Правила віднімання чисел із різними знаками приклади. Приклади складання та віднімання цілих чисел

На діях з позитивними та негативними числами заснований практично весь курс математики. Адже як тільки ми починаємо вивчати координатну пряму, числа зі знаками «плюс» і «мінус» починають зустрічатися нам повсюдно, у кожній новій темі. Немає нічого простіше, ніж скласти між собою звичайні позитивні числа, неважко і відняти одне з одного. Навіть арифметичні дії із двома негативними числами рідко стають проблемою.

Однак багато хто плутається у додаванні та відніманні чисел з різними знаками. Нагадаємо правила, за якими відбуваються ці дії.

Додавання чисел з різними знаками

Якщо для розв'язання задачі нам потрібно додати до деякої кількості «а» негативне число «-b», то треба діяти таким чином.

Візьмемо модулі обох чисел - | та |b| - і порівняємо ці абсолютні значення між собою.
Зазначимо, який із модулів більше, а який менше, і віднімемо з більшого значення менше.
Поставимо перед числом, що вийшло, знак того числа, модуль якого більший.

Це буде відповіддю. Можна висловитись простіше: якщо у виразі a + (-b) модуль числа «b» більший, ніж модуль «а», то ми віднімаємо «а» з «b» і ставимо «мінус» перед результатом. Якщо більше модуль «а», то «b» віднімається від «а» - а рішення виходить зі знаком «плюс».

Буває так, що модулі виявляються рівні. Якщо так, то на цьому місці можна зупинитися - йдеться про протилежні числа, і їх сума завжди дорівнюватиме нулю.

Віднімання чисел з різними знаками

З додаванням ми розібралися, тепер розглянемо правило для віднімання. Воно теж досить просте - і, крім того, повністю повторює аналогічне правило для віднімання двох негативних чисел.

Для того, щоб відняти з якогось числа "а" - довільного, тобто з будь-яким знаком - негативне число "с", потрібно додати до нашого довільного числа "а" число, протилежне "с". Наприклад:

Якщо "а" - позитивне число, а "с" - негативне, і з "а" потрібно відняти "с", то записуємо так: а - (-с) = а + с.
Якщо "а" - від'ємне число, а "с" - позитивне, і з "а" потрібно відняти "с", то записуємо наступним чином: (-а) - с = - а + (-с).

Таким чином, при відніманні чисел з різними знаками в результаті ми повертаємося до правил додавання, а при додаванні чисел з різними знаками - до правил віднімання. Запам'ятовування цих правил дозволяє вирішувати завдання швидко і легко.

Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.

Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбутися шкідливої звички складати знаменники досить просто. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

Плюс мінус дає мінус;
Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас втішити: різні знаменники у дробів — це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Найкраще використовуйте просту схему, наведену нижче:

Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дроб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів:

Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
Приведіть усі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники завдань);
Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.

Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще в кінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.

Додавання негативних чисел.

Сума негативних чисел є числом негативним. Модуль суми дорівнює сумі модулів доданків.

Давайте розберемося, чому сума негативних чисел буде теж негативним числом. Допоможе нам у цьому координатна пряма, де ми виконаємо складання чисел -3 і -5. Зазначимо на координатній прямій точку, що відповідає числу -3.

До -3 нам потрібно додати число -5. Куди ми підемо від точки, що відповідає числу -3? Правильно, ліворуч! на 5 одиничних відрізків. Зазначаємо крапку та пишемо число їй відповідне. Це число -8.

Отже, при виконанні складання негативних чисел за допомогою координатної прямої ми весь час знаходимося ліворуч від початку відліку, тому зрозуміло, що результат складання негативних чисел є числом теж негативним.

Примітка.Ми складали числа -3 та -5, тобто. знаходили значення виразу -3+(-5). Зазвичай під час складання раціональних чисел просто записують ці числа зі своїми знаками, хіба що перераховують усі числа, які треба скласти. Такий запис називають сумою алгебри. Застосовують (у прикладі) запис: -3-5=-8.

приклад.Знайти суму негативних чисел: -23-42-54. (Погодьтеся, що цей запис коротший і зручніший за такий: -23+(-42)+(-54))?

Вирішуємоза правилом складання негативних чисел: складаємо модулі доданків: 23+42+54=119. Результат буде зі знаком мінус.

Записують зазвичай так: -23-42-54 = -119.

Складання чисел з різними знаками.

Сума двох чисел з різними знаками має знак доданку з великим модулем. Щоб знайти модуль суми, потрібно від більшого модуля відняти менший.

Виконаємо складання чисел з різними знаками за допомогою координатної прямої.

1) -4+6. Потрібно до -4 додати число 6. Зазначимо число -4 точкою на координатній прямий. Число 6 - позитивне, значить від точки з координатою -4 нам потрібно йти вправо на 6 одиничних відрізків. Ми опинилися праворуч від початку відліку (від нуля) на 2 одиничні відрізки.

