Прямокутний паралелепіпед в основі квадрат. Паралелепіпед та його види

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Цілі уроку:

1. Освітні:

Ввести поняття паралелепіпеда та його видів;
- сформулювати (використовуючи аналогію з паралелограмом та прямокутником) та довести властивості паралелепіпеда та прямокутного паралелепіпеда;
- повторити питання, пов'язані з паралельністю та перпендикулярністю у просторі.

2. Розвиваючі:

Продовжити розвиток у учнів таких пізнавальних процесів, як сприйняття, осмислення, мислення, увага, пам'ять;
- сприяти розвитку у учнів елементів творчої діяльності як якості мислення (інтуїція, просторове мислення);
- формувати в учнів вміння робити висновки, зокрема – за аналогією, що допомагає усвідомити внутрішньопредметні зв'язки у геометрії.

3. Виховні:

Сприяти вихованню організованості, звички до систематичної праці;
- сприяти формуванню естетичних навичок під час оформлення записів, виконання креслень.

Тип уроку: урок-вивчення нового матеріалу (2 години).

Структура уроку:

1. Організаційний момент.
2. Актуалізація знань.
3. Вивчення нового матеріалу.
4. Підбиття підсумків та постановка домашнього завдання.

Обладнання: плакати (слайди) з доказами, моделі різних геометричних тіл, у тому числі всі види паралелепіпедів, графопроектор.

Хід уроку.

1. Організаційний момент.

2. Актуалізація знань.

Повідомлення теми уроку, формулювання разом з учнями мети та завдань, показ практичної значущості вивчення теми, повторення раніше вивчених питань, пов'язаних із цією темою.

3. Вивчення нового матеріалу.

3.1. Паралелепіпед та його види.

Демонструються моделі паралелепіпедів з виявленням їх особливостей, що допомагають сформулювати визначення паралелепіпеда, використовуючи поняття призми.

Визначення:

Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм.

Виконується креслення паралелепіпеда (рисунок 1), перераховуються елементи паралелепіпеда як окремого випадку призми. Демонструється слайд 1.

Схематичний запис визначення:

Формулюються висновки з визначення:

1) Якщо ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма та ABCD – паралелограм, то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – паралелепіпед.

2) Якщо ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – паралелепіпед, то ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – призма та ABCD – паралелограм.

3) Якщо ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма чи ABCD – не паралелограм, то
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не паралелепіпед.

4). Якщо ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – не призма або ABCD – не паралелограм.

Далі розглядаються окремі випадки паралелепіпеда з побудовою схеми класифікації (див. рис.3), демонструються моделі та виділяються характеристичні властивості прямого та прямокутного паралелепіпедів, формулюються їх визначення.

Визначення:

Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи.

Визначення:

Паралелепіпед називається прямокутним, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи, а основою є прямокутник (див. рисунок 2).

Після запису ухвал у схематичному вигляді формулюються висновки з них.

3.2. Властивості паралелепіпедів.

Пошук планиметричних фігур, просторовими аналогами яких є паралелепіпед та прямокутний паралелепіпед (паралелограм та прямокутник). В даному випадку маємо справу з візуальною схожістю фігур. Використовуючи правило виведення за аналогією, заповнюються таблиці.

Правило висновку за аналогією:

1. Вибрати серед раніше вивчених фігур фігуру, аналогічну даній.
2. Сформулювати властивість обраної фігури.
3. Сформулювати аналогічну властивість вихідної фігури.
4. Довести чи спростувати сформульоване твердження.

Після формулювання властивостей проводиться доказ кожного з них за такою схемою:

• обговорення плану доказу;
• демонстрація слайду з доказом (слайди 2 – 6);
• оформлення учнями доказів у зошитах.

3.3 Куб та його властивості.

Визначення: Куб - це прямокутний паралелепіпед, у якого всі три виміри рівні.

За аналогією з паралелепіпедом учні самостійно роблять схематичний запис визначення, виводять наслідки з нього та формулюють властивості куба.

4. Підбиття підсумків та постановка домашнього завдання.

Домашнє завдання:

1. Використовуючи конспект уроку за підручником геометрії для 10-11 класів, Л.С. Атанасян та ін, вивчити гл.1, §4, п.13, гл.2, §3, п.24.
2. Довести або спростувати властивість паралелепіпеда, п.2 таблиці.
3. Відповісти на контрольні питання.

Контрольні питання.

1. Відомо, що тільки дві бічні грані паралелепіпеда перпендикулярні до основи. Якого виду паралелепіпед?

2. Скільки бічних граней прямокутної форми може мати паралелепіпед?

3. Чи можливий паралелепіпед, у якого лише одна бічна грань:

1) перпендикулярна до основи;
2) має форму прямокутника.

4. У прямому паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Чи є він прямокутним?

5. Чи правильно, що у прямому паралелепіпеді діагональні перерізи перпендикулярні до площин основи?

6. Сформулюйте теорему, обернену до теореми про квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда.

7. Які додаткові ознаки відрізняють куб від прямокутного паралелепіпеда?

8. Чи буде кубом паралелепіпед, у якому рівні всі ребра при одній з вершин?

9. Сформулюйте теорему про квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда для випадку куба.

Визначення

Багатогранникомназиватимемо замкнуту поверхню, складену з багатокутників і обмежує деяку частину простору.

Відрізки, що є сторонами цих багатокутників, називаються ребрамибагатогранника, а самі багатокутники – гранями. Вершини багатокутників називаються вершинами багатогранника.

Розглянемо тільки опуклі багатогранники (це такий багатогранник, який знаходиться по одну сторону від кожної площини, що містить його грань).

Багатокутники, у тому числі складений багатогранник, утворюють його поверхню. Частина простору, яку обмежує цей багатогранник, називається його начинкою.

Визначення: призма

Розглянемо два рівні багатокутники \(A_1A_2A_3...A_n\) і \(B_1B_2B_3...B_n\) , що знаходяться в паралельних площинах так, що відрізки \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)паралельні. Багатогранник, утворений багатокутниками \(A_1A_2A_3...A_n\) та \(B_1B_2B_3...B_n\) , а також паралелограмами \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\)називається (\(n\) -вугільною) призмою.

Багатокутники \(A_1A_2A_3...A_n\) і \(B_1B_2B_3...B_n\) називаються основами призми, паралелограми \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\)– бічними гранями, відрізки \(A_1B_1, \A_2B_2, \..., A_nB_n\)– бічними ребрами.
Таким чином, бічні ребра призми паралельні та рівні між собою.

Розглянемо приклад – призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), В основі якої лежить опуклий п'ятикутник.

Висотапризми – це перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї основи до площини іншої основи.

Якщо бічні ребра не перпендикулярні до основи, то така призма називається похилій(рис. 1), інакше – прямий. У прямій призми бічні ребра є висотами, а бічні грані – рівними прямокутниками.

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то призма називається правильною.

Визначення: поняття обсягу

Одиниця виміру обсягу – одиничний куб (куб розмірами \(1\times1\times1\) од\(^3\) , де од - деяка одиниця виміру).

Можна сміливо сказати, що обсяг багатогранника – це величина простору, яку обмежує цей багатогранник. Інакше: це величина, числове значення якої показує, скільки разів одиничний куб та його частини вміщуються в даний багатогранник.

Об'єм має ті ж властивості, що і площа:

1. Об'єми рівних фігур рівні.

2. Якщо багатогранник складений з декількох багатогранників, що не перетинаються, то його обсяг дорівнює сумі обсягів цих багатогранників.

3. Обсяг – величина невід'ємна.

4. Об'єм вимірюється в см(^3\) (кубічні сантиметри), м(^3\) (кубічні метри) і т.д.

Теорема

1. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.
Площа бічної поверхні – сума площ бічних граней призми.

2. Обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на висоту призми: \

Визначення: паралелепіпед

Паралелепіпед- Це призма, в основі якої лежить паралелограм.

Всі грані паралелепіпеда (їх (6): (4) бічні грані і (2) підстави) являють собою паралелограми, причому протилежні грані (паралельні один одному) є рівними паралелограми (рис. 2).

Діагональ паралелепіпеда- Це відрізок, що з'єднує дві вершини паралелепіпеда, що не лежать в одній грані (їх (8 \): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)і т.д.).

Прямокутний паралелепіпед- це прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник.
Т.к. це прямий паралелепіпед, то бічні грані є прямокутниками. Значить взагалі всі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні (це випливає з рівності трикутників \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)і т.д.).

Зауваження

Таким чином, паралелепіпед має всі властивості призми.

Теорема

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Площа повної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Теорема

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його ребер, що виходять з однієї вершини (три виміри прямокутного паралелепіпеда): \

Доведення

Т.к. у прямокутного паралелепіпеда бічні ребра перпендикулярні до основи, то є і його висотами, тобто \(h=AA_1=c\) Т.к. в основі лежить прямокутник, то \(S_(\text(осн))=AB\cdot AD=ab\). Звідси і випливає ця формула.

Теорема

Діагональ \(d\) прямокутного паралелепіпеда шукається за формулою (де \(a,b,c\) - вимірювання паралелепіпеда) \

Доведення

Розглянемо рис. 3. Т.к. в основі лежить прямокутник, то \(\triangle ABD\) - прямокутний, отже, за теоремою Піфагора \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Т.к. всі бічні ребра перпендикулярні основам, то \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)перпендикулярно будь-якої прямої у цій площині, тобто. \(BB_1\perp BD\) . Значить, \(\triangle BB_1D) - прямокутний. Тоді за теоремою Піфагора \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), Чтд.

Визначення: куб

Куб- це прямокутний паралелепіпед, усі грані якого – рівні квадрати.

Таким чином, три виміри дорівнюють між собою: \(a=b=c\) . Значить, вірні такі

Теореми

1. Об'єм куба з ребром \(a\) дорівнює \(V_(\text(куба))=a^3\) .

2. Діагональ куба шукається за формулою (d = a sqrt3).

3. Площа повної поверхні куба \(S_(\text(повн.пов-ти куба))=6a^2\).