Робота з наочними посібниками.

Наочна стереометрія у теорії, завданнях, кресленнях. Бобровська О.В.

Р. на Д.: 2013. – 167 с.

Навчальний посібник є практичним посібником з курсу стереометрії загальноосвітньої школи. У ньому представлений матеріал, присвячений теорії зображень просторових постатей у довільній паралельній проекції. У книзі містяться алгоритми побудови зображень багатогранників, круглих тіл та їх комбінацій, описані основні випадки обґрунтування виконання креслень, представлений докладний аналіз можливостей проекційних креслень для вирішення задач на побудову перерізів багатогранників. Теоретичний матеріал має велику кількість ілюстрацій, багато з яких виконані «в динаміці». Перший розділ присвячений основам теорії зображень плоских та просторових фігур у паралельній проекції, містить алгоритми побудови зображень плоских та просторових фігур. Другий розділ присвячено вирішенню позиційних завдань на проекційних кресленнях. Тут даються поняття позиційних завдань, повного та неповного зображень, наводяться прийоми та методи побудови перерізів багатогранників на повних кресленнях. У третій главі розглядаються прийоми обґрунтування виконання креслень, наводяться приклади розв'язання стереометричних завдань на проекційних кресленнях. Посібник розрахований на учнів 10-11-х класів, вчителів математики та студентів педагогічних вузів.

Формат: pdf

Розмір: 26,4 Мб

Дивитись, скачати:drive.google ; Rghost

ЗМІСТ
Глава 1. ЗОБРАЖЕННЯ ПЛОСЬКИХ І ПРОСТОРІВНИХ ФІГУР У ПАРАЛЕЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ 5
1.1. Основи теорії паралельного проектування.
1.2. Зображення плоских фігур. 6
1.3. Зображення просторових фігур 11
1.3.1. Призма 11
1.3.2. Піраміда 11
1.3.3. Циліндр. 16
1.3.4. Конус. 16
1.3.5. Куля 20
1.3.6. Комбінації циліндра з багатогранниками 20
1.3.7. Комбінації конуса з багатогранниками 26
1.3.8. Описана куля 31
1.3.9. Вписана куля 31
Глава 2. ПОЗИЦІЙНІ ЗАВДАННЯ НА ПОБУДУВАННЯ ПІВНІХ І НЕПОВНИХ КРЕСЛЕННЯХ 42
2.1. Позиційне завдання, повні та неповні зображення 42
2.2. Основні позиційні завдання 46
2.3. Елементарні способи побудови перерізів багатогранників 54
2.3.1. Аксіоматичний підхід до побудови стереометрії 54
2.3.2. Аксіоми та теореми стереометрії у побудові перерізів багатогранників Ш
2.3.3. Паралельність прямих і площин у побудові перерізів багатогранників
2.4. Побудова перерізів багатогранників на повних кресленнях It
2.4.1. Метод «сліду січної площини» 7*
2.4.2. Метод «внутрішнього проектування» 81
Глава 3. ПОБУДУВАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ МНОГОГРАНИКІВ І КРУГЛИХ ТІЛ НА ПОВНОМ КРЕСЛЕННІ 87
3.1. Висота багатогранника 87
3.2. Кут прямий з площиною 94
3.3. Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута 97
3.4. Форма граней та перерізів багатогранників 102
3.5. Перпендикуляр з точки до прямої та площини у просторі ПЗ
3.5.1. Перпендикуляр з точки до прямої у просторі 110
3-5.2. Перпендикуляр з точки до площини 112
3.5.3. Відстань від прямої до площини 114
3.6. Загальний перпендикуляр схрещуються прямих 115
3.7. Комбінації багатогранників та круглих тіл 120
3.7.1. Комбінації циліндра з багатогранниками 120
3.7.2. Комбінації конуса з багатогранниками 122
3.7.3. Куля, описана біля багатогранників і круглих тіл 125
3.7.4. Вписана куля 129
3.7.5. Нестандартні комбінації багатогранників та круглих тіл. 140
3.7.6. Обчислення елементів багатогранників
та круглих тіл на повних кресленнях 150
Висновок 161
Список литературы 163