Результат суми чисел -4 і 6 - це позитивне число 2:

- 4 +6 = 2. Як можна було одержати число 2? З 6 відняти 4, тобто. від більшого модуля відняти менший. У результату той самий знак, що й у доданку з великим модулем.

2) Обчислимо: -7+3 за допомогою координатної прямої. Зазначаємо точку, що відповідає числу -7. Ідемо вправо на 3 одиничні відрізки і отримуємо точку з координатою -4. Ми були і залишилися ліворуч від початку відліку: відповідь — негативне число.

- 7 +3 =-4. Цей результат ми могли отримати так: від більшого модуля відняли менший, тобто. 7-3 = 4. Через війну поставили знак доданку, має більший модуль: |-7|>|3|.

приклади.Обчислити: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.

Якщо температура повітря дорівнювала 9°С, а потім вона змінилася на -6°С (тобто знизилася на 6°С), то вона дорівнювала 9 + (-6) градусам (рис. 83).

Мал. 83

Щоб скласти числа 9 та -6 за допомогою координатної прямої, треба точку A(9) перемістити вліво на 6 одиничних відрізків (рис. 84). Отримаємо точку (3).

Мал. 84

Значить, 9 + (-6) = 3. Число 3 має той же знак, що і доданок 9, а його модуль дорівнює різниці модулів доданків 9 і -6.

Справді, |3| = 3 та |9| - |-6| = 9 – 6 = 3.

Якщо та температура повітря 9°С змінилася на -12°С (тобто. знизилася на 12°С), вона стала рівною 9 + (-12) градусам (рис. 85).

Мал. 85

Склавши числа 9 та -12 за допомогою координатної прямої (рис. 86), отримаємо 9 + (-12) = -3. Число -3 має той самий знак, що і доданок -12, яке модуль дорівнює різниці модулів доданків -12 і 9.

Мал. 86

Справді, |-3| = 3 та |-12| - |-9| = 12 – 9 = 3.

Зазвичай спочатку визначають та записують знак суми, а потім знаходять різницю модулів.

Наприклад:

При додаванні позитивних і негативних чисел можна використовувати мікрокалькулятор. Щоб ввести від'ємне число в мікрокалькулятор, потрібно ввести модуль цього числа, потім натиснути клавішу "Зміна знака" . Наприклад, щоб ввести число -56,81, треба послідовно натискати клавіші: . Операції над числами будь-якого знака виконуються на мікрокалькуляторі як і, як над позитивними числами. Наприклад, суму -6,1 + 3,8 обчислюють за програмою

Коротше цю програму пишуть так: .

Запитання для самоперевірки

Числа а та b мають різні знаки. Який знак матиме сума цих чисел, якщо більший модуль має від'ємне число? якщо менший модуль має від'ємне число? якщо більший модуль має додатне число? якщо найменший модуль має позитивне число?
Сформулюйте правило додавання чисел з різними знаками.
Як ввести до мікрокалькулятора негативне число?

Виконайте вправи

1061. Число 6 змінили на -10. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку воно знаходиться? Чому дорівнює сума 6 та -10?

1062. Число 10 змінили на -6. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку воно знаходиться? Чому дорівнює сума 10 та -6?

1063. Число -10 змінили на 3. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку воно знаходиться? Чому дорівнює сума -10 та 3?

1064. Число -10 змінили на 15. З якого боку від початку відліку розташоване число, що вийшло? На якій відстані від початку відліку воно знаходиться? Чому дорівнює сума -10 та 15?

1065. У першій половині дня температура змінилася на -4°С, а другої - на +12°С. На скільки градусів змінилася температура протягом дня?

1066. Виконайте додавання:

а) 26+(-6);
б) -70 + 50;
в) -17+30;
г) 80+ (-120);
д) -6,3 + 7,8;
е) -9 + 10,2;
ж) 1+ (-0,39);
з) 0,3+ (-1,2);

1067. Додати:

а) до суми -6 та -12 число 20;
б) до 2,6 суму -1,8 і 5,2;
в) до суми -10 та -1,3 суму 5 та 8,7;
г) до суми 11 та -6,5 суму -3,2 та -6.

1068. Яке із чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 є коренем рівняння -6 + x = -13,1?

1069. Вгадайте корінь рівняння та виконайте перевірку:

а) х + (-3) = -11;
б) -5 + у = 15;
в) т + (-12) = 2;
г) 3+п = -10.

1070. Знайдіть значення виразу:

1071. Виконайте дії за допомогою мікрокалькулятора:

а) -3,2579+ (-12,308);
б) 7,8547+ (-9,239);
в) -0,00154+0,0837;
г) -3,8564 + (-0,8397) + 7,84;
д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
е) -0,0085+0,00354+ (-0,00921).

1072. Знайдіть значення суми:

1073. Знайдіть значення виразу:

1074. Скільки цілих чисел розташовано між числами:

а) 0 та 24;
б) -12 та -3;
в) -20 та 7?

1075. Подайте число -10 у вигляді суми двох негативних доданків так, щоб:

а) обидва доданки були цілими числами;
б) обидва доданки були десятковими дробами;
в) один із доданків було правильним звичайним дробом.

1076. Яка відстань (в одиничних відрізках) між точками координатної прямої з координатами:

а) 0 та а;
б) -а та а;
в) -а та 0;
г) а і -За?

1077. Радіуси географічних паралелей земної поверхні, на яких розташовані міста Афіни та Москва, відповідно дорівнюють 5040 км та 3580 км (рис. 87). На скільки паралель Москви коротша за паралелі Афін?

Мал. 87

1078. Складіть рівняння для розв'язання задачі: «Поле площею 2,4 га розділили на дві ділянки. Знайдіть площу кожної ділянки, якщо відомо, що одна з ділянок:

1079. Розв'яжіть завдання:

Першого дня мандрівники проїхали 240 км, другого дня 140 км, третього дня вони проїхали втричі більше, ніж другого, а четвертого дня вони відпочивали. Скільки кілометрів вони проїхали п'ятого дня, якщо за 5 днів вони проїжджали в середньому по 230 км на день?
Фермер із двома синами зібрані яблука помістили у 4 контейнери, в середньому по 135 кг у кожний. Фермер зібрав 280 кг яблук, а молодший син – у 4 рази менше. Скільки кілограмів яблук зібрав старший син?

1080. Виконайте дії:

(2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
(7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).

1081. Виконайте додавання:

1082. Подайте у вигляді суми двох рівних доданків кожне з чисел: 10; -8; -6,8; .

1083. Знайдіть значення а + b, якщо:

1084. На одному поверсі жилого будинку було 8 квартир. Житлову площу по 22,8 м 2 мали 2 квартири, по 16,2 м 2 – 3 квартири, по 34 м 2 – 2 квартири. Яку житлову площу мала восьма квартира, якщо на цьому поверсі в середньому на кожну квартиру припадало 24,7 м 2 житлової площі?

1085. У складі товарного поїзда було 42 вагони. Критих вагонів було у 1,2 рази більше, ніж платформ, а число цистерн становило числа платформ. Скільки вагонів кожного виду було у поїзді?

1086. Знайдіть значення виразу

У цій статті ми розберемося зі додаванням чисел з різними знаками. Тут ми наведемо правило додавання позитивного і негативного числа, і розглянемо приклади застосування цього правила при додаванні чисел з різними знаками.

Навігація на сторінці.

Правило складання чисел з різними знаками

Позитивні та негативні числа можна трактувати як майно та борг відповідно, при цьому модулі чисел показують величину майна та боргу. Тоді додавання чисел з різними знаками можна розглядати як додавання майна та боргу. При цьому зрозуміло, що якщо майно менше боргу, то після взаємозаліку залишиться борг, якщо майно більше боргу, то після взаємозаліку залишиться майно, а якщо майно рівне боргу, то після розрахунків не залишиться ні боргу, ні майна.

Об'єднаємо наведені вище міркування в правило складання чисел з різними знаками. Щоб скласти позитивне та негативне число, треба:

знайти модулі доданків;
порівняти отримані числа, причому
- якщо отримані числа рівні, то вихідні доданки є протилежними числами, та їх сума дорівнює нулю,
- якщо ж отримані числа не рівні, треба запам'ятати знак числа, модуль якого більше;
від більшого модуля відняти менший;
перед отриманим числом поставити знак того доданка, модуль якого більший.

Озвучене правило зводить додавання чисел з різними знаками до віднімання з більшого позитивного числа меншого числа. Також зрозуміло, що в результаті додавання позитивного та негативного числа може вийти або позитивне число, або негативне число, або нуль.

Також зауважимо, що правило додавання чисел з різними знаками справедливе для цілих чисел, для раціональних чисел і для дійсних чисел.

Приклади складання чисел з різними знаками

Розглянемо приклади складання чисел з різними знакамиза правилом, розібраним у попередньому пункті. Почнемо із простого прикладу.

www.cleverstudents.ru

Додавання та віднімання дробів

Дроби – це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники – і все.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина із знаками: де ставити мінус, а де – плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник - і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

Плюс мінус дає мінус;
Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас порадувати: різні знаменники у дробів – це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дріб». Якщо не пам'ятаєте – обов'язково повторіть. Приклади:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади – і подумайте. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольних роботах. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, який допоможе знайти суму чи різницю двох і більше дробів: