Приведення дробів до спільного знаменника картки. Приведення дробів до найменшого спільного знаменника, як правило, приклади, рішення

Приведення дробів до спільного знаменника

Дроби І мають однакові знаменники. Кажуть, що вони мають спільний знаменник 25. Дроби мають різні знаменники, але їх можна привести до спільного знаменника за допомогою основної властивості дробів. Для цього знайдемо число, яке ділиться на 8 і на 3, наприклад, 24. Наведемо дроби до знаменника 24, для цього помножимо чисельник і знаменник дробу на додатковий множник 3. Додатковий множник зазвичай пишуть зліва над чисельником:

Помножимо чисельник і знаменник дробу на додатковий множник 8:

Наведемо дроби і до спільного знаменника. Найчастіше дроби призводять до найменшого спільного знаменника, який є найменшим загальним кратним знаменникам цих дробів. Оскільки НОК (8, 12) = 24, то дроби можна призвести до знаменника 24. Знайдемо додаткові множники дробів: 24:8 = 3, 24:12 = 2. Тоді

До спільного знаменника можна наводити кілька дробів.

приклад. Наведемо дроби до спільного знаменника. Оскільки 25 = 5 2 , 10 = 2 5, 6 = 2 3, то НОК (25, 10, 6) = 2 3 5 2 = 150.

Знайдемо додаткові множники дробів і приведемо їх до знаменника 150:

Порівняння дробів

На рис. 4.7 зображено відрізок АВ довжини 1. Він поділений на 7 рівних частин. Відрізок АС має довжину, а відрізок AD має довжину.

Довжина відрізка AD більша за довжину відрізка AС тобто дріб більший за дроб

З двох дробів із загальним знаменником більше та, у якої чисельник більший, тобто.

Наприклад, або

Щоб порівняти будь-які два дроби, їх призводять до спільного знаменника, а потім застосовують правило порівняння дробів із загальним знаменником.

приклад. Порівняти дроби

Рішення. НОК (8, 14) = 56. Тоді оскільки 21 > 20, то

Якщо перший дріб менший за другий, а другий менший за третій, то перший менший за третій.

Доведення. Нехай дано три дроби. Наведемо їх до спільного знаменника. Нехай після цього вони будуть мати вигляд Так як перший дріб менше

другий, то r< s. Так как вторая дробь меньше третьей, то s < t. Из полученных неравенств для натуральных чисел следует, что r < t, тогда первая дробь меньше третьей.

Дроб називається правильною, якщо її чисельник менший за знаменник.

Дроб називається неправильною, якщо її чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Наприклад, дроби-правильні, а дроби-неправильні.

Правильний дріб менший за 1, а неправильний дріб більший або дорівнює 1.

Спочатку я хотів включити методи приведення до спільного знаменника до параграфу «Складання та віднімання дробів». Але інформації виявилося так багато, а важливість її така велика (адже спільні знаменники бувають не тільки у числових дробів), що краще вивчити це питання окремо.

Отже, нехай ми маємо два дроби з різними знаменниками. А ми хочемо зробити так, щоби знаменники стали однаковими. На допомогу приходить основна властивість дробу, яка, нагадаю, звучить так:

Дріб не зміниться, якщо її чисельник і знаменник помножити на те саме число, відмінне від нуля.

Таким чином, якщо правильно підібрати множники, знаменники у дробів зрівняються – цей процес називається приведенням до спільного знаменника. А числа, які «вирівнюють» знаменники, називаються додатковими множниками.

Навіщо взагалі треба приводити дроби до спільного знаменника? Ось лише кілька причин:

1. Складання та віднімання дробів з різними знаменниками. Інакше цю операцію не виконати;
2. Порівняння дробів. Іноді приведення до спільного знаменника значно спрощує це завдання;
3. Розв'язання завдань на частки та відсотки. Відсоткові співвідношення є, по суті, звичайними виразами, що містять дроби.

