Функція нормального розподілу. Нормальний розподіл

Розглянемо окремий випадок, коли параметри розподілу m = 0. σ = 1 . Нормальний розподіл N(0;1) називається стандартним нормальним розподілом. У цьому випадку щільність розподілу

(22)

Крива розподілу, побудована за формулою стандартного нормального розподілу має дзвоноподібний вигляд, вертикальна вісь є віссю симетрії, горизонтальна - асимптотою. Максимальне значення ординати дорівнює

При значеннях аргументу х = ± 3 значення функції близькі до нуля: за загальної площі під кривою розподілу, що дорівнює одиниці, в цьому діапазоні лежить 99,73%. Зауважимо, що в діапазоні х = ± 2 лежить 95,44% площі під кривою розподілу, а діапазоні х= ±1 – 68,26%.

Рисунок 3.- Крива стандартного нормального розподілу

При зміні параметра тграфік зсувається вправо або вліво так, що пряма х= т- вісь симетрії

Рисунок 4- Вплив параметра тна вигляд кривої нормального розподілу

При збільшенні параметра максимум кривої розподілу знижується, при зменшенні, а крива витягується вгору, при цьому за умовою нормування площа під кривою розподілу залишається постійною (і рівною одиниці)

Рисунок 5 – Вплив параметра σ на вигляд кривої нормального розподілу.

Знову розглянемо стандартний нормальний розподіл N(0,1).Функція такого розподілу іноді називається функцією Лапласа, вона має спеціальне позначення Ф(х). Можна записати рівняння

(23)

Ця функція табульована. Наприклад, Ф(2,48) = 0,9934. Графік функції показано на рис.

Рисунок 6 - Графік функції стандартного нормального розподілу

З симетрії графіка випливає співвідношення

Ф(-х) = 1-Ф(х)

Табульовані та квантили нормального розподілу

Квантиль нормального розподілу порядку р - це число u p , для котрого Ф(u p) = p . Наприклад, = 1,645

З симетрії графіка функції стандартного нормального розподілу та формули випливає корисне співвідношення для квантилей:

u 1- p = u p

Можна встановити зв'язок між функцією розподілу F(x) для розподілу N(m,σ) та функцією стандартного нормального розподілу:

(24)

Імовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини в інтервал від x1 до x2 визначається за формулою

Часто у розрахунках треба знайти ймовірність того, що випадкова величина Хне надто сильно відхилиться від свого математичного очікування m:

Правило "трьох сигм"

Нехай, наприклад, ε = 3σ. Використовуючи таблиці функції стандартного нормального розподілу, знайдемо:

тому ймовірність того, що випадкова величина відхилиться від математичного очікування більше, ніж на Зσ, дуже мала:

Така подія практично неможлива. У зв'язку з цим на практиці часто використовується так зване правило «трьох сигм»: відхилення нормально розподіленої випадкової величини від її математичного очікування зазвичай не перевищує потрійного стандартного відхилення.

Розглянемо застосування властивостей нормального розподілу

Приклад.1На верстаті-автоматі виготовляються валики з номінальним діаметром 10 мм. Стандартне відхилення, що характеризує точність верстата, становить = 0,03 мм. Скільки в середньому валиків із ста задовольняють стандарту, якщо для цього потрібно, щоб діаметр відхилявся від номінального не більше ніж на 0,05 мм?

Визначення 1

Випадкова величина $X$ має нормальний розподіл (розподіл Гауса), якщо щільність її розподілу визначається формулою:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Тут $aϵR$ - математичне очікування, а $\sigma> 0$ - середнє квадратичне відхилення.

Щільність нормального розподілу.

Покажемо, що ця функція справді є щільністю розподілу. Для цього перевіримо таку умову:

Розглянемо невласний інтеграл $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a)))^ 2) (2 (sigma) ^ 2)) dx) $.

Зробимо заміну: $ frac (x-a) (sigma) = t, x = sigma t + a, dx = sigma dt $.

Оскільки $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ парна функція, то

Рівність виконується, отже, функція $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2 (\sigma )^2))$ дійсно є щільністю розподілу деякої випадкової величини.

