Вектор проекції на вісь і її властивості. Проекція (геометрична, алгебраїчна) вектор на вісь

Нехай у просторі дано два вектори та . Відкладемо від довільної точки Oвектори та . Кутомміж векторами і називається найменший з кутів. Позначається .

Розглянемо вісь lі відкладемо у ньому одиничний вектор (тобто. вектор, довжина якого дорівнює одиниці).

Під кутом між вектором та віссю lрозуміють кут між векторами та .

Отже, нехай l- Деяка вісь і - вектор.

Позначимо через A 1і B 1проекції на вісь lвідповідно точок Aі B. Припустимо, що A 1має координату x 1, а B 1– координату x 2на осі l.

Тоді проекцієювектор на вісь lназивається різниця x 1 – x 2між координатами проекцій кінця та початку вектора на цю вісь.

Вектор проекції на вісь lбудемо позначати.

Зрозуміло, що якщо кут між вектором та віссю lгострий, то x 2> x 1, та проекція x 2 – x 1> 0; якщо цей кут тупий, то x 2< x 1та проекція x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, то x 2= x 1і x 2– x 1=0.

Таким чином, проекція вектора на вісь l- Це довжина відрізка A 1 B 1взята з певним знаком. Отже, проекція вектора на вісь це чи скаляр.

Аналогічно визначається проекція одного вектора іншою. У цьому випадку знаходяться проекції кінців даного вектора на ту пряму, на якій лежить другий вектор.

Розглянемо деякі основні властивості проекцій.

ЛІНІЙНО ЗАЛЕЖНІ І ЛІНІЙНО НЕЗАЛЕЖНІ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ

Розглянемо кілька векторів.

Лінійною комбінацієюданих векторів називається будь-який вектор виду , де - Деякі числа. Числа називаються коефіцієнтами лінійної комбінації. Говорять також, що у разі лінійно виявляється через дані вектори , тобто. виходить із них за допомогою лінійних дій.

Наприклад, якщо дані три вектори то їх лінійної комбінації можна розглядати вектори:

Якщо вектор представлений як лінійна комбінація якихось векторів, кажуть, що він розкладенийза цими векторами.

Вектори називаються лінійно залежнимиякщо існують такі числа, не всі рівні нулю, що . Зрозуміло, що задані вектори будуть лінійно залежними, якщо якийсь із цих векторів лінійно виражається через інші.

Інакше, тобто. коли співвідношення виконується тільки за ці вектори називаються лінійно незалежними.

Теорема 1.Будь-які два вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони колінеарні.

Доведення:

Аналогічно можна довести таку теорему.

Теорема 2.Три вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли вони є компланарними.

Доведення.

БАЗИС

Базисомназивається сукупність відмінних від нулів лінійно незалежних векторів. Елементи базису будемо позначати.

У попередньому пункті ми бачили, що два неколлінеарні вектори на площині лінійно незалежні. Тому згідно з теоремою 1, з попереднього пункту, базисом на площині є будь-які два неколлінеарні вектори на цій площині.

Аналогічно в просторі лінійно незалежні будь-які три некомпланарні вектори. Отже, базисом у просторі назвемо три некомпланарні вектори.

Справедливим є наступне твердження.

Теорема.Нехай у просторі заданий базис. Тоді будь-який вектор можна подати у вигляді лінійної комбінації , де x, y, z- Деякі числа. Таке розкладання єдине.

Доведення.

Отже, базис дозволяє однозначно зіставити кожному вектору трійку чисел – коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису: . Вірно і зворотне, кожній трійці чисел x, y, zза допомогою базису можна зіставити вектор, якщо скласти лінійну комбінацію .

Якщо базис і , то числа x, y, zназиваються координатамивектора у даному базисі. Координати вектора позначають.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Нехай у просторі задана точка Oі три некомпланарні вектори.

Декартовою системою координату просторі (на площині) називається сукупність точки та базису, тобто. сукупність точки та трьох некомпланарних векторів (2-х неколлінеарних векторів), що виходять із цієї точки.

Крапка Oназивається початком координат; Прямі, що проходять через початок координат у напрямку базисних векторів, називаються осями координат - віссю абсцис, ординат та аплікат. Площини, що проходять через осі координат називають координатними площинами.

