Пряма та зворотна пропорційні залежності визначення. Упорядкування системи рівнянь

I. Прямо пропорційні величини.

Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.

приклади.

1 . Кількість купленого товару та вартість покупки (при фіксованій ціні однієї одиниці товару – 1 штуки або 1 кг тощо). У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше й заплатили.

2 . Пройдений шлях і витрачений нею час (за постійної швидкості). У скільки разів довша дорога, у стільки разів більше витратимо часу на те, щоб її пройти.

3 . Обсяг будь-якого тіла та його маса. ( Якщо один кавун у 2 рази більший за інший, то і маса його буде в 2 рази більша)

ІІ. Властивість прямої пропорційності величин.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Завдання 1.Для малинового варення взяли 12 кгмалини та 8 кгцукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кгмалини?

Рішення.

Міркуємо так: нехай буде потрібно х кгцукру на 9 кгмалини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, у стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, відношення взятої (за масою) малини ( 12:9 ) буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8:х). Отримуємо пропорцію:

12: 9=8: х;

х = 9 · 8: 12;

х = 6. Відповідь:на 9 кгмалини потрібно взяти 6 кгцукру.

Рішення задачіможна було оформити і так:

Нехай на 9 кгмалини потрібно взяти х кгцукру.

(Стрілки на малюнку спрямовані в один бік, а вгору чи вниз — не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , у стільки ж разів число 8 більше числа х, Т. е. тут пряма залежність).

Відповідь:на 9 кгмалини треба взяти 6 кгцукру.

Завдання 2.Автомобіль за 3:00проїхав відстань 264 км. За який час він проїде 440 кмякщо буде їхати з тією ж швидкістю?

Рішення.

Нехай за х годинавтомобіль пройде відстань 440 км.

Відповідь:автомобіль пройде 440 км за 5 годин.

Сьогодні ми розглянемо, які величини називаються обернено пропорційними, як виглядає графік зворотної пропорційності і як усе це може вам знадобитися не тільки на уроках математики, але й поза шкільними стінами.

Такі різні пропорційності

Пропорційністюназивають дві величини, які взаємно залежні одна від одної.

Залежність може бути прямою та зворотною. Отже, відносини між величинами описують пряма та зворотна пропорційність.

Пряма пропорційність– це залежність двох величин, коли він збільшення чи зменшення однієї з них веде до збільшення чи зменшення інший. Тобто. їхнє відношення не змінюється.

Наприклад, чим більше зусиль ви докладаєте для підготовки до іспитів, тим вищі ваші оцінки. Або чим більше речей ви берете із собою у похід, тим важче нести ваш рюкзак. Тобто. кількість витрачених на підготовку до іспитів зусиль прямо пропорційно до отриманих оцінок. І кількість запакованих у рюкзак речей прямо пропорційно до його ваги.

Зворотня пропорційність– це функціональна залежність, коли він зменшення чи збільшення у кілька разів незалежної величини (її називають аргументом) викликає пропорційне (тобто. в стільки ж раз) збільшення чи зменшення залежної величини (її називають функцією).

Проілюструємо простим прикладом. Ви хочете купити на ринку яблук. Яблука на прилавку та кількість грошей у вашому гаманці знаходяться у зворотній пропорційності. Тобто. що більше ви купите яблук, то менше грошей у вас залишиться.

Функція та її графік

Функцію зворотної пропорційності можна описати як y = k/x. В якому x≠ 0 та k≠ 0.

Ця функція має такі властивості:

1. Областью її визначення є безліч усіх дійсних чисел, крім x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Областью значень є всі дійсні числа, крім y= 0. Е:: (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Не має найбільших та найменших значень.
4. Є непарною та її графік симетричний щодо початку координат.
5. Неперіодична.
6. Її графік не перетинає осі координат.
7. Не має нулів.
8. Якщо k> 0 (тобто аргумент зростає), функція пропорційно зменшується кожному зі своїх проміжків. Якщо k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При зростанні аргументу ( k> 0) негативні значення функції перебувають у проміжку (-∞; 0), а позитивні – (0; +∞). При зменшенні аргументу ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графік функції зворотної пропорційності називається гіперболою. Зображується так:

Завдання на зворотну пропорційність

Щоб стало зрозуміліше, розберемо кілька завдань. Вони не надто складні, а їхнє рішення допоможе вам наочно уявити, що таке зворотна пропорційність і як ці знання можуть стати у нагоді у вашому звичайному житті.

Завдання №1. Автомобіль рухається зі швидкістю 60 км/год. Щоб дістатися місця призначення, йому знадобилося 6 годин. Скільки часу йому знадобиться, щоб подолати таку ж відстань, якщо він рухатиметься зі швидкістю в 2 рази вищою?

Можемо почати з того, що запишемо формулу, яка описує відносини часу, відстані та швидкості: t = S/V. Погодьтеся, вона дуже нагадує нам функцію зворотної пропорційності. І свідчить про те, що час, який автомобіль проводить у дорозі, та швидкість, з якою він рухається, перебувають у зворотній пропорційності.

Щоб переконатися в цьому, знайдемо V 2 , яка за умовою вище в 2 рази: V 2 = 60 * 2 = 120 км/год. Потім розрахуємо відстань за формулою S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Тепер зовсім нескладно дізнатися час t 2 , який вимагається за умовою задачі: t 2 = 360/120 = 3 год.

Як бачите час у дорозі і швидкість руху дійсно обернено пропорційні: зі швидкістю в 2 рази вище початкової автомобіль витратить у 2 рази менше часу на дорогу.

Вирішення цього завдання можна записати і у вигляді пропорції. Для чого спочатку складемо таку схему:

↓ 60 км/год – 6 год

↓120 км/год – х год

Стрілки позначають обернено пропорційну залежність. А також нагадують, що при складанні пропорції праву частину запису треба перевернути: 60/120 = х/6. Звідки одержуємо х = 60 * 6/120 = 3 год.

Завдання №2. У майстерні працюють 6 робітників, які із заданим обсягом роботи справляються за 4 години. Якщо кількість робітників скоротити в 2 рази, скільки часу потрібно залишитися, щоб виконати той самий обсяг роботи?

Запишемо умови завдання у вигляді наочної схеми:

↓ 6 робітників – 4 год

↓ 3 робітників – х год

Запишемо це як пропорції: 6/3 = х/4. І отримаємо х = 6 * 4/3 = 8 год. Якщо робітників стане в 2 рази менше, решта витратить на виконання всієї роботи в 2 рази більше часу.

Завдання №3. У басейн ведуть дві труби. Через одну трубу вода надходить зі швидкістю 2 л/с та наповнює басейн за 45 хвилин. Через іншу трубу басейн наповниться за 75 хвилин. З якою швидкістю вода надходить у басейн через цю трубу?

Для початку наведемо всі дані нам за умовою задачі величини до однакових одиниць виміру. Для цього виразимо швидкість заповнення басейну в літрах за хвилину: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/хв.

Оскільки з умови випливає, що через другу трубу басейн заповнюється повільніше, значить і швидкість надходження води нижча. В наявності зворотна пропорційність. Невідому нам швидкість висловимо через х і складемо таку схему:

↓ 120 л/хв – 45 хв

↓ х л/хв – 75 хв

А потім складемо пропорцію: 120/х = 75/45, звідки х = 120*45/75 = 72 л/хв.

У задачі швидкість наповнення басейну виражена в літрах за секунду, наведемо отриману нами відповідь до такого ж виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Завдання №4. У невеликій приватній друкарні друкують візитки. Співробітник друкарні працює зі швидкістю 42 візитки на годину та працює повний робочий день – 8 годин. Якби він працював швидше і друкував 48 візиток за годину, наскільки раніше він міг би піти додому?

Йдемо перевіреним шляхом і складаємо за умовою завдання схему, позначивши потрібну величину як х:

↓ 42 візитки/год – 8 год

↓ 48 візитки/год – х год

Перед нами обернено пропорційна залежність: у скільки разів більше візиток на годину надрукує співробітник друкарні, у стільки ж разів менше часу знадобиться на виконання тієї самої роботи. Знаючи це, складемо пропорцію:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким чином, впоравшись із роботою за 7 годин, співробітник друкарні зможу піти додому на годину раніше.

Висновок

Нам здається, що ці завдання на зворотну пропорційність справді нескладні. Сподіваємося, що тепер ви також вважаєте їх такими. А головне, що знання про зворотно пропорційну залежність величин дійсно може виявитися для вас корисним ще не раз.

Не тільки на уроках математики та іспитах. Але й тоді, коли ви зберетеся вирушити у подорож, підете за покупками, вирішите трохи підробити у канікули тощо.

Розкажіть нам у коментарях, які приклади зворотної та прямої пропорційної залежності ви помічаєте навколо себе. Нехай це буде така гра. Ось побачите, як це цікаво. Не забудьте «розшарити» цю статтю у соціальних мережах, щоб ваші друзі та однокласники теж змогли пограти.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них у кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами – пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійній швидкості пройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата та його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежність від зворотної можна використовувати прислів'я: «Що далі лісом, то більше дров».

Завдання прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Розмірковуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно їх виготовлення. Отже, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12:10 = х: 3,5

Щоб знайти , треба твір крайніх членів розділити на відомий середній член:

Отже, знадобиться 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштує 12 метрів такої тканини?

(1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямі від більшого числа до меншого.

2. Що менше тканини купують, то менше за неї треба заплатити. Отже, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована першою).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15:12 = 1680:х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, добуток середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів коштують 1344 рублі.

Відповідь: 1344 рублі.

приклад

Коефіцієнт пропорційності

Постійне відношення пропорційних величин називається коефіцієнтом пропорційності. Коефіцієнт пропорційності показує, скільки одиниць однієї величини посідає одиницю інший .

Пряма пропорційність

Пряма пропорційність- функціональна залежність , коли він певна величина залежить від іншої величини в такий спосіб, що й ставлення залишається постійним. Інакше кажучи, ці змінні змінюються пропорційно, у рівних частках, тобто, якщо аргумент змінився вдвічі у якомусь напрямі, те й функція змінюється також удвічі у тому напрямі.

Математично пряма пропорційність записується у вигляді формули:

f(x) = ax,a = const

Зворотня пропорційність

Зворотня пропорційність- це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргументу) викликає пропорційне зменшення залежної величини (функції).

Математично зворотна пропорційність записується у вигляді формули:

Властивості функції:

Джерела

Wikimedia Foundation. 2010 .

Пропорційність - це взаємозв'язок між двома величинами, при якій зміна однієї з них спричиняє зміну іншої в стільки ж разів.

Пропорційність буває прямою та зворотною. У цьому уроці ми розглянемо кожну з них.

Пряма пропорційність

Припустимо, що автомобіль рухається зі швидкістю 50 км/год. Ми пам'ятаємо, що швидкість – це відстань, пройдена за одиницю часу (1 година, 1 хвилина або 1 секунда). У нашому прикладі автомобіль рухається зі швидкістю 50 км/год, тобто за одну годину він проїжджатиме відстань, що дорівнює п'ятдесяти кілометрам.

Зобразимо на малюнку відстань, пройдену автомобілем за 1 годину

Нехай автомобіль проїхав ще одну годину з тією ж швидкістю, що дорівнює п'ятдесяти кілометрів на годину. Тоді вийде, що автомобіль проїде 100 км.

Як видно з прикладу, збільшення часу вдвічі призвело до збільшення пройденої відстані в стільки ж разів, тобто вдвічі.

Такі величини, як і відстань називають прямо пропорційними. А взаємозв'язок між такими величинами називають прямою пропорційністю.

Прямою пропорційністю називають взаємозв'язок між двома величинами, при якій збільшення однієї з них спричиняє збільшення іншої в стільки ж разів.

і навпаки, якщо одна величина зменшується в кілька разів, то інша зменшується в стільки ж разів.

Припустимо, що спочатку планувалося проїхати автомобілем 100 км за 2 години, але проїхавши 50 км, водій вирішив відпочити. Тоді вийде, що зменшивши відстань вдвічі, час зменшиться в стільки ж разів. Іншими словами, зменшення пройденої відстані призведе до скорочення часу в стільки ж разів.

Цікава особливість прямо пропорційних величин у тому, що й ставлення завжди постійно. Тобто при зміні значень прямо пропорційних величин їхнє ставлення залишається незмінним.

У розглянутому прикладі відстань спочатку дорівнювала 50 км, а час одній годині. Ставлення відстані на час є число 50.

Але ми збільшили час руху в 2 рази, зробивши його рівною дві години. В результаті пройдена відстань збільшилася в стільки ж разів, тобто дорівнювало 100 км. Ставлення ста кілометрів до другої години знову ж таки є число 50

Число 50 називають коефіцієнтом прямої пропорційності. Він показує скільки відстані посідає годину руху. У разі коефіцієнт грає роль швидкості руху, оскільки швидкість це ставлення пройденого відстані до часу.

З прямо пропорційних величин можна становити пропорції. Наприклад, відносини і становлять пропорцію:

П'ятдесят кілометрів так відносяться до однієї години, як сто кілометрів відносяться до другої години.

Приклад 2. Вартість та кількість купленого товару є прямо пропорційними величинами. Якщо 1 кг цукерок коштує 30 рублів, то 2 кг цих цукерок обійдуться в 60 рублів, 3 кг в 90 рублів. Зі збільшенням вартості купленого товару його кількість збільшується в стільки ж разів.

Оскільки вартість товару та його кількість є прямо пропорційними величинами, їх відношення завжди постійно.

Запишемо чому дорівнює відношення тридцяти рублів до одного кілограма

Тепер запишемо чому рівне ставлення шістдесяти рублів до двох кілограмів. Це ставлення знову ж таки дорівнює тридцяти:

Тут коефіцієнтом прямої пропорційності є число 30. Цей коефіцієнт показує скільки рублів посідає кілограм цукерок. У цьому прикладі коефіцієнт грає роль ціни одного кілограма товару, оскільки ціна це відношення вартості товару на його кількість.

Зворотня пропорційність

Розглянемо наступний приклад. Відстань між двома містами – 80 км. Мотоцикліст виїхав з першого міста і зі швидкістю 20 км/год доїхав до другого міста за 4 години.

Якщо швидкість мотоцикліста склала 20 км/год це означає, що кожну годину він проїжджав відстань, що дорівнює двадцяти кілометрам. Зобразимо на малюнку відстань, пройдену мотоциклістом, та час його руху:

На зворотному шляху швидкість мотоцикліста була 40 км/год, і той самий шлях він витратив 2 години.

Легко помітити, що при зміні швидкості час руху змінився в стільки ж разів. Причому змінилося у зворотний бік — тобто швидкість збільшилася, а час навпаки зменшився.

Такі величини, як швидкість і час називають обернено пропорційними. А взаємозв'язок між такими величинами називають зворотною пропорційністю.

Зворотною пропорційністю називають взаємозв'язок між двома величинами, при якій збільшення однієї з них спричиняє зменшення іншої в стільки ж разів.

і навпаки, якщо одна величина зменшується в кілька разів, то інша збільшується в стільки ж разів.

Наприклад, якщо на зворотному шляху швидкість мотоцикліста склала б 10 км/год, то ті ж 80 км він подолав би за 8 годин:

Як бачимо з прикладу, зменшення швидкості призвело до збільшення часу руху в стільки ж разів.

Особливість обернено пропорційних величин полягає в тому, що їх твір завжди постійно. Тобто, при зміні значень обернено пропорційних величин, їх твір залишається незмінним.

У розглянутому прикладі відстань між містами дорівнювала 80 км. При зміні швидкості та часу руху мотоцикліста ця відстань завжди залишалася незмінною

Мотоцикліст міг проїхати цю відстань зі швидкістю 20 км/год за 4 години і зі швидкістю 40 км/год за 2 години, і зі швидкістю 10 км/год за 8 годин. У всіх випадках добуток швидкості і часу дорівнював 80 км

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки