Правило запису десяткових дробів. Основні дії з десятковими числами

Вже початковій школі учні зіштовхуються з дробами. І потім вони з'являються у кожній темі. Забувати дії із цими числами не можна. Тому потрібно знати всю інформацію про звичайні та десяткові дроби. Поняття ці нескладні, головне - розбиратися в усьому порядку.

Навіщо потрібні дроби?

Навколишній світ складається з цілих предметів. Тож у частках потреби немає. Натомість повсякденне життя постійно наштовхує людей працювати з частинами предметів і речей.

Наприклад, шоколад складається з кількох часточок. Розглянемо ситуацію, коли його плитка утворена дванадцятьма прямокутниками. Якщо її поділити на двох, то вийде по 6 частин. Вона добре розділиться і на трьох. А ось п'ятьом не вдасться дати за цілою кількістю часточок шоколаду.

До речі, ці часточки – вже дроби. А подальше їхнє поділ призводить до появи більш складних чисел.

Що таке «дроб»?

Це число, що складається із частин одиниці. Зовні воно виглядає як два числа, розділені горизонтальною або похилою межею. Ця риса називається дробової. Число, записане зверху (ліворуч), називається чисельником. Те, що стоїть знизу (праворуч), є знаменником.

Насправді, дробова характеристика виявляється знаком поділу. Тобто чисельник можна назвати ділимим, а знаменник дільником.

Які існують дроби?

У математиці їх є лише два види: прості та десяткові дроби. З першими школярі знайомляться у початкових класах, називаючи їх просто «дробі». Другі дізнаються у 5 класі. Саме тоді з'являються ці назви.

Звичайні дроби - всі ті, що записуються у вигляді двох чисел, розділених рисою. Наприклад, 4/7. Десяткова - це число, в якому дробова частина має позиційний запис і відокремлюється від цілої за допомогою коми. Наприклад, 4,7. Учням потрібно чітко усвідомити, що два наведені приклади - це зовсім різні числа.

Кожен простий дріб можна записати у вигляді десяткового. Це твердження майже завжди вірне і в зворотному напрямку. Існують правила, які дозволяють записати звичайним дробом десятковий дріб.

Які підвиди мають вказані види дробів?

Почати краще у хронологічному порядку, оскільки вони вивчаються. Першими йдуть прості дроби. Серед них можна виділити 5 підвидів.

Правильна. Її чисельник завжди менший за знаменник.

Неправильна. У неї чисельник більший або дорівнює знаменнику.

Скоротима/нескоротна. Вона може виявитися як правильною, так і неправильною. Важливо інше, чи є у чисельника зі знаменником спільні множники. Якщо є, то на них потрібно розділити обидві частини дробу, тобто скоротити його.

Змішана. До її звичної правильної (неправильної) дробової частини приписується ціле число. Причому воно завжди стоїть ліворуч.

Складова. Вона утворюється із двох розділених один на одного дробів. Тобто в ній налічується одразу три дробові риси.

У десяткових дробів є лише два підвиди:

кінцева, тобто та, у якої дрібна частина обмежена (має кінець);

нескінченна - число, у якого цифри після коми не закінчуються (їх можна писати нескінченно).

Як переводити десятковий дріб у звичайний?

Якщо це кінцеве число, то застосовується асоціація, заснована на правилі як чую, так пишу. Тобто потрібно правильно прочитати її та записати, але вже без коми, а з дробовою рисою.

Як підказка про необхідний знаменник, потрібно запам'ятати, що він завжди одиниця і кілька нулів. Останніх потрібно написати стільки, скільки цифр у дрібній частині розглянутого числа.

Як перевести десяткові дроби у звичайні, якщо їхня ціла частина відсутня, тобто дорівнює нулю? Наприклад, 0,9 або 0,05. Після застосування зазначеного правила виходить, що потрібно написати нуль цілих. Але він не вказується. Залишається записати лише дрібні частини. У першого числа знаменник дорівнюватиме 10, у другого — 100. Тобто зазначені приклади відповідями матимуть числа: 9/10, 5/100. Причому останнє можна скоротити на 5. Тому результатом для неї потрібно записати 1/20.

Як із десяткового дробу зробити звичайний, якщо його ціла частина відмінна від нуля? Наприклад, 5,23 чи 13,00108. В обох прикладах читається ціла частина та записується її значення. У першому випадку це 5, у другому 13. Потім потрібно переходити до дробової частини. З ними потрібно провести ту саму операцію. У першого числа з'являється 23/100, у другого – 108/100000. Друге значення потрібно знову скоротити. У відповіді виходять такі змішані дроби: 5 23/100 та 13 27/25000.

Як перевести нескінченний десятковий дріб у звичайний?

Якщо вона є неперіодичною, то таку операцію провести не вдасться. Цей факт пов'язаний з тим, що кожен десятковий дріб завжди переводиться або в кінцевий або періодичний.

Єдине, що допускається робити з таким дробом, це округлювати її. Але тоді десяткова буде приблизно такою, як і нескінченна. Її вже можна перетворити на звичайну. Але зворотний процес: переведення до десяткового — ніколи не дасть початкового значення. Тобто нескінченні неперіодичні дроби у звичайні не переводяться. Це слід запам'ятати.

Як записати нескінченний періодичний дріб у вигляді звичайного?

У цих числах після коми завжди з'являються одна або кілька повторюваних цифр. Їх називають періодом. Наприклад, 0,3 (3). Тут "3" у періоді. Їх відносять до класу раціональних, оскільки можуть бути перетворені на прості дроби.

Тим, хто зустрічався з періодичними дробами, відомо, що вони можуть бути чистими чи змішаними. У першому випадку період починається відразу від коми. У другому — дрібна частина починається з якихось цифр, а потім починається повтор.

Правило, яким потрібно записати як звичайного дробу нескінченну десяткову, буде різним для зазначених двох видів чисел. Чисті періодичні дроби записати звичайними досить легко. Як із кінцевими, їх треба перетворити: в чисельник записати період, а знаменником буде цифра 9, що повторюється стільки разів, скільки цифр містить період.

Наприклад, 0(5). Цілої частини у числа немає, тому відразу потрібно приступати до дробової. У чисельник записати 5, а знаменник одну 9. Тобто відповіддю буде дріб 5/9.

Правило про те, як записати звичайний десятковий періодичний дріб, що є змішаним.

Подивитися на довжину періоду. Стільки 9 матиме знаменник.

Записати знаменник: спочатку дев'ятки, потім нулі.

Щоб визначити чисельник, потрібно записати різницю двох чисел. Зменшуються всі цифри після коми, разом з періодом. Віднімається — воно ж без періоду.

Наприклад, 0,5(8) - запишіть періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного. У дрібній частині до періоду стоїть одна цифра. Значить, нуль буде один. У періоді також лише одна цифра — 8. Тобто дев'ятка одна. Тобто у знаменнику треба написати 90.