Розглянемо деякі найпростіші властивості функції щільності ймовірності нормального розподілу $varphi \left(xright)$:

Графік функції густини ймовірності нормального розподілу симетричний щодо прямої $x=a$.
Функція $\varphi \left(x\right)$ досягає максимуму при $x=a$, при цьому $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
Функція $\varphi \left(x\right)$ зменшується, за $x>a$, і зростає, за $x
Функція $\varphi \left(x\right)$ має точки перегину за $x=a+\sigma $ і $x=a-\sigma $.
Функція $\varphi \left(x\right)$ асимптотично наближається до осі $Ox$ при $x\to \pm \infty $.
Схематичний графік виглядає так (рис. 1).

1. Рис. 1. Графік щільності нормального розподілу

Зауважимо, що якщо $a=0$, то графік функції симетричний щодо осі $Oy$. Отже, функція $varphi \left(x\right)$ парна.

Функція нормального розподілу імовірності.

Для знаходження функції розподілу ймовірності при нормальному розподілі скористаємося такою формулою:

Отже,

Визначення 2

Функція $F(x)$ називається стандартним нормальним розподілом, якщо $a=0,\ \sigma =1$, тобто:

Тут $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ - Функція Лапласа.

Визначення 3

Функція $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ називається інтегралом ймовірності.

Числові характеристики нормального розподілу.

Математичне очікування: $ M \ left (X \ right) = a $.

Дисперсія : $ D \ left (X \ right) = ( \ sigma ) ^ 2 $.

Середній квадратичний розподіл: $ sigma \ left (X \ right) = \ sigma $.

Приклад 1

Приклад вирішення завдання поняття нормального розподілу.

Завдання 1: Довжина шляху $X$ є випадковою безперервною величиною. $X$ розподілена за нормальним законом розподілу середнє значення якого дорівнює $4$ кілометра, а середнє квадратичне відхилення дорівнює $100$ метрів.

Знайти функцію густини розподілу $X$.
Побудувати схематично графік густини розподілу.
Визначити функцію розподілу випадкової величини $X$.
Знайти дисперсію.

Для початку представимо всі величини в одному вимірі: 100м = 0,1 км

З визначення 1 отримаємо:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0,1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0,02 ))\]

(оскільки $a=4\ км,\ \sigma =0,1\ км)$

Використовуючи властивості функції щільності розподілу, маємо, що графік функції $ varphi \ left (x \ right) $ симетричний щодо прямої $ x = 4 $.

Максимум функція досягає в точці $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt(2\pi) )))$

Схематичний графік має вигляд:

Малюнок 2.

За визначенням функції розподілу $ F \ left (x \ right) = \ frac (1) ( \ sqrt (2 \ pi ) \ sigma ) (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, маємо:

$ D \ left (X \ right) = (\ sigma) ^ 2 = 0,01 $.

(речовий, суворо позитивний)

Нормальний розподіл, також зване розподілом Гаусаабо Гауса - Лапласа- розподіл ймовірностей, яке в одновимірному випадку задається функцією щільності ймовірності, що збігається з функцією Гаусса:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi )))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

де параметр μ - математичне очікування (середнє значення), медіана і мода розподілу, а параметр σ - середньоквадратичне відхилення ( σ ² - дисперсія) розподілу.

Таким чином, одновимірний нормальний розподіл є двопараметричним сімейством розподілів. Багатовимірний випадок описаний у статті «Багатомірний, нормальний, розподіл».

Стандартним нормальним розподіломназивається нормальний розподіл із математичним очікуванням μ = 0 і стандартним відхиленням σ = 1 .

Енциклопедичний YouTube

1 / 5
Важливе значення нормального розподілу в багатьох галузях науки (наприклад, в математичній статистиці і статистичній фізиці) випливає з центральної граничної теореми теорії ймовірностей. Якщо результат спостереження є сумою багатьох випадкових слабо взаємозалежних величин, кожна з яких робить малий внесок щодо загальної суми, то при збільшенні числа доданків розподіл центрованого та нормованого результату прагне нормального. Цей закон теорії ймовірностей має наслідком стала вельми поширеною нормального розподілу, що й стало однією з причин його найменування.

Властивості

Моменти

Якщо випадкові величини X 1 (\displaystyle X_(1))і X 2 (\displaystyle X_(2))незалежні та мають нормальний розподіл з математичними очікуваннями μ 1 (\displaystyle \mu _(1))і μ 2 (\displaystyle \mu _(2))та дисперсіями σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))і σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))відповідно, то X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))також має нормальний розподіл із математичним очікуванням μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))та дисперсією σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)Звідси випливає, що нормальна випадкова величина уявна як сума довільного числа незалежних нормальних випадкових величин.

Максимальна ентропія

Нормальний розподіл має максимальну диференціальну ентропію серед усіх безперервних розподілів, дисперсія яких не перевищує задану величину .

Моделювання нормальних псевдовипадкових величин

Найпростіші наближені методи моделювання ґрунтуються на центральній, граничній теоремі. Саме якщо скласти кілька незалежних однаково розподілених величин з кінцевою дисперсією , то сума буде розподілена приблизнонормально. Наприклад, якщо скласти 100 незалежних стандартно рівномірнорозподілених випадкових величин, то розподіл суми буде приблизно нормальним.
Для програмного генерування нормально розподілених псевдовипадкових величин краще використовувати перетворення "Бокса" - "Мюллера". Воно дозволяє генерувати одну нормально розподілену величину на основі однієї рівномірно розподіленої.

Нормальний розподіл у природі та додатках

Нормальний розподіл часто зустрічається у природі. Наприклад, наступні випадкові величини добре моделюються нормальним розподілом:
- відхилення під час стрільби.
- похибки вимірювань (проте похибки деяких вимірювальних приладів мають не нормальні розподіли).
- деякі характеристики живих організмів у популяції.
Таке широке розповсюдження цього розподілу пов'язане з тим, що він є нескінченно ділимим безперервним розподілом з кінцевою дисперсією. Тому до нього в межі наближаються деякі інші, наприклад, біноміальне та пуассонівське. Цим розподілом моделюється багато детермінованих фізичних процесів.

Зв'язок з іншими розподілами
- Нормальний розподіл є розподілом Пірсона типу XI.
- Відношення пари незалежних стандартних нормально розподілених випадкових величин має розподіл Коші. Тобто якщо випадкова величина X (\displaystyle X)є відношенням X = Y / Z (Displaystyle X = Y / Z)(де Y (\displaystyle Y)і Z (\displaystyle Z)- незалежні стандартні нормальні випадкові величини), то вона матиме розподіл Коші.
- Якщо z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- Спільно незалежні стандартні нормальні випадкові величини, тобто z i ~ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), то випадкова величина x = z 1 2 + … + z k 2 (displaystyle x = z_ (1) ^ (2) + \ ldots + z_ (k)має розподіл хі-квадрат з k ступенями свободи.
- Якщо випадкова величина X (\displaystyle X)підпорядкована логнормальному розподілу, то її натуральний логарифм має нормальний розподіл. Тобто якщо X ~ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), то Y = ln ⁡ (X) ~ N (μ , σ 2) )). І навпаки, якщо Y ~ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), то X = exp ⁡ (Y) ~ L o g N (μ , σ 2) \right)).
- Відношення квадратів двох стандартних нормальних випадкових величин має
У багатьох завданнях, пов'язаних з нормально розподіленими випадковими величинами, доводиться визначати ймовірність попадання випадкової величини, підпорядкованої нормальному закону з параметрами на ділянку від до. Для обчислення цієї ймовірності скористаємось загальною формулою
де - функція розподілу величини.
Знайдемо функцію розподілу випадкової величини, розподіленої за нормальним законом із параметрами. Щільність розподілу величини дорівнює:
Звідси знаходимо функцію розподілу
. (6.3.3)
Зробимо в інтегралі (6.3.3) заміну змінної
і приведемо його до вигляду:
(6.3.4)
Інтеграл (6.3.4) не виражається через елементарні функції, але його можна обчислити через спеціальну функцію, що виражає певний інтеграл від виразу або (так званий інтеграл ймовірностей), для якого складені таблиці. Існує багато різновидів таких функцій, наприклад:
;
і т.д. Який із цих функцій користуватися – питання смаку. Ми виберемо як таку функцію
. (6.3.5)
Неважко бачити, що ця функція є нічим іншим, як функцією розподілу для нормально розподіленої випадкової величини з параметрами .
Умовимося називати функцію нормальною функцією розподілу. У додатку (табл. 1) наведено таблиці значень функції .
Виразимо функцію розподілу (6.3.3) величини з параметрами та через нормальну функцію розподілу . Очевидно,
Тепер знайдемо можливість попадання випадкової величини на ділянку від до . Згідно з формулою (6.3.1)
Таким чином, ми висловили ймовірність попадання на ділянку випадкової величини, розподіленої за нормальним законом з будь-якими параметрами, через стандартну функцію розподілу, що відповідає найпростішому нормальному закону з параметрами 0,1. Зауважимо, що аргументи функції у формулі (6.3.7) мають дуже простий зміст: є відстань від правого кінця ділянки до центру розсіювання, виражену середніх квадратичних відхиленнях; - така сама відстань для лівого кінця ділянки, причому ця відстань вважається позитивною, якщо кінець розташований праворуч від центру розсіювання, і негативним, якщо ліворуч.
Як і будь-яка функція розподілу, функція має властивості:
3. - Незменшувальна функція.
Крім того, із симетричності нормального розподілу з параметрами щодо початку координат випливає, що
Користуючись цією властивістю, власне кажучи, можна було б обмежити таблиці функції лише позитивними значеннями аргументу, але щоб уникнути зайвої операції (віднімання з одиниці), в таблиці 1 додатка наводяться значення як для позитивних, так і для негативних аргументів.
На практиці часто зустрічається завдання обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини на ділянку, симетричну щодо центру розсіювання. Розглянемо таку ділянку довжини (рис. 6.3.1). Обчислимо ймовірність влучення на цю ділянку за формулою (6.3.7):
Враховуючи властивість (6.3.8) функції та надаючи лівій частині формули (6.3.9) більш компактний вигляд, отримаємо формулу для ймовірності попадання випадкової величини, розподіленої за нормальним законом на ділянку, симетричну щодо центру розсіювання:
. (6.3.10)
Розв'яжемо наступне завдання. Відкладемо від центру розсіювання послідовні відрізки довжиною (рис. 6.3.2) і обчислимо ймовірність попадання випадкової величини до кожного з них. Так як крива нормального закону симетрична, достатньо відкласти такі відрізки лише в один бік.
За формулою (6.3.7) знаходимо:
(6.3.11)
Як видно з цих даних, ймовірності попадання на кожен із наступних відрізків (п'ятий, шостий і т.д.) з точністю до 0,001 дорівнюють нулю.
Округлюючи ймовірність попадання у відрізки до 0,01 (до 1%), отримаємо три числа, які легко запам'ятати:
0,34; 0,14; 0,02.
Сума цих значень дорівнює 0,5. Це означає, що з нормально розподіленої випадкової величини все розсіювання (з точністю до відсотка) укладається дільниці .
Це дозволяє, знаючи середнє квадратичне відхилення та математичне очікування випадкової величини, орієнтовно вказати інтервал її практично можливих значень. Такий спосіб оцінки діапазону можливих значень випадкової величини відомий математичної статистики під назвою «правило трьох сигма». З правила трьох сигма випливає орієнтовний спосіб визначення середнього квадратичного відхилення випадкової величини: беруть максимальне практично можливе відхилення від середнього і ділять його на три. Зрозуміло, цей грубий прийом може бути рекомендований тільки якщо немає інших, більш точних способів визначення .
Приклад 1. Випадкова величина, розподілена за нормальним законом, є помилкою вимірювання деякої відстані. При вимірі допускається систематична помилка у бік завищення 1,2 (м); середнє квадратичне відхилення помилки виміру дорівнює 0,8 (м). Знайти ймовірність того, що відхилення виміряного значення від істинного не перевищить абсолютної величини 1,6 (м).
Рішення. Помилка вимірювання є випадковою величиною, підпорядкованою нормальному закону з параметрами і. Потрібно знайти можливість попадання цієї величини на ділянку від до . За формулою (6.3.7) маємо:
Користуючись таблицями функції (додаток, табл. 1), знайдемо:
; ,
Приклад 2. Знайти таку ж ймовірність, що у попередньому прикладі, але за умови, що систематичної помилки немає.
Рішення. За формулою (6.3.10), вважаючи , знайдемо:
Приклад 3. За метою, що має вигляд смуги (автострада), ширина якої дорівнює 20 м, ведеться стрілянина в напрямку перпендикулярному автостраді. Прицілювання ведеться по середній лінії автостради. Середнє квадратичне відхилення у бік стрільби дорівнює м. Є систематична помилка у бік стрільби: недоліт 3 м. Знайти ймовірність потрапляння в автостраду при одному пострілі.

Найбільш відомим і часто застосовуваним у теорії ймовірностей законом є нормальний закон розподілу або закон Гауса .

Головна особливістьнормального закону розподілу у тому, що він є граничним законом інших законів розподілу.

Зауважимо, що для нормального розподілу інтегральна функція має вигляд:

.

Покажемо тепер,що імовірнісний зміст параметрів і такий: а є математичне очікування, - середнє квадратичне відхилення (тобто) нормального розподілу:

а) за визначенням математичного очікування безперервної випадкової величини маємо

Дійсно

,

оскільки під знаком інтеграла стоїть непарна функція, межі інтегрування симетричні щодо початку координат;

- інтеграл Пуассона .

Отже, математичне очікування нормального розподілу дорівнює параметру а .

б) за визначенням дисперсії безперервної випадкової величини та, враховуючи, що , можемо записати

.

Інтегруючи частинами, поклавши , знайдемо

Отже .

Отже, середнє квадратичне відхилення нормального розподілу дорівнює параметру .

Якщо і нормальний розподіл називають нормованим (або, стандартним нормальним) розподілом. Тоді, очевидно, нормована щільність (диференціальна) та нормована інтегральна функція розподілу запишуться відповідно у вигляді:

(Функція , як відомо, називається функцією Лапласа (див. ЛЕКЦІЮ5) чи інтегралом ймовірностей. Обидві функції, тобто , табульовані та їх значення записані у відповідних таблицях).

Властивості нормального розподілу (властивості нормальної кривої):

1. Очевидно, функція на всій числовій прямій.

2. тобто нормальна крива розташована над віссю Ох .

3. , тобто вісь Ох служить горизонтальною асимптотою графіка.

4. Нормальна крива симетрично щодо прямої х = а (відповідно графік функції симетричний щодо осі Оу ).

Отже, можемо записати: .

5. .

6. Легко показати, що точки і є точками перегину нормальної кривої (довести самостійно).

7.Очевидно, що

але так як , то . Крім того Отже, всі непарні моменти дорівнюють нулю.

Для парних моментів можемо записати:

8. .

9. .

10. де .

11. При негативних значеннях довільної величини: , де .

13. Імовірність попадання випадкової величини на ділянку, симетричну щодо центру розподілу, дорівнює:

ПРИКЛАД 3. Показати, що нормально розподілена випадкова величина Х відхиляється від математичного очікування М(Х) лише на .

Рішення. Для нормального розподілу: .

Іншими словами, ймовірність того, що абсолютна величина відхилення перевищитьпотрійне середнє квадратичне відхилення, дуже мала, а саме дорівнює 0,0027. Це означає, що лише в 0,27% випадків так може статися. Такі події, з принципу неможливості малоймовірних подій, вважатимуться практично неможливими.

Отже, подія з ймовірністю 0,9973 вважатимуться практично достовірним, тобто випадкова величина відхиляється від математичного очікування лише на .

ПРИКЛАД 4. Знаючи характеристики нормального розподілу випадкової величини Х - межі міцності сталі: кг/мм 2 і кг/мм 2 знайти ймовірність отримання сталі з межею міцності від 31 кг/мм 2 до 35 кг/мм 2 .

Рішення.

3. Показовий розподіл (експоненційний закон розподілу)

Показовим (експоненціальним) називають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х , що описується диференціальною функцією (щільність розподілу)

де - Постійна позитивна величина.

Показовий розподіл визначається однимпараметром. Ця особливість показового розподілу вказує на його перевагу порівняно з розподілами, що залежать від більшої кількості параметрів. Зазвичай параметри невідомі і доводиться шукати оцінки (наближені значення); Зрозуміло, простіше оцінити один параметр, ніж два, три і т.д.

Неважко записати інтегральну функцію показового розподілу:

Ми визначили показовий розподіл з допомогою диференціальної функції; ясно, що його можна визначити, користуючись інтегральною функцією.

Зауваження: Розглянемо безперервну випадкову величину Т - Тривалість часу безвідмовної роботи виробу. Позначимо прийняті її значення через t , . Інтегральна функція розподілу визначає ймовірність відмовивироби за час тривалістю t . Отже, ймовірність безвідмовної роботи за цей же час тривалістю t тобто ймовірність протилежної події, дорівнює