати інтервальний варіаційний ряд розподілу.

Завдання 2.Побудувати гістограму частот інтервального варіаційного ряду.

Завдання 3.Скласти емпіричну функцію розподілу та побудувати графік.

а) моду та медіану;

б) умовні початкові моменти;

в) вибіркову середню;

г) вибіркову дисперсію, виправлену дисперсію генеральної сукупності, виправлене середнє квадратичне відхилення;

д) коефіцієнт варіації;

е) асиметрію;

ж) ексцес;

Завдання 5.Визначити межі істинних значень числових характеристик, випадкової величини, що вивчається, із заданою надійністю.

Завдання 6.Змістовна інтерпретація результатів первинної обробки за умовою завдання.

Оцінка в балах

Завдання 1-5 – 6 балів

Завдання 6 – 2 бали

Захист лабораторної роботи(Усна співбесіда з контрольних питань та лабораторної роботи) - 2 бали

Робота здається у письмовій формі на аркушах формату А4 та включає:

1) Титульний лист (Додаток 1)

2) Вихідні дані.

3) Подання роботи за вказаним зразком.

4) Результати розрахунків (виконані вручну та/або за допомогою MS Excel) у зазначеному порядку.

5) Висновки – змістовна інтерпретація результатів первинної обробки за умовою завдання.

6) Усна співбесіда з роботи та контрольних питань.

5. Контрольні питання

Методика виконання лабораторної роботи

Завдання 1. Побудувати інтервальний варіаційний ряд розподілу

Для того, щоб статистичні дані подати у вигляді варіаційного ряду з рівновіддаленими варіантами необхідно:

1.У вихідній таблиці даних знайти найменше та найбільше значення.

2.Визначити розмах варіювання :

3. Визначити довжину інтервалу h, якщо у вибірці до 1000 даних використовують формулу: , де n - обсяг вибірки - кількість даних у вибірці; для обчислень беруть lgn).

Обчислене ставлення округляють до зручного цілого значення .

4. Визначити початок першого інтервалу для парного числа інтервалів рекомендують брати величину; а для непарного числа інтервалів.

5. Записати інтервали угруповань та розташувати їх у порядку зростання кордонів

, ,………., ,

де – нижня межа першого інтервалу. Забереться зручне число не більше, верхня межа останнього інтервалу повинна бути не меншою. Рекомендується, щоб інтервали містили у собі вихідні значення випадкової величини та виділяти від 5 до 20інтервалів.

6. Записати вихідні дані щодо інтервалів угруповань, тобто. підрахувати за вихідною таблицею число значень випадкової величини, які у зазначені інтервали. Якщо деякі значення збігаються з межами інтервалів, то їх відносять або лише до попереднього, або лише до подальшого інтервалу.

Зауваження 1.Інтервали необов'язково брати рівними за довжиною. На ділянках, де значення розташовуються густіше, зручніше брати дрібніші короткі інтервали, а там де рідше - більші.

Зауваження 2.Якщо деяких значень отримані “нульові”, чи малі значення частот , необхідно перегрупувати дані, укрупнюючи інтервали (збільшуючи крок ).

Маючи в своєму розпорядженні дані статистичного спостереження, що характеризують те чи інше явище, насамперед необхідно їх упорядкувати, тобто. надати характеру системності

Англійська статистика. УДжРейхман із приводу невпорядкованих сукупностей образно сказав, що зіткнутися з масою неузагальнених даних рівнозначно ситуації, коли людину кидають у лісовій гущавині без компасу. Що ж являє собою систематизація статистичних даних у вигляді рядів розподілу?

Статистичний ряд розподілу – це впорядковані статистичні сукупності (табл. 17). Найпростішим видом статистичного ряду розподілу ранжованого ряду, тобто. ряд чисел, що знаходиться в порядку зростання ч або падіння, варіюючи ознаки. Такий ряд не дозволяє судити про закономірності, закладені в розподілених даних: у якої величини групується більшість показників, які є відхиленнями від цієї величини; як загальна картина розподілу. З цією метою групують дані, показуючи, як часто зустрічаються окремі спостереження в їхньому числі (Схема 1а 1).

. Таблиця 17

. Загальний вигляд статистичних рядів розподілу

. Схема 1. Схемастатистичнихрядів розподілу

Розподіл одиниць сукупності за ознаками, що не мають кількісного виразу, називається атрибутивним рядом(Наприклад, розподіл підприємств за їх виробничим напрямом)

Ряди розподілу одиниць сукупності за ознаками, мають кількісний вираз, називаються варіаційними рядами. У таких рядах значення ознаки (варіанти) перебувають у порядку зростання чи спадання

У варіаційному ряді розподілу розрізняють два елементи: варіанти та частота . Варіанту- це окреме значення групувальної ознаки частота- Число, яке показує, скільки разів зустрічається кожен варіант

У математичній статистиці обчислюється ще один елемент варіаційного ряду - частина. Остання визначається як відношення частоти випадків даного інтервалу до загальної суми частот частість визначається у частках одиниці, відсотках (%) у промілі (% о)

Таким чином, варіаційний ряд розподілу - це такий ряд, в якому варіанти розташовані в порядку зростання або зменшення, вказані частоти або частоти. Варіаційні ряди бувають дискретні (переривні) та ін. Інтервальні (безперервного).

. Дискретні варіаційні ряди- це такі ряди розподілу, в яких варіанти як величина кількісної ознаки може набувати лише певного значення. Варіанти різняться між собою однією чи кілька одиниць

Так, кількість вироблених деталей за зміну конкретним робітником може виражатися лише одним певним числом (6, 10, 12 тощо). Прикладом дискретного варіаційного ряду може бути розподіл працівників за кількістю вироблених деталей (табл 18 18).

. Таблиця 18

. Дискретний ряд розподілу _

. Інтервальні (безперервні) варіаційні ряди- такі ряди розподілу, у яких значення варіанти дано як інтервалів, тобто. Значення ознак можуть відрізнятися один від одного на скільки завгодно малу величину. При побудові варіаційного ряду неп перервної ознаки неможливо вказати кожне значення варіанти, тому сукупність розподіляється за інтервалами. Останні можуть бути рівними і нерівними. Для кожного з них зазначаються частоти або частоти (табл. 1999).

В інтервальних рядах розподілу з нерівними інтервалами обчислюють такі математичні характеристики, як густина розподілу і відносна густина розподілу на даному інтервалі. Перша характеристика визначилася відношенням частоти до величини того ж інтервалу, друга - відношенням частоти до величини того ж інтервалу. Для наведеного вище прикладу щільність розподілу першому інтервалі складе 3: 5 = 0,6, а відносна щільність цьому інтервалі - 7,5:5 = 1,55%.

. Таблиця 19

. Інтервальний ряд розподілу _