Прототип 9 завдання є профільний рівень. Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, рішення та пояснення

Прототипи завдань №1 2015 року

1) Прототип завдання 1 (№ 26616)

Сирок коштує 7 рублів 20 копійок. Яку найбільшу кількість сирків можна купити на 60 рублів?

2) Прототип завдання 1 (№ 26617)

Теплохід розрахований на 750 пасажирів та 25 членів команди. Кожна рятувальна шлюпка може

вмістити 70 осіб. Яка найменша кількість шлюпок має бути на теплоході, щоб у разі потреби в них можна було розмістити всіх пасажирів та всіх членів команди?

3) Прототип завдання 1 (№ 26618)

Флакон шампуню коштує 160 рублів. Яке найбільше флаконів можна купити на 1000 рублів

під час розпродажу, коли знижка складає 25%?

4) Прототип завдання 1 (№ 26619)

Кулькова ручка коштує 40 рублів. Яке найбільше таких ручок можна буде купити на 900

карбованців після підвищення ціни на 10%?

5) Прототип завдання 1 (№ 26620)

Зошит коштує 40 рублів. Яке найбільше таких зошитів можна буде купити на 750 рублів

після зниження ціни на 10%?

6) Прототип завдання 1 (№ 26621)

Магазин закуповує горщики для квітів за оптовою ціною 120 рублів за штуку і продає з націнкою 20%.

Яке найбільше таких горщиків можна купити в цьому магазині на 1000 рублів?

7) Прототип завдання 1 (№ 26622)

У пачці 500 аркушів паперу формату А4. За тиждень в офісі витрачається 1200 аркушів. Яке

найменшу кількість пачок паперу потрібно купити в офіс на 4 тижні?

8) Прототип завдання 1 (№ 26623)

Вартість проїзного квитка на місяць становить 580 рублів, а вартість квитка на одну подорож –

20 рублів. Аня купила проїзний та зробила за місяць 41 поїздку. На скільки рублів більше вона витратила б, якби купувала квитки на одну поїздку?

9) Прототип завдання 1 (№ 26624)

Хворому прописано ліки, які потрібно пити по 0,5 г 3 рази на день протягом 21 дня. В однієї

упаковці 10 таблеток ліків по 0,5 г. Якої найменшої кількості упаковок вистачить на весь курс лікування?

10) Прототип завдання 1 (№ 26625)

Для приготування маринаду для огірків на 1 л води потрібно 12 г лимонної кислоти. Лимонна

кислота продається в пакетиках по 10 г. Яку найменшу кількість пачок потрібно купити господині для приготування 6 літрів маринаду?

11) Прототип завдання 1 (№ 26626)

Шоколадка коштує 35 рублів. У неділю в супермаркеті діє спеціальна пропозиція:

заплативши за дві шоколадки, покупець отримує три (одну в подарунок). Скільки шоколадок можна отримати на 200 рублів у неділю?

12) Прототип завдання 1 (№ 26627)

Оптова ціна підручника 170 рублів. Роздрібна ціна на 20% вища за оптову. Яке найбільше число

таких підручників можна купити за роздрібною ціною 7000 рублів?

13) Прототип завдання 1 (№ 26628)

Залізничний квиток для дорослого коштує 720 рублів. Вартість квитка для школяра

становить 50% вартості квитка для дорослого. Група складається з 15 школярів та 2 дорослих. Скільки карбованців коштують квитки на всю групу?

14) Прототип завдання 1 (№ 26629)

Ціна на електричний чайник була підвищена на 16% і становить 3480 рублів. Скільки рублів коштував

чайник до підвищення ціни?

15) Прототип завдання 1 (№ 26630)

Футболка коштувала 800 рублів. Після зниження ціни вона стала коштувати 680 рублів. На скільки

відсотків було знижено ціну на футболку?

16) Прототип завдання 1 (№ 26631)

У місті N живе 200 000 жителів. Серед них 15% дітей та підлітків. Серед дорослих мешканців 45%

не працює (пенсіонери, студенти, домогосподарки тощо). Скільки дорослих мешканців працює?

17) Прототип завдання 1 (№ 26632)

Таксист за місяць проїхав 6000 км. Вартість 1 літра бензину – 20 рублів. Середня витрата бензину на

100 км. складає 9 літрів. Скільки карбованців витратив таксист на бензин за цей місяць?

18) Прототип завдання 1 (№ 26633)

Клієнт узяв у банку кредит 12000 рублів на рік під 16%. Він має погашати кредит, вносячи до банку

щомісячно однакову суму грошей, щоб через рік виплатити всю суму, взяту в кредит, разом з відсотками. Скільки рублів він має вносити до банку щомісяця?

19) Прототип завдання 1 (№ 26634)

У літньому таборі на кожного учасника належить 40 г цукру на день. У таборі 166 людей. Скільки

кілограмових упаковок цукру знадобиться на весь табір на 5 днів?

20) Прототип завдання 1 (№ 26635)

У літньому таборі 218 дітей та 26 вихователів. В автобус розміщується не більше 45 пасажирів. Скільки

автобусів потрібно, щоб перевезти всіх із табору до міста?

21) Прототип завдання 1 (№ 26636)

Влітку кілограм полуниці коштує 80 рублів. Маша купила 1 кг 200 г полуниці. Скільки рублів здачі

вона має отримати з 500 рублів?

22) Прототип завдання 1 (№ 26637)

На день народження потрібно дарувати букет з непарного числа квітів. Тюльпани коштують 30 рублів за

штуку. У Вані є 500 рублів. З якого найбільшого числа тюльпанів може купити букет Маші на день народження?

23) Прототип завдання 1 (№ 26640)

Павло Іванович купив американський автомобіль, спідометр якого показує швидкість за милі в

годину. Американська миля дорівнює 1609 м. Яка швидкість автомобіля за кілометри на годину, якщо спідометр показує 65 миль на годину? Відповідь округліть до цілого числа.

24) Прототип завдання 1 (№ 26641)

У університетську бібліотеку привезли нові підручники з геометрії для 1-3 курси, по 360 штук

для кожного курсу. Усі книги однакові за розміром. У книжковій шафі 9 полиць, на кожній полиці міститься 25 підручників. Скільки шаф можна заповнити новими підручниками?

25) Прототип завдання 1 (№ 26642)

Для приготування вишневого варення на 1 кг вишні потрібно 1,5 кг цукру. Скільки кілограмових

упаковок цукру потрібно купити, щоб зварити варення із 27 кг вишні?

26) Прототип завдання 1 (№ 26643)

Податок з доходів становить 13% від зарплати. Заробітна плата Івана Кузьмича дорівнює 12500

карбованців. Яку суму він отримає після вирахування податку на доходи? Відповідь дайте у рублях.

27) Прототип завдання 1 (№ 26644)

Податок з доходів становить 13% від зарплати. Після утримання податку на доходи Марія

Костянтинівна отримала 9570 рублів. Скільки рублів складає заробітна плата Марії Костянтинівни?

28) Прототип завдання 1 (№ 26645)

Роздрібна ціна підручника 180 рублів, вона на 20% вища за оптову ціну. Яка найбільша кількість таких

підручників можна купити за оптовою ціною на 10 000 рублів?

29) Прототип завдання 1 (№ 77331)

На рахунку Машиного мобільного телефону було 53 рублі, а після розмови з Оленою залишилося 8

карбованців. Скільки хвилин тривала розмова з Оленою, якщо одна хвилина розмови коштує 2 рублі 50 копійок.

30) Прототип завдання 1 (№ 77332)

Випускники 11 "А" купують букети квітів для останнього дзвінка: з 3 троянд кожному вчителю та з 7

троянд класному керівнику та директору. Вони збираються подарувати букети 15 вчителям (включаючи директора та класного керівника), троянди купуються за оптовою ціною 35 рублів за штуку. Скільки рублів коштують усі троянди?

31) Прототип завдання 1 (№ 77333)

Показники лічильника електроенергії 1 листопада становили 12625 кіловат-годин, а 1 грудня – 12802

кіловат-години. Скільки потрібно заплатити за електроенергію за листопад, якщо 1 кіловат-година електроенергії коштує 1 рубль 80 копійок? Відповідь дайте у рублях.

32) Прототип завдання 1 (№ 77334)

У В обмінному пункті 1 гривня коштує 3 рублі 70 копійок. Відпочиваючі обміняли рублі на гривні та

купили 3 кг помідорів за ціною 4 гривні за 1 кг. Скільки рублів обійшлася їм ця покупка? Відповідь округліть до цілого числа.

33) Прототип завдання 1 (№ 77335)

Маша надіслала SMS-повідомлення із новорічними привітаннями своїм 16 друзям. Вартість

одного SMS-повідомлення 1 карбованець 30 копійок. Перед відправкою повідомлення на рахунку Маша мала 30 рублів. Скільки рублів залишиться у Маші після надсилання всіх повідомлень?

34) Прототип завдання 1 (№ 77336)

Поїзд Новосибірськ-Красноярськ відправляється о 15:20, а прибуває о 4:20 наступного дня (час

московське). Скільки годин поїзд перебуває в дорозі?

35) Прототип завдання 1 (№ 77337)

У школі є тримісні туристичні намети. Яке найменше наметів потрібно взяти в

похід, у якому бере участь 20 осіб?

36) Прототип завдання 1 (№ 77338)

У гуртожитку інституту у кожній кімнаті можна поселити чотирьох осіб. Яке найменше

кількість кімнат потрібна для поселення 83 іногородніх студентів?

37) Прототип завдання 1 (№ 77339)

У середньому протягом дня під час конференції витрачається 70 пакетиків чаю. Конференція триває 6 днів. У

пачці чаю 50 пакетиків. Якої найменшої кількості пачок чаю вистачить на всі дні конференції?

38) Прототип завдання 1 (№ 77340)

У школі французька мова вивчають 124 учнів, що становить 25% від числа всіх учнів

школи. Скільки учнів у школі?

39) Прототип завдання 1 (№ 77341)

27 випускників школи збираються навчатися у технічних вишах. Вони становлять 30% від числа

випускників. Скільки у школі випускників?

40) Прототип завдання 1 (№ 77342)

Пачка вершкового масла коштує 60 рублів. Пенсіонерам магазин робить знижку 5%. Скільки рублів

заплатить пенсіонер за пачку олії?

41) Прототип завдання 1 (№ 77343)

Зошит коштує 24 рублі. Скільки рублів заплатить покупець за 60 зошитів, якщо при покупці більше

50 зошитів магазин робить знижку 10% вартості всієї покупки?

42) Прототип завдання 1 (№ 77344)

Призерами міської олімпіади з математики стали 48 учнів, що становило 12% від числа

учасників. Скільки людей брало участь в олімпіаді?

43) Прототип завдання 1 (№ 77345)

Лише 94% із 27500 випускників міста правильно вирішили завдання B1. Скільки людей правильно

вирішили задачу В1?

44) Прототип завдання 1 (№ 77346)

Мобільний телефон коштував 3500 рублів. Через деякий час ціну на цю модель знизили до 2800

карбованців. На скільки відсотків було знижено ціну?

45) Прототип завдання 1 (№ 77347)

У школі 800 учнів, із них 30%− учні початкової школи. Серед учнів середньої та старшої

школи 20% вивчають німецьку мову. Скільки учнів у школі вивчають німецьку мову, якщо у початковій школі німецька мова не вивчається?

46) Прототип завдання 1 (№ 77348)

Серед 40 000 жителів міста 60% не цікавиться футболом. Серед футбольних уболівальників 80%

дивилося по телевізору фінал Ліги чемпіонів. Скільки мешканців міста дивилося цей матч по телевізору?

47) Прототип завдання 1 (№ 77349)

У у вересні 1 кг винограду коштував 60 рублів, у жовтні виноград подорожчав на 25%, а в листопаді ще на

20%. Скільки рублів коштував 1 кг винограду після подорожчання у листопаді?

48) Прототип завдання 1 (№ 77350)

У будинку, де живе Петя, один під'їзд. На кожному поверсі по шість квартир. Петро живе в

квартирі 50. На якому поверсі мешкає Петя?

49) Прототип завдання 1 (№ 77351)

У будинку, в якому мешкає Маша, 9 поверхів та кілька під'їздів. На кожному поверсі знаходиться по 4

квартири. Маша мешкає у квартирі №130. У якому під'їзді мешкає Маша?

50) Прототип завдання 1 (№ 77352)

Під час оплати послуг через платіжний термінал стягується комісія 5%. Термінал приймає суми

кратні 10 рублів. Аня хоче покласти на рахунок свого мобільного телефону не менше ніж 300 рублів. Яку мінімальну суму вона повинна покласти до приймального пристрою даного терміналу?

51) Прототип завдання 1 (№ 77353)

У у вересні 1 кг слив коштував 60 рублів. У жовтні сливи подорожчали на 25%. Скільки рублів коштував 1 кг

злив після подорожчання у жовтні?

52) Прототип завдання 1 (№ 77354)

Магазин робить пенсіонерам знижку на певну кількість відсотків від ціни покупки. Пакет

кефіру коштує у магазині 40 рублів. Пенсіонер заплатив за пакет кефіру 38 рублів. Скільки відсотків складає знижка для пенсіонерів?

53) Прототип завдання 1 (№ 77355)

Студент отримав свій перший гонорар у розмірі 700 рублів за виконаний переказ. Він вирішив на

усі отримані гроші купити букет тюльпанів для своєї вчительки англійської мови. Яку найбільшу кількість тюльпанів зможе купити студент, якщо утриманий у нього податок на доходи становить 13% гонорару, тюльпани коштують 60 рублів за штуку і букет має складатися з непарного числа кольорів?

54) Прототип завдання 1 (№ 77356)

Спідометр автомобіля показує швидкість в милях на годину. Яку швидкість (за милі на годину) показує

спідометр, якщо автомобіль рухається зі швидкістю 36 км на годину? (Вважайте, що 1 миля дорівнює 1,6 км.)

55) Прототип завдання 1 (№ 77365)

Власники дисконтної картки книгарні отримують при покупці знижку 5%. Книга коштує 200

карбованців. Скільки рублів заплатить власник дисконтної картки за цю книгу?

56) Прототип завдання 1 (№ 282847)

На автозаправці клієнт віддав касиру 1000 рублів та залив у бак 28 літрів бензину за ціною 28 руб. 50

коп. за літр. Яку суму має отримати клієнт здачі? Відповідь дайте у рублях.

57) Прототип завдання 1 (№ 282848)

На автозаправці клієнт віддав касиру 1000 рублів та попросив залити бензин до повного бака. Ціна

бензину 31 руб. 20 коп. Здачі клієнт отримав 1 руб. 60 коп. Скільки літрів бензину було залито у бак?

58) Прототип завдання 1 (№ 314867)

У квартирі, де мешкає Олексій, встановлено прилад обліку витрати холодної води (лічильник).