Розглянемо у вибраній системі координат довільну точку M. Введемо поняття координати точки M. Вектор, що з'єднує початок координат з точкою M. називається радіус-векторомкрапки M.

Вектор у вибраному базисі можна зіставити трійку чисел – його координати: .

Координати радіус-вектор точки M. називаються координатами точки M. у системі координат. M(x, y, z). Перша координата називається абсцисою, друга – ординатою, третя – аплікатою.

Аналогічно визначаються декартові координати на площині. Тут точка має лише дві координати – абсцису та ординату.

Легко бачити, що з заданої системі координат кожна точка має певні координати. З іншого боку, кожної трійки чисел знайдеться єдина точка, має ці числа як координат.

Якщо вектори, взяті як базис, у вибраній системі координат, мають одиничну довжину і попарно перпендикулярні, то система координат називається декартовий прямокутний.

Неважко показати, що .

Напрямні косинуси вектора повністю визначають його напрям, але нічого не говорять про його довжину.

Відповідь:

Властивості проекцій:

Властивості векторної проекції

Властивість 1.

Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі проекцій векторів на ту саму вісь:

Ця властивість дозволяє замінювати проекцію суми векторів сумою їх проекцій та навпаки.

Властивість 2.Якщо вектор множиться на число λ, його проекція на вісь також множиться на це число:

Властивість 3.

Проекція вектора на вісь l дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором та віссю:

Орт осі. Розкладання вектора по координатним ортам. Векторні координати. Властивості координат

Відповідь:

Орти осей.

Прямокутна система координат (будь-який розмірності) також описується набором ортів, спрямованих з осями координат. Кількість ортів дорівнює розмірності системи координат і вони перпендикулярні одне одному.

У тривимірному випадку орти зазвичай позначаються

І можуть також застосовуватися позначення зі стрілками та

При цьому у разі правої системи координат дійсні такі формули з векторними творами ортів:

Розкладання вектора по координатним ортам.

Орт координатної осі позначається через , осі - через осі - через (рис. 1)

Для будь-якого вектора, який лежить у площині, має місце наступне розкладання:

Якщо вектор розташований у просторі, то розкладання по орт координатних осей має вигляд:

Координати вектора:

Щоб обчислити координати вектора, знаючи координати (x1; y1) його початку A і координати (x2; y2) його кінця B, потрібно від координат кінця відняти координати початку: (x2 – x1; y2 – y1).

Властивості координат.

Розглянемо координатну пряму з початком координат у точці і одиничним вектором i. Тоді для будь-якого вектора a на цій прямій: a = axi.

Число ax називається координатою вектора a координатної осі.

Властивість 1.При додаванні векторів на осі їх координати складаються.

Властивість 2.При множенні вектора число його координата множиться цього числа.

Скалярський витвір векторів. Властивості.

Відповідь:

Скалярним твором двох ненульових векторів називається число,

дорівнює добутку цих векторів на косинус кута між ними.

Властивості:

1. Скалярний твір має переміщувальну властивість: ab=bа

Скалярне твір координатних ортів. Визначення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Відповідь:

Скалярний твір (×) орти

Визначення скалярного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Скалярний добуток двох векторів і заданих своїми координатами може бути обчислений за формулою

Векторний твір двох векторів. Властивості векторного твору.

Відповідь:

Три некомпланарні вектори утворюють праву трійку якщо з кінця третього поворот від першого вектора до другого відбувається проти годинникової стрілки. Якщо по вартовий - то ліву., якщо ні то в протилежному ( показати як він показував з «ручками»)

Векторні твори вектор ана вектор bназивається вектор з який:

1. Перпендикулярний векторам аі b

2. Має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, утвореного на aі bвекторах

3. Вектори, a, b, і cутворюють праву трійку векторів

Властивості:

1.

3.

4.

Векторний твір координатних ортів. Визначення векторного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Відповідь:

Векторний твір координатних ортів.

Визначення векторного добутку векторів, заданих своїми координатами.

Нехай вектори а = (х1; у1; z1) та b = (х2; у2; z2) задані своїми координатами у прямокутній декартовій системі координат О, i, j, k, причому трійка i, j, k є правою.

