Викладання алгебраїчного матеріалу у початковій школі. Характеристика основних понять початкового курсу математики

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Методика вивчення алгебраїчного матеріалу

Лекція 1. Математичні вирази

1.1 Вивчення поняття "математичний вираз"

Алгебраїчний матеріал вивчається, починаючи з 1 класу в тісному зв'язку з арифметичним та геометричним. Введення елементів алгебри сприяє спілкуванню понять про кількість, арифметичні дії, математичні відносини і водночас готує дітей до вивчення алгебри в наступних класах.

Основними алгебраїчними поняттями курсу є "рівність", "нерівність", "вираз", рівняння". Визначень даних понять в курсі математики початкових класів немає. Учні усвідомлюють ці поняття на рівні уявлень у процесі виконання спеціально підібраних вправ.

Програмою з математики в 1-4 класах передбачається навчити дітей читати та записувати магматичні висловлювання: ознайомити з правилами порядком виконання дій та навчити ними користуватися при обчисленнях, ознайомити учнів із тотожними перетвореннями виразів.

p align="justify"> При формуванні у дітей поняття математичного вираження необхідно враховувати, що знак дії, поставлений між числами має двоякий зміст; з одного боку, він позначає дію, яку треба виконати над числами (наприклад, 6+4 – додати 4); з іншого боку, знак дії служить позначення виразу (6+4 - це сума чисел 6 і 4).

У методиці роботи над виразами передбачається два етапи. На першому з них формується поняття про найпростіші вирази (сума, різницю, твір, приватне двох чисел), а на другому - про складні (сума про, зведення та числа, різницю двох приватних і т.д.).

Знайомство з першим виразом – сумою двох; чисел відбувається в 1 класі при вивченні додавання до віднімання в межах 10. Виконуючи операції над множинами, діти, перш за все, засвоюють конкретний зміст додавання та віднімання, тому в записах виду 5+1, 6-2 знаки дій усвідомлюються ними як коротке позначення слів "додати", "відняти". Це знаходить відображення в читанні (до 5 додати 1 і 6, з 6 відняти 2 і 4). Надалі поняття про ці дії поглиблюються. Учні дізнаються, що, додаючи кілька одиниць, збільшуємо число стільки ж одиниць, а віднімаючи - зменшуємо його стільки ж одиниць. Це також знаходить відображення в новій формі читання записів (4 збільшити на 2 і 6, 7 зменшити на 2 і 5), Потім діти дізнаються назви знаків дій: "плюс", "мінус" і читають приклади, називаючи знаки дій (4+2 = 6, 7-3 = 4),

Ознайомившись із назвами компонентів та результатом дії додавання, учні використовують термін "сума" для позначення числа, що є результатом додавання. Спираючись на знання дітей про назви чисел при додаванні, вчитель пояснює, що в прикладах додавання запис, що складається з двох чисел, з'єднаних знаком "плюс", називається так само, як і число, що стоїть по інший бік від знака "рівно" (9 сума" 6+3 - теж сума). Наочно зображується це так:

Щоб діти засвоїли нове значення терміна "сума" як назва виразу, даються такі вправи: "Запишіть суму чисел 7 і 2; обчисліть, чому дорівнює сума чисел 3 і 4; прочитайте запис (6+3), скажіть, чому дорівнює сума; замініть число сумою чисел (9= ?+?); порівняйте суми чисел (6+3 і 6+2), скажіть, яка їх більше, запишіть зі знаком " більше " і прочитайте запис " . У процесі таких вправ учні поступово усвідомлюють подвійний зміст терміна "сума": щоб записати суму чисел, треба їх поєднати знаком "плюс"; Щоб знайти значення суми, треба скласти задані числа.

Приблизно в такому ж плані йде робота над такими висловлюваннями: різницею, твором та часткою двох чисел. Однак тепер кожен з цих термінів вводиться відразу як назва виразу, і як назва результату дії. Вміння читати і записувати висловлювання, знаходити їх значення з допомогою відповідної дії виробляється у процесі багаторазових вправ, аналогічних вправ із сумою.

При вивченні додавання та віднімання в межах 10 включаються вирази, що складаються з трьох і більше чисел, з'єднаних однаковими або різними знаками дій виду: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Обчислюючи значення цих виразів, діти у висловлюваннях опановують правило про порядок виконання Дій у виразах без дужок, хоч і не формулюють його. Дещо пізніше дітей вчать перетворювати вирази в процесі обчислень: наприклад: 7+5=3+5=8. Такі записи є першим кроком у виконанні тотожних перетворень.

Знайомство першокласників із виразами виду: 10 - (6+2), (7-4)+5 тощо. готує їх до вивчення правил додавання числа до суми, віднімання числа із суми та ін, до запису розв'язання складових завдань, а також сприяють глибшому засвоєнню поняття виразу.

Методика ознайомлення учнів із вираженням виду: 10+(6-2), (7+4)+5 тощо. готує їх до вивчення правил додавання числа до суми, віднімання числа із суми та ін, до запису розв'язання складових завдань, а також сприяють глибшому засвоєнню поняття виразу.

Методика ознайомлення учнів із виразом виду: 10+(6-2), (5+3) -1 то, можливо різною. Можна відразу вчити читати готові висловлювання за аналогією із зразком і обчислювати значення виразів, пояснюючи послідовність дій. Можливий і інший шлях ознайомлення дітей з виразами даного виду - складання цих виразів учнями із заданого числа та найпростішого виразу.

Уміння складати і знаходити значення виразів використовується учнями під час вирішення складових завдань, водночас тут відбувається подальше оволодіння поняттям висловлювання, засвоюється конкретний зміст виразів у записах рішень задач. Корисна в цьому плані вправа: дається умова завдання, наприклад, "Хлопчик мав 24 рублі. Морозиво коштує 12 рублів, а цукерка - 6 рублів". Діти повинні пояснити, що в цьому випадку показують такі вирази:

У другому класі вводяться терміни "математичний вираз" та "значення виразу" (без визначення). Після запису кількох прикладів на одну дію вчитель повідомляє, що ці приклади інакше називаються математичними виразами.

За завданням вчителя діти самі складають різні вирази. Вчитель пропонує обчислити результати та пояснює, що результати інакше називають значеннями математичних виразів. Потім розглядаються і складніші математичні висловлювання.

Надалі у виконанні різних вправ спочатку вчитель, та був і діти вживають нові терміни (запишіть висловлювання, знайдіть значення висловлювання, порівняйте висловлювання тощо.).

У складних виразах знаки дій, що з'єднують найпростіші висловлювання, також мають подвійний зміст, що поступово розкривається учнями. Наприклад, у виразі 20+(34-8) знак "+" означає дію, яку треба виконати над числом 20 і різницею чисел 34 і 8 (до 20 додати різницю чисел 34 і 8). Крім того, знак "плюс" служить для позначення суми - це вираз є сума, в якій перший доданок 20, а другий доданок виражено різницею чисел 34 і 8.

Після того, як діти ознайомляться у другому класі з порядком виконання дій у складних висловлюваннях, приступають до формування понять суми, різниці, твору, приватного, в яких окремі елементи задані виразами.

Надалі, в процесі багаторазових вправ у читанні, складанні та записі виразів, учні поступово опановують уміння встановлювати вид складного виразу (у 2-3 дії).

Значно полегшує дітям роботу схема, яка складається колективно та використовується при читанні виразів:

встановити, яка дія виконується останнім;

згадати, як називаються числа під час виконання цієї дії;

Вправи у читанні та запису складних дій, найпростішими висловлюваннями, допомагають дітям засвоїти правила порядку дій.

1.2 Вивчення правил порядку дій

Правила порядку виконання дій у складних висловлюваннях вивчаються у 2 класі, але деякі з них діти використовують ще 1 класі.

Спочатку розглядається правило про порядок виконання дій у виразах без дужок, коли над числами виробляють або тільки додавання та віднімання, або тільки множення та поділ. Необхідність введення виразів, що містять два і більше арифметичних дій одного ступеня, виникає при знайомстві учнів з обчислювальними прийомами додавання та віднімання в межах 10, а саме:

Аналогічно: 6 – 1 – 1, 6 – 2 – 1, 6 – 2 – 2.

Так як для знаходження значень цих виразів школярі звертаються до предметних дій, які виконуються в певному порядку, то вони легко засвоюють той факт, що арифметичні дії (додавання та віднімання), які мають місце у виразах, виконуються послідовно зліва направо.

З числовими виразами, що містять дії додавання та віднімання, а також дужки, учні вперше зустрічаються в темі "Складання та віднімання в межах 10". Коли діти зустрічаються з такими виразами в 1 класі, наприклад: 7 – 2 + 4, 9 – 3 – 1, 4 +3 – 2; у 2 класі, наприклад: 70 – 36 +10, 80 – 10 – 15, 32+18 – 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, вчитель показує, як читають та записують такі вирази і як знаходять їх значення (наприклад, 4*10:5 читають: 4 помножити на 10 та отриманий результат розділити на 5). На момент вивчення у 2 класі об'єкта "Порядок дій" учні вміють шукати значення виразів цього виду. Мета роботи на даному етапі - спираючись на практичні вміння учнів, звернути їхню увагу на порядок виконання дій у таких виразах та сформулювати відповідне правило. Учні самостійно вирішують підібрані вчителем приклади та пояснюють, у якому порядку виконували; дії у кожному прикладі. Потім формулюють самі чи читають за підручником висновок: якщо у виразі без дужок зазначені лише дії додавання та віднімання (або тільки дії множення та поділу), то їх виконують у тому порядку, в якому вони записані (тобто зліва направо).

Незважаючи на те, що у виразах виду а+в+с, а+(в+с) та (а+в)+с наявність дужок не впливає на порядок виконання дій у силу поєднаного закону складання, на цьому етапі учнів доцільніше зорієнтувати на те, що спочатку виконується дія у дужках. Це з тим, що з виразів виду а - (в+с) і а - (в - с) таке узагальнення неприйнятно і учням на початковому етапі досить складно буде зорієнтуватися у призначенні дужок щодо різноманітних числових выражений. Використання дужок у числових виразах, що містять дії складання та віднімання, надалі отримує свій розвиток, який пов'язаний з вивченням таких правил, як додавання суми до числа, числа до суми, віднімання суми з числа та числа з суми. Але при першому знайомстві з дужками важливо націлити учнів те що, що спочатку виконується дію в дужках.

Вчитель звертає увагу дітей на те, як важливо дотримуватися цього правила при обчисленнях, інакше можна отримати неправильну рівність. Наприклад, учні пояснюють, яким чином, отримані значення виразів: 70 - 36 +10 = 24, 60:10 - 3 = 2, чому вони неправильні, які значення насправді мають ці вирази. Аналогічно вивчають порядок дій у виразах з дужками виду: 65 – (26 – 14), 50: (30 – 20), 90: (2 * 5). З такими висловлюваннями учні також знайомі та вміють їх читати, записувати та обчислювати їх значення. Пояснивши порядок виконання дій у кількох таких висловлюваннях, діти формулюють висновок: у виразах із дужками першим виконується дія над числами, записаними у дужках. Розглядаючи ці висловлювання неважко показати, що у них виконуються над порядку, у якому записаны; щоб показати інший порядок їх виконання, та використані дужки.

Наступним вводиться правило порядку виконання дій у виразах без дужок, коли в них містяться дії першого та другого ступеня. Оскільки правила порядку дій прийняті за домовленістю, вчитель повідомляє їх дітям або ж учні знайомляться з ними за підручником. Щоб учні засвоїли запроваджені правила, поруч із тренувальними вправами включають рішення прикладів із поясненням порядку виконання їхніх дій. Ефективними є також вправи в поясненні помилок на порядок виконання дій. Наприклад, із заданих пар прикладів пропонується виписати лише ті, де обчислення виконані за правилами порядку дій:

Після пояснення помилок можна дати завдання: використовуючи дужки, змінити порядок дій те щоб вираз мало задане значення. Наприклад, щоб перше з наведених виразів мало значення, що дорівнює 10, треба записати його так: (20+30):5=10.

Особливо корисні вправи обчислення значення висловлювання, коли учневі доводиться застосовувати все вивчені правила. Наприклад, на дошці чи зошитах записується вираз 36:6+3*2. Учні обчислюють його значення. Потім за завданням вчителя діти змінюють за допомогою дужок порядок дій у виразі:

Цікавою, але важчою є зворотна вправа: розставити дужки так, щоб вираз мав задане значення:

Також цікавими є вправи такого виду:

1. Розставте дужки так, щоб рівності були вірними:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Поставте замість зірочок знаки "+" або "-" так, щоб вийшли вірні рівності:

3. Поставте замість зірочок знаки арифметичних дій так, щоб рівності були вірними:

Виконуючи такі вправи, учні переконуються у цьому, що значення висловлювання може змінитися, якщо змінюється порядок действий.

Для засвоєння правил порядку дій необхідно в 3 і 4 класах включати дедалі більш ускладнюються вирази, при обчисленні значень яких учень застосовував би щоразу не одне, а два або три правила порядку виконання дій, наприклад:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

У цьому числа слід підбирати те щоб вони допускали виконання дій у порядку, що створює умови для свідомого застосування вивчених правил.

1.3 Ознайомлення із перетворенням виразів

Перетворення виразу - це заміна даного виразу іншим, значення якого дорівнює значенню цього виразу. Учні виконують такі освіти висловлювань, спираючись на властивості арифметичних дій і наслідки, які з них.

Під час вивчення кожного правила учні переконуються у цьому, що у висловлюваннях певного виду можна виконувати по-різному, але значення висловлювання у своїй не змінюється. Надалі знання властивостей дій учні застосовують перетворення заданих висловів на рівні їм висловлювання. Наприклад, пропонуються завдання виду: продовжити запис так, щоб знак "=" зберігся:

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Виконуючи перше завдання, учні розмірковують так: зліва з 56 віднімають суму чисел 20 і 1, праворуч з 56 відняли 20; щоб праворуч вийшло стільки ж, скільки ліворуч, треба праворуч ще відняти 1. Аналогічно перетворюються інші вирази, тобто, прочитавши вираз, учень згадує відповідне правило і, виконуючи дії за правилом, отримує перетворений вираз. Щоб переконатися у правильності перетворення, діти обчислюють значення заданого та перетвореного виразів та порівнюють їх. Застосовуючи знання властивостей дій для обґрунтування прийомів обчислень, учні 2-4 класів виконують перетворення виразів виду:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Тут також необхідно, щоб учні як пояснювали, основі чого отримують кожне наступне вираз, а й розуміли, що це висловлювання з'єднані знаком " = " , оскільки мають однакові значення. Для цього іноді слід пропонувати дітям обчислювати значення виразів та порівнювати їх. Це попереджає помилки виду:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

Учні 2 - 3 класів виконують перетворення виразів як на основі властивостей дії, а й основі визначень дій. Наприклад, суму однакових доданків замінюють добутком: 6+6+6=6*3, і навпаки: 9*4=9+9+9+9. Маючи також сенс дії множення, перетворять складніші висловлювання: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

На основі обчислень та аналізу спеціально підібраних виразів учнів 3 класу підводять до висновку про те, що якщо у виразах з дужками дужки не впливають на порядок дій, то їх можна не ставити: (30+20)+10=30+20+10, (10-6): 4 = 10-6: 4 і т.д. Надалі, використовуючи вивчені властивості дій та правила порядку дій, учні вправляються у перетворенні виразів із дужками у тотожні їм висловлювання без дужок. Наприклад, пропонується записати дані вирази без дужок так, щоб їх значення не змінилися: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Пояснюючи рішення першого із заданих виразів на основі правила віднімання числа із суми, діти замінюють його виразами: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, пояснюючи порядок виконання дій у них. Виконуючи такі вправи, учні переконуються, що значення висловлювання не змінюється за зміни порядку дій у тому разі, якщо у своїй застосовуються властивості дій.

Отже, знайомство школярів початкових класів із поняттям вираз тісно пов'язані з формуванням обчислювальних умінь і навиків. У той самий час запровадження поняття висловлювання дозволяє організувати відповідну роботу з розвитку математичної мови учнів.

Лекція 2. Буквена символіка, рівності, нерівності, рівняння

2.1 Методика ознайомлення з літерною символікою

Відповідно до програми з математики буквена символіка вводиться у 3 класі.

Тут учні знайомляться з літерою а як символом для позначення невідомого числа або одного з компонентів виразу при вирішенні виразів виду: запиши замість "віконця" літеру а. Знайти значення суми а+6 якщо а=8, а=7. Потім на наступних уроках знайомляться з деякими літерами латинського алфавіту, що позначають один із компонентів у виразі. З літерою х як символом для позначення невідомого числа при розв'язанні рівнянь виду: а+х=в, х - с =в - знайомляться в 4 чверті в 3 класі.

Введення літери як символу позначення змінної дозволяє вже у початкових класах розпочати роботу над формуванням поняття змінної, раніше залучити дітей до математичної мови символів.

Підготовча робота до розкриття сенсу літери як символу для позначення змінної проводиться на початку навчального року у 3 класі. У цьому першому етапі діти знайомляться з деякими літерами латинського алфавіту (а, в, з, d, k) позначення змінної, тобто. одного з компонентів у виразі.