Для визначення чисельника з 58 необхідно відняти 5. Виходить 53. Відповіддю наприклад доведеться записати 53/90.

Як переводять звичайні дроби до десяткових?

Найпростішим варіантом виявляється число, у знаменнику якого стоїть число 10, 100 та інше. Тоді знаменник просто відкидається, а між дробовою і цілою частинами ставиться кома.

Бувають ситуації, коли знаменник легко перетворюється на 10, 100 тощо. буд. Наприклад, числа 5, 20, 25. Їх досить помножити на 2, 5 і 4 відповідно. Тільки множити потрібно як знаменник, а й чисельник на те саме число.

Для решти випадків знадобиться просте правило: розділити чисельник на знаменник. У цьому випадку може вийти два варіанти відповідей: кінцевий або періодичний десятковий дріб.

Дії зі звичайними дробами

Додавання та віднімання

З ними учні знайомляться раніше за інших. Причому спочатку дроби мають однакові знаменники, а потім різні. Загальні правила можна звести до такого плану.

Знайти найменше загальне кратне знаменників.

Записати додаткові множники до всіх звичайних дробів.

Помножити чисельники та знаменники на певні для них множники.

Скласти (відняти) чисельники дробів, а загальний знаменник залишити без зміни.

Якщо чисельник меншого віднімається, то потрібно з'ясувати, перед нами змішане число або правильний дріб.

У першому випадку ціла частина повинна зайняти одиницю. До чисельника дробу додати знаменник. А потім виконувати віднімання.

У другому - необхідно застосувати правило віднімання з меншого числа більше. Тобто з модуля віднімається відняти модуль зменшуваного, а у відповідь поставити знак «-».

Уважно подивитися на результат додавання (віднімання). Якщо вийшов неправильний дріб, то потрібно виділити цілу частину. Тобто поділити чисельник на знаменник.

Множення та розподіл

Для виконання дробу не потрібно приводити до спільного знаменника. Це полегшує виконання дій. Але в них все одно слід дотримуватися правил.

При множенні звичайних дробів необхідно розглянути числа чисельників і знаменниках. Якщо якийсь чисельник і знаменник мають спільний множник, їх можна скоротити.

Перемножити чисельники.

Перемножити знаменники.

Якщо вийшов скоротитий дріб, то його потрібно знову спростити.

При розподілі потрібно спочатку замінити розподіл на множення, а дільник (другий дріб) - на зворотний дріб (поміняти місцями чисельник і знаменник).

Потім діяти, як із множенні (починаючи з пункту 1).

У завданнях, де помножити (ділити) потрібно ціле число, останнє потрібно записати як неправильної дробу. Тобто зі знаменником 1. Потім діяти, як описано вище.

Дії з десятковими дробами

Додавання та віднімання

Звичайно, завжди можна перетворити десятковий дріб на звичайний. І діяти за вже описаним планом. Але іноді зручніше діяти без цього перекладу. Тоді правила для їх складання та віднімання будуть абсолютно однаковими.

Зрівняти число цифр у дробовій частині числа, тобто після коми. Приписати в ній недостатню кількість нулів.

Записати дроби так, щоб кома опинилася під комою.

Скласти (відняти) як натуральні числа.

Знести кому.

Множення та розподіл

Важливо, що тут не слід дописувати нулі. Дроби потрібно залишати в тому вигляді, як вони дані в прикладі. А далі йти за планом.

Для множення потрібно написати дроби одна під одною, не звертаючи увагу на коми.

Помножити як натуральні числа.

Поставити у відповіді кому, відрахувавши від правого кінця відповіді стільки цифр, скільки їх коштує в дробових частинах обох множників.

Для поділу необхідно спочатку перетворити дільник: зробити його натуральним числом. Тобто помножити його на 10, 100 і т. д., залежно від того, скільки цифр у дрібній частині дільника.

На те число помножити поділене.

Розділити десятковий дріб на натуральне число.

Поставити у відповіді кому в той момент, коли закінчиться розподіл цілої частини.

Як бути, якщо в одному прикладі є обидва види дробів?

І в математиці нерідко зустрічаються приклади, у яких необхідно здійснити події над звичайними і десятковими дробами. У таких завданнях можливі два шляхи вирішення. Потрібно об'єктивно зважити числа та вибрати оптимальний.

Перший шлях: уявити звичайні десятковими

Він підходить, якщо при розподілі чи перекладі виходять кінцеві дроби. Якщо хоча б одне число дає періодичну частину, цей прийом застосовувати заборонено. Тому, навіть якщо не подобається працювати зі звичайними дробами, доведеться рахувати їх.

Другий шлях: записати десяткові дроби звичайними

Цей прийом виявляється зручним, якщо частини після коми коштують 1-2 цифри. Якщо їх більше, може вийти дуже великий звичайний дріб та десяткові записи дозволять порахувати завдання швидше та простіше. Тому завжди потрібно тверезо оцінювати завдання та вибирати найпростіший метод вирішення.

У математиці різні типи чисел вивчаються від свого зародження. Існує велика кількість множин і підмножини чисел. Серед них виділяють цілі числа, раціональні, ірраціональні, натуральні, парні, непарні, комплексні та дробові. Сьогодні розберемо інформацію про останню множину - дробових числах.

Визначення дробів

Дроби – це числа, що складаються з цілої частини та часток одиниці. Також, як і цілих чисел, існує безліч дробових, між двома цілими. У математиці дії з дробами виконуються, оскільки з цілими та натуральними числами. Це досить просто і навчитися цього можна за кілька занять.

У статті представлено два види

Звичайні дроби

Звичайні дроби є цілою частиною a і два числа записаних через дробову рису b/c. Звичайні дроби можуть бути дуже зручні, якщо дробову частину не можна уявити в раціональному десятковому вигляді. Крім того, арифметичні операції зручніше проводити через дрібну межу. Верхня частина називається чисельником, нижня - знаменник.

Дії зі звичайними дробами: приклади

Основна властивість дробу. Примноженні чисельника і знаменника одне й те число, що є нулем, у результаті виходить число рівне даному. Ця властивість дробу відмінно допомагає привести знаменник для складання (про це буде розказано нижче) або скоротити дріб, зробити його зручнішим для рахунку. a/b = a*c/b*c. Наприклад, 36/24 = 6/4 або 9/13 = 18/26

Приведення до спільного знаменника.Щоб привести знаменник дробу необхідно уявити знаменник у вигляді множників, а потім помножити на числа, що бракують. Наприклад, 7/15 та 12/30; 7/5*3 та 12/5*3*2. Бачимо, що знаменники відрізняються двійкою, тому множимо чисельник і знаменник першого дробу на 2. Отримуємо: 14/30 та 12/30.

Складові дроби- Прості дроби з виділеною цілою частиною. (A b/c) Щоб уявити складовий дріб у вигляді звичайного, необхідно помножити число, що стоїть перед дробом на знаменник, а потім скласти з чисельником: (A*c + b)/c.

Арифметичні дії з дробами

Не зайвим буде розглянути відомі арифметичні дії лише під час роботи з дробовими числами.

Складання та віднімання.Складати і віднімати прості дроби так само легко, як і цілі числа, за винятком однієї проблеми - наявності дробової риси. Складаючи дроби з однаковим знаменником, необхідно додати лише чисельники обох дробів, знаменники залишаються без зміни. Наприклад: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Якщо ж знаменники двох дробів є різними числами спочатку потрібно привести їх до загального (як це було розглянуто вище). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Віднімання відбувається за таким самим принципом: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Множення та розподіл. Діїз дробами по множенню відбуваються за таким принципом: окремо перемножуються чисельники та знаменники. У загальному вигляді формула множення має такий вигляд: a/b *c/d = a*c/b*d. Крім того, у міру множення можна скоротити дріб, виключаючи однакові множники з чисельника та знаменника. Висловлюючись іншою мовою, чисельник і знаменник ділиться одне й те число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Для поділу одного звичайного дробу на інший, необхідно змінити чисельник і знаменник дільника і виконати множення двох дробів, за принципом, розглянутим раніше: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Десяткові дроби

Десяткові дроби є більш популярною версією дробових чисел, що часто використовується. Їх простіше записати в рядок або уявити на комп'ютері. Структура десяткового дробу така: спочатку записується ціле число, а потім після коми записується дробова частина. За своєю суттю десяткові дроби - це складові звичайні дроби, проте їх частина представлена числом, поділеним на кратне цифрі 10. Звідси і походить їх назва. Дії з десятковими дробами аналогічні діям з цілими числами, так як вони так само записані в десятковій системі числення. Також на відміну від звичайних дробів десяткові можуть бути ірраціональними. Це означає, що вони можуть бути нескінченні. Записуються вони так 7(3). Читається такий запис: сім цілих, три десятих у періоді.

Основні дії з десятковими числами

Складання та віднімання десяткових дробів.Виконати дії з дробами не складніше, ніж із цілими натуральними числами. Правила абсолютно аналогічні до тих, що використовують при додаванні або відніманні натуральних чисел. Їх точно так само можна вважати стовпчиком, проте при необхідності замінювати відсутні місця нулями. Наприклад: 5,5697 – 1,12. Для того, щоб виконати віднімання стовпчиком, потрібно зрівняти кількість чисел після коми: (5,5697 - 1,1200). Так, числове значення не зміниться і можна буде рахувати в стовпчик.

Дії з десятковими дробами не можна робити, якщо одна з них має ірраціональний вигляд. Для цього потрібно перевести обидва числа у звичайні дроби, а потім скористатися прийомами, описаними раніше.

Множення та розподіл.Множення десяткових дробів аналогічне до множення натуральних. Їх також можна множити стовпчиком, просто, не звертаючи уваги на кому, а потім відокремити комою у підсумковому значенні таку ж кількість знаків, скільки в сумі після коми було у двох десяткових дробах. Наприклад, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все дуже просто, і не повинно викликати труднощів, якщо ви вже опанували множення натуральних чисел.

Поділ також збігається з розподілом натуральних чисел, але з невеликим відступом. Щоб розділити на десяткове число стовпчиком необхідно відкинути кому в дільнику, і помножити поділюване число знаків, що стояли після коми в дільнику. Після цього виконувати поділ як з натуральними числами. При неповному розподілі можна додавати нулі до діленого праворуч, також додаючи нуль у відповідь після коми.

Приклади дій із десятковими дробами.Десяткові дроби – дуже зручний інструмент для арифметичного рахунку. Вони поєднують у собі зручність натуральних, цілих чисел та точність звичайних дробів. До того ж, досить просто перевести одні дроби в інші. Дії з дробами не відрізняються від дій із натуральними числами.

Додавання: 1,5 + 2,7 = 4,2
Віднімання: 3,1 - 1,6 = 1,5
Множення: 1,7 * 2,3 = 3,91
Розподіл: 3,6: 0,6 = 6

Крім того, десяткові дроби підходять для подання відсотків. Так, 100% = 1; 60% = 0,6; і навпаки: 0,659 = 65,9%.

Ось і все, що потрібно знати про дроби. У статті було розглянуто два види дробів - звичайні та десяткові. Обидва досить прості у обчисленні, і якщо ви повністю опанували натуральні числа та дії з ними, можете сміливо приступати до вивчення дробових.

§ 31. Завдання та приклади на всі дії з десятковими дробами.

Виконати вказані дії:

767. Знайти приватне від поділу:

772. Обчислити:

Знайти х , якщо:

776. Невідоме число помножили на різницю чисел 1 та 0,57 та у творі отримали 3,44. Знайти невідоме число.

777. Суму невідомого числа та 0,9 помножили на різницю між 1 та 0,4 та у творі отримали 2,412. Знайти невідоме число.

778. За даними діаграми про виплавку чавуну в РРФСР (рис. 36) скласти завдання, на вирішення якої треба застосувати дії складання, віднімання і розподілу.

779. 1) Довжина Суецького каналу 165,8 км, довжина Панамського каналу менша за Суецький на 84,7 км, а довжина Біломорсько-Балтійського каналу на 145,9 км більша за довжину Панамського. Яка довжина Біломорсько-Балтійського каналу?

2) Московське метро (до 1959 р.) було збудовано у 5 черг. Довжина першої черги метро 11,6 км, другий -14,9 км, довжина третьої на 1,1 км менша за довжину другої черги, довжина четвертої черги на 9,6 км більша за третю чергу, а довжина п'ятої черги на 11,5 км менша четвертої. Чому дорівнює довжина Московського метро на початок 1959 р.?

780. 1) Найбільша глибина Атлантичного океану 8,5 км, найбільша глибина Тихого ркеану на 2,3 км більша за глибину Атлантичного океану, а найбільша глибина Північного Льодовитого океану в 2 рази менша від найбільшої глибини Тихого океану. Якою є найбільша глибина Північного Льодовитого океану?

2) Автомобіль "Москвич" на 100 км шляху витрачає 9 л бензину, автомобіль "Перемога" на 4,5 л більше, ніж витрачає "Москвич", а "Волга" в 1,1 рази більше "Перемоги". Скільки бензину витрачає автомобіль Волга на 1 км шляху? (Відповідь округлити з точністю до 0,01 л.)

781. 1) Учень під час канікул поїхав до дідуся. Залізницею він їхав 8,5 години, а від станції на конях 1,5 години. Усього він проїхав 440 км. З якою швидкістю учень їхав залізницею, якщо на конях він їхав зі швидкістю 10 км на годину?

2) Колгоспнику треба було бути у пункті, що знаходиться на відстані 134,7 км від його будинку. 2,4 години він їхав автобусом із середньою швидкістю 55 км на годину, а решту шляху він пройшов пішки зі швидкістю 4,5 км на годину. Скільки часу він ішов пішки?

782. 1) За літо один ховрах знищує близько 0,12 ц хліба. Піонери навесні винищили на 37,5 га 1250 ховрахів. Скільки хліба зберегли школярі для колгоспу? Скільки збереженого хліба припадає на 1 га?

2) Колгосп підрахував, що, знищивши ховрахів на площі 15 га ріллі, школярі зберегли 3,6 т зерна. Скільки ховрахів у середньому знищено на 1 га землі, якщо один ховрах за літо знищує 0,012 т зерна?

783. 1) При розмелюванні пшениці на борошно втрачається 0,1 її ваги, а при випіканні виходить припік, що дорівнює 0,4 ваги борошна. Скільки печеного хліба вийде з 2,5 т пшениці?

2) Колгосп зібрав 560 т соняшникового насіння. Скільки соняшникової олії виготовлять із зібраного зерна, якщо вага зерна становить 0,7 ваги насіння соняшника, а вага отриманої олії становить 0,25 ваги зерна?

784. 1) Вихід вершків із молока становить 0,16 ваги молока, а вихід олії із вершків становить 0,25 ваги вершків. Скільки потрібно молока (за вагою) для отримання 1 ц олії?

2) Скільки кілограмів білих грибів треба зібрати для одержання 1 кг сушених, якщо при підготовці до сушіння залишається 0,5 ваги, а при сушінні залишається 0,1 ваги обробленого гриба?

785. 1) Земля, відведена колгоспу, використана так: 55% її зайнято ріллом, 35% -лугом, а решта землі в кількості 330,2 га відведена під колгоспний сад і під садиби колгоспників. Скільки всього землі у колгоспі?

2) Колгосп засіяв 75% усієї посівної площі зерновими культурами, 20%-овочевими, а решту площі кормовими травами. Скільки посівної площі мав колгосп, якщо кормовими травами він засіяв 60 га?

786. 1) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника завдовжки 875 м та шириною 640 м, якщо на 1 га висівати 1,5 ц насіння?

2) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника, якщо його периметр дорівнює 1,6 км? Ширина поля 300 м. На засів 1 га потрібно 1,5 ц насіння.

787. Скільки пластинок квадратної форми зі стороною 0,2 дм поміститься у прямокутнику розміром 0,4 дм х 10 дм?

788. Читальний зал має розміри 9,6 м x 5 м x 4,5 м. На скільки місць розрахований читальний зал, якщо на кожну людину необхідно 3 куб. м повітря?

789. 1) Яку площу луки скосить трактор із причепом чотирьох косарок за 8 годин, якщо ширина захоплення кожної косарки 1,56 м та швидкість трактора 4,5 км на годину? (Час на зупинки не враховується.) (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)

2) Ширина захоплення тракторної овочевої сівалки дорівнює 2,8 м. Яку площу можна засіяти цією сівалкою за 8 год. роботи при швидкості 5 км на годину?

790. 1) Знайти вироблення трикорпусного тракторного плуга за 10 год. роботи, якщо швидкість трактора 5 км на годину, захоплення одного корпусу 35 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)

2) Знайти вироблення п'ятикорпусного тракторного плуга за 6 год. роботи, якщо швидкість трактора 4,5 км на годину, захоплення одного корпусу 30 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)

791. Витрата води на 5 км пробігу для паровоза пасажирського поїзда дорівнює 0,75 т. Водяний бак тендеру вміщує 16,5 т води. На скільки кілометрів колії вистачить води поїзду, якщо бак був наповнений на 0,9 своєї місткості?

792. На запасному шляху можуть поміститися лише 120 товарних вагонів при середній довжині вагона в 7,6 м. Скільки поміститься на цьому шляху чотириосних пасажирських вагонів завдовжки 19,2 м кожен, якщо на цьому шляху буде вміщено ще 24 товарні вагони?

793. Для міцності залізничного насипу рекомендується проводити зміцнення укосів у вигляді посіву польових трав. На кожен квадратний метр насипу потрібно 2,8 г насіння вартістю 0,25 руб. за 1кг. Скільки коштуватиме засів 1,02 га укосів, якщо вартість робіт становитиме 0,4 від вартості насіння? (Відповідь округлити з точністю до 1 руб.)

794. Цегельний завод доставив на станцію залізниці цеглу. На перевезенні цегли працювали 25 коней та 10 вантажних машин. Кожен кінь перевозив 0,7 т за одну поїздку і щодня здійснював 4 поїздки. Кожна машина перевозила за одну поїздку 2,5 т і щодня здійснювала 15 поїздок. Перевезення тривало 4 дні. Скільки штук цегли було доставлено на станцію, якщо середня вага однієї цегли 3,75 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 тис. штук.)

795. Запас борошна був розподілений між трьома пекарнями: перша отримала 0,4 всього запасу, друга 0,4 залишку, а третя пекарня отримала борошна на 1,6 т менше ніж перша. Скільки всього борошна було розподілено?

796. На другому курсі інституту 176 студентів, на третьому 0,875 цього числа, а на першому в півтора рази більше від того, що було на третьому курсі. Число студентів на першому, другому та третьому курсах становило 0,75 всього числа студентів цього інституту. Скільки студентів було в інституті?

___________

797. Знайти середнє арифметичне:

1) двох чисел: 56,8 та 53,4; 705,3 та 707,5;

2) трьох чисел: 46,5; 37,8 та 36; 0,84; 0,69 та 0,81;

3) чотирьох чисел: 5,48; 1,36; 3,24 та 2,04.

798. 1) Вранці температура була 13,6 °, опівдні 25,5 °, а ввечері 15,2 °. Обчислити середню температуру цього дня.

2) Яка середня температура протягом тижня, якщо протягом тижня термометр показав: 21°; 20,3 °; 22,2 °; 23,5 °; 21,1 °; 22,1 °; 20,8 °?

799. 1) Шкільна бригада першого дня прополола 4,2 га буряків, другого дня 3,9 га, а третій 4,5 га. Визначати середній виробіток бригади за день.

2) Для встановлення норми часу виготовлення нової деталі було поставлено 3 токаря. Перший виготовив деталь за 3,2 хв, другий за 3,8 хв, а третій за 4,1 хв. Обчислити норму часу, встановленої виготовлення деталі.

800. 1) Середнє арифметичне двох чисел 36,4. Одне із цих чисел 36,8. Знайти інше.

2) Температуру повітря вимірювали тричі на день: вранці, опівдні та ввечері. Знайти температуру повітря вранці, якщо опівдні було 28,4 °, увечері 18,2 ° тепла, а середня температура дня 20,4 °.

801. 1) Автомобіль проїхав за перші дві години 98,5 км, а за наступні три години 138 км. Скільки кілометрів у середньому проїжджав автомобіль за годину?

2) Пробний улов і зважування коропів-річників показав, що з 10 коропів 4 мали вагу по 0,6 кг, 3 по 0,65 кг, 2 по 0,7 кг і 1 важив 0,8 кг. Яка в середньому вага коропа-річника?