Розкладемо а і b за базовими векторами:

а = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Використовуючи властивості векторного твору, отримуємо

[а; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2 . (1)

За визначенням векторного твору знаходимо

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Враховуючи ці рівності, формулу (1) можна записати так:

[а; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[а; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Формула (2) дає вираз векторного твори двох векторів, заданих своїми координатами.

Отримана формула громіздка. Використовуючи позначення визначників можна записати її в іншому зручнішому для запам'ятовування вигляді:

Зазвичай формулу (З) записують ще коротше:

1°.Для визначення векторної величини,крім чисельного значення, необхідно знати її напрямок. Прикладами таких величин є швидкість і прискорення, переміщення точки при русі тіла. Визначення.Вектор називається спрямований відрізок, тобто відрізок, у якого розрізняють початок і кінець.Початок вектора називається точкою його застосування; пряма l, де розташований вектор, називається лінією його дії. Визначення.Модулем вектора називається його довжина. Модуль вектора позначається символом || або |.

Визначення.Проекцією вектора на вісь називається скаляр, рівний модулю складової вектора цієї осі, взятому зі знаком плюс, якщо напрямок складової збігається з напрямком осі, і зі знаком мінус, якщо ці напрямки протилежні. Якщо вектор перпендикулярний осі, його проекція дорівнює нулю.Властивості векторної проекції на вісь:

1. Проекція вектора на вісь не змінюється від паралельного перенесення векторів. пр l AB = пр l A 1 B 1

2. Адитивність проекції. Проекція суми векторів деяку вісь дорівнює сумі проекцій даних векторів цієї вісь. пр l (a 1 +a 2 +a 3)=пр l a 1 +пр l a 2 +пр l a 3 3. Однорідність проекції. Скалярний множник можна виносити за знак векторної проекції на вісь 4. Пр.вектора на вісь рів. произв. мод. вектор на косинус кута між вектором і віссю пр l а‾ = /а‾/ * cosφ - якщо кут φ гострий – позитивна проекція

- якщо кут φ тупий – проекція негативна

6. Поняття скалярного твору векторів. З колірна величинавизначається одним числом, що виражає відношення цієї величини до одиниці виміру. Прикладами таких величин є температура, обсяг, маса. Приклад:знайти , якщо рішення:

Механич сенс скалярного твору:нехай матеріальна точка переміщ із точки У точку З по прямий під дією сили - вектор переміщення. Як відомо при цьому відбувається робота А,

Скалярне переміщення Якщо матеріальна точка перем. прямолінійно під дією деякої сили, то скалярний добуток сили на вектор переміщення = виконуваної у своїй роботі. Властивості скалярного твору:

1) Комутативний (переміщувальний закон)

2) асоціативний(сполучний) з.

3) Дистрибутивний(розподілить) з.

Формула для обчислення за координатами співмножників:Координатами вектора а називаються його проекції а х, а у, а z на координатні осі.Векторний добуток двох векторів = добутку третього порядку, у якого в першому рядку знаходяться орти, у другому рядку координати першого вектора, у третьому рядку координати другого вектора.

приклад:, Рішення:

Відповідь:

ТЕОРМУХ

1. Сила, елементи графостатики.

міра механічного взаємодії тіл, тобто. взаємодії, що впливає їх стан спокою чи руху, характеризується силою. Сила визначається:

Таким чином, сила – величина векторна.

Системою сил будемо називати сукупність сил, що діють на одне тіло, що розглядається. Розрізняють системи схожих, паралельних та довільно-розташованих сил.

Якщо дана система сил еквівалентна одній силі, то ця сила називається рівнодіючоїцієї системи сил.

Величину, рівну геометричній сумі сил якоїсь системи, називають головним векторомцією системою сил. Геометрична сума R гл, (Головний вектор) будь-якої системи сил визначається або послідовним складанням сил системи за правилом паралелограма (або трикутника) або побудовою силового багатокутника.

Равнодіюча система схожих сил знаходиться безпосередньо за допомогою закону паралелограма сил. Аналогічне завдання можна вирішити і для довільної системи сил, якщо знайти можливість перенести всі сили в одну точку. Така можливість є. Перенесемо силу Fз точки А до точки В.

Отримана при цьому система трьох сил і є силою F 1 = F, але прикладену в точці, і пару F ,F 2 .(Парою сил називається система двох рівних за модулем, паралельних і спрямованих у протилежні сторони сил, які діють абсолютно тверде тіло). Таким чином, система довільно розташованих сил при приведенні до довільно вибраного центру еквівалента одній силі R гл (головному вектору), прикладеної в центрі приведення, і одній парі М гл (головному моменту).

Зазначимо, що сила R голперестав бути рівнодіючої системи сил, т.к. замінює систему сил не одна, а разом із парою М гол .

Для рівноваги будь-якої системи сил необхідно і достатньо, щоб R гол=0 і М гол =0.

2. Крихкість та пластичністьКрихкість-Здатність матеріалу руйнуватися при незначить. залишкові деформації. Пластичність-Спосіб-ть отримувати значні залиш. Деформації, не руйнуючись. При проектуванні будівельних конструкцій необхідно встановити значення величин, що характеризують міцнісні та деформативні властивості матеріалів. Найбільшу інформацію про механічні властивості металів можна отримати із статичних випробувань на розтяг. Записані за допомогою спеціального пристрою діаграми розтягування (тобто графіки залежності між силою, що розтягує Fта подовженням зразка ∆l)мають вигляд:

Перша діаграма й у пластичних матеріалів (низькоуглеродная сталь). Діаграма має ряд характерних ділянок: ОА – зона пружності, навантаження пропорційне деформації;

АВ - до точки, у матеріалі не виявляється ознак пластичної (залишкової) деформації;

CD - майданчик плинності, деформації ростуть практично без збільшення навантаження;

BD – зона загальної плинності, у цій зоні значно розвиваються пластичні деформації.

DE - зона зміцнення, при максимальному (або не меншому) зусиллі на зразку в найбільш слабкому місці виникає звуження - "шийка";

ЕК - зона місцевої плинності, деформації відбуваються у сфері «шийки» до розриву у точці До.

Друга діаграма характерна для тендітного матеріалу (чавуну). Діаграма немає вираженого початкового прямолінійного ділянки. Розрив зразків із крихких металів відбувається при дуже незначному подовженні та без утворення шийки.

Діаграма F = f (∆l)залежить від розмірів зразка, тому її перебудовують у координатах "напруга-деформація". Напругою називається внутрішня сила, віднесена до одиниці площі в даній точці перерізу, що розглядається σ =F/A . Зміна ∆l початкової довжини стрижня називається абсолютним подовженням. Відношення абсолютного подовження до початкової довжини ε = ∆ l/l називається відносним подовженням чи деформацією. При пружних деформаціях зв'язок між деформаціями та напругами лінійний і описується законом Гука: σ = Е* ε де Е - модуль пружності.

3. Ступінь свободи системи.

Ступенем свободиСистеми називають найменше число геометричних параметрів (координат точок, кутів повороту елементів системи, їх довжини), які можуть незалежно один від одного змінюватися при русі системи щодо землі.

W = 3D-2Ш-3Ж-Cоп-C co 6 cm

W – ступінь свободи системи, D – кількість дисків,

Ш - кількість шарнірів, Ж - кількість жорстких дисків, С оп - кількість опорних стрижнів, С соб - кількість власних стрижнів системи.

W<0. Система геометрично змінюється, вона має достатньої кількості зв'язків, які забезпечують незмінність. Такі системи у будівництві не застосовуються. W > 0. Система має так звані «зайві» зв'язки, які не є необхідними для забезпечення незмінності системи, і називається статично невизначеною. W< 0. Система геометрично незмінна.

Статична невизначеність може бути зовнішньою чи внутрішньою. У першому випадку опорні реакції, отже, і внутрішні зусилля, неможливо визначити за допомогою одних лише рівнянь статики. У другому випадку опорні реакції можуть бути визначені за допомогою рівнянь статики, а внутрішні зусилля – ні. W = 0 . Система не має зайвих зв'язків, вона статично визначнаі може бути незмінною. Для того, щоб вирішити питання щодо придатності використання такої системи, необхідно провести її структурний аналіз. Через неправильне розташування зв'язків можливе утворення так званих «миттєво» змінних систем, які не можуть бути використані в будівництві.

4. ПДВ (напружено-деформовані стани)

Центральним розтягуванням (або центральним стиском) називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі бруса виникає тільки поздовжня сила. N (розтягує або стискає), а всі інші внутрішні зусилля дорівнюють нулю.

При центральному розтягуванні (стисненні) у поперечному перерізі виникають лише нормальні напруження σ=N/AПідбір перерізу здійснюється за формулою

A = N / σ. Під вигином розуміють такий вид напруги, при якому в поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти. Якщо в поперечних перерізах бруса мають місце тільки згинальні моменти - це випадок чистого згину, якщо виникають згинальні моменти і поперечні сили - це так званий поперечний згин.

У всіх точках поперечного перерізу бруса виникають нормальні σ і дотичні напруги, які можуть бути визначені за формулами:

Епюри напруги в перерізах бруса мають вигляд
Підбір перерізу елемента, що згинається, проводять за максимальним значенням згинального моменту. W x mpe6- потрібний момент опору перерізу. Крученням називається такий вид деформації, при якому в поперечному перерізі валу виникає тільки момент, що крутить, Мкр.

Напружений стан – чисте зрушення. У поперечних перерізах виникають лише дотичні напруження?

Підбір перерізу здійснюється за формулою: Під складним опором мають на увазі комбінації простих напружених станів (розтягування, стискування, зсуву, кручення та вигину).

Вигин називають косим, ​​якщо площина дії згинального моменту, не збігається з жодною з його головних площин. Косий згин можна розглядати як сукупність двох прямих згинів у взаємно перпендикулярних площинах. При косому згині в поперечних перерізах бруса в загальному випадку виникають 4 внутрішні силові фактори Q x , M x , Q y u M y .

Вступ…………………………………………………………………………3

1. Значення вектора і скаляра………………………………………….4

2. Визначення проекції, осі та координатою точки………………...5

3. Проекція вектора на вісь……………………………………………...6

4. Основна формула векторної алгебри……………………………..8

5. Обчислення модуля вектора за його проекціями…………………...9

Заключение……………………………………………………………………...11

Література……………………………………………………………………...12

Вступ:

Фізика нерозривно пов'язані з математикою. Математика дає фізиці засоби та прийоми загального та точного вираження залежності між фізичними величинами, які відкриваються в результаті експерименту чи теоретичних досліджень. Адже основний метод досліджень у фізиці – експериментальний. Це означає – обчислення вчений виявляє за допомогою вимірів. Позначає зв'язок між різними фізичними величинами. Потім, все перекладається мовою математики. Формується математична модель. Фізика є наука, що вивчає найпростіші і водночас найбільш загальні закономірності. Завдання фізики полягає в тому, щоб створити в нашій свідомості таку картину фізичного світу, яка найбільш повно відображає властивості його та забезпечує такі співвідношення між елементами моделі, які існують між елементами.

Отже, фізика створює модель навколишнього світу і вивчає її властивості. Але будь-яка модель обмежена. p align="justify"> При створенні моделей того чи іншого явища приймаються до уваги тільки суттєві для даного кола явищ властивості і зв'язку. У цьому полягає мистецтво вченого - з усього різноманіття вибрати головне.

Фізичні моделі є математичними, але з математика є їх основою. Кількісні співвідношення між фізичними величинами з'ясовуються в результаті вимірювань, спостережень та експериментальних досліджень і лише виражаються мовою математики. Проте іншої мови для побудови фізичних теорій немає.

1. Значення вектора та скаляра.

У фізиці та математиці вектор – це величина, яка характеризується своїм чисельним значенням та напрямком. У фізиці зустрічається чимало важливих величин, що є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, момент, що обертає, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об'єм, тиск, температура та щільність, які можна описати звичайним числом, і називаються вони " скалярами" .

Вони записуються або літерами звичайного шрифту або цифрами (а, б, t, G, 5, −7….). Скалярні величини можуть бути позитивними та негативними. В той же час деякі об'єкти вивчення можуть мати такі властивості, для повного опису яких знання лише числової міри виявляється недостатнім, необхідно ще охарактеризувати ці властивості напрямом у просторі. Такі характеристики характеризуються векторними величинами (векторами). Вектори, на відміну скалярів, позначаються буквами жирного шрифту: a, b, g, F, З ….
Нерідко вектор позначають буквою звичайного (нежирного) шрифту, але зі стрілкою над нею:

Модуль вектора, тобто довжину спрямованого прямолінійного відрізка, позначають тими ж літерами, як і сам вектор, але в звичайному (не жирному) написанні і без стрілки над ними, або так само як і вектор (тобто жирним або звичайним шрифтом, але зі стрілкою), але тоді позначення вектора полягає у вертикальні рисочки.
Вектор – складний об'єкт, який одночасно характеризується і величиною та напрямком.

Не буває також позитивних та негативних векторів. А от рівними між собою вектори можуть бути. Це коли, наприклад, aіb мають однакові модулі та направлені в одну сторону. У цьому випадку справедливий запис a= b. Треба також мати на увазі, що перед символом вектора може стояти знак мінус, наприклад, -, однак цей знак символічно вказує на те, що вектор -с має такий же модуль, як і вектор с, але спрямований в протилежний бік.

Вектор -з називають протилежним (або зворотним) вектор с.
У фізиці кожен вектор наповнений конкретним змістом і при порівнянні однотипних векторів (наприклад, сил) можуть мати істотне значення і точки їх застосування.

2.Визначення проекції, осі та координатою точки.

Ось– це пряма, якій надається якийсь напрямок.
Вісь позначається якоюсь літерою: X , Y , Z , s , t … Зазвичай на осі вибирається (довільно) точка, яка називається початком відліку і, як правило, позначається буквою О. Від цієї точки відраховуються відстані до інших точок, що цікавлять нас.

Проекцією точкина вісь називається основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на цю вісь. Тобто проекцією точки на вісь є точка.

Координатою точкина цій осі називається число, абсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (у вибраному масштабі), укладеного між початком осі та проекцією точки на цю вісь. Це число береться зі знаком плюс, якщо проекція точки розташовується у напрямі осі від її початку та зі знаком мінус, якщо у протилежному напрямку.

3.Проекція вектора на вісь.

Проекцією вектора на вісь називається вектор, який у результаті перемноження скалярної проекції вектора на цю вісь і одиничного вектора цієї осі. Наприклад, якщо а x - скалярна проекція вектора на вісь X, то а x · i - його векторна проекція на цю вісь.

Позначимо векторну проекцію так само, як і сам вектор, але з індексом осі на яку вектор проектується. Так, векторну проекцію вектора на вісь Х позначимо а x (жирна буква, що позначає вектор і нижній індекс назви осі) або

Скалярною проекцієювектор на вісь називається числоабсолютна величина якого дорівнює довжині відрізка осі (у вибраному масштабі), укладеного між проекціями точки початку і точки кінця вектора. Зазвичай замість виразу скалярна проекціякажуть просто – проекція. Проекція позначається тією ж літерою, що і вектор, що проектується (у звичайному, нежирному написанні), з нижнім (як правило) індексом назви осі, на яку цей вектор проектується. Наприклад, якщо на вісь Х проектується вектор а,його проекція позначається а x . При проектуванні цього ж вектора на іншу вісь, якщо вісь Y його проекція буде позначатися а y .

Щоб обчислити проекцію векторана вісь (наприклад, вісь X) треба з координати точки його кінця відняти координату точки початку, тобто

а x = х до − x н.

Проекція вектора на вісь – це число.Причому, проекція може бути позитивною, якщо величина х до більша за величину х н,

негативною, якщо величина х до менша за величину х н

і дорівнює нулю, якщо х до х н.

Проекцію вектора на вісь можна знайти, знаючи модуль вектора і кут, який він складає з цією віссю.

З малюнка видно, що x = а Cos α

Тобто, проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між напрямком осі та напрямом вектора. Якщо кут гострий, то
Cos α > 0 і а x > 0, а якщо тупий, то косинус тупого кута негативний, і проекція вектора на вісь теж буде негативна.

Кути, що відраховуються від осі проти ходу годинникової стрілки, прийнято вважати позитивними, а по ходу негативними. Однак, оскільки косинус – функція парна, тобто Cos α = Cos (− α), то при обчисленні проекцій кути можна відраховувати як протягом годинної стрілки, так і проти.

Щоб знайти проекцію вектора на вісь, треба модуль цього вектора помножити на косинус кута між напрямком осі і напрямком вектора.

4. Основна формула векторної алгебри.

Спроектуємо вектор а на осі Х та Y прямокутної системи координат. Знайдемо векторні проекції вектора на ці осі:

а x = а x · i, а y = а y · j.

Але відповідно до справила додавання векторів

а = а x + а y.

а = а x · i + а y · j.

Таким чином, ми висловили вектор через його проекції та орти прямокутної системи координат (або через його векторні проекції).

Векторні проекції а x та а y називаються складовими або компонентами вектора а. Операція, яку ми виконали, називається розкладанням вектора по осях прямокутної системи координат.

Якщо вектор заданий у просторі, то

а = а x · i + а y · j + а z · k.

Ця формула називається основною формулою векторної алгебри. Звісно, ​​її можна записати і так.

а на вісь або якийсь інший вектор існують поняття її геометричної проекції та числової (або алгебраїчної) проекції. Результатом геометричної проекції буде вектор, а алгебраїчною результатом – невід'ємне дійсне число. Але перед тим, як перейти до цих понять, згадаємо необхідну інформацію.

Попередні відомості

Основне поняття – безпосередньо поняття вектора. Для того щоб ввести визначення геометричного вектора пригадаємо, що таке відрізок . Введемо таке визначення.

Визначення 1

Відрізком називатимемо частину прямої, яка має дві межі у вигляді точок.

Відрізок може мати 2 напрямки. Для позначення напрямку називатимемо одну з меж відрізка його початком, а іншу межу - його кінцем. Напрямок вказується від початку до кінця відрізка.

Визначення 2

Вектором або спрямованим відрізком називатимемо такий відрізок, для якого відомо, яка з меж відрізка вважається початком, а яка його кінцем.

Позначення: Двома літерами: $ \ overline (AB) $ - (де $ A $ його початок, а $ B $ - його кінець).

Однією маленькою літерою: $ \ overline (a) $ (рис. 1).

Введемо ще кілька понять, пов'язаних із поняттям вектора.

Визначення 3

Два ненульові вектори називатимемо колінеарними, якщо вони лежать на одній і тій же прямій або на прямих, паралельних один одному (рис.2).

Визначення 4

Два ненульові вектори називатимемо співспрямованими, якщо вони задовольняють двом умовам:

1. Ці вектори є колінеарними.
2. Якщо вони будуть направлені в один бік (рис. 3).

Позначення: $\overline(a)\overline(b)$

Визначення 5

Два ненульові вектори називатимемо протилежно спрямованими, якщо вони задовольняють двом умовам:

1. Ці вектори є колінеарними.
2. Якщо вони спрямовані у різні сторони (рис. 4).

Позначення: $\overline(a)↓\overline(d)$

Визначення 6

Довжиною вектора $\overline(a)$ називатимемо довжину відрізка $a$.

Позначення: $|\overline(a)|$

Перейдемо до визначення рівності двох векторів

Визначення 7

Два вектори називатимемо рівними, якщо вони задовольняють двох умов:

1. Вони співспрямовані;
2. Їхні довжини рівні (рис. 5).

Геометрична проекція

Як ми вже сказали раніше, результатом геометричної проекції буде вектор.

Визначення 8

Геометричною проекцією вектора $\overline(AB)$ на вісь називатимемо такий вектор, який виходить наступним чином: Точка початку вектора $A$ проектується на цю вісь. Отримуємо точку $A"$ - початок вектора, що шукається. Точка кінця вектора $B$ проектується на дану вісь. Отримуємо точку $B"$ - кінець вектора, що шукається. Вектор $\overline(A"B")$ і буде шуканим вектором.

Розглянемо завдання:

Приклад 1

Побудуйте геометричну проекцію $overline(AB)$ на вісь $l$, зображені на малюнку 6.

Проведемо з точки $A$ перпендикуляр до осі $l$, отримаємо на ній точку $A"$. Далі проведемо з точки $B$ перпендикуляр до осі $l$, отримаємо на ній точку $B"$ (рис. 7).