Є багато способів знайти числа, при множенні на які знаменники дробів стануть рівними. Ми розглянемо лише три з них – у порядку зростання складності та, у певному сенсі, ефективності.

Множення «хрест-навхрест»

Найпростіший і найнадійніший спосіб, який гарантовано вирівнює знаменники. Діятимемо «напролом»: множимо перший дріб на знаменник другого дробу, а другий – на знаменник першого. У результаті знаменники обох дробів стануть рівними добутку вихідних знаменників. Погляньте:

Як додаткові множники розглянемо знаменники сусідніх дробів. Отримаємо:

Так, так усе просто. Якщо ви тільки починаєте вивчати дроби, краще працюйте саме цим методом - так ви застрахуєте себе від багатьох помилок і гарантовано отримаєте результат.

Єдиний недолік даного методу – доводиться багато рахувати, адже знаменники множаться «напролом», і в результаті можуть вийти дуже великі числа. Такою є розплата за надійність.

Метод спільних дільників

Цей прийом допомагає набагато скоротити обчислення, але, на жаль, він застосовується досить рідко. Метод полягає в наступному:

1. Перш, ніж діяти «напролом» (тобто методом «хрест-навхрест»), погляньте на знаменники. Можливо, один із них (той, який більше) ділиться на інший.
2. Число, одержане в результаті такого поділу, буде додатковим множником для дробу з меншим знаменником.
3. При цьому дріб із великим знаменником взагалі не треба ні на що множити – у цьому й полягає економія. Заодно різко знижується ймовірність помилки.

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Оскільки в обох випадках один знаменник ділиться без залишку на інший, застосовуємо метод спільних множників. Маємо:

Зауважимо, що другий дріб взагалі ніде ні на що не множився. Фактично, ми скоротили обсяг обчислень вдвічі!

До речі, дроби у цьому прикладі я взяв не випадково. Якщо цікаво, спробуйте порахувати їх методом «хрест-навхрест». Після скорочення відповіді вийдуть такими самими, але роботи буде набагато більше.

У цьому полягає сила методу спільних дільників, але, повторюся, застосовувати його можна лише тому випадку, коли з знаменників ділиться на інший без залишку. Що буває досить рідко.

Метод найменшого загального кратного

Коли ми наводимо дроби до спільного знаменника, ми, по суті, намагаємося знайти таке число, яке ділиться на кожен із знаменників. Потім наводимо до цього знаменники обох дробів.

Таких чисел дуже багато, і найменше їх зовсім не обов'язково дорівнюватиме прямому твору знаменників вихідних дробів, як це передбачається в методі «хрест-навхрест».

Наприклад, для знаменників 8 та 12 цілком підійде число 24, оскільки 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Це число набагато менше від твору 8 · 12 = 96 .

Найменше число, яке ділиться кожен із знаменників, називається їх найменшим загальним кратним (НОК).

Позначення: найменше загальне кратне чисел a і b позначається НОК (a; b). Наприклад, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24 .

Якщо вам вдасться знайти таке число, підсумковий обсяг обчислень буде мінімальним. Подивіться на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразів:

Зауважимо, що 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3 . Численні 2 і 3 взаємно прості (не мають спільних дільників, крім 1), а множник 117 - загальний. Тому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогічно, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Численні 3 і 4 взаємно прості, а множник 5 - загальний. Тому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Тепер наведемо дроби до спільних знаменників:

Зверніть увагу, наскільки корисним виявилося розкладання вихідних знаменників на множники:

1. Виявивши однакові множники, ми одразу вийшли на найменше загальне кратне, що, власне кажучи, є нетривіальним завданням;
2. З отриманого розкладання можна дізнатися, яких множників не вистачає кожного з дробів. Наприклад, 234 · 3 = 702, отже, для першого дробу додатковий множник дорівнює 3.

Щоб оцінити, наскільки колосальний виграш дає метод найменшого загального кратного, спробуйте обчислити ці приклади методом «хрест-навхрест». Зрозуміло, без калькулятора. Думаю, після цього коментарі будуть зайвими.

Не думайте, що таких складних дробів у прикладах не буде. Вони зустрічаються постійно, і наведені вище завдання – не межа!

Єдина проблема - як знайти цей НОК. Іноді все знаходиться за кілька секунд, буквально «на око», але загалом це складне обчислювальне завдання, яке потребує окремого розгляду. Тут ми цього не стосуватимемо.

Цілі:

освітня: формувати вміння приводити дроби до найменшого спільного знаменника та знаходити додатковий множник у складніших випадках; формувати вміння переводити прості дроби в десяткові;

розвиваюча: розвивати логічне мислення, пам'ять,обчислювальні навички учнів

Виховна: виховувати пізнавальний інтерес до предмета

Хід уроку

I. Організаційний момент

ІІ. Усний рахунок

1. Знайдіть найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне чисел: 10 та 12; 12 та 8; 15 та 9; 6 та 4; 6 та 8; 12 та 15; 12 та 10; 16 та 20; 11 та 7.

2. З одного пункту одночасно в різних напрямках вийшли два туристи. Швидкість першого туриста 6 км/год, швидкість другого – 7 км/год. На якій відстані вони один від одного будуть через 3 години?

3. Насос заповнює басейн за 48 хв. Яку частину басейну насос наповнить за 1 хв?

4. У сім'ї п'ять синів, у кожного з них одна сестра. Скільки дітей у сім'ї? (6 дітей.)

III . Повідомлення теми уроку

- Минулого уроку ми приводили дроби до нового знаменника. Сьогодні ми знаходимо спільний знаменник для кількох дробів і з'ясуємо, що таке найменший спільний знаменник дробів.

IV. Вивчення нового матеріалу

1. Будь-які 2 дроби можна привести до одного і того ж знаменника, або, інакше, до спільного знаменника.

- Знайдіть кілька спільних знаменників дробів. Назвіть найменший спільний знаменник.

Спільним знаменником дробів може бути будь-яке спільне кратне їх знаменників .

У цьому, зазвичай, намагаються підібрати найменший загальний знаменник (НОЗ) - тоді обчислення з дробами виявляються простіше. Найменший загальний знаменник дорівнює найменшому загальному кратному знаменників цих дробів.

2. Розглянемо на прикладах, як можна знаходити НОЗ дробів.

1) Приведемо до спільного знаменника дробу 7/21 та 2/7.

- У чому особливість чисел 21 та 7? (21 ділиться націло на 7.)

(Міркування наводить вчитель.)

- Більший знаменник - число 21 - ділиться на менший знаменник 7, отже, його можна взяти як спільний знаменник даних дробів. Цей спільний знаменник – найменший із усіх можливих.

Отже, треба лише дріб 2/7 привести до знаменника 21. Для цього знайдемо додатковий множник: 21: 7 = 3.

- Який висновок можна зробити? (Якщо один знаменник дробу ділиться на інший, то НОЗ буде більшим знаменником.)

2) Приведемо до спільного знаменника дробу 3/4 та 2/5.

- Що можете сказати про числа 4 та 5? (Числа взаємно прості.) Загальний знаменник даних дробів має ділитися і 4, і 5, тобто. бути їх загальним кратним. Загальних кратних 4 і 5 дуже багато: 20, 40, 60, 80 і т. д. Найменше кратне число 20 - добуток 4 і 5.

Отже, потрібно привести кожний із дробів до знаменника 20:

- Який висновок можна зробити? (Якщо знаменники дробів взаємно прості числа, то найменшим загальним знаменником буде їхнє твір.)

V. Фізкультхвилинка

VI. Робота над завданням

VII. Закріплення вивченого матеріалу

1. № 279 стор. 45 (усно). Робота у парах.

Відповідає вчителеві хтось один від пари.

- Чому дріб 3/5 не може призвести до знаменника 36? (36 не кратно 5.)

2. № 283 (а-е) стор. 46 (з докладним коментарем біля дошки та у зошитах, а) б) записати рішення докладно, потім це все промовляти усно, записувати лише дроби з новим знаменником).