802. 1) До 2 л сиропу вартістю 1,05 руб. за 1 л додали 8 л води. Скільки коштує 1 л одержаної води з сиропом?

2) Господиня купила банку консервованого борщу об'ємом 0,5 л за 36 коп. та прокип'ятила з 1,5 л води. У що обійшлася тарілка борщу, якщо її об'єм дорівнює 0,5 л?

803. Лабораторна робота «Вимір відстані між двома точками»,

1-й прийом. Вимірювання рулеткою (мірною стрічкою). Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Приладдя: 5-6 віх та 8-10 бирок.

Хід виконання роботи: 1) відзначаються точки А та Б і між ними провішують пряму (див. задачу 178); 2) укладають рулетку, вздовж провішеної прямої і щоразу відзначають биркою кінець рулетки. 2-й прийом. Вимірювання, кроками. Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Кожен учень проходить відстань від А до Б, рахуючи кількість своїх кроків. Помноживши середню довжину свого кроку отримане число кроків, знаходять відстань від А до Б.

3-й прийом. Вимір "на око". Кожен із учнів витягує ліву руку з піднятим великим пальцем (рис. 37) і спрямовує великий палець на віху в точку Б (на малюнку - дерево) так, щоб ліве око (точка А), великий палець і точка Б знаходилися на одній прямій. Не змінюючи положення, заплющують ліве око і дивляться правим на великий палець. Вимірюють на око отримане усунення і збільшують його в 10 разів. Це і є відстань від А до Б.

_________________

804. 1) За переписом 1959 р. населення СРСР становило 208,8 млн. чоловік, причому сільського населення було на 9,2 млн. осіб більше, ніж міського. Скільки було міського та скільки сільського населення в СРСР у 1959 р.?

2) За переписом 1913 р. населення Росії становило 159,2 млн. чоловік, причому міського населення було на 103,0 млн. осіб менше, ніж сільського. Скільки було міського і сільського населення Росії у 1913 р.?

805. 1) Довжина дроту 24,5 м. Цей дріт розрізали на дві частини так, що перша частина вийшла на 6,8 м довша, ніж друга. Скільки метрів завдовжки має кожна частина?

2) Сума двох чисел 100,05. Одне число на 97,06 більше за інше. Знайти ці цифри.

806. 1) На трьох вугільних складах 8656,2 т вугілля, на другому складі на 247,3 т вугілля більше ніж на першому, а на третьому на 50,8 т більше, ніж на другому. Скільки тонн на кожному складі?

2) Сума трьох чисел 446,73. Перше число менше другого на 73,17 та більше третього на 32,22. Знайти ці цифри.

807. 1) Катер за течією річки йшов зі швидкістю 14,5 км на годину, а проти течії зі швидкістю 9,5 км на годину. Яка швидкість катера у стоячій воді та яка швидкість течії річки?

2) Пароплав пройшов за 4 години протягом річки 85,6 км, а проти течії за 3 години 46,2 км. Яка швидкість пароплава у стоячій воді та яка швидкість течії річки?

_________

808. 1) Два пароплави доставили 3500 т вантажу, причому один пароплав доставив в 1,5 рази вантажу більше, ніж інший. Скільки вантажу доставив кожний пароплав?

2) Площа двох кімнат 37,2 кв. м. Площа однієї кімнати в 2 рази більша за іншу. Чому дорівнює площа кожної кімнати?

809. 1) Із двох населених пунктом, відстань між якими 32,4 км одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист. Скільки кілометрів проїде кожен із них до зустрічі, якщо швидкість мотоцикліста в 4 рази більша за швидкість велосипедиста?

2) Знайти два числа, сума яких 26,35, а частка від розподілу одного числа на інше дорівнює 7,5.

810. 1) Завод відправив три види вантажу загальною вагою в 19,2 т. Вага вантажу першого виду була втричі більша за вагу вантажу другого виду, а вага вантажу третього виду була вдвічі менша, ніж вага вантажу першого і другого видів разом. Яка вага вантажу кожного виду?

2) За три місяці бригада гірників видобула 52,5 тис. т залізняку. За березень видобуто у 1,3, за лютий у 1,2 рази більше, ніж за січень. Скільки руди добувала бригада щомісяця?

811. 1) Газопровід Саратов - Москва на 672 км довше каналу імені Москви. Знайти довжину тієї та іншої споруди, якщо довжина газопроводу в 6,25 рази більша за довжину каналу імені Москви.

2) Довжина річки Дону в 3,934 рази більша за довжину річки Москви. Знайти довжину кожної річки, якщо довжина річки Дону більша за довжину річки Москви на 1 467 км.

812. 1) Різниця двох чисел 5,2, а частка від розподілу одного числа на інше 5. Знайти ці числа.

2) Різниця двох чисел 0,96, які приватне 1,2. Знайти ці цифри.

813. 1) Одне число на 0,3 менше за інше і становить 0,75 його. Знайти ці цифри.

2) Одне число на 3,9 більше від іншого числа. Якщо менше збільшити вдвічі, воно становитиме 0,5 від більшого. Знайти ці цифри.

814. 1) Колгосп засіяв пшеницею та житом 2600 га землі. Скільки гектарів землі було засіяно пшеницею і скільки житом, якщо 0,8 площі, засіяною пшеницею, дорівнюють 0,5 площі, засіяною житом?

2) Колекція двох хлопчиків разом складає 660 марок. Зі скількох марок складається колекція кожного хлопчика, якщо 0,5 числа марок першого хлопчика дорівнюють 0,6 числа марок колекції другого хлопчика?

815. Два учні разом мали 5,4 руб. Після того, як перший витратив 0,75 своїх грошей, а другий 0,8 своїх грошей, у них залишилося порівну. Скільки грошей було у кожного учня?

816. 1) Два пароплави вийшли назустріч один одному з двох портів, відстань між якими 501,9 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо швидкість першого пароплава 25,5 км за годину, а швидкість другого 22,3 км за годину?

2) Два поїзди вийшли назустріч один одному із двох пунктів, відстань між якими 382,2 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо середня швидкість першого поїзда була 52,8 км за годину, а другого 56,4 км за годину?

817. 1) З двох міст, відстань між якими 462 км, одночасно виїхали два автомобілі та зустрілися через 3,5 години. Знайти швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість першого була на 12 км на годину більша за швидкість другого автомобіля.

2) З двох населених пунктів, відстань між якими 63 км, одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист і зустрілися через 1,2 години. Знайти швидкість мотоцикліста, якщо велосипедист їхав зі швидкістю на 27,5 км/год меншої швидкості мотоцикліста.

818. Учень зауважив, що потяг, що складається з паровоза та 40 вагонів, проходив повз нього 35 сек. Визначити швидкість поїзда за годину, якщо довжина паровоза 18,5 м, а довжина вагона 6,2 м. (Відповідь дати з точністю до 1 км за годину.)

