Правила знаходження невідомого доданку віднімається зменшуваного. Щоб знайти невідомий множник, треба…
Основні правила математики.
Щоб знайти невідомий доданок, треба від значення суми відняти відомий доданок.
Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до значення різниці додати віднімання.
Щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти значення різниці.
Щоб знайти невідомий множник, треба значення твору поділити на відомий множник
Щоб знайти невідоме ділене, треба значення помножити на дільник.
Щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на значення приватного.
Закони дії складання:
Переміщувальний: а + в = в + а (від перестановки місць доданків значення суми не змінюється)
Сполучний: (а + в) + с = а + (в + с) (Щоб до суми двох доданків додати третій доданок, можна до першого доданку додати суму другого н третього доданків).
Закон складання числа з 0: а + 0 = а (при складанні числа з нулем, отримуємо те саме число).
Закони множення:
Переміщувальний: а ∙ в = в ∙ а (від перестановки місць множників значення твору не змінюється)
Сполучний: (а ∙ в) ∙ с = а ∙ (в ∙ с) – Щоб добуток двох множників помножити на третій множник, можна перший множник помножити на твір другого та третього множників.
Розподільний закон множення: а ∙ (в + с) = а ∙ с + у ∙ с (Щоб помножити число на суму, можна помножити це число на кожний із доданків та отримані твори скласти).
Закон множення на 0: а ∙ 0 = 0 (при множенні будь-якого числа на 0 виходить 0)
Закони поділу:
а: 1 = а (При розподілі числа на 1 виходить те саме число)
0: а = 0 (При розподілі 0 на число виходить 0)
На нуль ділити не можна!
Периметр прямокутника дорівнює подвоєній сумі довжин його довжини та ширини. Або: периметр прямокутника дорівнює сумі подвоєної ширини та подвоєної довжини: Р = (а + в) ∙ 2,
Р = а ∙ 2 + в ∙ 2
Периметр квадрата дорівнює довжині сторони, помноженої на 4 (Р = а ∙ 4)
1 м = 10 дм = 100 см 1 год = 60 хв 1т = 1000 кг = 10 ц 1м = 1000 мм
1 дм = 10 см = 100 мм 1 хв = 60 сек 1 ц = 100 кг 1 кг = 1000 г
1 см = 10 мм 1 добу = 24 год 1 км = 1000 м
За виконання різницевого порівняння з більшої кількості віднімають менше, і під час кратного порівняння – більше ділять на менше.
Рівність, що містить невідоме, називається рівнянням. Корінь рівняння – це число, при підстановці якого рівняння замість х виходить правильне числове рівність. Вирішити рівняння – отже, знайти його корінь.
Діаметр ділить коло навпіл – на 2 рівні частини. Діаметр дорівнює двом радіусам.
Якщо у виразі без дужок присутні дії першого (додавання, віднімання) і другого (множення, розподіл) ступеня, то спочатку виконуються по порядку дії другого ступеня, а вже потім дії другого ступеня.
12 годин дня – це опівдні. 12 годин ночі – це опівночі.
Римські цифри: 1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII , 13 - XIII, 14 - XIV, 15 - XV, 16 - XVI, 17 - XVII, 18 - XVIII, 19 - XIX, 20 - XX і т.д.
Алгоритм розв'язання рівняння: визначити, чим є невідоме, згадати правило, як знайти невідоме, застосувати правило, зробити перевірку.
П. | Ст. | З. |
236м?(236+95)м?(В.-108)м
На головне питання завдання Скільки метрів тканини продав магазин за 3 дні?ми одразу відповісти не можемо, т.к. не знаємо скільки метрів тканини продав магазин у вівторок та у середу. Знаючи, що у понеділок магазин продав 236 м тканини, а у вівторок – на 95 м більше, ніж у понеділок, ми зможемо знайти, скільки метрів тканини продав магазин у вівторок дією додавання, нам підказують слова на __ більше. Дізнавшись, скільки метрів тканини продав магазин у вівторок, ми зможемо знайти, скільки метрів тканини продали у середу. В умові завдання сказано: у вівторок – на 95 м більше, ніж у понеділок і на 108 м більше, ніж у середу . Це непряма умова, що підказує слово і . Значить у середу на 108 м менше, ніж у вівторок. Знаходимо дією віднімання, нам підказують слова на __ менше. Дізнавшись, скільки тканин продав магазин у вівторок і в середу, ми зможемо відповісти на головне питання завдання Скільки метрів тканини продав магазин за 3 дні?дією додавання, щоб знайти ціле треба скласти частини (складаємо 3 частини). Завдання вирішується у три дії.
Довгий шлях напрацювання навичок розв'язання рівняньпочинається з вирішення найперших і щодо простих рівнянь. Під такими рівняннями ми маємо на увазі рівняння, в лівій частині яких знаходиться сума, різницю, твір або приватне двох чисел, одне з яких невідоме, а в правій частині стоїть число. Тобто, ці рівняння містять невідоме доданок, що зменшується, віднімається, множник, ділене або дільник. Про вирішення таких рівнянь і йтиметься у цій статті.
Тут ми наведемо правила, що дозволяють знаходити невідомий доданок, множник і т.п. Причому відразу розглядатимемо застосування цих правил на практиці, вирішуючи характерні рівняння.
Навігація на сторінці.
Отже, підставляємо вихідне рівняння 3+x=8 замість x число 5 , отримуємо 3+5=8 – це рівність правильне, отже, правильно знайшли невідоме доданок. Якби при перевірці ми здобули неправильну числову рівність, то це вказало б нам на те, що ми неправильно вирішили рівняння. Основними причинами цього можуть бути застосування не того правила, яке потрібно, або обчислювальні помилки.
Як знайти невідоме зменшуване, що віднімається?
Зв'язок між додаванням і відніманням чисел, про який ми вже згадували в попередньому пункті, дозволяє отримати правило знаходження невідомого зменшуваного через відоме віднімання і різницю, а також правило знаходження невідомого віднімається через відоме зменшуване і різницю. Формулюватимемо їх по черзі, і відразу наводитимемо рішення відповідних рівнянь.
Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.
Наприклад розглянемо рівняння x−2=5 . Воно містить невідоме зменшення. Наведене правило нам показує, що з його відшукання ми повинні до відомої різниці 5 додати відоме віднімається 2 , маємо 5+2=7 . Таким чином, шукане зменшуване дорівнює семи.
Якщо опустити пояснення, рішення записується так:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7.
Для самоконтролю виконаємо перевірку. Підставляємо вихідне рівняння знайдене зменшуване, при цьому отримуємо числову рівність 7−2=5 . Воно вірне, тому, можна бути впевненим, що ми чітко визначили значення невідомого зменшуваного.
Можна переходити до знаходження невідомого. Воно знаходиться за допомогою додавання за таким правилом: щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відняти різницю.
Розв'яжемо рівняння виду 9−x=4 за допомогою записаного правила. У цьому рівнянні невідомим є віднімання. Щоб його знайти, нам треба від відомого зменшуваного 9 відібрати відому різницю 4 маємо 9-4=5 . Таким чином, шукане віднімання дорівнює п'яти.
Наведемо короткий варіант розв'язання цього рівняння:
9−x=4 ,
x = 9-4 ,
x=5.
Залишається лише перевірити правильність знайденого. Зробимо перевірку, навіщо підставимо вихідне рівняння замість x знайдене значення 5 , у своїй отримуємо числове рівність 9−5=4 . Воно правильне, тому знайдене нами значення правильне.
І перш ніж переходити до наступного правила зауважимо, що в 6 класі розглядається правило розв'язання рівнянь, яке дозволяє виконувати перенесення будь-якого доданку з однієї частини рівняння до іншої з протилежним знаком. Так ось усі розглянуті вище правила знаходження невідомого доданку, що зменшується і віднімається з ним повністю узгоджені.
Щоб знайти невідомий множник, треба…
Погляньмо на рівняння x·3=12 і 2·y=6 . Вони невідоме число є множником у лівій частині, а твір і другий множник відомі. Для знаходження невідомого множника можна використовувати таке правило: щоб знайти невідомий множник, треба твір поділити на відомий множник.
В основі цього правила лежить те, що поділу чисел ми надали сенс, обернений до змісту множення. Тобто, між множенням і розподілом існує зв'язок: з рівності a b = c, в якому a 0 і b 0 слід, що c: a = b і c: b = c, і назад.
Наприклад знайдемо невідомий множник рівняння x·3=12 . Відповідно до правила нам треба розділити відомий твір 12 на відомий множник 3 . Проведемо : 12:3 = 4 . Таким чином, невідомий множник дорівнює 4 .
Коротко рішення рівняння записується у вигляді послідовності рівностей:
x · 3 = 12 ,
x = 12:3,
x=4.
Бажано зробити перевірку результату: підставляємо у вихідне рівняння замість літери знайдене значення, отримуємо 4·3=12 – правильне числове рівність, тому ми правильно знайшли значення невідомого множника.
І ще один момент: діючи за вивченим правилом, ми фактично виконуємо поділ обох частин рівняння на відомий від нуля відомий множник. У 6 класі буде сказано, що обидві частини рівняння можна множити і ділити на те саме відмінне від нуля число, це не впливає на корені рівняння.
Як знайти невідоме ділене, дільник?
В рамках нашої теми залишилося розібратися, як знайти невідоме ділене при відомому дільнику та приватному, а також як знайти невідомий дільник при відомому ділимому та приватному. Відповісти на ці питання дозволяє вже згаданий у попередньому пункті зв'язок між множенням та поділом.
Щоб знайти невідоме ділене, треба приватне помножити на дільник.
Розглянемо його застосування з прикладу. Розв'яжемо рівняння x:5=9 . Щоб знайти невідоме ділене цього рівняння треба згідно з правилом помножити відоме приватне 9 на відомий дільник 5 тобто виконуємо множення натуральних чисел: 9·5=45 . Таким чином, шукане ділене дорівнює 45 .
Покажемо короткий запис рішення:
x: 5 = 9,
x = 9 · 5,
x=45.
Перевірка підтверджує, що значення невідомого поділеного знайдено правильно. Дійсно, при підстановці вихідне рівняння замість змінної x числа 45 воно звертається у правильну числову рівність 45:5 = 9 .
Зауважимо, що розібране правило можна трактувати як множення обох частин рівняння відомий дільник. Таке перетворення впливає коріння рівняння.
Переходимо до правила знаходження невідомого дільника: щоб знайти невідомий дільник, треба поділити розділити на приватне.
Розглянемо приклад. Знайдемо невідомий дільник із рівняння 18:x=3. Для цього нам потрібно відоме ділене 18 розділити на відоме приватне 3 , маємо 18:3 = 6 . Таким чином, дільник, що шукається, дорівнює шести.
Рішення можна оформити і так:
18: x = 3,
x = 18:3,
x=6.
Перевіримо цей результат для надійності: 18:6 = 3 - правильна числова рівність, отже, корінь рівняння знайдено правильно.
Зрозуміло, що це правило можна застосовувати лише тоді, коли приватне відмінно від нуля, щоб не зіткнутися з розподілом на нуль. Коли приватне дорівнює нулю, то можливі два випадки. Якщо при цьому ділене дорівнює нулю, тобто рівняння має вигляд 0: x = 0, то цьому рівнянню задовольняє будь-яке відмінне від нуля значення дільника. Інакше кажучи, корінням такого рівняння є будь-які числа, не рівні нулю. Якщо ж за рівному нулю приватному ділене відмінно від нуля, то ні за яких значеннях дільника вихідне рівняння не звертається у правильне числове рівність, тобто, рівняння немає коренів. Для ілюстрації наведемо рівняння 5: x = 0 воно не має рішень.
Спільне використання правил
Послідовне застосування правил знаходження невідомого доданку, що зменшується, віднімається, множника, ділимого і дільника дозволяє вирішувати і рівняння з єдиною змінною складнішого виду. Розберемося з цим на прикладі.
Розглянемо рівняння 3 x + 1 = 7 . Спочатку ми можемо знайти невідоме доданок 3 x, для цього треба від суми 7 відібрати відоме доданок 1, отримуємо 3 x = 7-1 і далі 3 x = 6 . Тепер залишилося знайти невідомий множник, розділивши твір 6 на відомий множник 3 маємо x=6:3 звідки x=2 . Так знайдено корінь вихідного рівняння.
Для закріплення матеріалу наведемо коротке рішення ще одного рівняння (2 x-7): 3-5 = 2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2 · x-7): 3 = 2 +5,
(2 · x-7): 3 = 7,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2 · x = 21 +7,
2 · x = 28 ,
x = 28:2,
x=14.
Список літератури.
- Математика.. 4 клас. Навч. для загальноосвіт. установ. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін]. - 8-е вид. – К.: Просвітництво, 2011. – 112 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-023769-7.
- Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.