Рішення:

Додаткові множники: 24: 6 = 4; 24: 8 = 3.

Додаткові множники: 45: 9 = 5; 45: 15 = 3.

3. Назвіть числа, які:

а) більше 4/7, але менше 5/7; б) більше 1/6, але менше 2/6; в) більше 5/8, але менше 3/4.

- Що потрібно зробити, щоб зробити завдання? (Привести дроби до нового знаменника.)

4. № 281 стор. 46 (в) (один учень на звороті дошки, інші в зошитах, самоперевірка).

Рішення:

VIII. Самостійна робота

Варіант I

1. Приведіть дроби до нового знаменника 24:

2. Приведіть дріб 3/5 до нового знаменника: 15; 25; 40; 55; 250; 300.

Варіант ІІ

1. Приведіть дроби до нового знаменника 48:

2. Приведіть дріб 4/7 до нового знаменника: 14; 28; 49; 70; 210; 350.

3. Виразіть у сотих частках дробу:

Варіант III (для більш підготовлених учнів)

1. Приведіть дроби до нового знаменника 84:

2. Приведіть дріб 5/8 до нового знаменника: 16; 24; 56; 80; 240; 3200.

3. Виразіть у сотих частках дробу:

IX. Закріплення вивченого матеріалу

1. № 290 стор. 47 (усно). Робота у парах.

- Що використовували під час вирішення? (Основна властивість дробу.)

- Сформулюйте основну властивість дробу.

(Відповідь: а) х = 3, б) х = 5, в) х = 5, г) х = 7.

2. № 289 (в, г) стор. 47 (самостійно, взаємоперевірка).

- Яке число називають найбільшим спільним дільником чисельника та знаменника?

X. Підбиття підсумків уроку

- Яке число може бути спільним знаменником двох дробів?

- Як привести дроби до найменшого спільного знаменника?

- Яку властивість грунтується правило приведення дробів до спільного знаменника?

Домашнє завдання:

Найменшим загальним знаменником (НОЗ) даних нескоротних дробів є найменший загальний кратний (НОК) знаменників цих дробів. ( див. тему «Знаходження найменшого загального кратного»:

Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба: 1) знайти найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде найменшим спільним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, навіщо ділити новий знаменник на знаменник кожної дроби. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

приклади. Привести такі дроби до найменшого спільного знаменника.

Знаходимо найменше загальне кратне знаменників: НОК (5; 4) = 20, тому що 20 - найменше число, яке ділиться і на 5 і на 4. Знаходимо для 1-го дробу додатковий множник 4 (20 : 5 = 4). Для 2-го дробу додатковий множник дорівнює 5 (20 : 4 = 5). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 4, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 5. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 20 ).

Найменший загальний знаменник цих дробів — число 8, оскільки 8 ділиться на 4 і саме себе. Додаткового множника до 1-го дробу не буде (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), до 2-го дробу додатковий множник дорівнює 2 (8 : 4 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 2-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 8 ).

Дані дроби є нескоротними.

Скоротимо 1-й дріб на 4, а 2-й дріб скоротимо на 2. ( див. приклади скорочення звичайних дробів: Мапа сайту → 5.4.2. Приклади скорочення звичайних дробів). Знаходимо НОК(16) ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Додатковий множник для 1-го дробу дорівнює 5 (80 : 16 = 5). Додатковий множник для 2-го дробу дорівнює 4 (80 : 20 = 4). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 5, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 4. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 80 ).

Знаходимо найменший спільний знаменник НОЗ(5 ; 6 і 15) = НОК (5 ; 6 та 15) = 30. Додатковий множник до 1-го дробу дорівнює 6 (30 : 5=6), додатковий множник до 2-го дробу дорівнює 5 (30 : 6=5), додатковий множник до 3-го дробу дорівнює 2 (30 : 15 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 6, чисельник і знаменник 2-го дробу на 5, чисельник і знаменник 3-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 30 ).