819. 1) З А до Б виїхав велосипедист із середньою швидкістю 12,4 км на годину. Через 3 години 15 хв. з Б назустріч йому виїхав інший велосипедист із середньою швидкістю 10,8 км на годину. Через скільки годин та на якій відстані від А вони зустрінуться, якщо 0,32 відстані між А та Б дорівнюють 76 км?

2) З міст А та Б, відстань між якими 164,7 км, виїхали назустріч один одному вантажна машина з міста А та легкова – з міста Б. Швидкість вантажної машини 36 км, а легкова у 1,25 рази більша. Легкова машина вийшла на 1,2 години пізніше за вантажну. Через скільки часу та на якій відстані від міста Б легкова машина зустріне вантажну?

820. Два пароплави вийшли одночасно з одного порту та йдуть в одному напрямку. Перший пароплав кожні 1,5 години проходить 37,5 км, а другий кожні 2 години проходить 45 км. Через скільки часу перший пароплав перебуватиме від другого на відстані 10 км?

821. З одного пункту спочатку вийшов пішохід, а за 1,5 години після його виходу виїхав у тому ж напрямку велосипедист. На якій відстані від пункту велосипедист наздогнав пішохода, якщо пішохід йшов зі швидкістю 4,25 км/год, а велосипедист їхав зі швидкістю 17 км/год?

822. Потяг вийшов із Москви до Ленінграда о 6 годині. 10 хв. ранку і йшов із середньою швидкістю 50 км за годину. Пізніше з Москви до Ленінграда вилетів пасажирський літак і прилетів до Ленінграда одночасно з прибуттям поїзда. Середня швидкість літака була 325 км на годину, а відстань між Москвою та Ленінградом 650 км. Коли літак вилетів із Москви?

823. Пароплав за течією річки йшов 5 годин, а проти течії 3 години і пройшов лише 165 км. Скільки кілометрів він пройшов за течією та скільки проти течії, якщо швидкість течії річки 2,5 км на годину?

824. Поїзд вийшов з А і повинен прибути до Б у певний час; пройшовши половину колії та роблячи по 0,8 км за 1 хв., поїзд був зупинений на 0,25 години; збільшивши далі швидкість на 100 м-коду в 1 млн., поїзд прибув до Б вчасно. Знайти відстань між А та Б.

825. Від колгоспу до міста 23 км. З міста до колгоспу виїхав велосипедом листоноша зі швидкістю 12,5 км на годину. Через 0,4 години після цього ІВ колгоспу до міста виїхав на коні колгоспник зі швидкістю, ранньою 0,6 швидкості листоноші. Через скільки часу після свого виїзду колгоспник зустріне листоношу?

826. З міста А до міста Б, що віддаляється від А на 234 км, виїхав автомобіль зі швидкістю 32 км на годину. Через 1,75 години після цього з міста Б виїхав назустріч першому другий автомобіль, швидкість якого в 1,225 рази більша за швидкість першого. Через скільки годин після свого виїзду другий автомобіль зустріне перші

827. 1) Одна друкарка може передрукувати рукопис за 1,6 години, а інша за 2,5 години. За скільки часу обидві друкарки передрукують цей рукопис, працюючи спільно? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)

2) Басейн заповнюється двома насосами різної потужності. Перший насос, працюючи один, може заповнити басейн за 3,2 години, а другий за 4 години. За скільки часу наповниться басейн за одночасної роботи цих насосів? (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)

828. 1) Одна бригада може виконати замовлення за 8 днів. Інший виконання цього замовлення потрібно 0,5 часу першої. Третя бригада може виконати це замовлення протягом 5 днів. За скільки днів буде виконано все замовлення при спільній роботі трьох бригад? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 дня.)

2) Перший робітник може виконати замовлення за 4 години, другий у 1,25 рази швидше, а третій за 5 год. За скільки годин буде виконано замовлення при спільній роботі трьох робітників? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)

829. На прибиранні вулиці працюють дві машини. Перша з них може прибрати всю вулицю за 40 хв., Друга для цього потрібно 75% часу першої. Обидві машини розпочали роботу одночасно. Після спільної роботи протягом 0,25 години друга машина припинила роботу. О котрій годині після цього перша машина закінчила роботу з прибирання вулиці?

830. 1) Одна зі сторін трикутника 2,25 см, друга на 3,5 см більша за першу, а третя на 1,25 см менша за другу. Знайти периметр трикутника.

2) Одна зі сторін трикутника 4,5 см, друга на 1,4 см менша за першу, а третя сторона дорівнює напівсумі двох перших сторін. Чому дорівнює периметр трикутника?

831 . 1) Основа трикутника 4,5 см, а висота його на 1,5 см менша. Знайти площу трикутника.

2) Висота трикутника 4,25 см, а його основа в 3 рази більша. Знайти площу трикутника. (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)

832. Знайти площі заштрихованих фігур (рис. 38).

833. Яка площа більша: прямокутника зі сторонами 5 см і 4 см, квадрата зі стороною 4,5 см або трикутника, основа та висота якого дорівнюють по 6 см?

834. Кімната має довжину 8,5 м, ширину 5,6 м та висоту 2,75 м. Площа вікон, дверей та печей становить 0,1 загальної площі стін кімнати. Скільки шматків шпалер знадобиться для обклеювання цієї кімнати, якщо шмат шпалер має довжину 7 м і ширину 0,75 м? (Відповідь округлити з точністю до 1 шматка.)

835. Треба зовні оштукатурити та побілити одноповерховий будинок, розміри якого: довжина 12 м, ширина 8 м та висота 4,5 м. У будинку 7 вікон розміром кожне 0,75 м х 1,2 м та 2 двері кожні розміром 0,75 м х 2,5 м. Скільки коштуватиме вся робота, якщо побілка та штукатурка 1 кв. м коштує 24 коп.? (Відповідь округлити а точністю до 1 руб.)

836. Обчисліть поверхню та об'єм вашої кімнати. Розміри кімнати знайдіть заміром.

837. Город має форму прямокутника, довжина якого 32 м, ширина 10 м. 0,05 всієї площі городу засіяно морквою, а решта городу засаджена картоплею і цибулею, причому картоплею засаджена площа в 7 разів більша, ніж цибулею. Скільки землі окремо засаджено картоплею, цибулею та морквою?

838. Город має форму прямокутника, довжина якого 30 м і ширина 12 м. 0,65 всієї площі городу засаджено картоплею, а решта - морквою та буряком, причому буряком засаджено на 84 кв. м більше, ніж морквою. Скільки землі окремо під картоплею, буряком та морквою?

839. 1) Ящик, що має форму куба, обшили з усіх боків фанерою. Скільки фанери витрачено, якщо ребро куба 8,2 дм? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. Дм.)

2) Скільки фарби потрібно для фарбування куба з ребром 28 см, якщо на 1 кв. см буде витрачено 0,4 г фарби? (Відповідь, округлити з точністю до 0,1 кг.)

840. Довжина чавунної заготовки, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 24,5 см, ширина 4,2 см і висота 3,8 см. Скільки важать 200 чавунних заготовок, якщо 1 куб. дм чавуну важить 7,8 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 кг.)

841. 1) Довжина ящика (з кришкою), що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 62,4 см, ширина 40,5 см, висота 30 см. Скільки квадратних метрів дощок пішло на виготовлення ящика, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка повинна бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. м)

2) Дно та бічні стінки ями, що має форму прямокутного паралелепіпеда, повинні бути обшиті дошками. Довжина ями 72,5 м, ширина 4,6 м та висота 2,2 м. Скільки квадратних метрів дощок пішло на обшивку, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка має бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 1 кв. м)

842. 1) Довжина підвалу, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 20,5 м, ширина 0,6 його довжини, а висота 3,2 м. Підвал заповнили картоплею на 0,8 його об'єму. Скільки тонн картоплі помістилося у підвалі, якщо 1 куб. м картоплі важить 1,5 т? (Відповідь округлити з точністю до 1 т.)

2) Довжина бака, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 2,5 м, ширина 0,4 його довжини, а висота 1,4 м. Бак наповнений гасом на 0,6 його об'єму. Скільки тонн гасу налито в бак, якщо вага гасу обсягом 1 куб. м дорівнює 0,9 т? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 т.)

843. 1) У скільки часу можна оновити повітря в кімнаті, що має 8,5 м довжини, 6 м ширини та 3,2 м висоти, якщо через кватирку в 1 сек. проходить 0,1 куб. м повітря?

2) Зробіть підрахунок часу, необхідного для оновлення повітря у вашій кімнаті.

844. Розміри бетонного блоку для будівництва стін такі: 2,7 м х 1,4 м х 0,5 м. Порожнеча складає 30% обсягу блоку. Скільки кубометрів бетону буде потрібно на виготовлення 100 таких блоків?

845. Грейдер-елеватор (машина для копання канав) за 8 год. роботи робить канаву шириною 30 см, глибиною 34 см та завдовжки 15 км. Скільки землекопів замінює така машина, якщо один землекоп може вийняти 0,8 куб. м на годину? (Результат округлити.)

846. Засік у формі прямокутного паралелепіпеда має завдовжки 12 м і завширшки 8 ж. У цьому засіку насипане зерно до висоти 1,5 м. Щоб дізнатися, скільки важить все зерно, взяли ящик довжиною 0,5 м, шириною 0,5 м і висотою 0,4 м, наповнили його зерном і зважили. Скільки важило зерно в засіку, якщо зерно в ящику важило 80 кг?

849. Побудувати лінійну діаграму зростання міського населення в СРСР, якщо в 1913 р. міського населення було 28,1 млн осіб, в 1926 р.-24,7 млн., в 1939 р.-56,1 млн. і в 1959 р-99, 8 млн. Чоловік.

850. 1) Скласти кошторис на ремонт приміщення вашого класу, якщо потрібно побілити стіни та стелю, а також пофарбувати підлогу. Дані для складання кошторису (розміри класу, вартість побілки 1 кв. м, вартість фарбування підлоги 1 кв. м) з'ясувати у завгоспу школи.

2) Для посадки у саду школа купила саджанці: 30 яблунь по 0,65 руб. за штуку, 50 вишень по 0,4 руб. за штуку, 40 кущів аґрусу по 0,2 руб. та 100 кущів малини по 0,03 руб. за кущ. Напишіть рахунок на цю покупку за зразком:

ВІДПОВІДІ

РОЗДІЛ ІІІ.

ДЕСЯТИЧНІ ДРОБИ.

§ 31. Завдання та приклади на всі дії з десятковими дробами.

Виконати вказані дії:

767. Знайти приватне від поділу:

Виконати дії:

772. Обчислити:

Знайти х , якщо:

776. Невідоме число помножили на різницю чисел 1 та 0,57 та у творі отримали 3,44. Знайти невідоме число.

777. Суму невідомого числа та 0,9 помножили на різницю між 1 та 0,4 та у творі отримали 2,412. Знайти невідоме число.

787. Скільки пластинок квадратної форми зі стороною 0,2 дм поміститься у прямокутнику розміром 0,4 дм х 10 дм?

797. Знайти середнє арифметичне:

1) двох чисел: 56,8 та 53,4; 705,3 та 707,5;

2) трьох чисел: 46,5; 37,8 та 36; 0,84; 0,69 та 0,81;

3) чотирьох чисел: 5,48; 1,36; 3,24 та 2,04.

798. 1) Вранці температура була 13,6 °, опівдні 25,5 °, а ввечері 15,2 °. Обчислити середню температуру цього дня.

800. 1) Середнє арифметичне двох чисел 36,4. Одне із цих чисел 36,8. Знайти інше.

802. 1) До 2 л сиропу вартістю 1,05 руб. за 1 л додали 8 л води. Скільки коштує 1 л одержаної води з сиропом?

803. Лабораторна робота «Вимір відстані між двома точками»,

2) Сума двох чисел 100,05. Одне число на 97,06 більше за інше. Знайти ці цифри.

2) Сума трьох чисел 446,73. Перше число менше другого на 73,17 та більше третього на 32,22. Знайти ці цифри.

2) Площа двох кімнат 37,2 кв. м. Площа однієї кімнати в 2 рази більша за іншу. Чому дорівнює площа кожної кімнати?

2) Знайти два числа, сума яких 26,35, а частка від розподілу одного числа на інше дорівнює 7,5.

812. 1) Різниця двох чисел 5,2, а частка від розподілу одного числа на інше 5. Знайти ці числа.

2) Різниця двох чисел 0,96, які приватне 1,2. Знайти ці цифри.

813. 1) Одне число на 0,3 менше за інше і становить 0,75 його. Знайти ці цифри.

826. З міста А до міста Б, що віддаляється від А на 234 км, виїхав автомобіль зі швидкістю 32 км на годину. Через 1,75 години після цього з міста Б виїхав назустріч першому другий автомобіль, швидкість якого в 1,225 рази більша за швидкість першого. За скільки годин після свого виїзду другий автомобіль зустріне перший?

831 . 1) Основа трикутника 4,5 см, а висота його на 1,5 см менша. Знайти площу трикутника.

832. Знайти площі заштрихованих фігур (рис. 38).

836. Обчисліть поверхню та об'єм вашої кімнати. Розміри кімнати знайдіть заміром.

2) Зробіть підрахунок часу, необхідного для оновлення повітря у вашій кімнаті.

848. 1) Використовуючи діаграму «Виплавлення сталі в РРФСР» (рис 39). дайте відповідь на наступні питання:

а) На скільки мільйонів тонн зросла виплавка сталі 1959 р. проти 1945 р.?

б) У скільки разів виплавка сталі у 1959 р. була більшою за виплавку у 1913 р.? (З точністю до 0,1.)

2) Використовуючи діаграму «Посівні площі в РРФСР» (рис. 40), дайте відповідь на такі питання:

а) На скільки мільйонів гектарів збільшилася посівна площа 1959 р. порівняно з 1945 р.?

б) У скільки разів посівна площа в 1959 р. була більшою за посівну площу в 1913 р.?

дробового числа.

Десятковий запис дробового числає набір двох і більше цифр від $0$ до $9$, між якими знаходиться так звана \textit(десяткова кома).

Приклад 1

Наприклад, $35,02$; $ 100,7 $; $ 123 \ 456,5 $; $54,89$.

Крайня ліва цифра в десятковому записі числа не може бути нулем, винятком є лише випадок, коли десяткова кома стоїть відразу після першої цифри $0$.

Приклад 2

Наприклад, $ 0,357 $; $0,064$.

Часто десяткову кому замінюють десятковою точкою. Наприклад, $35.02$; $100.7$; $ 123 \ 456.5 $; $54.89$.

Визначення десяткового дробу

Визначення 1

Десяткові дроби- Це дробові числа, які представлені в десятковому записі.

Наприклад, $ 121,05 $; $ 67,9 $; $345,6700$.

Десяткові дроби використовуються для компактнішого запису правильних звичайних дробів, знаменниками яких є числа $10$, $100$, $1 \ 000$ і т.д. та змішані числа, знаменниками дробової частини яких є числа $10$, $100$, $1\000$ тощо.

Наприклад, звичайний дріб $\frac(8)(10)$ можна записати у вигляді десяткового дробу $0,8$, а змішане число $405\frac(8)(100)$ -- у вигляді десяткового дробу $405,08$.

Читання десяткових дробів

Десяткові дроби, які відповідають правильним звичайним дробам, читаються так само, як і звичайні дроби, тільки попереду додається фраза «нуль цілих». Наприклад, звичайного дробу $\frac(25)(100)$ (читається «двадцять п'ять сотих») відповідає десятковий дріб $0,25$ (читається «нуль цілих двадцять п'ять сотих»).

Десяткові дроби, які відповідають змішаним числам, читаються так само як і змішані числа. Наприклад, змішаному числу $43\frac(15)(1000)$ відповідає десятковий дріб $43,015$ (читається «сорок три цілих п'ятнадцять тисячних»).

Розряди у десяткових дробах

У записі десяткового дробу значення кожної цифри залежить від позиції. Тобто. у десяткових дробах також має місце поняття розряду.

Розряди в десяткових дробах до десяткової коми називаються як і, як і розряди в натуральних числах. Розряди в десяткових дробах після коми винесені до таблиці:

Малюнок 1.

Приклад 3

Наприклад, у десятковому дробі $56,328$ цифра $5$ стоїть у розряді десятків, $6$ - у розряді одиниць, $3$ - у розряді десятих, $2$ - у розряді сотих, $8$ - у розряді тисячних.

Розряди в десяткових дробах розрізняють за старшинством. При читанні десяткового дробу рухаються зліва направо - від старшогорозряду до молодшому.

Приклад 4

Наприклад, у десятковому дробі $ 56,328 $ старшим (вищим) розрядом є розряд десятків, а молодшим (нижчим) - розряд тисячних.

Десятковий дріб можна розкласти за розрядами аналогічно розкладу за розрядами натурального числа.

Приклад 5

Наприклад, розкладемо за розрядами десятковий дріб $37,851$:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Кінцеві десяткові дроби

Визначення 2

Кінцевими десятковими дробаминазивають десяткові дроби, записах яких міститься кінцеве число знаків (цифр).

Наприклад, $ 0,138 $; $ 5,34 $; $ 56,123456 $; $350 972,54$.

Будь-який кінцевий десятковий дріб можна перевести в звичайний дріб або змішане число.

Приклад 6

Наприклад, кінцевого десяткового дробу $7,39$ відповідає дробове число $7\frac(39)(100)$, а кінцевого десяткового дробу $0,5$ відповідає правильний звичайний дріб $\frac(5)(10)$ (або будь-який дріб, яка дорівнює їй, наприклад, $ frac (1) (2) $ або $ frac (10) (20) $.

Переведення звичайного дробу в десятковий дріб

Переклад звичайних дробів зі знаменниками $10, 100, \dots$ у десяткові дроби

Перед переведенням деяких правильних звичайних дробів у десяткові їх потрібно попередньо підготувати. Результатом такої підготовки має бути однакова кількість цифр у чисельнику та кількість нулів у знаменнику.

Суть «попередньої підготовки» правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби - дописування зліва в чисельнику такого числа нулів, щоб загальна кількість цифр дорівнювала числу нулів у знаменнику.

Приклад 7

Наприклад, підготуємо звичайний дріб $ frac (43) (1000) $ до переведення в десятковий і отримаємо $ frac (043) (1000) $. А звичайний дріб $\frac(83)(100)$ підготовки не потребує.

Сформулюємо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником $10$, або $100$, або $1 \ 000$, $\dots$ в десятковий дріб:

записати $0$;

після нього поставити десяткову кому;

записати число з чисельника (разом із дописаними нулями після підготовки, якщо вона була потрібна).

Приклад 8

Перевести правильний звичайний дріб $\frac(23)(100)$ у десятковий.

Рішення.

У знаменнику стоїть число $100$, яке містить $2$ два нулі. У чисельнику стоїть число $23$, запису якого $2$.цифри. отже, підготовку для цього дробу до переведення до десяткового проводити не потрібно.

Запишемо $0$, поставимо десяткову кому і запишемо число $23$ із чисельника. Отримаємо десятковий дріб $0,23$.

Відповідь: $0,23$.

Приклад 9

Записати правильний дріб $\frac(351)(100000)$ у вигляді десяткового дробу.

Рішення.

У чисельнику даного дробу $3$ цифри, а число нулів у знаменнику - $5$, тому цей звичайний дріб потрібно підготувати до переведення в десятковий. Для цього необхідно дописати $5-3=2$ нуля ліворуч у чисельнику: $\frac(00351)(100000)$.

Тепер можемо скласти потрібний десятковий дріб. Для цього запишемо $0$, потім поставимо кому і запишемо число з чисельника. Отримаємо десятковий дріб $0,00351$.

Відповідь: $0,00351$.

Сформулюємо правило перекладу неправильних звичайних дробів зі знаменниками $10$, $100$, $\dots$ у десяткові дроби:

записати число із чисельника;

відокремити десятковою комою стільки цифр справа, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.

Приклад 10

Перевести неправильний звичайний дріб $\frac(12756)(100)$ у десятковий дріб.

Рішення.

Запишемо число з чисельника $12756$, потім відокремимо десятковою комою $2$ цифри праворуч, т.к. у знаменнику вихідного дробу $2$ нуля. Отримаємо десятковий дріб $127,56$.