Довільний гострокутний трикутник. Трикутник

Як правило, два трикутники вважаються подібними, якщо вони мають однакову форму, навіть якщо вони відрізняються розмірами, повернуті або навіть перевернуті.

Математичне уявлення двох подібних трикутників A 1 B 1 C 1 і A 2 B 2 C 2 показаних на малюнку записується наступним чином:

ΔA 1 B 1 C 1 ~ ΔA 2 B 2 C 2

Два трикутники є подібними якщо:

1. Кожен кут одного трикутника дорівнює відповідному куту іншого трикутника:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2і ∠C 1 = ∠C 2

2. Відносини сторін одного трикутника до відповідних сторін іншого трикутника рівні між собою:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Відносини двох сторінодного трикутника до відповідних сторін іншого трикутника рівні між собою і при цьому
кути між цими сторонами рівні:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ і $\angle A_1 = \angle A_2$
або
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ і $\angle B_1 = \angle B_2$
або
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ і $\angle C_1 = \angle C_2$

Не потрібно плутати такі трикутники з рівними трикутниками. У рівних трикутників дорівнюють відповідні довжини сторін. Тому для рівних трикутників:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

З цього випливає, що всі рівні трикутники є подібними. Проте чи всі подібні трикутники є рівними.

Незважаючи на те, що вищенаведений запис показує, що для з'ясування, чи є два трикутники подібними чи ні, нам повинні бути відомі величини трьох кутів або довжини трьох сторін кожного трикутника, для вирішення завдань з подібними трикутниками достатньо знати будь-які три величини із зазначених вище кожного трикутника. Ці величини можуть становити різні комбінації:

1) три кути кожного трикутника (довжини сторін трикутників знати не потрібно).

Або хоча б 2 кути одного трикутника повинні дорівнювати 2-м кутам іншого трикутника.
Так як якщо 2 кути рівні, то третій кут також буде рівним.

2) довжини сторін кожного трикутника (кути знати не потрібно);

3) довжини двох сторін та кут між ними.

Далі ми розглянемо вирішення деяких завдань із подібними трикутниками. Спочатку ми розглянемо завдання, які можна вирішити безпосереднім використанням вищезгаданих правил, а потім обговоримо деякі практичні завдання, які вирішуються за методом таких трикутників.

Практичні завдання із подібними трикутниками

Приклад №1: Покажіть, що два трикутники на малюнку внизу подібні.

Рішення:
Оскільки довжини сторін обох трикутників відомі, тут можна застосувати друге правило:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC) )=\frac(15)(5)=3$

Приклад №2: Покажіть, що два даних трикутника є подібними та визначте довжини сторін PQі PR.

Рішення:
∠A = ∠Pі ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(оскільки ∠C = 180 - ∠A - ∠B і ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

З цього випливає, що трикутники ABC і PQR подібні. Отже:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 $ та
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Приклад №3: Визначте довжину ABу цьому трикутнику.

Рішення:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDі ∠Aзагальний => трикутники ΔABCі ΔADEє подібними.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Приклад №4: Визначити довжину AD(x)геометричних фігур на малюнку.

Трикутники ΔABC і ΔCDE є подібними, оскільки AB || DE та у них загальний верхній кут C.
Ми бачимо, що один трикутник є масштабованою версією іншого. Однак нам потрібно це довести математично.

AB || DE, CD || AC та BC || EC
∠BAC = ∠EDC та ∠ABC = ∠DEC

Виходячи з вищевикладеного та враховуючи наявність загального кута C, ми можемо стверджувати, що трикутники ABC і CDE подібні.

Отже:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23.57 $
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

Практичні приклади

Приклад №5: На фабриці використовується похила конвейєрна стрічка для транспортування продукції з рівня 1 на рівень 2, який вище за рівень 1 на 3 метри, як показано на малюнку. Похилий конвейєр обслуговується з одного кінця рівня 1 і з іншого кінця до робочого місця, розташованого на відстані 8 метрів від робочої точки рівня 1.

Фабрика хоче модернізувати конвейєр для доступу до нового рівня, що знаходиться на відстані 9 метрів над рівнем 1, і зберегти кут нахилу конвейєра.

Визначте відстань, на якій потрібно встановити новий робочий пункт для забезпечення роботи конвейєра на новому кінці на рівні 2. Також обчисліть додаткову відстань, яку пройде продукція при переміщенні на новий рівень.

Рішення:

Для початку позначимо кожну точку перетину певною літерою, як показано на малюнку.

Виходячи з міркувань, наведених вище в попередніх прикладах, ми можемо зробити висновок про те, що трикутники ABC і ADE є подібними. Отже,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 м $
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 м

Таким чином, новий пункт має бути встановлений на відстані 16 метрів від існуючого пункту.

Оскільки конструкція складається з прямокутних трикутників, ми можемо обчислити відстань переміщення продукції так:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 м$

Аналогічно, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 м$
що є відстанню, яку проходить продукція в даний момент при попаданні на існуючий рівень.

y = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 м
це додаткова відстань, яку має пройти продукція задля досягнення нового рівня.

Приклад №6: Стів хоче відвідати свого приятеля, який нещодавно переїхав до нового будинку. Дорожня карта проїзду до будинку Стіва та його приятеля разом із відомими Стіву відстанями показана на малюнку. Допоможіть Стіву дістатися до будинку його приятеля найкоротшим шляхом.

Рішення:

Дорожню карту можна геометрично подати у такому вигляді, як показано на малюнку.

Ми бачимо, що трикутники ΔABC і ΔCDE подібні, отже:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

За умови завдання сказано, що:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км та DE = 5 км

Використовуючи цю інформацію, ми можемо обчислити такі відстані:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4.41)(5) = 13.23 км$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 км$

Стів може дістатися до будинку свого друга за такими маршрутами:

A -> B -> C -> E -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, сумарна відстань дорівнює 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Отже, маршрут №3 є найкоротшим і може бути запропонований Стіву.

Приклад 7:
Тріша хоче виміряти висоту будинку, але не має потрібних інструментів. Вона зауважила, що перед будинком росте дерево і вирішила застосувати свою винахідливість та знання геометрії, отримані у школі, для визначення висоти будівлі. Вона виміряла відстань від дерева до будинку, результат склав 30 м. Потім вона стала перед деревом і почала відходити назад, поки верхній край будівлі став видно над верхівкою дерева. Тріша відзначила це місце та виміряла відстань від нього до дерева. Ця відстань становила 5 м.

Висота дерева дорівнює 2.8 м, а висота рівня очей Тріші дорівнює 1.6 м. Допоможіть Тріше визначити висоту будівлі.

Рішення:

Геометричне уявлення задачі показано малюнку.

Спочатку ми використовуємо подібність трикутників ABC і ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1.6 \times AC$

$(2.8 - 1.6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

Потім ми можемо використовувати подібність трикутників ΔACB і ΔAFG або ADE і AFG. Давайте оберемо перший варіант.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 ) (0.16) = 10 м $

Найчастіші запитання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото гарної якості, і ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете сплатити документ під час отримання на руки у кур'єра, після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути впевнена, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти на більш високооплачувану роботу. Ми заробили довіру і визнання серед клієнтів, тому у нас немає причин чинити подібним чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення в момент отримання на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася майже повна база видаваних документів багатьох ВНЗ країни і за різні роки видачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВУЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра чи поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлено помилку, помилку або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмово, відправивши листа на електронну пошту.
У найкоротший термін ми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, пересилання буде сплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа, для перевірки та затвердження остаточного варіанту. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фото та відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте у результаті.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн-форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми надіслали вам бланк анкети, який потрібно заповнити та надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Олексій:

Мені потрібно було придбати диплом для влаштування на роботу за фахом менеджер. І найголовніше, що і досвід, і навички у мене є, але без документа я не можу, нікуди влаштується. Потрапивши на ваш сайт, таки наважився на покупку диплома. Диплом був виконаний за 2 дні! Тепер у мене є робота, про яку я раніше не мріяв!! Дякуємо!

228. У цьому розділі ми головним чином розумітимемо під позначеннями відрізків AB, AC і т. д. числа, що виражають їх.

Ми знаємо (п. 226), якщо дані геометрично два відрізка a і b, ми можемо побудувати середній пропорційний з-поміж них. Нехай тепер відрізки дано не геометрично, а числами, тобто під a і b розумітимемо числа, що виражають 2 даних відрізка. Тоді знаходження середнього пропорційного відрізка зведеться до знаходження числа x з пропорції a/x = x/b де a, b і x числа. З цієї пропорції маємо:

x 2 = ab
x = √ab

229. Нехай маємо прямокутний трикутник ABC (чер. 224).

Опустимо з вершини його прямого кута (B прямий) перпендикуляр BD на гіпотенузу AC. Тоді з п. 225 ми знаємо:

1) AC/AB = AB/AD та 2) AC/BC = BC/DC.

Звідси ми отримуємо:

AB 2 = AC · AD та BC 2 = AC · DC.

Склавши частинами отримані рівності, отримаємо:

AB 2 + BC 2 = AC · AD + AC · DC = AC (AD + DC).

тобто. квадрат числа, що виражає гіпотенузу, дорівнює сумі квадратів чисел, що виражають катети прямокутного трикутника.

Скорочено кажуть: Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо ми дамо отриманій формулі геометричне тлумачення, то отримаємо вже відому теорему Піфагора (п. 161):

квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах.

З рівняння AB 2 + BC 2 = AC 2 іноді доводиться знаходити катет прямокутного трикутника, з гіпотенузи та іншого катету. Отримаємо, наприклад:

AB 2 = AC 2 - BC 2 і, слідів.,

230. Знайдене числове співвідношення між сторонами прямокутного трикутника дозволяє вирішувати безліч обчислювальних задач. Вирішимо деякі з них:

1. Обчислити площу рівностороннього трикутника з даної сторони.

Нехай ∆ABC (чер. 225) рівносторонній та кожна його сторона виражається числом a (AB = BC = AC = a). Для обчислення площі цього трикутника треба з'ясувати спочатку його висоту BD, яку ми назвемо через h. Ми знаємо, що в рівносторонньому трикутнику висота BD ділить основу AC навпіл, тобто AD = DC = a/2. Тому із прямокутного трикутника DBC маємо:

BD 2 = BC 2 - DC 2

h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (виконуємо віднімання).

Звідси маємо:

(Виносимо множник з-під кореня).

Отже, називаючи число, яке виражає площу нашого трикутника, через Q і знаючи, що площа ∆ABC = (AC · BD)/2, знаходимо:

Ми можемо дивитися на цю формулу, як на один із способів вимірювання площі рівностороннього трикутника: треба виміряти його бік у лінійних одиницях, звести знайдене число у квадрат, помножити отримане число на √3 та розділити на 4 - отримаємо вираз площі у квадратних (відповідних) одиницях.
2. Сторони трикутника дорівнюють 10, 17 та 21 лін. єдиний. Обчислити його площу.

Опустимо висоту h у нашому трикутнику (чер. 226) на більшу сторону - вона неодмінно пройде всередині трикутника, тому що в трикутнику тупий кут може бути розташований тільки проти більшої сторони. Тоді велика сторона, = 21, розділиться на два відрізки, один з яких позначимо через x (див. креслення) - тоді інший = 21 - x. Отримаємо два прямокутні трикутники, з яких маємо:

h 2 = 10 2 - x 2 і h 2 = 17 2 - (21 - x) 2

Оскільки ліві частини цих рівнянь однакові, то

10 2 - x 2 = 17 2 - (21 - x) 2

Виконуючи дії отримаємо:

10 2 - x 2 = 289 - 441 + 42x - x 2

Спрощуючи це рівняння, знайдемо:

Тоді з рівняння h 2 = 10 2 - x 2 отримаємо:

h 2 = 10 2 - 6 2 = 64

і, отже,

Тоді потрібна площа знайдеться:

Q = (21 · 8) / 2 квад. єдиний. = 84 квад. єдиний.

3. Можна вирішити загальне завдання:

як обчислити площу трикутника з його сторін?

Нехай сторони трикутника ABC виражені числами BC = a, AC = b та AB = c (чер. 227). Припустимо, що AC є велика сторона; тоді висота BD піде всередині ABC. Назвемо: BD = h, DC = x, і тоді AD = b – x.

З BDC маємо: h 2 = a 2 – x 2 .

З ∆ABD маємо: h 2 = c 2 – (b – x) 2 ,

звідки a 2 - x 2 = c 2 - (b - x) 2 .

Вирішуючи це рівняння, послідовно отримуємо:

2bx = a 2 + b 2 – c 2 та x = (a 2 + b 2 – c 2)/2b.

(Останнє написано на тій підставі, що чисельника 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2) 2 можна розглядати як рівність квадратів, яку розкладаємо на добуток суми на різницю).

Цю формулу перетворюють, вводячи периметр трикутника, який позначимо через 2p, тобто.

Віднімаючи по 2c з обох частин рівності, отримаємо:

a + b + c – 2c = 2p – 2c або a + b – c = 2(p – c):

Також знайдемо:

c + a – b = 2(p – b) та c – a + b = 2(p – a).

Тоді отримаємо:

(p виражає напівпериметр трикутника).
Цю формулу можна використовувати для обчислення площі трикутника по трьох його сторонах.

231. Вправи.

232. У п. 229 знайшли залежність між сторонами прямокутного трикутника. Можна знайти подібну залежність для сторін (з приєднанням ще одного відрізка) косоугольного трикутника.

Нехай маємо спочатку ∆ABC (чер. 228) такий, щоб ∠A був гострий. Постараємося знайти вираз для квадрата сторони BC, що лежить проти цього гострого кута (подібно до того, як у п. 229 знайшли вираз для квадрата гіпотенузи).

Побудувавши BD ⊥ AC, отримаємо із прямокутного трикутника BDC:

BC 2 = BD 2 + DC 2

Замінимо BD2, визначаючи його з ABD, звідки маємо:

BD 2 = AB 2 - AD 2

а відрізок DC замінимо через AC – AD (очевидно, що DC = AC – AD). Тоді отримаємо:

BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC - AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 - 2AC · AD + AD 2

Виконавши приведення таких членів, знайдемо:

BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AC · AD.

Ця формула читається: квадрат сторони трикутника, що лежить проти гострого кута, дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін, мінус подвоєний добуток однієї з цих сторін на її відрізок від вершини гострого кута до висоти.

233. Нехай тепер ∠A і ∆ABC (чер. 229) тупий. Знайдемо вираз для квадрата сторони BC, що лежить проти тупого кута.

Побудувавши висоту BD - вона тепер розташується дещо інакше: на 228 де ∠A гострий, точки D і C розташовуються по одну сторону від A, а тут, де ∠A тупий, точки D і C розташуються по різні боки від A. Тоді з прямокутного ∆BDC отримаємо:

BC 2 = BD 2 + DC 2

Ми можемо замінити BD2, визначаючи його з прямокутного ∆BDA:

BD 2 = AB 2 - AD 2

а відрізок DC = AC + AD, що очевидно. Замінюючи, отримаємо:

BC 2 = AB 2 - AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 - AD 2 + AC 2 + 2AC · AD + AD 2

Виконуючи приведення таких членів знайдемо:

BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC · AD,

тобто. квадрат сторони трикутника, що лежить проти тупого кута, дорівнює сумі квадратів двох його інших сторін, плюс подвійний добуток однієї з них на її відрізок від вершини тупого кута до висоти.
Ця формула, так само як і формула п. 232, допускають геометричне тлумачення, яке легко знайти.

234. Користуючись властивостями пп. 229, 232, 233, ми можемо, якщо нам дані сторони трикутника в числах, дізнатися, чи є у цього трикутника прямий або тупий кут.

Прямий або тупий кут у трикутнику може бути розташований лише проти більшої сторони, який же кут проти неї легко дізнатися: цей кут гострий, прямий або тупий, дивлячись по тому, чи буде квадрат більшої сторони менше, дорівнює або більше суми квадратів двох інших сторін .

Дізнатися, чи є прямий або тупий кут у наступних трикутниках, що визначаються своїми сторонами:

1) 15 дм., 13 дм. та 14 дм.; 2) 20, 29 та 21; 3) 11, 8 та 13; 4) 7, 11 та 15.

235. Нехай маємо паралелограм ABCD (чер. 230); побудуємо його діагоналі AC і BD та його висоти BK ⊥ AD та CL ⊥ AD.

Тоді, якщо ∠A (∠BAD) гострий, то ∠D (∠ADC) неодмінно тупий (бо їх сума = 2d). З ∆ABD, де ∠A вважаємо гострим, маємо:

BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2AD · AK,

а з ∆ACD, де ∠D тупий, маємо:

AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD · DL.

Замінимо в останній формулі відрізок AD рівним йому відрізком BC і DL рівним йому AK (DL = AK, тому що ∆ABK = ∆DCL, у чому легко переконатися). Тоді отримаємо:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.

Склавши вираз для BD2 з останнім виразом для AC 2 знайдемо:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2

оскільки члени -2AD · AK та +2AD · AK взаємно знищуються. Отриману рівність можемо прочитати:

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

236. Обчислення медіани та біссектора трикутника з його боків. Нехай у трикутнику ABC (чер. 231) побудовано медіану BM (тобто AM = MC). Знаючи сторони ∆ABC: ​​BC = a, AC = b та AB = c, обчислити медіану BM.

Продовжимо BM та відкладемо відрізок MD = BM. З'єднавши D з A і D з C, отримаємо паралелограм ABCD (з'ясувати це легко, оскільки ∆AMD = ∆BMC та ∆AMB = ∆DMC).

Називаючи медіану BM через m, отримаємо BD = 2m і тоді, користуючись попереднім п., маємо:

237. Обчислення радіусу, описаного біля трикутника кола. Нехай близько ∆ABC (чер. 233) описано коло O. Побудуємо діаметр кола BD, хорду AD та висоту трикутника BH.

Тоді ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - кут A прямий, тому що він вписаний, що спирається на діаметр BD і ∠D = ∠C, як вписані, що спираються на одну дугу AB). Тому маємо:

або, називаючи радіус OB через R, висоту BH через h і сторони AB і BC, як і раніше, відповідно через c і a:

але площа ABC = Q = bh/2, звідки h = 2Q/b.

Отже, R = (abc)/(4Q).

Ми вміємо (п. 230 зад. 3) обчислювати площу трикутника Q з його боків. Звідси можемо обчислити R з трьох сторін трикутника.

238. Обчислення радіусу вписаного в трикутник кола. Впишемо в ∆ABC, сторони якого дано (чер. 234), коло O. З'єднавши його центр O з вершинами трикутника і з точками дотику D, E і F сторін до кола, знайдемо, що радіуси кола OD, OE і OF служать висотами трикутників BOC, COA та AOB.

Називаючи радіус вписаного кола через r, маємо:

Виміряно однією одиницею, то квадрат числа, що виражає гіпотенузу, дорівнює сумі квадратів чисел, вира катети.

Цю теорему зазвичай висловлюють скорочено так:

Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Це співвідношення було вперше помічено грецьким геометром Піфагором (VI ст. до н.е.) і носить тому його ім'я. теорема Піфагора .

Теорема.

гострого кута, дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного твору якоїсь із цих сторін на її відрізок від вершини гострого кута до висоти.

Нехай BЗ- сторона трикутника ABЗ(чорт. 1 і рис. 2), що лежить проти гострого кута A, і BD- висота опущена на якусь із інших сторін, наприклад, на AЗ(або на її продовження). Потрібно довести, що:

BC 2 = AB 2 + AЗ 2 - 2AС. AD.

З прямокутних трикутників BDСі ABDвиводимо:

BC 2= BD 2+DЗ 2 [ 1 ] ;

BD 2= AB 2 - AD 2 [ 2] .

З іншого боку: DЗ= АС-AD(чорт. 1) або DЗ= AD-AС(чорт. 2). В обох випадках для DЗ 2 отримаємо один і той же вираз:

DЗ 2 = (AЗ-AD) 2 = AЗ 2 - 2AЗ . AD + AD 2 ;

DЗ 2 = (AD-AЗ) 2 = AD 2 - 2AD . AЗ + AЗ 2 .

Підставивши в рівність замість BD 2і DЗ 2їх вирази з рівностей і , отримаємо:

BC 2= AB 2 - A D 2 + AЗ 2 - 2 AЗ . AD + A D 2 .

Ця рівність після скорочення членів -AD 2 і + AD 2 , і є те, що потрібно довести.

Зауваження.Доведена теорема залишається вірною і тоді, коли кут Зпрямий. Тоді відрізок CD звернеться в нуль, тобто. AС дорівнюватиме AD, і ми матимемо:

BC 2= AB 2+ AЗ 2 - 2AЗ 2 = AB 2 - AЗ 2 .

Що узгоджується з теоремою про квадраті гіпотенузи.

Теорема.

У трикутнику квадрат сторони, що лежить проти тупого кута, дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, складених з подвоєним твором якоїсь із цих сторін на відрізок її продовження від вершини тупого кута до висоти.Доказ аналогічний попередньому.

Слідство.

З трьох останніх теорем виводимо, що квадрат сторони трикутника дорівнює менше або більше суми квадратів інших сторін, дивлячись по тому, чи буде протилежний кут прямий, гострий або тупий.

Звідси випливає зворотна пропозиція: Кут трикутника виявиться прямим, гострим або тупим, зважаючи на те, чи буде квадрат протилежної сторони рівний, менше або більше суми квадратів інших сторін.

Обчислення висоти трикутника з його боків.

Позначимо висоту, опущену на бік а трикутника ABЗ, через h a. Щоб обчислити її, попередньо з рівняння:

b 2 = a 2 + з 2 - 2aз’ .

знаходимо відрізок основи з’:

.

Після чого з DABD визначаємо висоту, як катет:

.

Таким шляхом можна визначити висоти h b і h с, опущені на сторони b і с.

Обчислення медіан трикутника з його боків.

Нехай дані сторони трикутника ABЗі потрібно вирахувати його медіану BD. Для цього продовжимо її на відстань DE = BDі точку Eз'єднаємо з Aі З. Тоді отримаємо паралелограм ABCE.

Застосовуючи до нього попередню теорему, знайдемо: BE 2 = 2 AB 2 + 2 BЗ 2 -AЗ 2 .