1 вересня лічильник показував витрату 103 куб.м води, а 1 жовтня – 114 куб.м. Яку суму має заплатити Олексій холодну воду за вересень, якщо ціна 1 куб.м холодної води становить 19 крб. 20 коп.? Відповідь дайте у рублях.

59) Прототип завдання 1 (№ 314968)

Одна таблетка ліки важить 20 мг та містить 5% активної речовини. Дитині віком до 6

місяців лікар прописує 1,4 мг активної речовини на кожний кілограм ваги на добу. Скільки таблеток цих ліків слід дати дитині вагою у віці чотирьох місяців та вагою 5 кг протягом доби?

60) Прототип завдання 1 (№ 318579)

Діагональ екрану телевізора дорівнює 64 дюймів. Виразіть діагональ екрана в сантиметрах, якщо у

одному дюймі 2,54 см. Результат округліть до цілого числа сантиметрів.

61) Прототип завдання 1 (№ 318580)

Зріст людини 6 футів 1 дюйм. Виразіть його зростання у сантиметрах, якщо 1 фут дорівнює 0,305 м, а 1 дюйм

дорівнює 2,54 см. Результат округліть до цілого числа сантиметрів.

62) Прототип завдання 1 (№ 318581)

Бігун пробіг 50 м за 5 секунд. Знайдіть середню швидкість бігуна на дистанції. Відповідь дайте у

кілометрів на годину.

63) Прототип завдання 1 (№ 318582)

У книзі Олени Молоховець «Подарунок молодим господиням» є рецепт пирога з чорносливом. Для

пирога на 10 чоловік слід взяти 1/10 фунта чорносливу. Скільки грамів чорносливу слід взяти для пирога, розрахованого на 3 особи? Вважайте, що 1 фунт дорівнює 0,4 кг.

64) Прототип завдання 1 (№ 318583)

Система навігації, вбудована у спинку літакового крісла, інформує пасажира про те, що

політ проходить на висоті 37 000 футів. Виразіть висоту польоту за метри. Вважайте, що 1 фут дорівнює

65) Прототип завдання 1 (№ 323510)

Для ремонту квартири потрібно 63 рулони шпалер. Скільки пачок шпалерного клею потрібно купити, якщо

одна пачка клею розрахована на 6 рулонів?

66) Прототип завдання 1 (№ 323511)

Вартість піврічної передплати журналу становить 460 рублів, а вартість одного номера

журналу – 24 рублі. За півроку Ганна купила 25 номерів журналу. На скільки рублів менше вона витратила б, якби підписалася на журнал?

67) Прототип завдання 1 (№ 323513)

Для фарбування 1 кв. м стелі потрібно 240 г фарби. Фарба продається у банках по 2,5 кг. Яке

найменшу кількість банок фарби потрібно купити для фарбування стелі площею 50 кв. м?

68) Прототип завдання 1 (№ 323514)

Одного рулону шпалер вистачає для обклеювання смуги від підлоги до стелі завширшки 1,6 м. Скільки рулонів

шпалер потрібно купити для обклеювання прямокутної кімнати розмірами 2,3 м на 4,2 м?

69) Прототип завдання 1 (№ 323515)

У магазині всі меблі продаються в розібраному вигляді. Покупець може замовити збирання меблів на

будинку, вартість якого становить 10% вартості куплених меблів. Шафа коштує 3300 рублів. Скільки рублів обійдеться покупка цієї шафи разом зі складанням?

70) Прототип завдання 1 (№ 323516)

На бензоколонці один літр бензину коштує 32 руб. 60 коп. Водій залив у бак 30 літрів бензину та

взяв пляшку води за 48 карбованців. Скільки рублів здачі він отримає із 1500 рублів?

71) Прототип завдання 1 (№ 323517)

Установка двох лічильників води (холодної та гарячої) коштує 3300 рублів. До встановлення лічильників за

воду сплачували 800 рублів щомісяця. Після встановлення лічильників щомісячна оплата води почала становити 300 рублів. Через яку найменшу кількість місяців економія оплати води перевищить витрати на встановлення лічильників, якщо тарифи на воду не зміняться?

Відповіді до прототипів №1

ν 0,036 n , де n – число обертів двигуна

в хвилину. З якою найменшою швидкістю повинен рухатися автомобіль, щоб момент, що крутить, був не менше 120

Н∙ м? Відповідь дайте за кілометри на годину.

2. Прототип завдання 2 (№ 26864)

На графіку зображено залежність

крутного моменту автомобільного двигуна від його оборотів за хвилину. На осі абсцис відкладається кількість обертів за хвилину. На осі ординат – момент, що крутить в Н∙м. Щоб автомобіль почав рух, момент, що крутить, повинен бути не менше 60 Н∙ м. Яке найменше число обертів двигуна за хвилину достатньо, щоб автомобіль почав рух?

3. Прототип завдання 2 (№ 26866)

На графіку показаний процес розігріву

двигуна легкового автомобіля. На осі абсцис відкладається час у хвилинах, що минув від запуску двигуна, на осі ординат – температура двигуна в градусах за Цельсієм. Визначте за графіком скільки хвилин двигун нагрівався від температури 60 до температури 90 .

4. Прототип завдання 2 (№ 26868)

На малюнку показано

зміна температури повітря протягом трьох діб. По горизонталі вказується дата і час, по вертикалі – значення температури в градусах Цельсія. Визначте на малюнку найбільшу температуру повітря 22 січня. Відповідь дайте у градусах Цельсія.

5. Прототип завдання 2 (№ 26869)

На малюнку показано

зміна температури повітря протягом трьох діб. По горизонталі вказується дата і час, по вертикалі – значення температури в градусах Цельсія. Визначте на малюнку найменшу температуру повітря 27 квітня. Відповідь дайте у градусах Цельсія.

6. Прототип завдання 2 (№ 26870)

На малюнку показано

зміна температури повітря протягом трьох діб. По горизонталі вказується дата і час, по вертикалі – значення температури градусів Цельсія. Визначте на малюнку різницю між найбільшою та найменшою температурою повітря 15 липня. Відповідь дайте у градусах Цельсія.

7. Прототип завдання 2 (№ 26871)

На малюнку жирними точками

показано добову кількість опадів, що випадали у Казані з 3 по 15 лютого 1909 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – кількість опадів, що випали у відповідний день у міліметрах. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте на малюнку, якого числа вперше випало 5 міліметрів опадів.

8. Прототип завдання 2 (№ 26872)

На малюнку жирними точками

показано ціну нафти на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з 17 по 31 серпня 2004 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – ціна бареля нафти у доларах США. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте на малюнку найменшу ціну нафти на момент закриття торгів у зазначений період (у доларах США за барель).

9. Прототип завдання 2 (№ 26873)

На малюнку жирними точками показано

ціна нікелю на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з 6 до 20 травня 2009 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – ціна тонни нікелю у доларах США. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте на малюнку найбільшу ціну нікелю на момент закриття торгів у зазначений період (у доларах США за тонну).

10. Прототип завдання 2 (№ 26874)

На малюнку жирними точками

показано ціну золота на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з 5 по 28 березня 1996 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – ціна унції золота у доларах США. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте на малюнку, якого числа ціна золота на момент закриття торгів була найменшою за цей період.

11. Прототип завдання 2 (№ 26875)

На малюнку жирними точками

показано ціну олова на момент закриття біржових торгів у всі робочі дні з 3 по 18 вересня 2007 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – ціна тонни олова у доларах США. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте за малюнком, якого числа ціна олова на момент закриття торгів була найбільшою за цей період.

12. Прототип завдання 2 (№ 26876)

На малюнку жирними точками показано добову кількість опадів, що випадали у Томську з 8 по 24

січня 2005 року. По горизонталі вказуються числа місяця, по вертикалі – кількість опадів, що випали у відповідний день у міліметрах. Для наочності жирні крапки малюнку з'єднані лінією. Визначте на малюнку, яка найбільша кількість опадів випадала в період з 13 по 20 січня. Відповідь дайте у міліметрах.

Середня загальна освіта

Лінія УМК Г. К. Муравіна. Алгебра та початку математичного аналізу (10-11) (поглиб.)

Лінія УМК Мерзляк. Алгебра та початки аналізу (10-11) (У)

Математика

Підготовка до ЄДІ з математики (профільний рівень): завдання, рішення та пояснення

Екзаменаційна робота профільного рівня триває 3 години 55 хвилин (235 хвилин).

Мінімальний поріг– 27 балів.

Екзаменаційна робота складається з двох частин, які різняться за змістом, складністю та кількістю завдань.

Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:

• частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу;
• частина 2 містить 4 завдання (завдання 9-12) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу та 7 завдань (завдання 13–19) з розгорнутою відповіддю (повний запис рішення з обґрунтуванням виконаних дій).

Панова Світлана Анатоліївна, вчитель математики вищої категорії школи, стаж роботи 20 років:

«Для того, щоб отримати шкільний атестат, випускнику необхідно скласти два обов'язкові іспити у формі ЄДІ, один з яких математика. Відповідно до Концепції розвитку математичної освіти в Російській Федерації ЄДІ з математики поділено на два рівні: базовий та профільний. Сьогодні ми розглянемо варіанти профільного рівня.

Завдання №1- перевіряє в учасників ЄДІ уміння застосовувати навички, отримані у курсі 5 - 9 класів з елементарної математики, у практичній діяльності. Учасник повинен володіти обчислювальними навичками, вміти працювати з раціональними числами, вміти округляти десяткові дроби, вміти переводити одні одиниці виміру до інших.

приклад 1.У квартирі, де мешкає Петро, ​​встановили прилад обліку витрати холодної води (лічильник). Першого травня лічильник показував витрати 172 куб. м води, а першого червня – 177 куб. м. Яку суму має заплатити Петро за холодну воду за травень, якщо ціна 1 куб. м холодної води становить 34 руб 17 коп. Відповідь дайте у рублях.

Рішення:

1) Знайдемо кількість витраченої води за місяць:

177 – 172 = 5 (куб м)

2) Знайдемо скільки грошей заплатять за витрачену воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Відповідь: 170,85.

Завдання №2-є одним із найпростіших завдань іспиту. З нею успішно справляється більшість випускників, що свідчить про володіння визначенням поняття функції. Тип завдання № 2 за кодифікатором вимог - це завдання на використання набутих знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті. Завдання № 2 складається з опису за допомогою функцій різних реальних залежностей між величинами та інтерпретація їх графіків. Завдання № 2 перевіряє вміння отримувати інформацію, подану у таблицях, на діаграмах, графіках. Випускникам потрібно вміти визначати значення функції за значенням аргументу при різних способах завдання функції та описувати поведінку та властивості функції за її графіком. Також необхідно вміти знаходити за графіком функції найбільше чи найменше значення та будувати графіки вивчених функцій. Допустимі помилки носять випадковий характер у читанні умови завдання, читанні діаграми.

#ADVERTISING_INSERT#

приклад 2.На малюнку показано зміну біржової вартості однієї акції видобувної компанії у першій половині квітня 2017 року. 7 квітня бізнесмен придбав 1000 акцій цієї компанії. 10 квітня він продав три чверті куплених акцій, а 13 квітня продав всі, що залишилися. Скільки втратив бізнесмен унаслідок цих операцій?

Рішення:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акцій) - становлять 3/4 від усіх куплених акцій.

6) 247500 + 77500 = 325000 (крб) – бізнесмен отримав після продажу 1000 акцій.

7) 340000 – 325000 = 15000 (крб) - втратив підприємець у всіх операцій.

Відповідь: 15000.

Завдання №3- є завданням базового рівня першої частини, що перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами за змістом курсу «Планіметрія». У завданні 3 перевіряється вміння обчислювати площу фігури на папері, вміння обчислювати градусні заходи кутів, обчислювати периметри і т.п.

приклад 3.Знайдіть площу прямокутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1 см на 1 см (див. рис.). Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.

Рішення:Для обчислення площі цієї фігури можна скористатися формулою Піка:

Для обчислення площі даного прямокутника скористаємося формулою Піка:

приклад 4.На колі відзначено 5 червоних та 1 синю крапку. Визначте, яких багатокутників більше: тих, у яких усі вершини червоні, або тих, у яких одна з вершин синя. У відповіді вкажіть, скільки одних більше, ніж інших.

Рішення: 1) Скористаємося формулою числа поєднань з nелементів по k:

у яких усі вершини червоні.

3) Один п'ятикутник, який має всі вершини червоні.

4) 10 + 5 + 1 = 16 багатокутників, у яких усі вершини червоні.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.

8) Один шестикутник, у якого вершини червоні з однією синьою вершиною.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 багатокутники, у яких усі вершини червоні або з однією синьою вершиною.

10) 42 – 16 = 26 багатокутників, у яких використовується синя точка.

11) 26 - 16 = 10 багатокутників - на скільки багатокутників, у яких одна з вершин - синя точка, більше, ніж багатокутників, у яких всі вершини тільки червоні.

Відповідь: 10.

Завдання №5- базового рівня першої частини перевіряє вміння розв'язувати найпростіші рівняння (ірраціональні, показові, тригонометричні, логарифмічні).

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2 3 + x= 0,4 · 5 3 + x .

Рішення.Розділимо обидві частини даного рівняння на 5 3 + х≠ 0, отримаємо

звідки випливає, що 3 + x = 1, x = –2.

Відповідь: –2.

Завдання №6за планіметрією на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ), моделювання реальних ситуацій мовою геометрії. Дослідження побудованих моделей з використанням геометричних понять та теорем. Джерелом труднощів є, як правило, незнання чи неправильне застосування необхідних теорем планіметрії.

Площа трикутника ABCдорівнює 129. DE- Середня лінія, паралельна стороні AB. Знайдіть площу трапеції ABED.

Рішення.Трикутник CDEподібний до трикутника CABпо двох кутах, тому що кут при вершині Cзагальний, кут СDEдорівнює куту CABяк відповідні кути при DE || ABсічучою AC. Так як DE- Середня лінія трикутника за умовою, то за якістю середньої лінії | DE = (1/2)AB. Отже, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тому

Отже, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Завдання №7- перевіряє застосування похідної для дослідження функції. Для успішного виконання необхідне змістовне, не формальне володіння поняттям похідної.

Приклад 7.До графіку функції y = f(x) у точці з абсцисою x 0 проведена дотична, яка перпендикулярна до прямої, що проходить через точки (4; 3) і (3; -1) цього графіка. Знайдіть f′( x 0).

Рішення. 1) Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки і знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки (4; 3) та (3; -1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x- 13, де k 1 = 4.

2) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної k 2 , яка перпендикулярна до прямої y = 4x- 13, де k 1 = 4, за формулою:

3) Кутовий коефіцієнт дотичної – похідна функції у точці дотику. Значить, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Відповідь: –0,25.

Завдання №8- перевіряє в учасників іспиту знання з елементарної стереометрії, уміння застосовувати формули знаходження площ поверхонь та обсягів фігур, двогранних кутів, порівнювати обсяги подібних фігур, вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами тощо.

Об'єм куба, описаного біля сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.

Рішення. 1) Vкуба = a 3 (де а- Довжина ребра куба), тому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так як сфера вписана в куб, значить, довжина діаметра сфери дорівнює довжині ребра куба, тому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Завдання №9- вимагає від випускника навичок перетворення та спрощення алгебраїчних виразів. Завдання № 9 підвищеного рівня складності із короткою відповіддю. Завдання з розділу «Обчислення та перетворення» в ЄДІ поділяються на декілька видів:

перетворення числових раціональних виразів;

перетворення алгебраїчних виразів та дробів;

перетворення числових/літерних ірраціональних виразів;

дії зі ступенями;

перетворення логарифмічних виразів;

1. перетворення числових/літерних тригонометричних виразів.

Приклад 9.Обчисліть tgα, якщо відомо, що cos2α = 0,6 та

Рішення. 1) Скористаємося формулою подвійного аргументу: cos2α = 2 cos 2 α – 1 та знайдемо

Отже, tg 2 α = ±0,5.

3) За умовою

значить, α – кут II чверті та tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Відповідь: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Завдання №10- перевіряє в учнів вміння використовувати набуті раннє знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті. Можна сказати, що це завдання з фізики, а не з математики, але всі необхідні формули та величини наведені в умові. Завдання зводяться до розв'язання лінійного чи квадратного рівняння, або лінійної чи квадратної нерівності. Тому необхідно вміти вирішувати такі рівняння та нерівності та визначати відповідь. Відповідь має вийти у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу.

Два тіла масою m= 2 кг кожне рухаються з однаковою швидкістю v= 10 м/с під кутом 2 один до одного. Енергія (у джоулях), що виділяється при їх абсолютно непружному зіткненні визначається виразом Q = mv 2 sin 2 α. Під яким найменшим кутом 2α (у градусах) повинні рухатися тіла, щоб у результаті зіткнення виділилося не менше 50 джоулів?
Рішення.Для розв'язання задачі необхідно вирішити нерівність Q ≥ 50, на інтервалі 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Оскільки α ∈ (0°; 90°), то вирішуватимемо тільки

Зобразимо розв'язання нерівності графічно:

Оскільки за умовою α ∈ (0°; 90°), значить 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Завдання №11- є типовим, але виявляється непростим учнів. Головним джерелом труднощів є побудова математичної моделі (складання рівняння). Завдання №11 перевіряє вміння вирішувати текстові завдання.

Приклад 11.На весняних канікулах 11-класник Вася мав вирішити 560 тренувальних завдань для підготовки до ЄДІ. 18 березня в останній навчальний день Вася вирішив 5 завдань. Далі щодня він вирішував на те саме кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем. Визначте скільки завдань Вася вирішив 2 квітня в останній день канікул.

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Відповідь: 65.

Завдання №12- перевіряють в учнів вміння виконувати події з функціями, вміти застосовувати похідну до вивчення функції.

Знайти точку максимуму функції y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Рішення: 1) Знайдемо область визначення функції: x + 9 > 0, x> –9, тобто x ∈ (–9; ∞).

2) Знайдемо похідну функції:

4) Знайдена точка належить проміжку (–9; ∞). Визначимо знаки похідної функції та зобразимо на малюнку поведінку функції:

Шукана точка максимуму x = –8.

а) Розв'яжіть рівняння 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку .

Рішення:а) Нехай log 3 (2cos x) = tтоді 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

б) Знайдемо коріння, що лежить на відрізку.

З малюнка видно, що заданому відрізку належить коріння

Діаметр кола основи циліндра дорівнює 20, що утворює циліндра дорівнює 28. Площина перетинає його основи по хордах довжини 12 і 16. Відстань між хордами дорівнює 2√197.

а) Доведіть, що центри основ циліндра лежать по одну сторону від цієї площини.

б) Знайдіть кут між цією площиною та площиною основи циліндра.

Рішення:а) Хорда довжиною 12 знаходиться на відстані = 8 від центру кола основи, а хорда довжиною 16, аналогічно, – на відстані 6. Тому відстань між їх проекціями на площину, паралельну основам циліндрів, становить або 8 + 6 = 14, або 8 − 6 = 2.

Тоді відстань між хордами складає або

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

За умовою реалізувався другий випадок, у ньому проекції хорд лежать з одного боку від осі циліндра. Значить, вісь не перетинає цю площину в межах циліндра, тобто основи лежать по одну сторону від неї. Що потрібно було довести.

б) Позначимо центри підстав за О1 і О2. Проведемо з центру основи з хордою довжини 12 серединний перпендикуляр до цієї хорди (він має довжину 8, як зазначалося) і з центру іншого основи - до іншої хорді. Вони лежать в одній площині, перпендикулярній цим хордам. Назвемо середину меншої хорди B, більшої A та проекцію A на другу основу – H (H ∈ β). Тоді AB,AH ∈ β і означає, AB,AH перпендикулярні хорді, тобто прямий перетин основи з даною площиною.

Отже, шуканий кут дорівнює

Завдання №15- підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, перевіряє вміння вирішувати нерівності, що найбільш успішно вирішується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.

приклад 15.Розв'яжіть нерівність | x 2 – 3x| · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Рішення:Областю визначення цієї нерівності є інтервал (–1; +∞). Розглянь окремо три випадки:

1) Нехай x 2 – 3x= 0, тобто. х= 0 або х= 3. У цьому випадку ця нерівність перетворюється на правильну, отже, ці значення входять у розв'язання.

2) Нехай тепер x 2 – 3x> 0, тобто. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При цьому цю нерівність можна переписати у вигляді ( x 2 – 3x) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 і розділити на позитивний вираз x 2 – 3x. Отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 або x≤ -0,5. Враховуючи область визначення, маємо x ∈ (–1; –0,5].

3) Нарешті, розглянемо x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). При цьому вихідна нерівність перепишеться у вигляді (3 x – x 2) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 . Після поділу на позитивний вираз 3 x – x 2 отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Враховуючи область, маємо x ∈ (0; 1].

Об'єднуючи отримані рішення, отримуємо x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Відповідь: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Завдання №16- підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а другому пункті обчислити.

У рівнобедреному трикутнику ABC з кутом 120° при вершині A проведена бісектриса BD. У трикутник ABC вписано прямокутник DEFH так, що сторона FH лежить на відрізку BC, а вершина E – на відрізку AB. а) Доведіть, що FH = 2DH. б) Знайдіть площу прямокутника DEFH, якщо AB = 4.

Рішення:а)

1) ΔBEF – прямокутний, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тоді EF = BE за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.

2) Нехай EF = DH = xтоді BE = 2 x, BF = x√3 за теоремою Піфагора.

3) Оскільки ΔABC рівнобедрений, значить, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – бісектриса ∠B, значить ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Розглянемо ΔDBH – прямокутний, тому що. DH⊥BC.

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3) · 2(3 – √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Відповідь: 24 – 12√3.

Приклад 17Вклад у розмірі 20 млн. рублів планується відкрити на чотири роки. Наприкінці кожного року банк збільшує внесок на 10%, порівняно з його розміром на початку року. Крім того, на початку третього та четвертого років вкладник щороку поповнює вклад на хмлн. рублів, де х - цілечисло. Знайдіть найбільше значення х, при якому банк за чотири роки нарахує на вклад менше 17 млн. рублів.

Рішення:Наприкінці першого року вклад складе 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублів, а наприкінці другого - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублів. На початку третього року вклад (у млн рублів) складе (24,2+) х), а наприкінці - (24,2+ х) + (24,2 + х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). На початку четвертого року вклад складе (26,62 + 2,1 х), а наприкінці - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). За умовою, потрібно знайти найбільше ціле х, для якого виконано нерівність

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

Найбільше вирішення цієї нерівності - число 24.

Відповідь: 24.

При яких aсистема нерівностей

має рівно два рішення?

Рішення:Цю систему можна переписати у вигляді

Якщо намалювати на площині безліч розв'язків першої нерівності, вийде начинка кола (з кордоном) радіуса 1 з центром у точці (0, а). Безліч рішень другої нерівності – частина площини, що лежить під графіком функції y = | x| – a, причому останній є графік функції
y = | x| , зрушений вниз на а. Рішення даної системи є перетинання безлічі рішень кожної з нерівностей.

Отже, два рішення дана система матиме лише у випадку, зображеному на рис. 1.

Крапки торкання кола з прямими і будуть двома рішеннями системи. Кожна пряма нахилена до осей під кутом 45°. Отже, трикутник PQR- Прямокутний рівнобедрений. Крапка Qмає координати (0, а), а точка R– координати (0, – а). Крім того, відрізки PRі PQрівні радіусу кола, що дорівнює 1. Значить,

Нехай Snсума пчленів арифметичної прогресії ( а п). Відомо що S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Вкажіть формулу п-го члена цієї прогресії

б) Знайдіть найменшу за модулем суму S n.

в) Знайдіть найменше п, за якого S nбуде квадратом цілого числа.

Рішення: а) Очевидно, що a n = S n – S n- 1 . Використовуючи цю формулу, отримуємо:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

значить, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так як S n = 2n 2 – 25n, то розглянемо функцію S(x) = | 2x 2 – 25x|. Її графік можна побачити малюнку.

Очевидно, що найменше значення досягається в цілих точках, розташованих найбільш близько до нулів функції. Очевидно, що це точки х= 1, х= 12 і х= 13. Оскільки, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 · 169 - 25 · 13 | = 13, то найменше значення дорівнює 12.

в) З попереднього пункту випливає, що Snпозитивно, починаючи з n= 13. Так як S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), то очевидний випадок, коли цей вираз є повним квадратом, реалізується при n = 2n- 25, тобто при п= 25.

Залишилось перевірити значення з 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Виходить, що при менших значеннях пПовний квадрат не досягається.

Відповідь:а) a n = 4n- 27; б) 12; в) 25.

________________

*З травня 2017 року об'єднана видавнича група «ДРОФА-ВЕНТАНА» входить до корпорації «Російський підручник». До корпорації також увійшли видавництво «Астрель» та цифрова освітня платформа «LECTA». Генеральним директором призначено Олександра Бричкина, випускника Фінансової академії при Уряді РФ, кандидата економічних наук, керівника інноваційних проектів видавництва «ДРОФА» у сфері цифрової освіти (електронні форми підручників, «Російська електронна школа», цифрова освітня платформа LECTA). До приходу у видавництво «ДРОФА» обіймав позицію віце-президента зі стратегічного розвитку та інвестицій видавничого холдингу «ЕКСМО-АСТ». Сьогодні видавнича корпорація «Російський підручник» має найбільший портфель підручників, включених до Федерального переліку - 485 найменувань (приблизно 40%, без урахування підручників для корекційної школи). Видавництвам корпорації належать найбільш затребувані російськими школами комплекти підручників з фізики, креслення, біології, хімії, технології, географії, астрономії - галузей знань, які необхідні розвитку виробничого потенціалу країни. До портфелю корпорації входять підручники та навчальні посібники для початкової школи, удостоєні Премії Президента в галузі освіти. Це підручники та посібники з предметних областей, які необхідні розвитку науково-технічного і виробничого потенціалу Росії.

Завдання №5922.

Хазяїн домовився з робітниками, що вони копають колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3500 рублів, а за кожен наступний метр – на 1600 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 9 метрів?

Так як оплата кожного наступного метра відрізняється від оплати попереднього на те саме число, перед нами .

У цій прогресії – плата за перший метр, – різниця в оплаті кожного наступного метра, – кількість робочих днів.

Сума членів арифметичної прогресії перебуває за такою формулою:

Підставимо ці завдання у цю формулу.

Відповідь: 89100.

Завдання №5943.

В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

· За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

· За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 100 мідних. На скільки зменшилася кількість срібних монет у Миколи?

Завдання №5960.

Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 5 стрибків, починаючи стрибати з початку координат?

Якщо коник зробить п'ять стрибків в одному напрямку (праворуч або ліворуч), то він опиниться в точках з координатами 5 або -5:

Зауважимо, що коник може стрибати і вправо, і вліво. Якщо він зробить 1 стрибок праворуч і 4 стрибка ліворуч (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою -3. Аналогічно, якщо коник зробить 1 стрибок ліворуч і 4 стрибка праворуч (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою 3:

Якщо коник зробить 2 стрибки праворуч і 3 стрибки ліворуч (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою -1. Аналогічно, якщо коник зробить 2 стрибки вліво і 3 стрибка вправо (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою 1:

Зауважимо, що якщо загальна кількість стрибків непарна, то на початок координат коник не повернеться, тобто він зможе потрапити тільки в точки з непарними координатами:

Цих точок лише 6.

Якби кількість стрибків була парною, то коник зміг би повернутися на початок координат і всі точки на координатній прямій, у які міг би потрапити мали б парні координати.

Відповідь: 6

Завдання №5990

Равлик за день залазить на дерево на 2 м, а за ніч сповзає на 1 м. Висота дерева 9 м. За скільки днів равлик доповзе до вершини дерева?

Зауважимо, що у цьому завдання слід розрізняти поняття "добу" та поняття "день".

У задачі питається саме за скільки днівравлик доповзе до вершини дерева.

За один день равлик піднімається на 2 м, а за одну добу равлик піднімається на 1 м (за день піднімається на 2 м, а потім за ніч спускається на 1 м).

За 7 діб равлик піднімається на 7 метрів. Тобто вранці 8-го дня їй залишиться доповзти до вершини 2 м. І за восьмий день вона подолає цю відстань.

Відповідь: 8 днів.

Завдання №6010.

У всіх під'їздах будинку однакова кількість поверхів, а на кожному поверсі однакова кількість квартир. При цьому кількість поверхів у будинку більша за кількість квартир на поверсі, кількість квартир на поверсі більша за кількість під'їздів, а кількість під'їздів більша за один. Скільки поверхів у будинку, якщо всього у ньому 105 квартир?

Щоб знайти число квартир у будинку, потрібно число квартир на поверсі ( ) помножити на кількість поверхів ( ) та помножити на кількість під'їздів ( ).

Тобто нам потрібно знайти ( ), виходячи з таких умов:

(1)

Остання нерівність відображає умову "число поверхів у будинку більше за кількість квартир на поверсі, число квартир на поверсі більше за кількість під'їздів, а число під'їздів більше за одне".

Тобто ( ) - Найбільше число.

Розкладемо 105 на прості множники:

З урахуванням умови (1), .

Відповідь: 7.

Завдання №6036.

У кошику лежать 30 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

Так як серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик(або більше) число груздів має бути меншим або рівним ніж .

Звідси випливає, що число рижиків більше або рівне ніж .

Так як серед будь-яких 20 грибів хоча б один груздь(або більше), число рижиків має бути меншим або рівним ніж

Тоді отримали, що з одного боку, число рудиків більше або рівне ніж 19 , а з іншого - менше або рівно ніж 19 .

Отже, кількість рижиків одно 19.

Відповідь: 19.

Завдання №6047.

Сашко запросив Петю в гості, сказавши, що живе у сьомому під'їзді у квартирі №333, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що дім дев'ятиповерховий. На якому поверсі живе Сашко? (На кожному поверсі кількість квартир однакова, номери квартир у будинку починаються з одиниці.)

Нехай на кожному поверсі квартир.

Тоді кількість квартир у перших шести під'їздах дорівнює

Знайдемо максимальне натуральне значення, що задовольняє нерівності ( - номер останньої квартири в шостому під'їзді, і він менший, ніж 333.)

Звідси

Номер останньої квартири у шостому під'їзді -

Сьомий під'їзд починається із 325-ї квартири.

Отже, 333 квартири знаходяться на другому поверсі.

Відповідь: 2

Завдання №6060.

На поверхні глобуса фломастером проведено 17 паралелей та 24 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділяють поверхню глобуса? Меридіан – це дуга кола, що сполучає Північний та Південний полюси. паралель – це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора.

Уявімо собі кавун, який ми розрізаємо на шматочки.

Зробивши два розрізи від верхньої точки до нижньої (провівши два меридіани), ми розріжемо кавун на дві часточки. Отже, провівши 24 розрізи (24 меридіани) ми розріжемо кавун на 24 часточки.

Тепер розрізатимемо кожну часточку.

Якщо зробимо 1 поперечний розріз (паралель), то розріжемо одну часточку на 2 частини.

Якщо ми зробимо 2 поперечні розрізи (паралелі), то розріжемо одну часточку на 3 частини.

Отже, зробивши 17 розрізів, ми розріжемо одну часточку на 18 частин.

Отже, ми розрізали 24 часточки на 18 частин і отримали шматки.

Отже, 17 паралелей та 24 меридіани поділяють поверхню глобуса на 432 частини.

Відповідь: 432.

Завдання №6069

На палиці відзначені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 5 шматків, якщо по жовтих – 7 шматків, а якщо по зелених – 11 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів?

Якщо зробити 1 розріз, то вийде 2 шматки.

Якщо зробити 2 розрізи, то вийде 3 шматки.

У випадку: якщо зробити розрізів, то вийде шматок.

Назад: щоб отримати шматки, потрібно зробити розріз.

Знайдемо загальну кількість ліній, якими розрізали палицю.

Якщо розпиляти палицю по червоних лініях, вийде 5 шматків -отже, червоних ліній було 4;

якщо по жовтих - 7 шматків -отже, жовтих ліній було 6;

а якщо по зеленим - 11 шматків -отже, зелених ліній було 10.

Звідси загальна кількість ліній дорівнює. Якщо розпиляти ціпок по всіх лініях, то вийде 21 шматок.

Відповідь: 21.

Завдання №9626.

На кільцевій дорозі розташовані чотири бензоколонки: A, Б, B, і Г. Відстань між A та Б – 50 км, між A та В – 40 км, між В та Г – 25 км, між Г та A – 35 км (усі відстані вимірюються вздовж кільцевої дороги в найкоротший бік). Знайдіть відстань між Б та В.

Подивимося, як можуть бути розташовані бензоколонки. Спробуємо розташувати їх так:

При такому розташуванні відстань між Г та А не може дорівнювати 35 км.

Спробуємо так:

При такому розташуванні відстань між А та В не може бути 40 км.

Розглянемо такий варіант:

Цей варіант задовольняє умову завдання.

Відповідь: 10.

Завдання №10041.

Список завдань вікторини складався із 25 питань. За кожну правильну відповідь учень отримував 7 очок, за неправильну відповідь з неї списували 9 очок, а за відсутності відповіді давали 0 очок. Скільки вірних відповідей дав учень, який набрав 56 очок, якщо відомо, що, принаймні, один раз він помилився?

Нехай учень дав правильні відповіді і неправильні ( ). Так як можливо були ще питання, на які він не відповів, отримуємо нерівність:

Крім того, за умовою,

Так як правильна відповідь додає 7 очок, а неправильна зменшує 9, і зрештою учень набрав 56 очок, отримуємо рівняння:

Це рівняння треба вирішити у цілих числах.

Так як 9 на 7 не ділиться, має ділитися на 7.

Нехай тоді.

У цьому випадку всі умови виконуються.

Завдання №10056.

Прямокутник розбитий на чотири маленькі прямокутники двома прямолінійними розрізами. Площі трьох із них, починаючи з лівого верхнього і далі за годинниковою стрілкою дорівнюють 15, 18, 24. Знайдіть площу четвертого прямокутника.

Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін.

Жовтий і блакитний прямокутники мають спільну сторону, тому відношення площ цих прямокутників рівне відношенню довжин інших сторін (не рівних між собою).

Білий і зелений прямокутники також мають спільну сторону, тому відношення їх площ дорівнює відношенню інших сторін (не рівних між собою), тобто тому ж відношенню:

За якістю пропорції отримаємо

Звідси.

Завдання №10071.

Прямокутник розбитий на чотири маленькі прямокутники двома прямолінійними розрізами. Периметри трьох із них, починаючи з лівого верхнього і далі погодинної стрілки дорівнюють 17, 12, 13. Знайдіть периметр четвертого прямокутника.

Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин усіх сторін.

Позначимо сторони прямокутників як зазначено на малюнку та виразимо через зазначені змінні периметри прямокутників. Отримаємо:

Тепер нам потрібно знайти, чому дорівнює значення виразу.

Віднімемо з третього рівняння друге і додамо третє. Отримаємо:

Спростимо праву та ліву частини, отримаємо:

Отже, .

Відповідь: 18.

Завдання №10086.

У таблиці три стовпці та кілька рядків. У кожну клітинку таблиці поставили за натуральним числом так, що сума всіх чисел у першому стовпці дорівнює 72, у другому – 81, у третьому – 91, а сума чисел у кожному рядку більша за 13, але менша за 16. Скільки всього рядків у таблиці?

Знайдемо суму всіх чисел у таблиці: .

Нехай число рядків у таблиці дорівнює.

За умовою завдання сума чисел у кожному рядку більше 13, але менше 16.

Оскільки сума чисел - натуральне число, цій подвійній нерівності задовольняють лише два натуральні числа: 14 і 15.

Якщо припустити, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 14, тоді сума всіх чисел у таблиці дорівнює , і це сума задовольняє нерівності .

Якщо припустити, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 15, тоді сума всіх чисел у таблиці дорівнює , і це число задовольняє нерівності .

Отже, натуральне число повинне задовольняти системі нерівностей:

Єдине натуральне, що задовольняє цій системі - це

Відповідь: 17.

Про натуральні числа А, В і С відомо, що кожне з них більше 4, але менше 8. Загадали натуральне число, потім його помножили на А потім додали до отриманого твору В і відняли С. Вийшло 165. Яке число було загадано?

Натуральні числа А, В і Сможуть дорівнювати числам 5, 6 або 7.

Нехай невідоме натуральне число дорівнює.

Отримаємо: ;

Розглянемо різні варіанти.

Нехай А = 5. Тоді B=6 і С=7, або B=7 і С=6, або B=7 та С=7, або B=6 та С=6.

Перевіримо: ; (1)

165 поділяється на 5.

Різниця між числами В і С або дорівнює , або дорівнює 0 якщо ці числа рівні. Якщо різниця дорівнює , то рівність (1) неможлива. Отже, різниця дорівнює 0 і

Нехай А = 6. Тоді B=5 і С=7, або B=7 і З=5, або B=7 і З=7, або B=5 та С=5.

Перевіримо: ; (2)

Різниця між числами В і С або дорівнює , або дорівнює 0 якщо ці числа рівні. Якщо різниця дорівнює чи 0 то рівність (2) неможливо, оскільки - парне число, а сума (165 + парне число) - може бути парним числом.

Нехай А = 7. Тоді B=5 і З=6, або B=6 і З=5, або B=6 і З=6, або B=5 і З=5.

Перевіримо: ; (3)

Різниця між числами В і С або дорівнює , або дорівнює 0 якщо ці числа рівні. Число 165 при розподілі на 7 дає в залишку 4. Отже, також не ділиться на 7 і рівність (3) неможливо.

Відповідь: 33

З книги випало кілька листів, що йдуть поспіль. Номер останньої сторінки перед листами, що випали - 352, номер першої сторінки після листів, що випали, записується тими ж цифрами, але в іншому порядку. Скільки аркушів випало?

Очевидно, що номер першої сторінки після листів, що випали, більше ніж 352, значить це може бути або 532, або 523.

Кожен лист, що випав, містить 2 сторінки. Відтак випала парна кількість сторінок. 352 – парне число. Якщо ми до парного числа додамо парне, то отримаємо парне число. Отже, номер останньої сторінки, що випала, - парне число, і номер першої сторінки після листів, що випали, повинен бути непарним, тобто 523. Отже, номер останньої випалої сторінки 522. Тоді випало листів.

Відповідь: 85

Маша та Ведмідь з'їли 160 печива та банку варення, розпочавши і закінчивши одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь - печиво, але рано чи пізно вони змінилися. Ведмідь і те, й інше їсть утричі швидше за Машу. Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли порівну?

Якщо Маша та Ведмідь з'їли варення порівну, а ведмідь за одиницю часу з'їдав утричі більше варення, значить він їв варення втричі менший час, ніж Маша. Інакше кажучи, Маша їла варення втричі довше, ніж Ведмідь. Але поки Маша їла варення, ведмідь їв печиво. Отже, ведмідь їв печиво втричі довше, ніж Маша. Але Ведмідь, до того ж, за одиницю часу з'їдав утричі більше печива, ніж Маша, отже, у результаті він з'їв у 9 разів більше печива, ніж Маша.

Тепер нескладно скласти рівняння. Нехай Маша з'їла печива, тоді Ведмідь з'їла печива. Разом вони з'їли печива. отримуємо рівняння:

Відповідь: 144

На прилавку квіткового магазину стоять 3 вази з трояндами: оранжева, біла та синя. Зліва від помаранчевої вази 15 троянд, праворуч від блакитної вази 12 троянд. Загалом у вазах 22 троянди. скільки троянд у помаранчевій вазі?

Так як 15 + 12 = 27, і 27> 22, отже, кількість кольорів одній вазі порахували двічі. І це біла ваза, тому що це має бути ваза, яка стоїть праворуч від синьої та зліва від помаранчевої. Значить, вази стоять у такому порядку:

Звідси отримуємо систему:

Віднімаючи з третього рівняння перше, отримаємо О = 7.

Відповідь: 7

Десять стовпів з'єднані між собою дроти так, що від кожного стовпа відходить рівно 8 дротів. скільки всього дротів протягнуто між цими десятьма стовпами?

Рішення

Змоделюємо ситуацію. Нехай у нас є два стовпи, і вони з'єднані між собою дроти так, що від кожного стовпа відходить рівно 1 провід. Тоді виходить, що від стовпів відходить 2 дроти. Але ми маємо таку ситуацію:

Тобто при тому, що від стовпів відходить 2 дроти, протягнутий між стовпами лише один провід. Значить, кількість протягнутих дротів вдвічі менше, ніж кількість тих, що відходять.

Отримуємо: - кількість проводів, що відходять.

Число простягнутих дротів.

Відповідь: 40

З десяти країн сім підписали договір про дружбу рівно з трьома іншими країнами, а кожна з трьох - рівно з сімома. Скільки було підписано договорів?

Це завдання аналогічне попередньому: дві країни підписують один спільний договір. На кожному договорі стоять два підписи. Тобто кількість підписаних договорів удвічі менша, ніж кількість підписів.

Знайдемо кількість підписів:

Знайдемо кількість підписаних договорів:

Відповідь: 21

Три промені, що виходять з однієї точки, розбивають площину на три різні кути, що вимірюються цілим числом градусів. Найбільший кут у 3 рази більший за найменший. Скільки значень може набувати величина середнього кута?

Нехай найменший кут дорівнює, тоді найбільший кут дорівнює. Оскільки сума всіх кутів дорівнює, величина середнього кута дорівнює.

Середній кут повинен бути більшим за найменший і меншим за найбільший кут.

Отримаємо систему нерівностей:

Отже, набуває значення в діапазоні від 52 до 71 градуса, тобто всього можливих значень.

Відповідь: 20

Мишко, Коля та Льоша грають у настільний теніс: гравець, який програв партію, поступається місцем гравцеві, який не брав участі в ній. У результаті виявилося, що Мишко зіграв 12 партій, а Коля – 25. Скільки партій зіграв Льоша?

Рішення

Слід пояснити, як улаштований турнір: турнір складається з фіксованого числа партій; гравець, який програв у цій партії, поступається місцем гравцю, який не брав участі в цій партії. За підсумками наступної партії гравець, який не брав у ній участі, заступає на місце програв. Отже, кожен гравець бере участь хоча б у одній із двох послідовних партій.

Знайдемо, скільки було партій.

Оскільки Коля зіграв 25 партій, відтак у турнірі було проведено не менше 25 партій.

Мишко зіграв 12 партій. Так як він точно брав участь у кожній другій партії, отже, було проведено не більше ніж партій. Тобто турнір складався із 25 партій.

Якщо Мишко зіграв 12 партій, то Льоша зіграв 13, що залишилися.

Відповідь: 13

Наприкінці чверті Петя виписав поспіль всі свої позначки по одному з предметів, їх виявилося 5, і поставив між деякими знаки множення. Добуток чисел виявився рівним 3495 . Яка відмітка виходить у Петі в чверті з цього предмета, якщо вчитель ставить лише позначки 2, 3, 4 або 5 і підсумкова позначка в чверті є середнім арифметичним усіх поточних позначок, заокруглених за правилами округлення? (Наприклад, 3,2 округляється до 3; 4,5 - до 5; 2,8 - до 3)

Розкладемо 3495 на прості множники. Остання цифра числа 5, отже число ділиться на 5; сума цифр ділиться на 3, отже число ділиться на 3.

Отримали, що

Отже, оцінки Петі 3, 5, 2, 3, 3. Знайдемо середнє арифметичне:

Відповідь: 3

Середнє арифметичне 6 різних натуральних чисел дорівнює 8. На скільки потрібно збільшити найбільше з цих чисел, щоб їхнє середнє арифметичне стало на 1 більше?

Середнє арифметичне дорівнює сумі всіх чисел, поділеної з їхньої кількість. Нехай сума всіх чисел дорівнює. За умовою завдання, отже.

Середнє арифметичне стало на 1 більше, тобто стало одно 9. Якщо одне з чисел збільшили на , то сума збільшилася на і стала дорівнює .

Кількість чисел не змінилася і дорівнює 6.

Отримуємо рівність: