Збільшення функції та аргументу визначення похідної. Знайти значення похідної функції у точці х0

Зміст статті

ВИРОБНИЧА-Похідної функції y = f(x), заданої на деякому інтервалі ( a, b) у точці xцього інтервалу називається межа, до якої прагне відношення збільшення функції fу цій точці до відповідного збільшення аргументу, коли збільшення аргументу прагне до нуля.

Похідну прийнято позначати так:

Широко використовуються й інші позначення:

Миттєва швидкість.

Нехай крапка Mрухається прямою. Відстань sточки, що рухається, що відраховується від деякого початкового її положення M 0 , залежить від часу t, тобто. sє функція часу t: s= f(t). Нехай у певний момент часу tточка, що рухається Mзнаходилась на відстані sвід початкового становища M 0, а в деякий наступний момент t+ D tопинилася в положенні M 1 - на відстані s+ D sвід початкового положення ( див. рис.).

Таким чином, за проміжок часу D tвідстань sзмінилося на величину D s. І тут кажуть, що з проміжок часу D tвеличина sотримала приріст D s.

Середня швидкість не може у всіх випадках точно охарактеризувати швидкість переміщення точки. Mу момент часу t. Якщо, наприклад, тіло на початку проміжку D tпереміщалося дуже швидко, а в кінці дуже повільно, то середня швидкість не зможе відобразити зазначених особливостей руху точки і дати уявлення про справжню швидкість її руху в момент t. Щоб точніше виразити справжню швидкість за допомогою середньої швидкості, треба взяти менший проміжок часу D t. Найбільш повно характеризує швидкість руху точки у момент tта межа, до якої прагне середня швидкість при D t® 0. Цю межу називають швидкістю руху в даний момент:

Таким чином, швидкістю руху в даний момент називається межа відношення збільшення шляху D sдо збільшення часу D t, коли приріст часу прагне до нуля. Так як

Геометричне значення похідної. Дотична до графіка функції.

Побудова дотичних – одне з завдань, які призвели до народження диференціального обчислення. Перша опублікована праця, що відноситься до диференціального числення і належить перу Лейбніца, мала назву Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою ні дробові, ні ірраціональні величини, і особливий для цього рід обчислення.

Нехай крива є графік функції y =f(x) у прямокутній системі координат ( см. Рис.).

За деякого значення xфункція має значення y =f(x). Цим значенням xі yна кривій відповідає точка M 0(x, y). Якщо аргументу xдати приріст D x, то нове значення аргументу x+ D xвідповідає нове значення функції y+ D y = f(x + D x). Відповідною йому точкою кривою буде точка M 1(x+ D x,y+ D y). Якщо провести січну M 0M 1 і позначити через j кут, утворений січною з позитивним напрямком осі Ox, З малюнка безпосередньо видно, що .

Якщо тепер D xпрагне до нуля, то точка M 1 переміщається вздовж кривої, наближаючись до точки M 0, і кут j змінюється зі зміною D x. При Dx® 0 кут j прагне до деякої межі a і пряма, що проходить через точку M 0 і складова з позитивним напрямом осі абсцис кут a буде шуканою дотичною. Її кутовий коефіцієнт:

Отже, f´( x) = tga

тобто. значення похідної f´( x) при даному значенні аргументу xдорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до графіка функції f(x) у відповідній точці M 0(x,y) з позитивним напрямом осі Ox.

Диференційність функцій.

Визначення. Якщо функція y = f(x) має похідну в точці x = x 0, то функція диференційована у цій точці.

Безперервність функції, що має похідну. Теорема.

Якщо функція y = f(x) диференційована в деякій точці x = x 0, то вона у цій точці безперервна.

Таким чином, у точках розриву функція не може мати похідну. Зворотний висновок не так, тобто. з того, що в якійсь точці x = x 0 функція y = f(x) безперервна годі було, що у цій точці диференційована. Наприклад, функція y = |x| безперервна для всіх x(–Ґ х x = 0 не має похідної. У цій точці не існує дотичної до графіка. Є права дотична та ліва, але вони не збігаються.

Деякі теореми про функції, що диференціюються. Теорема про коріння похідної (теорема Роля).Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [a,b], що диференціюється у всіх внутрішніх точках цього відрізка і на кінцях x = aі x = bзвертається в нуль ( f(a) = f(b) = 0), то всередині відрізка [ a,b] існує, принаймні одна, точка x= з, a c b, у якій похідна fў( x) перетворюється на нуль, тобто. fў( c) = 0.

Теорема про кінцеві прирости (теорема Лагранжа).Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b] і диференційована у всіх внутрішніх точках цього відрізка, то всередині відрізка [ a, b] знайдеться принаймні одна точка з, a c b, що

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Теорема про відношення збільшення двох функцій (теорема Коші).Якщо f(x) та g(x) – дві функції, безперервні на відрізку [a, b] та диференційовані у всіх внутрішніх точках цього відрізка, причому gў( x) ніде всередині цього відрізка не перетворюється на нуль, то всередині відрізка [ a, b] знайдеться така точка x = з, a c b, що

Похідні різних систем.

Нехай функція y =f(x) диференційована на деякому відрізку [ a, b]. Значення похідної f ў( x), взагалі кажучи, залежать від x, тобто. похідна f ў( x) являє собою також функцію від x. При диференціації цієї функції виходить так звана друга похідна функції f(x), яка позначається f ўў ( x).

Похідний n-го порядку від функції f(x) називається похідна (першого порядку) від похідної n- 1- го і позначається символом y(n) = (y(n- 1)) в.

Диференціали різних систем.

Диференціал функції y = f(x), де x- незалежна змінна, є dy = f ў( x)dx, деяка функція від x, але від xможе залежати лише перший співмножник f ў( x), другий же співмножник ( dx) є збільшенням незалежної змінної xі значення цієї змінної залежить. Так як dyє функція від x, можна визначити диференціал цієї функції. Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом або диференціалом другого порядку цієї функції та позначається d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціала n- 1- го порядку:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Приватна похідна.

Якщо функція залежить не від одного, а від кількох аргументів x i(iзмінюється від 1 до n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), то в диференціальному обчисленні вводиться поняття приватної похідної, яка характеризує швидкість зміни функції кількох змінних, коли змінюється лише один аргумент, наприклад, x i. Приватна похідна 1-го порядку по x iвизначається як звичайна похідна, у своїй передбачається, що це аргументи, крім x iзберігають постійні значення. Для приватних похідних вводяться позначення

Певні таким чином приватні похідні одного порядку (як функції тих самих аргументів) можуть, своєю чергою, також мати приватні похідні, це приватні похідні другого порядку і т.д. Взяті з різних аргументів такі похідні називаються змішаними. Безперервні змішані похідні одного порядку не залежить від порядку диференціювання і рівні між собою.

Ганна Чугайнова

Дорогі друзі! До групи завдань, пов'язаних з похідною, входять завдання — в умові дано графік функції, кілька точок на цьому графіку і стоїть питання:

У якій точці значення похідної найбільше (найменше)?

Коротко повторимо:

Похідна в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної проходить черезцю точку графіка.

Уголовний коефіцієнт дотичної у свою чергу дорівнює тангенсу кута нахилу цієї дотичної.

*Мається на увазі кут між дотичною та віссю абсцис.

1. На інтервалах зростання функції похідна має позитивне значення.

2. На інтервалах її спадання похідна має негативне значення.

Розглянемо наступний ескіз:

У точках 1,2,4 похідна функції має негативне значення, оскільки ці точки належать інтервалам спадання.

У точках 3,5,6 похідна функції має позитивне значення, оскільки ці точки належать інтервалам зростання.

Як бачимо, зі значенням похідної все ясно, тобто визначити який вона має знак (позитивний чи негативний) у певній точці графіка зовсім нескладно.

При чому, якщо ми подумки побудуємо дотичні в цих точках, то побачимо, що прямі кути, що проходять через точки 3, 5 і 6 утворюють з віссю оХ, що лежать в межах від 0 до 90 про, а прямі проходять через точки 1, 2 і 4 утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о.

*Взаємозв'язок зрозумілий: дотичні проходять через точки належать інтервалам зростання функції утворюють з віссю оХ гострі кути, дотичні проходять через точки належать інтервалам зменшення функції утворюють з віссю оХ тупі кути.

Тепер важливе питання!

А як змінюється значення похідної? Адже дотична у різних точках графіка безперервної функції утворює різні кути, залежно від цього, через яку точку графіка вона проходить.

*Або, кажучи простою мовою, дотична розташована як би «горизонтальніше» або «вертикальніше». Подивіться:

Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 0 до 90 о

Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о

Тому, якщо стоятимуть питання:

— в якій із точок графіка значення похідної має найменше значення?

— у якій із точок графіка значення похідної має найбільше значення?

то для відповіді необхідно розуміти, як змінюється значення тангенсу кута дотичної в межах від 0 до 180 о.

*Як уже сказано, значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до осі оХ.

Значення тангенсу змінюється так:

При зміні кута нахилу прямої від 0 до 90 про значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно від 0 до +∞;

При зміні кута нахилу прямий від 90 до 180 значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно –∞ до 0.

Наочно це видно за графіком функції тангенсу:

Говорячи простою мовою:

При куті нахилу дотичної від 0 до 90 про

Чим він ближче до 0о, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з позитивного боку).

Чим кут ближче до 90о, тим більше значення похідної буде збільшуватися до +∞.

При куті нахилу дотичної від 90 до 180 про

Чим він ближчий до 90 про, тим більше значення похідної зменшуватиметься до –∞.

Чим кут буде ближче до 180 про, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з негативного боку).

317543. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 2. У якій із цих точок значення похідної найбільше? У відповіді вкажіть цю точку.

Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам на яких функція зменшується (це точки -1 і 1) і два інтервалам на яких функція зростає (це точки -2 і 2).

Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 1 похідна має негативне значення, у точках –2 і 2 вона має позитивне значення. Отже в даному випадку необхідно проаналізувати точки -2 і 2 і визначити в якому значення буде найбільшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:

Значення тангенсу кута між прямою a і віссю абсцис буде більшим за значення тангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці –2 буде найбільшим.

Відповімо на таке запитання: у якій із точок –2, –1, 1 чи 2 значення похідної є найбільшим негативним? У відповіді вкажіть цю точку.

Похідна матиме негативне значення в точках, що належать інтервалам спадання, тому розглянемо точки -2 і 1. Побудуємо дотичні проходять через них:

Бачимо, що тупий кут між прямою b і віссю оХ знаходиться «ближче» до 180про , Тому його тангенс буде більше тангенса кута, утвореного прямою а і віссю ОХ.

Таким чином, у точці х = 1 значення похідної буде найбільшим негативним.

317544. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 4. У якій із цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.

Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам, на яких функція зменшується (це точки –1 та 4) та дві інтервалам, на яких функція зростає (це точки –2 та 1).

Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 4 похідна має негативне значення, у точках –2 і 1 вона має позитивне значення. Отже, у разі необхідно проаналізувати точки –1 і 4 і визначити – у якому їх значенні буде найменшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:

Значення тангенсу кута між прямою a і віссю абсцис буде більшим за значення тангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці х = 4 буде найменшим.

Відповідь: 4

Сподіваюся, що «не перенавантажив» вас кількістю написаного. Насправді все дуже просто, варто тільки зрозуміти властивості похідної, її геометричний зміст і як змінюється значення тангенса кута від 0 до 180 о.

1. Спочатку визначте знаки похідної в даних точках (+ або -) та оберіть необхідні точки (залежно від поставленого питання).

2. Побудуйте дотичні у цих точках.

3. Користуючись графіком тангесоїди, схематично позначте кути та відобразітьА Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

(\large\bf Похідна функції)

Розглянемо функцію y=f(x), задану на інтервалі (a, b). Нехай x- будь-яка фіксована точка інтервалу (a, b), а Δx- довільне число, таке, що значення x+Δxтакож належить інтервалу (a, b). Це число Δxназивають збільшенням аргументу.

Визначення. Збільшенням функції y=f(x)у точці x, що відповідає прирощенню аргументу Δx, назвемо число

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Вважаємо, що Δx ≠ 0. Розглянемо у цій фіксованій точці xвідношення збільшення функції в цій точці до відповідного збільшення аргументу Δx

Це ставлення називатимемо різницевим ставленням. Оскільки значення xми вважаємо фіксованим, різницеве ​​ставлення є функцією аргументу Δx. Ця функція визначена для всіх значень аргументу Δx, Що належать деякої досить малої околиці точки Δx=0, за винятком самої точки Δx=0. Таким чином, ми маємо право розглядати питання про існування межі зазначеної функції при Δx → 0.

Визначення. Похідної функції y=f(x)у цій фіксованій точці xназивається межа при Δx → 0різницевих відносин, тобто

За умови, що ця межа існує.

Позначення. y′(x)або f′(x).

Геометричний зміст похідної: Похідна від функції. f(x)у цій точці xдорівнює тангенсу кута між віссю Oxі щодо графіку цієї функції у відповідній точці:

f′(x 0) = \tgα.

Механічний сенс похідної: Похідна від шляху за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху точки:

Рівняння дотичної до лінії y=f(x)у точці M 0 (x 0, y 0)набуває вигляду

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Нормаллю до кривої в деякій її точці називається перпендикуляр до дотичної в тій же точці. Якщо f′(x 0)≠ 0, то рівняння нормалі до лінії y=f(x)у точці M 0 (x 0, y 0)записується так:

Поняття диференційованості функції

Нехай функція y=f(x)визначено на деякому інтервалі (a, b), x- деяке фіксоване значення аргументу цього інтервалу, Δx- будь-яке приріст аргументу, таке, що значення аргументу x+Δx ∈ (a, b).

Визначення. Функція y=f(x)називається диференційованою в даній точці x, якщо збільшення Δyцієї функції у точці x, що відповідає збільшенню аргументу Δx, може бути представимо у вигляді

Δy = A Δx +αΔx,

де A- деяке число, що не залежить від Δx, а α - функція аргументу Δx, що є нескінченно малою при Δx→ 0.

Так як добуток двох нескінченно малих функцій αΔxє нескінченно малою вищого порядку, ніж Δx(властивість 3 нескінченно малих функцій), то можемо записати:

Δy = A Δx +o(Δx).

Теорема. Для того, щоб функція y=f(x)була диференційованою в даній точці xнеобхідно, і достатньо, щоб вона мала в цій точці кінцеву похідну. При цьому A=f′(x), тобто

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Операцію знаходження похідної зазвичай називають диференціюванням.

Теорема. Якщо функція y=f(x) x, то вона безперервна у цій точці.

Зауваження. З безперервності функції y=f(x)у цій точці xвзагалі кажучи, не випливає диференційованість функції f(x)у цій точці. Наприклад, функція y=|x|- безперервна у точці x=0але не має похідної.

Поняття диференціалу функції

Визначення. Диференціалом функції y=f(x)називається твір похідної цієї функції на збільшення незалежної змінної x:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Для функції y=xотримуємо dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, тобто dx=Δx- диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної.

Таким чином, можемо записати

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Диференціал dyта приріст Δyфункції y=f(x)у цій точці x, обидва відповідають одному й тому збільшенню аргументу Δx, Загалом кажучи, не рівні один одному.

Геометричний зміст диференціала: Диференціал функції дорівнює приросту ординати щодо графіку даної функції, коли аргумент отримує прирощення Δx.

Правила диференціювання

Теорема. Якщо кожна з функцій u(x)і v(x)диференційована в даній точці x, то сума, різниця, добуток і приватне виконання цих функцій (приватне за умови, що v(x)≠ 0) також диференційовані в цій точці, причому мають місце формули:

Розглянемо складну функцію y=f(φ(x))≡ F(x), де y=f(u), u=φ(x). В цьому випадку uназивають проміжним аргументом, x - незалежної змінної.

Теорема. Якщо y=f(u)і u=φ(x)- диференційовані функції своїх аргументів, то похідна складної функції y=f(φ(x))Існує і дорівнює добутку цієї функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу незалежної змінної, тобто.

Зауваження. Для складної функції, яка є суперпозицією трьох функцій y=F(f(φ(x))), правило диференціювання має вигляд

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

де функції v = φ (x), u=f(v)і y=F(u)- функції, що диференціюються своїх аргументів.

Теорема. Нехай функція y=f(x)зростає (або зменшується) і безперервна в деякій околиці точки x 0. Нехай, крім того, ця функція диференційована у вказаній точці x 0та її похідна в цій точці f′(x 0) ≠ 0. Тоді в деякій околиці відповідної точки y 0 = f(x 0)визначено зворотну для y=f(x)функція x=f -1 (y), причому зазначена зворотна функція диференційована у відповідній точці y 0 = f(x 0)і для її похідної у цій точці yсправедлива формула

Таблиця похідних

Інваріантність форми першого диференціалу

Розглянемо диференціал складної функції. Якщо y=f(x), x=φ(t)- диференційовані функції своїх аргументів, то похідна функції y=f(φ(t))виражається формулою

y′ t = y′ x x′ t.

За визначенням dy=y′ t dtтоді отримаємо

dy = y′t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Отже, довели,

Властивість інваріантності форми першого диференціалу функції: як у випадку, коли аргумент xє незалежною змінною, так і у випадку, коли аргумент xсам є диференційованою функцією нової змінної, диференціал dyфункції y=f(x)дорівнює похідної цієї функції, помноженої на диференціал аргументу dx.

Застосування диференціала у наближених обчисленнях

Ми показали, що диференціал dyфункції y=f(x), взагалі кажучи, не дорівнює прирощенню Δyцієї функції. Проте з точністю до нескінченно малої функції вищого порядку малості, ніж Δx, справедливо наближена рівність

Δy ≈ dy.

Ставлення називають відносною похибкою рівності цієї рівності. Так як Δy-dy=o(Δx), то відносна похибка даної рівності стає як завгодно малою при зменшенні |Δх|.

Враховуючи що Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, отримаємо f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxабо

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Ця наближена рівність дозволяє з помилкою o(Δx)замінити функцію f(x)в малій околиці точки x(тобто для малих значень Δx) лінійною функцією аргументу Δx, що стоїть у правій частині.

Похідні вищих порядків

Визначення. Другий похідний (або похідний другого порядку) функції y=f(x)називається похідна від першої похідної.

Позначення другої похідної функції y=f(x):

Механічний зміст другої похідної. Якщо функція y=f(x)описує закон руху матеріальної точки по прямій лінії, то друга похідна f″(x)дорівнює прискоренню точки, що рухається в момент часу x.

Аналогічно визначається третя, четверта похідна.

Визначення. n-ї похідної (або похідної n-го порядку) функції y=f(x)називається похідна від неї n-1-ї похідної:

y (n) = (y (n-1)) ', f (n) (x) = (f (n-1) (x)) '.

Позначення: y″′, y IV, y Vі т.д.

Вирішувати фізичні завдання чи приклади з математики зовсім неможливо без знань про похідну та методи її обчислення. Похідна – одне з найважливіших понять математичного аналізу. Цій фундаментальній темі ми вирішили присвятити сьогоднішню статтю. Що таке похідна, який її фізичний та геометричний зміст, як порахувати похідну функції? Всі ці питання можна поєднати в одне: як зрозуміти похідну?

Геометричний та фізичний зміст похідної

Нехай є функція f(x) , задана в певному інтервалі (a, b) . Точки х і х0 належать до цього інтервалу. При зміні х змінюється сама функція. Зміна аргументу – різниця його значень х-х0 . Ця різниця записується як дельта ікс і називається збільшенням аргументу. Зміною або збільшенням функції називається різниця значень функції у двох точках. Визначення похідної:

Похідна функції у точці – межа відношення збільшення функції у цій точці до збільшення аргументу, коли останнє прагне нулю.

Інакше це можна записати так:

Який сенс у знаходженні такої межі? А ось який:

похідна від функції в точці дорівнює тангенсу кута між віссю OX і щодо графіку функції в даній точці.

Фізичний зміст похідної: похідна шляхи за часом дорівнює швидкості прямолінійного руху.

Дійсно, ще зі шкільних часів всім відомо, що швидкість – це приватна дорога. x=f(t) та часу t . Середня швидкість за деякий проміжок часу:

Щоб дізнатися швидкість руху в момент часу t0 потрібно обчислити межу:

Правило перше: виносимо константу

Константу можна винести за знак похідної. Більше того – це потрібно робити. При вирішенні прикладів математики візьміть за правило - якщо можете спростити вираз, обов'язково спрощуйте .

приклад. Обчислимо похідну:

Правило друге: похідна суми функцій

Похідна суми двох функцій дорівнює сумі похідних цих функцій. Те саме справедливо і для похідної різниці функцій.

Не наводитимемо доказ цієї теореми, а краще розглянемо практичний приклад.

Знайти похідну функції:

Правило третє: похідна робота функцій

Похідна твори двох функцій, що диференціюються, обчислюється за формулою:

Приклад: знайти похідну функції:

Рішення:

Тут важливо сказати про обчислення похідних складних функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

У наведеному вище прикладі ми зустрічаємо вираз:

В даному випадку проміжний аргумент - 8х у п'ятому ступені. Для того, щоб обчислити похідну такого виразу спочатку вважаємо похідну зовнішньої функції за проміжним аргументом, а потім множимо на похідну безпосередньо проміжного аргументу незалежної змінної.

Правило четверте: похідна приватного двох функцій

Формула для визначення похідної від частки двох функцій:

Ми постаралися розповісти про похідні для чайників з нуля. Ця тема не така проста, як здається, тому попереджаємо: у прикладах часто зустрічаються пастки, так що будьте уважні при обчисленні похідних.

З будь-яким питанням з цієї та інших тем ви можете звернутися до студентського сервісу. За короткий термін ми допоможемо вирішити найскладнішу контрольну та розібратися із завданнями, навіть якщо ви ніколи раніше не займалися обчисленням похідних.

Що таке похідна?
Визначення та сенс похідної функції

Багато хто здивується несподіваному розташуванню цієї статті в моєму авторському курсі про похідну функцію однієї змінної та її додатків. Адже як було ще зі школи: стандартний підручник насамперед дає визначення похідної, її геометричний, механічний зміст. Далі учні знаходять похідні функцій за визначенням, і, власне, лише потім відточується техніка диференціювання за допомогою таблиці похідних.

Але на мій погляд, більш прагматичний наступний підхід: перш за все, доцільно ДОБРО ЗРОЗУМІТИ межа функції, і, особливо, нескінченно малі величини. Справа в тому що визначення похідної виходить з понятті межі, яке слабо розглянуте у шкільному курсі Саме тому значна частина молодих споживачів граніту знань погано вникають у суть похідної. Таким чином, якщо ви слабо орієнтуєтеся в диференціальному обчисленні або мудрий мозок за довгі роки успішно позбувся його багажу, будь ласка, почніть з меж функцій. Заодно освоїте/згадайте їхнє рішення.

Той самий практичний сенс підказує, що спочатку вигідно навчитися знаходити похідні, в тому числі похідні складних функцій. Теорія теорією, а диференціювати, як кажуть, хочеться завжди. У зв'язку з цим краще опрацювати перелічені базові уроки, а може й стати майстром диференціюваннянавіть не усвідомлюючи сутності своїх дій.

До матеріалів цієї сторінки рекомендую приступати після ознайомлення із статтею Найпростіші завдання з похідною, де, зокрема, розглянуто завдання про дотичну до графіку функції. Але можна і почекати. Справа в тому, що багато додатків похідної не вимагають її розуміння, і не дивно, що теоретичний урок з'явився досить пізно - коли мені потрібно було пояснювати знаходження інтервалів зростання/зменшення та екстремумівфункції. Більше того, він досить довго перебував у темі « Функції та графіки», Поки я все-таки не вирішив поставити його раніше.

Тому, шановні чайники, не поспішайте поглинати суть похідної як голодні звірі, бо насичення буде несмачним і неповним.

Поняття зростання, зменшення, максимуму, мінімуму функції

Багато навчальних посібників підводять до поняття похідної за допомогою будь-яких практичних завдань, і я теж вигадав цікавий приклад. Уявіть, що ми маємо подорож до міста, до якого можна дістатися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо лише прямі магістралі. Однак прямолінійні напрямки теж бувають різними: до міста можна дістатися рівним автобаном. Або по горбистій шосе - вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна - весь час під ухил. Екстремали виберуть маршрут через ущелину з крутим урвищем та стрімким підйомом.

Але які б не були ваші уподобання, бажано знати місцевість або щонайменше розташовувати її топографічною картою. А якщо такої інформації немає? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті натрапити на гірськолижний спуск із веселими фінами. Не факт, що навігатор та навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано було б формалізувати рельєф шляху засобами математики.

Розглянемо деяку дорогу (вид збоку):

Про всяк випадок нагадую елементарний факт: подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервнана ділянці, що розглядається.

Які особливості даного графіка?

На інтервалах функція зростає, тобто кожне наступне її значення більшепопереднього. Грубо кажучи, графік іде знизу вгору(забираємось на гірку). А на інтервалі функція зменшується– кожне наступне значення меншепопереднього, і наш графік йде зверху вниз(Спускаємося по схилу).

Також звернемо увагу на особливі точки. У точці ми досягаємо максимуму, тобто існуєтака ділянка шляху, на якому значення буде найбільшим (високим). У точці ж досягається мінімум, і існуєтака її околиця, у якій значення найменше (низьке).

Суворішу термінологію та визначення розглянемо на уроці про екстремуми функції, а поки що вивчимо ще одну важливу особливість: на проміжках функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі – на інтервалі графік злітає вгору набагато крутішеніж на інтервалі. Чи не можна виміряти крутість дороги за допомогою математичного інструментарію?

Швидкість зміни функції

Ідея полягає в наступному: візьмемо деяке значення (читається "дельта ікс"), яке назвемо збільшенням аргументу, і почнемо його «приміряти» до різних точок нашого шляху:

1) Подивимося на саму ліву точку: минаючи відстань, ми піднімаємося схилом на висоту (зелена лінія). Величина називається збільшенням функції, й у разі це приріст позитивно (різниця значень по осі – більше нуля). Складемо відношення, яке і буде мірилом крутості нашої дороги. Очевидно, що - це цілком конкретне число, і, оскільки обидва збільшення позитивні, то .

Увага! Позначення є ЄДИНИМсимволом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці літери окремо. Зрозуміло, коментар стосується символу збільшення функції.

Досліджуємо природу отриманого дробу змістовніше. Нехай спочатку ми знаходимося на висоті 20 метрів (у лівій чорній точці). Подолавши відстань метрів (ліва червона лінія), ми опинимося на висоті 60 метрів. Тоді збільшення функції складе метрів (зелена лінія) та: . Таким чином, на кожному метріцієї ділянки дороги висота збільшується в середньомуна 4 метри…не забули альпіністське спорядження? =) Інакше кажучи, побудоване ставлення характеризує СЕРЕДНЮ ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ (у разі – зростання) функції.

Примітка : числові значення аналізованого прикладу відповідають пропорціям креслення лише приблизно.

2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань від правої чорної точки. Тут підйом більш пологий, тому прирощення (малинова лінія) відносно невелике, і ставлення порівняно з попереднім випадком буде дуже скромним. Умовно кажучи, метрів та швидкість зростання функціїскладає. Тобто тут на кожен метр шляху доводиться в середньомупівметра підйому.

3) Невелика пригода на схилі гори. Подивимося верхню чорну точку, розташовану на осі ординат. Припустимо, що це позначка 50 метрів. Знову долаємо відстань, внаслідок чого опиняємося нижче – на рівні 30 метрів. Оскільки здійснено рух зверху вниз(в «протихід» напрямку осі), то підсумкове збільшення функції (висоти) буде негативним: метрів (коричневий відрізок на кресленні). І в даному випадку мова вже йде про швидкості спаданняфункції: , тобто за кожен метр шляху цієї ділянки висота зменшується в середньомуна 2 метри. Бережіть одяг на п'ятій точці.

Тепер запитаємо себе: яке значення «вимірювального еталона» найкраще використовувати? Цілком зрозуміло, 10 метрів – це дуже грубо. На них запросто вміститься добра дюжина купин. Та що там купини, внизу може бути глибока ущелина, а за кілька метрів – інша його сторона з подальшим стрімким підйомом. Таким чином, при десятиметровому ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок за допомогою відношення.

З проведеного міркування слідує висновок - чим менше значеннятим точніше ми опишемо рельєф дороги. Більше того, справедливі такі факти:

– Для будь-якоїточки підйомів можна підібрати значення (нехай і дуже мале), що вміщається у межах тієї чи іншої підйому. А це означає, що відповідне збільшення висоти буде гарантовано позитивним, і нерівність коректно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.

– Аналогічно, для будь-якоїточки схилу існує значення, яке повністю вміститься на цьому схилі. Отже, відповідне збільшення висоти однозначно негативно, і нерівність коректно покаже зменшення функції в кожній точці даного інтервалу.

– Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю: . По-перше, нульове збільшення висоти () – ознака рівного шляху. А по-друге, є інші цікаві ситуації, приклади яких ви бачите на малюнку. Уявіть, що доля завела нас на саму вершину пагорба з орлами, що ширяють, або дно яру з жабами, що квакають. Якщо зробити невеликий крок у будь-який бік, то зміна висоти буде дуже мало, і можна сказати, що швидкість зміни функції фактично нульова. У точках спостерігається саме така картина.

Таким чином, ми підійшли до дивовижної можливості ідеально точно охарактеризувати швидкість зміни функції. Адже математичний аналіз дозволяє спрямувати збільшення аргументу нанівець: , тобто зробити його нескінченно малим.

За підсумком виникає ще одне закономірне питання: чи можна для дороги та її графіка знайти іншу функцію, яка повідомляла б нампро всі рівні ділянки, підйоми, спуски, вершини, низини, а також про швидкість зростання/зменшення в кожній точці шляху?

Що таке похідна? Визначення похідної.
Геометричний зміст похідної та диференціала

Будь ласка, прочитайте вдумливо та не надто швидко – матеріал простий та доступний кожному! Нічого страшного, якщо подекуди щось здасться не дуже зрозумілим, до статті завжди можна повернутися пізніше. Скажу більше, теорію корисно проштудувати кілька разів, щоб якісно усвідомити всі моменти (рада особливо актуальна для студентів-«технарів», у яких вища математика відіграє значну роль у навчальному процесі).

Звичайно, і в самому визначенні похідної в точці замінимо на :

До чого ми дійшли? А дійшли ми до того, що для функції згідно із законом ставиться у відповідність інша функція, яка називається похідною функцією(або просто похідною).

Похідна характеризує швидкість змінифункції. Яким чином? Думка йде червоною ниткою від початку статті. Розглянемо деяку точку області визначенняфункції. Нехай функція диференційована у цій точці. Тоді:

1) Якщо , то функція зростає у точці . І, очевидно, існує інтервал(нехай навіть дуже малий), що містить точку , у якому функція зростає, та її графік йде «знизу нагору».

2) Якщо , то функція зменшується у точці . І є інтервал, що містить точку , у якому функція зменшується (графік йде «згори донизу»).

3) Якщо , то нескінченно близькоПри точці функція зберігає свою швидкість постійної. Так буває, як зазначалося, у функції-константи та у критичних точках функції, зокрема у точках мінімуму та максимуму.

Трохи семантики. Що в широкому розумінні означає дієслово «диференціювати»? Диференціювати – це означає виділити будь-яку ознаку. Диференціюючи функцію , ми «виділяємо» швидкість її у вигляді похідної функції . А що, до речі, розуміється під словом похідна? Функція відбуласявід функції.

Терміни дуже вдало тлумачить механічний зміст похідної. :
Розглянемо закон зміни координати тіла, що залежить від часу, та функцію швидкості руху даного тіла. Функція характеризує швидкість зміни координати тіла, тому першої похідної функції за часом: . Якби в природі не існувало поняття «рух тіла», то не існувало б і похідногопоняття "швидкість тіла".

Прискорення тіла – це швидкість зміни швидкості, тому: . Якби в природі не існувало вихідних понять «рух тіла» та «швидкість руху тіла», то не існувало б і похідногопоняття «прискорення тіла».