При введенні буквеної символіки для позначення числової змінної важливу роль у системі вправ грає вміле комбінування індуктивного та дедуктивного методів. Відповідно до цього вправи передбачають переходи від числових виразів до літерних і, навпаки, від літерних виразів до числових. Наприклад, на дошку вивішується плакат з трьома кишенями, на яких написано: "1 доданок", "2 доданок", "сума".

У процесі розмови з учнями вчитель заповнює кишені плаката картками із записаними на них числами та математичними виразами:

Далі з'ясовується, чи можна ще скласти вирази, скільки таких виразів можна скласти. Діти становлять інші висловлювання і знаходять у яких загальне: однакову дію - додавання і різне - різні доданки. Вчитель пояснює, що замість того, щоб записувати різні числа, можна позначити будь-яке число, яке може бути доданком, якоюсь літерою, наприклад а, будь-яке число, яке може бути другим доданком, наприклад, в. Тоді суму можна позначити так: а+ (відповідні картки виставляються в кишені плаката).

Вчитель пояснює, що а+в також математичне вираз, тільки в ньому доданки позначені літерами кожна з літер позначає будь-які числа. Ці числа називаються значеннями літер.

Аналогічно вводиться різниця чисел як узагальнений запис числових виразів. Щоб учні усвідомили, що літери, що входять у вираз, наприклад, в+с, можуть набувати безліч числових значень, а сам літерний вираз є узагальненим записом числових виразів, передбачаються вправи на перехід від літерних виразів до числових.

Учні переконуються, що, надаючи буквам особисті числові значення, можна отримати багато скільки завгодно числових виразів. У такому ж плані проводиться робота з конкретизації буквеного виразу – різниця чисел.

Далі у зв'язку з роботою над висловлюваннями розкривається поняття постійної величини. З цією метою розглядаються вирази, у яких постійна величина фіксується за допомогою числа, наприклад: ±12, 8±с. Тут, як і першому етапі, передбачаються вправи перехід від числових виразів до виразів, записаним з допомогою букв і цифр, і назад.

З цією метою спочатку використовуються плакат з трьома кишенями.

Заповнюючи кишені плаката картками із записаними ними числами та математичними висловлюваннями, учні помічають, що значення першого доданка змінюються, а другого - не змінюються.

Вчитель пояснює, що другий доданок можна записати за допомогою чисел, тоді суму чисел можна записати так: т + 8, і картки вставляються у відповідні кишені плаката.

Аналогічним чином можна отримати математичні вирази виду: 17±а, ±30, а пізніше - вирази виду: 7 * в, с * 4, а: 8, 48: ст.

У 4 класі проводяться вправи виду: Знайди значення виразу а:в, якщо

а=3 400 і=2;

а = 2800 і = 7.

Коли учні усвідомлюють сенс буквеної символіки, можна використовувати літери як засіб узагальнення знань, що формуються у них.

Конкретною базою для використання літерної символіки як інструменту узагальнення є знання про арифметичні дії і ті знання, які формуються на їх основі.

До них відносяться поняття про арифметичні дії, їх властивості, про зв'язки між компонентами та результатами дій, про зміну результатів арифметичних дій залежно від зміни одного з компонентів тощо.

Таким чином, використання буквеної символіки сприяє підвищенню рівня узагальнення знань, які набувають учні початкових класів, і готує їх до вивчення систематичного курсу алгебри в наступних класах.

2.2 Числові рівності, нерівності

Поняття про рівність, нерівності та рівняння розкривається у взаємозв'язку. p align="justify"> Робота над ними ведеться з 1 класу, органічно поєднуючись з вивченням арифметичного матеріалу.

За новою програмою ставиться завдання навчити дітей виконувати порівняння чисел, а також порівняння виразів з метою встановлення відносин "більше", "менше", "рівно"; навчити записувати результати порівняння за допомогою знаків ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Числові рівності та нерівності учні одержують на основі порівняння заданих чисел або арифметичних виразів. Спочатку у молодших Школярів формуються поняття лише про вірні Рівності та нерівності (5>4, 6<7, 8=8).

Згодом, коли учні накопичать досвід роботи над висловлюваннями та нерівностями зі змінною, після розгляду понять істинного та хибного (вірного та невірного) висловлювання переходять до такого визначення понять рівності та нерівності, за якими будь-які два числа, два вирази, поєднані одним із знаків “більше ", "менше" називається нерівністю. При цьому розрізняють вірні та невірні рівності та нерівності. У 3 класі пропонуються такі вправи: перевір, чи правильні дані рівності (4 чверть): 760 - 400 = 90 * 4; 630:7 = 640:8.

Але цих вправ мало. У 4 класі пропонуються аналогічні вправи та інші види: перевір, чи правильні нерівності: 478*24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Ознайомлення з рівностями та нерівностями у початкових класах безпосередньо пов'язується з вивченням нумерації та арифметичних дій. математичний алгебра рівняння

Порівняння чисел здійснюється спочатку з урахуванням порівняння множин, яке виконується, як відомо, з допомогою встановлення взаємно-однозначного відповідності. Цьому способу порівняння множин навчають дітей у підготовчий період та на початку вивчення нумерації чисел першого десятка. Попутно виконується рахунок елементів множин та порівняння отриманих чисел. Надалі у порівнянні чисел учні спираються з їхньої місце у натуральному ряду: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Встановлені відносини записуються за допомогою знаків ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Порівняння іменованих чисел спочатку виконується з опорою на порівняння самих значень величин, а потім здійснюється на основі порівняння абстрактних чисел, для чого задані іменовані числа виражаються в однакових одиницях виміру.

Порівняння іменованих чисел викликає великі труднощі у учнів, тому, щоб навчити цієї операції, треба систематично у 2-4 класах пропонувати різноманітні вправи:

1 дм*1 см, 2 дм*2 см

Замініть рівним числом: 7 км 500 м = _____ м

3) Підберіть числа таким чином, щоб запис був вірний: ____ год< ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Перевірити вірні чи невірні рівності дані, виправте знак, якщо рівності невірні:

4 т 8 ц = 480 кг, 100 хв. = 1 год, 2 м 5 см = 250 см.

Перехід до порівняння виразів здійснюється поступово. Спочатку у процесі вивчення складання і. віднімання в межах 10 діти тривалий час вправляються у порівнянні виразу та числа. Перші нерівності виду 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

Після знайомства з назвами виразів учні читають рівності та нерівності так: сума чисел 5 та 3 більша, ніж 5.

Маючи операції над множинами і порівняння множин, учні практично засвоюють важливі властивості рівностей і нерівностей (якщо а=в, то в=а). Порівняти два вирази - отже, порівняти їх значення. Порівняння чисел і виразів вперше включається щодо чисел не більше 20, та був щодо дій у всіх концентрах ці вправи систематично пропонуються дітям.

При вивченні дій в інших концентрах вправи на порівняння виразів ускладнюються: більш складними стають вирази, учням пропонуються завдання вставити до одного з виразів відповідне число те щоб отримати правильні рівності мулу нерівності, скласти з даних виразів правильні рівності чи правильні нерівності.

Таким чином, при вивченні всіх концентрів вправи на порівняння чисел і виразів, з одного боку, сприяють формуванню понять про рівність і нерівності, а з іншого боку, засвоєнню знань про нумерацію та арифметичні дії, а також вироблення обчислювальних навичок.

2.3 Методика ознайомлення з нерівностями зі змінною

Нерівності зі змінною вигляду: х+3< 7, 10 - х >5 вводяться у 3 класі. Спочатку змінна позначається не буквою, а "віконцем", потім позначається буквою.

Терміни "вирішити нерівність", "вирішення нерівності" не вводяться в початкових класах, оскільки в багатьох випадках обмежуються підбором лише кількох значень змінної, при якому виходить правильна нерівність. Вправи виконуються під керівництвом вчителя.

Вправи з нерівностями закріплюють обчислювальні навички, і навіть допомагають засвоєнню арифметичних знань. Підбираючи значення літери в нерівностях та рівностях виду: 5 + х = 5, 5 - х = 5 10 * х = 10, 10 * х<10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Вправи у початкових класах розглядаються як правильні рівності, рішення рівняння зводиться до пошуку того значення букви (невідомого числа), у якому даний вираз має зазначене значення. Знаходження невідомого числа у таких рівностях виконується на основі знання зв'язку між результатом та компонентами арифметичних дій. Ці вимоги програми визначають методику роботи над рівняннями,

2.4 Методика вивчення рівнянь

На підготовчому етапі до запровадження перших рівнянь щодо складення і віднімання не більше 10 учні засвоюють зв'язок між сумою і доданками. Крім того, до цього часу діти опановують вміння порівнювати вираз і число і отримують перші уявлення про числові рівність виду: 8 = 5 +3, 6 + 4 = 40. Велике значення в плані підготовки до введення рівнянь мають вправи на підбір пропущеного числа в рівності виду: 4+*=6, 5- *=2, У процесі виконання таких вправ діти звикають до думки, що невідомим може бути не тільки сума чи різниця, але й один із доданків.

Поняття про рівняння вводиться у 3 класі. Вирішуються рівняння усно, методом підбору, тобто. дітям пропонують прості рівняння виду: x + 3 = 5. Для вирішення таких рівнянь діти згадують склад чисел не більше 10, у разі склад числа 5 (3 і 2), отже, х=2.

У 4 класі вчитель показує запис рішення рівняння, спираючись на знання дітей про зв'язки між компонентами та результатом арифметичних дій. Наприклад, 6+х=15. Нам невідомо другий доданок, Щоб отримати другий доданок треба від суми відняти перший доданок.

Запис рішення:

Перевірка:

Учням треба пояснити, що коли проводимо перевірку, треба обов'язково після підстановки замість х отриманого числа знайти значення отриманого виразу.

Пізніше, наступному етапі, рівняння вирішуються з урахуванням знання правил знаходження невідомого компонента.

На кожен випадок приділяється окремий урок.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Поняття нерівності, її сутність та особливості, класифікація та різновиди. Основні властивості числових нерівностей. Методика графічного розв'язання нерівностей другого ступеня. Системи нерівностей із двома змінними, із змінною під знаком модуля.

реферат, доданий 31.01.2009


Тригонометричні рівняння та нерівності у шкільному курсі математики. Аналіз матеріалу з тригонометрії у різних підручниках. Види тригонометричних рівнянь та методи їх вирішення. Формування навичок розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей.

дипломна робота , доданий 06.05.2010


Теоретичні відомості на тему "Ознаки рівності трикутників". Методика вивчення теми "Ознаки рівності трикутників". Тема уроку "Трикутник. Види трикутників". "Властивості рівнобедреного та рівностороннього трикутників".

курсова робота , доданий 11.01.2004


Типи рівнянь, що допускають зниження порядку. Лінійне диференціальне рівняння вищого ладу. Теореми про властивості часткових розв'язків. Визначник Вронського та його застосування. Використання формули Ейлера. Знаходження коріння алгебраїчного рівняння.

презентація , доданий 29.03.2016


Поняття та математичний опис елементів диференціального рівняння як рівняння, що пов'язує потрібну функцію однієї або декількох змінних. Склад неповного та лінійного диференціального рівняння першого ладу, їх застосування в економіці.

реферат, доданий 06.08.2013


Метод аналітичного рішення (у радикалах) рівняння алгебри n-ого ступеня з поверненням до коренів вихідного рівняння. Власні значення знаходження функцій від матриць. Стійкість розв'язків лінійних диференціальних та різницевих рівнянь.

наукова робота, доданий 05.05.2010


Вигляд рівняння Ріккаті при довільному дробово-лінійному перетворенні залежної змінної. Властивості функції, що відбиває, її побудова для нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Формулювання та докази леми для ОФ рівняння Ріккаті.

курсова робота , доданий 22.11.2014


Основні напрямки розгортання лінії рівнянь та нерівностей у шкільному курсі математики, її зв'язок із числовою та функціональною системою. Особливості вивчення, аналітичний та графічний методи вирішення рівнянь та нерівностей, що містять параметри.

курсова робота , доданий 01.02.2015


Систематизація відомостей про лінійні та квадратичні залежності та пов'язані з ними рівняння та нерівності. Виділення повного квадрата як метод вирішення деяких нестандартних завдань. Характеристики функції |х|. Рівняння та нерівності, що містять модулі.

дипломна робота , доданий 25.06.2010


Аналіз особливостей розробки обчислювальної програми. Загальна характеристика методу найпростіших ітерацій. Знайомство з основними способами розв'язання нелінійного рівняння алгебри. Розгляд етапів розв'язання рівняння шляхом половинного поділу.

Основними цілями вивчення алгебраїчного матеріалу в початкових класах є отримання молодшими школярами початкових відомостей про рівність і нерівності, про змінну, про рівність і нерівності зі змінною, про математичні вирази (числових і літерних), про обчислення їх значень, про нескладні рівняння школярів способам їх вирішення, а також вирішення завдань алгебраїчним способом. Вивчення алгебраїчного матеріалу в початкових класах сприяє узагальненню понять про числа, арифметичні дії та їх властивості, є підготовкою до вивчення алгебри у старших класах

Перші уявлення про рівність і нерівність діти отримують при порівнянні множин і чисел. Їх вивчення пов'язується з вивченням нумерації, арифметичних дій та величин. Далі вводиться уявлення про вірні та невірні рівності та нерівності, про рівністі та нерівності зі змінною.

Рівняння сприймається як рівність зі змінною. Вирішити рівняння - означає підібрати таке значення змінної, при підстановці якого рівняння воно звертається в правильну числову рівність. На цьому заснований спосіб розв'язання рівнянь підбором. У початкових класах рівняння вирішують також з урахуванням взаємозв'язку між компонентами і результатами арифметичних процесів, з урахуванням застосування основних властивостей рівностей (система Л.В.Занкова), і навіть з допомогою графів (УМК «Початкова школа 21 століття»). Вирішення нерівностей обмежується способом підбору. Рівняння та нерівності використовуються при розв'язанні задач, однак, спосіб алгебри вирішення завдань обмежується в початкових класах рівнем ознайомлення.

Поняття про найпростіші висловлювання формуються у зв'язку з вивченням арифметичних дій, потім вводяться складні вирази та вирази зі змінною. Молодші школярі навчаються обчислювати значення складних числових виразів, використовуючи правила порядку дій. Вони вчаться також знаходити значення виразів зі змінною при заданих значеннях літер.

Літерна символіка використовується при узагальненні запису законів та властивостей арифметичних дій, а також формул для обчислення площ прямокутників, трикутників, багатокутників, об'ємів, швидкостей та ін.

В даний час спостерігаються дві кардинально протилежні тенденції у визначенні обсягу вмісту алгебраїчного матеріалу в курсі математики початкової школи. Одна тенденція пов'язані з ранньої алгебраїзацією курсу математики початкових класів. Представниками цієї тенденції є І.І.Аргінська, Е.І.Александрова, Л.Г.Петерсон, В.Н.Рудницька та ін. Інша тенденція пов'язана з введенням алгебраїчного матеріалу в курс математики початкової школи на його завершальному етапі класу (Н.Б.Истомина) Підручник традиційної школи (М.І.Моро та ін.) є представником «середніх» поглядів.

Вступ................................................. .................................................. ....... 2

Глава I. Общетеоретические аспекти вивчення алгебраїчного матеріалу у початковій школі...................................... .................................................. .... 7

1.1 Досвід запровадження елементів алгебри у початковій школі......................... 7

1.2 Психологічні основи запровадження алгебраїчних понять

У початковій школі............................................... ................................ 12

1.3 Проблема походження алгебраїчних понять та її значення

для побудови навчального предмета.............................................. ....... 20

2.1 Навчання у початковій школі з погляду потреб

середньої школи................................................ ...................................... 33

2.1 Порівняння (протиставлення) понять під час уроків математики.... 38

2.3 Спільне вивчення додавання та віднімання, множення та поділу 48

Розділ III. Практика вивчення алгебраїчного матеріалу під час уроків математики початкових класах середньої школи № 4 р. Рильска................................. ... 55

3.1 Обґрунтування використання інноваційних технологій (технології

укрупнення дидактичних одиниць).............................................. ....... 55

3.2 Про досвід ознайомлення з алгебраїчними поняттями в I класі.

3.3 Навчання розв'язання завдань, пов'язаних з рухом тел..................... 72

Висновок................................................. .................................................. 76

Бібліографічний список................................................ .......................... 79

У будь-якій сучасній системі загальної освіти математика займає одне з центральних місць, що безперечно говорить про унікальність цієї галузі знань.

Що таке сучасна математика? Навіщо вона потрібна? Ці та подібні до них питання часто задають вчителям діти. І щоразу відповідь буде різною залежно від рівня розвитку дитини та її освітніх потреб.

Часто кажуть, що математика – це мова сучасної науки. Однак, видається, що цей вислів має суттєвий дефект. Мова математики поширена так широко і часто виявляється ефективним саме тому що математика до нього не зводиться.

Визначний вітчизняний математик О.М. Колмогоров писав: "Математика не просто одна з мов. Математика - це мова плюс міркування, це як би мова і логіка разом. Математика - знаряддя для роздумів. У ній сконцентровані результати точного мислення багатьох людей. За допомогою математики можна пов'язати одну мірку з іншою. Очевидні складності природи з її дивними законами і правилами, кожне з яких допускає окреме дуже докладне пояснення, насправді тісно пов'язані, проте якщо ви не бажаєте користуватися математикою, то в цьому величезному різноманітті фактів ви не побачите, що логіка дозволяє переходити від одного до іншого” (, с. 44).

Таким чином, математика дозволяє сформувати певні форми мислення, необхідні для вивчення навколишнього світу.

Нині дедалі відчутнішою стає диспропорція між ступенем наших знань природи та розумінням людини, її психіки, процесів мислення. У. У. Сойєр у книзі "Прелюдія до математики" (, с. 7) зазначає: "Можна навчити учнів вирішувати досить багато типів завдань, але справжнє задоволення прийде лише тоді, коли ми зуміємо передати нашим вихованцям не просто знання, а гнучкість розуму ", яка б дала їм можливість надалі як самостійно вирішувати, а й ставити собі нові завдання.

Звичайно, тут існують певні межі, про які не можна забувати: багато визначається природженими здібностями, талантом. Однак, можна відзначити цілий набір факторів, що залежать від освіти та виховання. Це робить надзвичайно важливою правильну оцінку величезних невикористаних ще можливостей освіти загалом та математичної освіти зокрема.

В останні роки намітилася стала тенденція проникнення математичних методів у такі науки як історія, філологія, не кажучи вже про лінгвістику та психологію. Тому коло осіб, які у своїй подальшій професійній діяльності, можливо, будуть застосовувати математику, розширюється.

Наша система освіти влаштована так, що для багатьох школа дає єдину в житті можливість долучитися до математичної культури, опанувати цінності математики.

Який вплив математики взагалі і шкільної математики зокрема на виховання творчої особистості? Навчання під час уроків математики мистецтву вирішувати завдання доставляє нам виключно сприятливу можливість формування в учнів певного складу розуму. Необхідність дослідницької діяльності розвиває інтерес до закономірностей, вчить бачити красу та гармонію людської думки. Усе це є з погляду найважливішим елементом загальної культури. Важливий вплив надає курс математики формування різних форм мислення: логічного, просторово-геометричного, алгоритмічного. Будь-який творчий процес починається з формулювання гіпотези. Математика за відповідної організації навчання, будучи гарною школою побудови та перевірки гіпотез, вчить порівнювати різні гіпотези, знаходити оптимальний варіант, ставити нові завдання, шукати шляхи їх вирішення. Крім усього іншого, вона виробляє ще й звичку до методичної роботи, без якої не мислимо жодного творчого процесу. Максимально розкриваючи можливості людського мислення, математика є його найвищим досягненням. Вона допомагає людині в усвідомленні самого себе та формуванні свого характеру.

Це небагато з великого переліку причин, через які математичні знання мають стати невід'ємною частиною загальної культури та обов'язковим елементом у вихованні та навчанні дитини.

Курс математики (без геометрії) у нашій 10-річній школі фактично розбитий на три основні частини: на арифметику (I – V класи), алгебру (VI – VIII класи) та елементи аналізу (IX – Х класи). Що є підставою для такого підрозділу?

Звісно, ​​кожна ця частина має свою особливу "технологію". Так, в арифметиці вона пов'язана, наприклад, з обчисленнями, що виробляються над багатозначними числами, в алгебрі – з тотожними перетвореннями, логарифмуванням, в аналізі – з диференціюванням тощо. Але які глибші підстави, пов'язані з понятійним змістом кожної частини?

Наступне питання стосується підстав для розрізнення шкільної арифметики та алгебри (тобто першої та другої частини курсу). В арифметику включають вивчення натуральних чисел (цілих позитивних) та дробів (простих та десяткових). Однак спеціальний аналіз показує, що поєднання цих видів чисел в одному шкільному навчальному предметі є неправомірним.

Справа в тому, що ці числа мають різні функції: перші пов'язані з рахункомпредметів, другі - з виміром величин. Ця обставина дуже важлива для розуміння того факту, що дробові (раціональні) числа є лише окремим випадком дійсних чисел.

З погляду виміру величин, як зазначав А.Н. Колмогоров, "немає такої глибокої різниці між раціональними та ірраціональними дійсними числами. З педагогічних міркувань надовго затримуються на раціональних числах, оскільки їх легко записати у формі дробів; проте те вживання, яке їм із самого початку надається, мало б відразу призвести до дійсних числам у всій їх спільності "(), стор 9).

О.М. Колмогоров вважав виправданим як з погляду історії розвитку математики, так і по суті пропозицію А. Лебега переходити в навчанні після натуральних чисел одразу до походження та логічної природи дійсних чисел. У цьому, як зазначав А.Н. Колмогоров, " підхід до побудови раціональних і дійсних чисел з погляду виміру величин анітрохи менш навчений, ніж, наприклад, запровадження раціональних чисел як " пар " . Для школи він має безперечну перевагу " (, стор. 10).

Отже, є реальна можливість з урахуванням натуральних (цілих) чисел одночасно формувати " загальне поняття числа " (за термінологією А. Лебега), поняття дійсного числа. Але з боку побудови програми це означає не більше, ніж ліквідацію арифметики дробів у її шкільній інтерпретації. Перехід від цілих чисел до дійсних - це перехід від арифметики до "алгебри", створення фундаменту для аналізу.

Ці ідеї, висловлені понад 20 років тому, є актуальними й сьогодні. Чи можлива зміна структури навчання математики в початковій школі в цьому напрямі? Які переваги та недоліки «алгебраїзації» початкового навчання математики? Мета цієї роботи - спробувати дати відповіді поставлені питання.

Реалізація поставленої мети потребує вирішення наступних завдань:

Розгляд загальнотеоретичних аспектів запровадження у початковій школі алгебраїчних понять величини і числа. Це завдання ставиться у першому розділі роботи;

Вивчення конкретної методики навчання цих понять у початковій школі. Тут, зокрема, передбачається розглянути так звану теорію укрупнення дидактичних одиниць (УДЕ), про яку піде нижче;

Показати практичну застосовність положень, що розглядаються на шкільних уроках математики в початковій школі (уроки проводилися автором у середній школі № 4 р. Рильська). Цьому присвячено третій розділ роботи.

Стосовно бібліографії, присвяченої цьому питанню, можна назвати таке. Незважаючи на те, що останнім часом загальна кількість виданої методичної літератури з математики є вкрай незначною, дефіцит інформації при написанні роботи не спостерігався. Справді, з 1960 (час постановки проблеми) до 1990 р.р. в нашій країні вийшло величезна кількість навчальної, наукової та методичної літератури, що в тій чи іншій мірі зачіпає проблему введення алгебраїчних понять в курсі математики для початкової школи. Крім того, ці питання регулярно висвітлюються і у спеціалізованій періодиці. Так, під час написання роботи значною мірою використовувалися публікації у журналах «Педагогіка», «Викладання математики у шкільництві» і «Початкова школа».

Нас оточують об'єкти. З перших днів дитини в школі ми вивчаємо навколишній світ, у тому числі на уроках математики.

Підручник 1 кл. 1 частина. Що ми бачимо? Ми вивчаємо об'єкти. Що таке поняття про об'єкт? (Це сукупність істотних властивостей об'єкта)

У початкових класах багато математичних понять спочатку засвоюються поверхово, розпливчасто. При першому ознайомленні школярі дізнаються лише деякі властивості понять, дуже вузько представляють їх обсяг. І це є закономірним. Не всі поняття легко засвоїти. Але безперечно, що розуміння та своєчасне використання вчителем тих чи інших видів визначень математичних понять – одна з умов формування у учнів твердих знань про ці поняття.

При засвоєнні наукових знань учні початкової школи стикаються з різними видами понять. Невміння учня диференціювати поняття призводить до неадекватного засвоєння.

Концепція– це сукупність суджень, думок, у яких щось стверджується про відмітні ознаки досліджуваного об'єкта. Що маємо на увазі під обсягом поняття? (Сукупність об'єктів, позначених одним і тим же терміном)

Так, програма навчання «Школа Росії» виходить із того, що базовими поняттями початкового курсу математики є поняття «числа» та «величини», паралельно розглядаються алгебраїчний та геометричний матеріал, вирішуються текстові завдання.

У початковій школі ми починаємо давати перші визначення понять: відрізок, квадрат, промінь тощо. Що таке визначення поняття? (логічна операція, що розкриває зміст поняття)

За обсягом математичні поняття поділяються на поодинокі та загальні. Якщо обсяг поняття входить лише одне предмет, воно називається одиничним.

Приклади одиничних понять: "найменше двозначне число", "цифра 5", "квадрат, довжина сторони якого 10 см", "коло радіусом 5 см".

Загальні поняття відображає ознаки певної множини предметів. Обсяг таких понять завжди буде більшим за обсяг одного елемента.

Приклади загальних понять: «множина двоцифрових чисел», «трикутники», «рівняння», «нерівності», «числа кратні 5», «підручники математики для початкової школи».

У навчанні молодших школярів найчастіше зустрічаються контекстуальні та остенсивні визначення понять.

Будь-який уривок з тексту, будь-який контекст, в якому трапляється поняття, яке нас цікавить, є в деякому розумінні неявним його визначенням. Контекст ставить поняття у зв'язок з іншими поняттями і цим розкриває її зміст.

Наприклад, вживаючи в роботі з дітьми такі вирази, як «знайти значення виразу», «порівняти значення виразів 5 + а та (а - 3) × 2, якщо а = 7», «прочитати вирази, які є сумами», «прочитати вирази, і потім прочитати рівняння», ми розкриваємо поняття «математичний вираз» як запис, що складається з чисел чи змінних та знаків дій.

Майже всі визначення, з якими ми зустрічаємось у повсякденному житті – це контекстуальні визначення. Почувши невідоме слово, ми намагаємося самі встановити його значення на підставі всього сказаного.

Подібне має місце й у навчанні молодших школярів. Багато математичних понять у початковій школі визначаються через контекст. Це, наприклад, такі поняття, як «великий - маленький», «який-небудь», «будь-який», «один», «багато», «число», «арифметичну дію», «рівняння», «завдання» тощо .д.

Контекстуальні визначення залишаються здебільшого неповними та незавершеними. Вони застосовуються у зв'язку з непідготовленістю молодшого школяра до засвоєння повного і більше наукового визначення.

Остенсивні визначення – це визначення шляхом демонстрації. Вони нагадують звичайні контекстуальні визначення, але контекстом тут не уривок будь-якого тексту, а ситуація, у якій виявляється об'єкт, позначений поняттям.

Наприклад, вчитель показує квадрат (малюнок чи паперову модель) і каже «Дивіться – це квадрат». Це типове остенсивне визначення.

У початкових класах остенсивні визначення застосовуються при розгляді таких понять як «червоний (білий, чорний тощо) колір», «лівий - правий», «зліва направо», «цифра», «попереднє та наступне число», «знаки арифметичних дій», «знаки порівняння», «трикутник», «чотирьохкутник», «куб» тощо.

На основі засвоєння остенсивним шляхом значень слів є можливість вводити до словника дитини вже вербальне значення нових слів та словосполучень. Остенсивні визначення – і лише вони – пов'язують слово з речами.

Зауважимо, що у початкових класах допустимі визначення на кшталт «Словом «п'ятикутник» ми називатимемо багатокутник із п'ятьма сторонами». Це так зване "номінальне визначення".

Яку структуру має поняття? (Визначається поняття = родове + видове) Наведіть приклад. Внаслідок цієї формули і побудовано вивчення математичного матеріалу у початковій школі. Наприклад, розглянемо поняття «квадрат» та «прямокутник». Обсяг поняття "квадрат" є частиною обсягу поняття "прямокутник". Тому перше називають видовим, а друге – родовим. У родовидових відносинах слід розрізняти поняття найближчого роду та наступні родові щаблі.

Наприклад, для виду "квадрат" найближчим родом буде рід "прямокутник", для прямокутника найближчим родом буде рід "паралелограм", для "паралелограма" - "чотирьохкутник", для "чотирьохкутника" - "багатокутник", а для "багатокутника" - " плоска постать».

У початкових класах вперше кожне поняття вводиться наочно шляхом спостереження конкретних предметів або практичного оперування (наприклад, за рахунку їх). Вчитель спирається на знання та досвід дітей, які вони набули ще у дошкільному віці. Ознайомлення з математичними поняттями фіксується за допомогою терміна чи терміна та символу.

Особливу увагу слід приділити поняттю число.

Число - це відношення того, що піддається кількісній оцінці (довжина, вага, обсяг та ін) до еталону, який використовується для цієї оцінки. Очевидно, що число залежить як від величини, що вимірювається, так і від еталона. Чим більший вимірювана величина, тим більше буде число при тому самому зразку. Навпаки, що більше буде стандарт (захід), то менше буде число в оцінці однієї й тієї величини. Отже, учні від початку повинні зрозуміти, що порівняння чисел за величиною можна робити лише тоді, коли за ними стоїть той самий еталон. Справді, якщо, наприклад, п'ять отримано при вимірі довжини сантиметрами, а три - при вимірі метрами, три позначають більшу величину, ніж п'ять. Якщо учні не засвоять відносної природи числа, всі вони відчуватимуть серйозні труднощі і щодо системи числення.

Натуральне числосприймається як загальне властивість класу еквівалентних кінцевих множин. Перші ставлення до числа пов'язані з кількісною характеристикою предметів.

(Багато - Сукупність деяких об'єктів, еквівалентні = рівночисленні)

Кількісна характеристика множиниусвідомлюється учнями у процесі встановлення взаємно однозначної відповідності між елементами непустої кінцевої множини і відрізком натурального числового ряду. Така взаємно однозначна відповідність називається рахунком елементів кінцевої множини. У цьому випадку кількісна характеристика непустих кінцевих множин знаходить вираз у таких відносинах, як «більше», «менше», «рівно», що позначаються відповідними символами.

На основі використання предметної наочності встановлюється, наприклад, що число кіл більше, ніж квадратів, а квадратів менше, ніж кіл.

4, отже 5 б 4, 4 м 5

Число «нуль» на поч. школі розглядається як характеристика порожньої множини на основі практичної діяльності з безліччю предметів. Для цієї мети використовуються малюнки типу:

Або з урахуванням результат арифметичного дії під час розгляду прикладів виду: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Розглядаються цілі невід'ємні числа в курсі математики початкової школи за концентрами: "Числа від 0 до 10", "Числа від 10 до 100", "Числа від 100 до 1000", "Числа, які більше 1000".

Основними поняттями у кожному концентрі є усна та письмова нумерація.

Усна нумерація- Спосіб називання кожного з чисел, що зустрічаються в життєвій практиці, за допомогою слів-числових: один, дев'ять, сто два і т.д.

Письмова нумерація– спосіб запису кожного з чисел, що зустрічаються у життєвій практиці, за допомогою цифр: 1, 2, 3…9, 0 на основі принципу помісного значення цифр (кожна цифра в залежності від місця, яке він займає в записі числа, має своє певне значення) . Наприклад, у записі числа 999 цифра 9, що стоїть першому місці справа наліво, означає у цьому числі 9 одиниць. Ця ж цифра, що стоїть на другому місці справа наліво, означає, що в числі 9 десятків і т.д.

Арифметичні дії +, -, х, : розглядаються в н. на теоретико-множинні основі.

Додаванняцілих неотрицательных чисел пов'язані з операцією об'єднання кінцевих попарно непересекающихся множин.

Відніманнянатуральних чисел розглядається на наочній основі як видалення частини кінцевої множини, що є підмножиною даної множини.

множенняцілих неотрицательных чисел сприймається як число елементів у поєднанні рівночисленних попарно непересекающихся множин.

Поділз теоретико-множинної точки зору пов'язано з розбиттям кінцевої множини на рівночисленні попарно непересічні підмножини. З його допомогою вирішуються дві задачі на поділ: віднайдення числа елементів у кожному підмножині розбиття (розподіл на рівні частини) (пр.: 15 яблук лежало на 3 тарілках. Скільки яблук на кожній тарілці?) і відшукування числа таких підмножин (поділ за змістом) (пр.: 15 яблук лежало на тарілках. На кожній тарілці лежало по 5 яблук. Скільки тарілок стояло на столі?).

Формування в учнів уявлень про кількість і десяткову систему числення тісно пов'язані з вивченням величин.

Величина- Це деяка властивість безлічі предметів або явищ.

Величина– це така властивість предметів або явищ, яка дозволяє порівняти та встановити пари об'єктів, що володіють цією властивістю рівною чи нерівною мірою.

У н. розглядаються такі величини як довжина, площа, час, обсяг, маса.

Довжина– величина, що характеризує протяжність, віддаленість та переміщення тіл або їх частин уздовж заданої лінії. Довжина відрізка або прямий– це відстань між його кінцями, виміряна будь-яким відрізком, прийнятим за одиницю виміру довжини.

Площа- Величина, що характеризує геометричні фігури на площині і визначається числом поодиноких квадратів, що заповнюють плоску фігуру, тобто. квадратів зі стороною, що дорівнює одиниці довжини. Виміряти площу фігури– означає встановити, скільки квадратних одиниць довжини (кв. см, кв.дм, кв.м і т.д.) вона містить.

Об'єм, місткість- Це величина, що характеризує геометричні тіла і визначається в найпростіших випадках числом одиничних кубів, що вміщаються в тіло, тобто. кубів з ребром, рівним одиниці довжини. Тіла можуть мати однакові (тобто тіла рівновеликі) та різні об'єми.

Маса- це фізична величина, що є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні та гравітаційні властивості. Порівняння мас тіл, дій над ними зводиться до порівняння та дій над числовими значеннями мас при одній і тій самій одиниці виміру маси.

Час- Величина, що характеризує послідовну зміну явищ і станів матерії, тривалість буття. Календар- Система рахунки днів, місяців, років. У математиці час розглядають як скалярну величину (величина, кожне значення якої можна виразити одним дійсним числом), т.к. проміжки часу мають властивості, схожі на властивості довжини, площі, маси. Проміжки часу так само, як і інші скалярні величини, можна порівнювати, складати, віднімати, множити і ділити на дійсне позитивне число. Між величинами одного роду мають місце відношення: "більше", "менше", "рівно".

На наочній основі вводяться поняття про частку величини та дробу. Часткарозглядається як одна з рівних частин цілого. Дрібвизначається як пара натуральних чисел ( а, n), що характеризує безліч А однакових часток одиниці; перше з них апоказує, скільки « n-их» часток містить А і називається чисельників дробу, друге n –на скільки однакових часток розділена одиниця і називається знаменником дробу.

Паралельно з арифметичним матеріалом та вивченням величин розглядається теоретичний матеріал: комутативна властивість складання та множення (переміщувальна); сполучна властивість множення та додавання (асоціативна), розподільна властивість поділу щодо суми та різниці; розподільна властивість поділу щодо суми та різниці; дистрибутивна властивість множення щодо додавання та віднімання – розглядаються як правила множення суми (різниці) на число (a + b) x c = a x c + b x c. Крім того, розглядається залежність між компонентами та результатом арифметичної дії. Пізніше з урахуванням цієї залежності розглядається рішення рівнянь.

У шкільній практиці багато вчителів домагаються від учнів заучування визначень понять і вимагають знання їх основних властивостей, що доводяться. Проте результати такого навчання зазвичай є незначними. Це тому, більшість учнів, застосовуючи поняття, засвоєні у шкільництві, спираються на малоістотні ознаки, істотні ознаки понять учні усвідомлюють і відтворюють лише за відповіді питання, потребують визначення поняття. Часто учні безпомилково відтворюють поняття, тобто виявляють знання його суттєвих ознак, але застосувати ці знання практично не можуть, спираються ті випадкові ознаки, виділені завдяки безпосередньому досвіду. Процесом засвоєння понять можна управляти, формувати їх із заданими якостями.

Докладніше зупинимося на поетапному формуванні понять.

Після виконання п'яти-восьми завдань із реальними предметами чи моделями учні без жодного заучування запам'ятовують і ознаки поняття, і правило дії. Потім дія перетворюється на зовнішньомовну форму, коли завдання даються письмово, а ознаки понять, правило, і припис називаються чи записуються учнями з пам'яті. На цьому етапі учні можуть працювати парами, по черзі виступаючи то ролі виконавця, то ролі контролера.

У тому випадку, коли дія легко і правильно виконується у зовнішньомовній формі, її можна перевести у внутрішню форму. Завдання дається письмово, а відтворення ознак, їх перевірку, порівняння отриманих результатів із правилом учень робить для себе. Учень все ще отримує вказівки типу «Назви про себе першу ознаку», «Перевір, чи він» і т.д. Спочатку контролюється правильність кожної операції та кінцевої відповіді. Поступово контроль здійснюється лише за кінцевим результатом і проводиться у міру потреби.

Якщо дію виконується правильно, його переводять на розумовий етап: учень сам і виконує, і контролює дію. У програмі навчання цьому етапі передбачається контроль із боку навчального лише за кінцевим продуктом дії; учень отримує зворотний зв'язок за наявності труднощів чи невпевненості у правильності результату. Процес виконання тепер прихований, дія стала цілком розумовим, ідеальним, але зміст його відомий навчальному, оскільки він сам його будував і сам перетворив з дії зовнішнього, матеріального.

Так поступово відбувається перетворення дії формою. Перетворення дії із узагальненості забезпечується спеціальним підбором завдань. У цьому враховується як специфічна, і загальнологічна частина орієнтовної основи действия.

Для узагальнення специфічної частини, пов'язаної із застосуванням системи необхідних та достатніх ознак, даються для розпізнавання всі типові види об'єктів, що належать до цього поняття. Так, при формуванні поняття кут важливо, щоб учні попрацювали з кутами, що відрізняються за величиною (від 0 до 360 і більше), за становищем в просторі і т.п. Крім того, важливо взяти і такі об'єкти, які мають лише деякі ознаки цього поняття, але до нього не належать.

Для узагальнення логічної частини дії розпізнавання даються аналізу всі основні випадки, передбачені логічним правилом підведення під поняття, тобто. завдання з позитивною, негативною та невизначеною відповідями. Можна також включати завдання з надмірними умовами. Характерно, що в практиці навчання, як правило, дається лише один тип завдань: з достатнім складом умов та позитивною відповіддю. У результаті учні засвоюють дію розпізнавання недостатньо узагальненому вигляді, що, природно, обмежує межі його застосування. Завдання з надмірними, невизначеними умовами дають можливість навчити учнів як виявляти ті чи інші ознаки у предметах, а й встановлювати достатність їх на вирішення завдання. Останні у життєвій практиці часто виступають як самостійна проблема.

Перетворення дії за двома іншими властивостями досягається повторюваністю однотипних завдань. Робити це доцільно, як було зазначено, лише на останніх етапах. На всіх інших етапах дається лише така кількість завдань, що забезпечує засвоєння впливу у цій формі. Затримувати дію на перехідних формах не можна, оскільки це призведе до автоматизації їх у цій формі, що перешкоджає перекладу на нову, пізню форму.

Вивчення алгебраїчного матеріалу у початковій школі. Введення елементів алгебри в початковий курс математики дозволяє від початку навчання вести планомірну роботу, спрямовану формування в дітей віком таких найважливіших математичних понять, як вираз, рівність, нерівність, рівняння. Включення елементів алгебри має на меті головним чином повніше і глибше розкриття арифметичних понять, доведення узагальнень учнів до вищого рівня, і навіть створення передумов успішного засвоєння надалі курсу алгебри. Ознайомлення з використанням літери як символу, що позначає будь-яке число з відомої дітям області чисел, створює умови для узагальнення багатьох з питань арифметичної теорії, що розглядаються в початковому курсі, є гарною підготовкою до ознайомлення дітей надалі з поняттями змінної, функції. Більш раннє ознайомлення з використанням способу розв'язання алгебри дозволяє внести серйозні вдосконалення у всю систему навчання дітей вирішенню різноманітних текстових завдань. Робота над усіма перерахованими питаннями змісту алгебри, відповідно до того, як це намічено в підручниках, повинна вестися планомірно і систематично протягом усіх років початкового навчання. Вивчення елементів алгебри у початковому навчанні математики тісно пов'язують із вивченням арифметики. Це виражається, зокрема, і в тому, що, наприклад, рівняння та нерівності вирішуються не на основі застосування апарату алгебри, а на основі використання властивостей арифметичних дій, на основі взаємозв'язку між компонентами і результатами цих дій. Формування кожного з аналізованих понять алгебри не доводиться до формально-логічного визначення. Завдання вивчення темы: 1. Сформувати в учнів вміння читати, записувати і порівнювати числові висловлювання. 2. Ознайомити учнів з правилами виконання порядку дій у числових виразах та виробити вміння обчислювати значення виразів відповідно до цих правил. 3. Сформувати в учнів уміння читати, записувати буквені висловлювання і обчислювати їх значення за даних значеннях букв. 4. Познайомити учнів з рівняннями першого ступеня, що містить дії першого та другого ступеня, сформувати вміння вирішувати їх способом підбору, а також на основі знання взаємозв'язку між компонентами та результатом арифметичних дій. Математичні вирази. При формуванні у дітей поняття математичного виразу необхідно враховувати, що знак дії, поставлений між числами, має два сенси: з одного боку, він позначає дію, яку треба виконати над числами (наприклад, 6+4 – до шести додати чотири); з іншого боку, знак дії служить позначення виразу (6+4 - це сума чисел 6 і 4). Поняття про вираз формується у молодших школярів у зв'язку з поняттями про арифметичні дії та сприяє кращому їх засвоєнню. Ознайомлення з числовими виразами: у методиці роботи над виразами передбачаються два етапи. У першому їх формується поняття про найпростіших висловлюваннях (сума, різницю, твір, приватне двох чисел), але в другому- про складних (сума твори і числа, різницю двох приватних тощо. п.). Знайомство з першим виразом - сумою двох чисел відбувається в I класі при вивченні додавання та віднімання в межах 10. Виконуючи операції над множинами, учні, перш за все, засвоюють конкретний зміст додавання та віднімання, тому в записах виду 5+1, 6-2 знаки дій усвідомлюються ними як коротке позначення слів «додати», «відняти». Приблизно в такому ж плані йде робота над такими виразами: різницею (1 клас), твором та часткою двох чисел (2 клас). Вводяться терміни «математичний вираз» та «значення математичного виразу» (без визначень). Після запису кількох прикладів на одну дію вчитель повідомляє, що ці приклади інакше називаються математичними виразами. Правило, що використовується під час читання виразів: 1) встановити, яка дія виконується останнім; 2) згадати, як називаються числа у цій дії; 3) прочитати, чим виражені ці цифри. Вправи у читанні та запису складних виразів, що містять компоненти дій, задані найпростішими виразами, допомагають дітям засвоїти правила порядку дій, а також готують до розв'язування рівнянь. Пропонуючи подібні вправи та перевіряючи знання та вміння учнів, вчитель повинен прагнути лише до того, щоб вони вміли практично виконувати подібні завдання: записати вираз, прочитати його, скласти вираз за запропонованим завданням, скласти завдання за цим виразом (або по-різному) прочитати дане вираз), розуміли, що означає записати суму (різницю) за допомогою цифр і знаків дій і що означає обчислити суму (різницю), а надалі, після введення відповідних термінів, що означає скласти вираз і що означає знайти його значення. Вивчення правил порядку действий. Мета роботи на даному етапі - спираючись на практичні вміння учнів, звернути їхню увагу на порядок виконання дій у таких виразах та сформулювати відповідне правило. Учні самостійно вирішують підібрані вчителем приклади і пояснюють, у порядку виконували дії кожному прикладі. Потім формулюють самі чи читають за підручником висновок. Робота ведеться в такій послідовності: 1. Розглядається правило про порядок виконання дій у виразах без дужок, коли над числами виробляють або тільки додавання та віднімання, або тільки множення та розподіл. Висновок: якщо у виразі без дужок зазначені лише дії додавання та віднімання (або тільки дії множення та поділу), то їх виконують у тому порядку, в якому вони записані (тобто зліва направо). 2. Аналогічно вивчають порядок дій у виразах із дужками виду: 85-(46-14),60: (30-20), 90: (2*5). З такими висловлюваннями учні також знайомі та вміють їх читати, записувати та обчислювати їх значення. Пояснивши порядок виконання дій у кількох таких висловлюваннях, діти формулюють висновок: у виразах із дужками першим виконується дія над числами, записаними у дужках. 3. Найбільш важким є правило порядку виконання дій у виразах без дужок, коли в них містяться дії першого та другого ступеня. Висновок: порядок дій прийнято за домовленістю: спочатку виконується множення, розподіл, потім додавання, віднімання зліва направо. 4. Вправи на обчислення значення виразів, коли учневі доводиться застосовувати усі вивчені правила. Ознайомлення з тотожними перетвореннями виразів. Тотожне перетворення висловлювання - це заміна даного виразу іншим, значення якого дорівнює значенню заданого виразу. Учні виконують такі перетворення висловів, спираючись на властивості арифметичних процесів і наслідки, які з них (як додати суму до числа, як відняти число з суми, як помножити число на твір та інших.). При вивченні кожної властивості учні переконуються в тому, що у виразах певного виду можна виконувати дії по-різному, але значення виразу при цьому не змінюється (значення виразу не змінюється при зміні порядку дій лише у тому випадку, якщо при цьому застосовуються властивості дій) Ознайомлення з буквене позначення. Вже в I класі виникає необхідність запровадження символу, що означає невідоме число. У навчальній та методичній літературі з цією метою для учнів пропонувалися найрізноманітніші знаки: багатокрапка, обведена порожня клітина, зірочки, знак питання тощо. Але оскільки всі ці знаки потрібно використовувати в іншому призначенні, то для запису невідомого числа слід використовувати загальноприйнятий для цього знак - букву. Надалі буква як математичний символ використовується у початковому навчанні математики також для запису узагальнених чисел, тобто коли маються на увазі не одне якесь ціле невід'ємне число, а будь-яке число. Така необхідність виникає, коли треба висловити властивості арифметичних процесів. Літери необхідні позначення величин і записи формул, що відбивають залежності між величинами, позначення точок, відрізків, вершин геометричних фігур. У I класі учні застосовують літеру із метою - позначення невідомого шуканого числа. Учні знайомляться з написанням та читанням деяких латинських літер, застосовуючи їх одразу для запису прикладів з невідомим числом (найпростіші рівняння). Учням показується, як перекласти мову математичних символів завдання, виражене словесно: «До невідомого числа додали 2 і отримали 6. Знайти невідоме число». Вчитель пояснює, як записати це завдання: позначити невідоме число буквою х, потім показати за допомогою знака +, що до невідомого числа додали 2 і отримали число, що дорівнює 6, що і записати, використовуючи знак рівності: х + 2 = 6. Тепер треба виконувати дію віднімання, щоб за сумою двох доданків і одному з них знайти інше доданок. p align="justify"> Основна робота з використанням літери як математичного символу виконується в наступних класах. При введенні буквених виразів важливу роль у системі вправ грає вміле комбінування індуктивного та дедуктивного методів. Відповідно до цього вправи передбачають переходи від числових виразів до літерних і, навпаки, від літерних виразів до числових. а + b (а плюс b) також математичний вираз, тільки в ньому доданки позначені літерами: кожна з літер позначає будь-які числа. Надаючи буквам різні числові значення, можна отримати багато скільки завгодно числових виразів. Далі у зв'язку з роботою над висловлюваннями розкривається поняття незмінною. З цією метою розглядаються вирази, у яких постійна величина фіксується за допомогою цифр, наприклад: a±12, 8±с. Тут, як і попередньому етапі, передбачаються вправи на перехід від числових виразів до виразів, записаним з допомогою літер і цифр, і назад. Аналогічно можна отримати математичні вирази виду: 17±п, к±30, а пізніше - вирази виду: 7 * b, а: 8, 48: d. p align="justify"> Робота з обчислення значень буквених виразів при різних значеннях букв, спостереженню за зміною результатів обчислень в залежності від зміни компонентів дій закладає основи для формування поняття про змінну. Розглядаються вправи перебування числових значень виразів при даних значеннях букви. Далі літери використовуються для запису в узагальненому вигляді раніше вивчених на конкретних числових прикладах властивостей арифметичних процесів. Учні, виконуючи спеціальні вправи, опановують такі вміння: 1. Записати за допомогою літер властивості арифметичних дій, зв'язок між компонентами та результатами арифметичних дій. 2. Прочитати записані з допомогою літер властивості арифметичних процесів, залежності, відносини. 3. Виконати тотожне перетворення висловлювання з урахуванням знання властивостей арифметичних действий. 4. Довести справедливість заданих рівностей чи нерівностей за допомогою числової підстановки. Використання буквеної символіки сприяє підвищенню рівня узагальнення знань, що набувають учнів початкових класів, і готує їх до вивчення систематичного курсу алгебри в наступних класах. Рівності, нерівності. У практиці навчання у початкових класах числові висловлювання від початку розглядаються в нерозривному зв'язку з числовими рівностями і нерівностями. У математиці числові рівності та нерівності діляться на справжні та хибні. У початкових класах замість цих термінів вживають слова «вірні» та «невірні». Завдання вивчення рівностей і нерівностей у початкових класах полягають у тому, щоб навчити учнів практично оперувати рівностями і нерівностями: порівнювати числа, порівнювати арифметичні висловлювання, вирішувати найпростіші нерівності з одним невідомим, переходити від нерівності до рівності і рівності до нерівності. Поняття про рівність, нерівності розкриваються у взаємозв'язку. При вивченні арифметичного матеріалу. Числові рівності та нерівності вивчаються в результаті порівняння заданих чисел або арифметичних виразів. Тому знаками «>», «<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.