Навчальний посібник є практичним посібником з курсу стереометрії загальноосвітньої школи. У ньому представлений матеріал, присвячений теорії зображень просторових постатей у довільній паралельній проекції.
У книзі містяться алгоритми побудови зображень багатогранників, круглих тіл та їх комбінацій, описані основні випадки обґрунтування виконання креслень, представлений докладний аналіз можливостей проекційних креслень для вирішення задач на побудову перерізів багатогранників. Теоретичний матеріал має велику кількість ілюстрацій, багато з яких виконані «в динаміці».
Перший розділ присвячений основам теорії зображень плоских та просторових фігур у паралельній проекції, містить алгоритми побудови зображень плоских та просторових фігур.
Другий розділ присвячено вирішенню позиційних завдань на проекційних кресленнях. Тут даються зрозуміла позиційних завдань, повного та неповного зображень, наводяться прийоми та методи побудови перерізів багатогранників на повних кресленнях.
У третій главі розглядаються прийоми обґрунтування виконання креслень, наводяться приклади розв'язання стереометричних завдань на проекційних кресленнях.
Посібник розрахований на учнів 10-11 класів, вчителів математики та студентів педагогічних вузів.

піраміда.
Зображаємо основу пірам іди у вигляді багатокутника, потім висоту піраміди – вертикальним відрізком. Вибираємо вершину піраміди, зображуємо бічні ребра. Виділяємо видимі та невидимі лінії. На малюнку 16 зображено довільну піраміду SABCD, положення висоти SO якої нс визначено умовою завдання.

Однак у більшості випадків становище основи висоти піраміди, точки О. визначено умовою завдання. Зокрема, якщо піраміда правильна, то О – центр основи. На малюнку 17 зображено правильну трикутну піраміду. Особливо виділимо такі піраміди, у яких усі ребра або всі грані рівнонахильні до площини основи, а також піраміди, у яких бічне ребро або дві грані перпендикулярні до площини основи. Становище висоти таких пірамід докладно досліджено у розділі 3 цього посібника.

Зміст
Глава 1. ЗОБРАЖЕННЯ ПЛОСЬКИХ І ПРОСТОРІВНИХ ФІГУР У ПАРАЛЕЛЬНІЙ ПРОЕКЦІЇ
1.1. Основи теорії паралельного проектування
1.2. Зображення плоских фігур
1.3. Зображення просторових фігур
1.3.1. Призма
1.3.2. Піраміда
1.3.3. Циліндр
1.3.4. Конус
1.3.5. Куля
1.3.6. Комбінації циліндра з багатогранниками
1.3.7. Комбінації конуса з багатогранниками
1.3.8. Описана куля
1.3.9. Вписана куля
Глава 2. ПОЗИЦІЙНІ ЗАВДАННЯ НА ПОБУДУВАННЯ НА ПОВНИХ І НЕПОВНИХ КРЕСЛЕННЯХ
2.1. Позиційне завдання, повні та неповні зображення
2.2. Основні позиційні завдання
2.3. Елементарні способи побудови перерізів багатогранників
2.3.1. Аксіоматичний підхід до побудови стереометрії
2.3.2. Аксіоми та теореми стереометрії у побудові перерізів багатогранників
2.3.3. Паралельність прямих і площин у побудові перерізів багатогранників
2.4. Побудова перерізів багатогранників на повних кресленнях
2.4.1. Метод «сліду січої площини»
2.4.2. Метод «внутрішнього проектування»
Глава 3. ПОБУДУВАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ МНОГОГРАНИКІВ І КРУГЛИХ ТІЛ НА ПОВНОМ КРЕСЛЕННІ
3.1. Висота багатогранника
3.2. Кут прямий з площиною
3.3. Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута
3.4. Форма граней та перерізів багатогранників
3.5. Перпендикуляр з точки до прямої та площини у просторі
3.5.1. Перпендикуляр з точки до прямої у просторі
3.5.2. Перпендикуляр із точки до площини
3.5.3. Відстань від прямої до площини
3.6. Загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються
3.7. Комбінації багатогранників та круглих тіл
3.7.1. Комбінації циліндра з багатогранниками
3.7.2. Комбінації конуса з багатогранниками
3.7.3. Куля, описана біля багатогранників і круглих тіл
3.7.4. Вписана куля
3.7.5. Нестандартні комбінації багатогранників та круглих тіл
3.7.6. Обчислення елементів багатогранників та круглих тіл на повних кресленнях
Висновок
Список літератури.

Безкоштовно завантажити електронну книгу у зручному форматі, дивитися та читати:
Скачати книгу Наочна стереометрія в теорії, завданнях, кресленнях, Бобровська А.В., 2013 - fileskachat.com, швидке та безкоштовне скачування.

Призначення:Для поглибленого вивчення у 10 та 11 класах

Видавництво: МФТІ Москва 1996

Формат: DjVu, Розмір файла: 8.72 MB

11 КЛАС: РОЗДІЛ 5-9

ПЕРЕДМОВА

Книга написана з урахуванням лекцій, читаних авторами протягом кількох років учням фізико-математичних класів при Московському фізико-технічному інституті, створених з урахуванням середньої школи №5 м. Долгопрудного, і навіть з урахуванням досвіду проведення практичних занять із стереометрії у цих класах.

Дивитися ПЕРЕДМОВА повністю......

Книга має низку особливостей, на які нам хотілося б звернути увагу читачів. До неї включені деякі розділи стереометрії, які раніше традиційно належали до курсу одинадцятого класу (двогранні та багатогранні кути, теорія багатогранників). Причин тому кілька.

По-перше, відділення афінних питань стереометрії від метричних (десятий клас - паралельність прямих і площин у просторі, одинадцятий клас - багатогранники, тіла обертання, теорія площ та обсягів) видається нам неприродним. Інтуїтивні уявлення про геометричні тіла та їх обсяги формуються у нас з самого дитинства. Цих уявлень, заснованих на нашому повсякденному досвіді, найчастіше виявляється достатньо для вирішення багатьох змістовних метричних завдань. Нам здається, що не варто втрачати дорогоцінний час, потрібно якомога раніше вчитися вирішувати завдання, адже формулювання багатьох з них зрозумілі навіть якщо суворі визначення тіла та об'єму ще невідомі.

По-друге, як здається, вивчення нового матеріалу наприкінці одинадцятого класу навряд чи доцільно. Не секрет, що в цей час у більшості учнів на перший план виходить рішення суто утилітарного завдання - успішного вступу до обраного

Книга - це великий цвинтар, де на багатьох плитах вже не прочитати імена, що стерлися.

Скачати підручник - Стереометрія. Для поглибленого вивчення у 10 та 11 класах 1996 року

Див. Уривок із підручника........

§ 1. Гра в геометрію

Усі мої твори – це ігри.

Серйозні ігри.

М. К. Ешер

Вивчаючи планиметрію, Ви вже кілька років грали у захоплюючу гру під назвою "геометрія". Правила цієї гри вироблялися тисячоліттями та остаточно склалися лише до кінця минулого століття. Їхнє обговорення природно розпочати з питання: а що таке геометрія? Як це, можливо, не дивно, на це питання дуже важко дати однозначну відповідь. Геометрія багатолика, і в школі вивчається лише мала частина того, що в сучасній математиці прийнято називати геометрією. Але річ не тільки в цьому. Навіть якщо ми обмежимося розглядом планіметрії та стереометрії у традиційному їх розумінні, наше завдання навряд чи буде суттєво полегшене. З одного боку, геометрія - це аксіоматична теорія, яка вивчає об'єкти абстрактної природи, що у певних відносинах друг з одним. З іншого боку, геометрія вивчає розміри та форму реальних тіл. Для того щоб зрозуміти, як співвідносяться між собою ці дві іпостасі геометрії, коротко простежимо історичний шлях її розвитку.

Будь-яка наука починається з встановлення деяких фактів. Потім, у міру їх накопичення, виробляються закони та теорії, що перетворюють науку на струнку систему. Так розвивалася геометрія. Ще в стародавньому Єгипті та Вавилоні були відомі багато змістовних фактів, таких як теорема Піфагора або формула для обчислення обсягу піраміди. Ці результати були отримані.

ни досвідченим шляхом, їх справедливість підтверджувалася безліччю експериментів. Кількість помічених геометричних закономірностей зростала, і постало завдання систематизації накопичених знань.

На початку ІІІ ст. до зв. е. остаточно оформилася ідея побудови наукової теорії, згідно з якою відправним пунктом теорії повинні бути положення, засновані на досвідчених даних і тому не викликають сумніви. Решта положень мають бути отримані з них логічним (дедуктивним) шляхом. Будівлю логіки вже було зведено, переважно завдяки роботам давньогрецького філософа Аристотеля (384-322 рр. до н. е.). Їм же вперше було ясно сформульовано ідею побудови наукової теорії. Стосовно геометрії її реалізував Евклід (III ст. е.) у «Початках». Спираючись на опьгги своїх попередників, він сформулював кілька тверджень (аксіом, чи постулатів), які приймаються без доказу. З аксіом виводилися їхні логічні наслідки – теореми. Так геометрія перетворилася на дедуктивну науку. Суть дедукшвного методу блискуче передав Артур Конан Дойл словами свого улюбленого героя Шерлока Холмса: «...людину, яка вміє спостерігати та аналізувати, обдурити просто неможливо. Його висновки будуть безпомилковими, як теореми Евкліда... За однією краплею води... людина, яка вміє мислити логічно, може зробити висновок про можливість існування Атлантичного океану або Ніагарського водоспаду, навіть якщо він не бачив ні тош, ні іншого і ніколи про них не чув. Будь-яке життя - це величезний ланцюг причин і наслідків, і природу його ми можемо пізнати по одній ланці».

Система Евкліда проіснувала більше двох тисячоліть без будь-яких істотних змін. Однак із сучасної точки зору вона вже не здається досконалою. У ньому не виділено основні поняття, деякі аксіоми зайві, багато доказів не обмежуються логічним висновком, а апелюють до міркувань наочності.

На рубежі XIX і XX століть після копітких зусиль багатьох математиків, серед яких насамперед слід назвати Фелікса Клейна (1849-1925 рр.) та Давида Гільберта (1862-1943 рр.), була побудована геометрична система, вільна від зазначених недоліків. В основу цієї системи було покладено аксіоматичний метод.

Суть цього побудови наукової теорії полягає в наступному. Перераховуються основні (невизначені) поняття, чи об'єкти. Всі поняття, що знову виникають, повинні бути визначені через основні поняття і поняття, визначені раніше. Формулюються аксіоми – пропозиції, які приймаються без доказу. Усі інші пропозиції мають бути логічними наслідками аксіом або раніше доведених пропозицій.

Зазначимо, що аксіоми не є «очевидними істинами». Те, що є очевидним для одного, цілком може здаватися абсурдним для іншого. Так, глядач футбольного матчу, який знає правила гри, може отримати офомне задоволення від захоплюючої дії, що розгортається на полі. Той же, хто не знайомий з правилами, цілком може вважати те, що відбувається на полі безглуздістю, що не заслуговує на увагу. Сенс аксіом у цьому, що є угодами, які ми укладаємо, приступаючи до створення теорії.

Основні поняття та аксіоми зовсім не обов'язково мають відношення до навколишнього реального світу. Будуючи абстрактну теорію, ми відволікаємося від наочного сенсу основних понять (якщо він взагалі існує). Єдиний сенс, який вкладається в основні поняття, такий: вони мають рівно ті властивості, які описані в аксіомах. Тому часто кажуть, що аксіоми є прихованими визначеннями основних понять. Підкреслимо ще раз, що математик не стверджує, що аксіоми вірні. Він лише будує систему тверджень, що з необхідністю випливає з них, залишаючи за собою свободу змінювати аксіоми (і відповідно отримувати іншу систему наслідків).

Отже, поняття абстрактної теорії позбавлені конкретного змісту. Але якщо їм можна надати цей сенс (тобто вказати систему конкретних об'єктів і відносин між ними) так, щоб дотримувалися встановлених аксіом, то ми отримаємо, як кажуть, інтерпретацію, або модель абстрактної теорії. Одна й та сама теорія може мати безліч різних моделей.

Тепер ми можемо пояснити ту двоїстість геометрії, про яку говорили вище. Поки ми не конкретизуємо сенс основних геометричних понять, тобто не вдається до наочних уявлень про пряму, площину тощо, побудована нами геометрія – абстрактна теорія. Всі висновки цієї теорії будуть зрозумілі уявній істоті, яка володіє нашою логікою і нашою арифметикою, але зовсім нічого не знає про влаштування навколишнього світу (французький математик Жак Ада мар назвав цю істоту «Гомо Арифметикус»), Але як тільки ми уявимо собі точку як ідеалізацію сліду гостро відточеного олівця на папері, пряму – як ідеалізацію туго натягнутої нитки, а площину – як ідеалізацію гладкої поверхні столу, наша геометрія стає моделлю абстрактної теорії. Ця модель не єдина з можливих, але саме її ми й вивчаємо в шкільному курсі геометрії, так як вона з великою точністю описує геометричні властивості навколишніх реальних тіл.

Повернемося тепер до питання про правила нашої шри, резюмуючи сказане вище. Предметом вивчення є модель абстрактної теорії, побудованої на основі аксіоматичного методу. Ця модель відбиває геометричні властивості оточуючої нас частини простору у вигляді, як він сприймається нашими органами почуттів. Усі твердження, які стосуються цієї моделі, є логічними наслідками аксіом і раніше встановлених тверджень (тобто доводяться). Усі поняття, що виникають, визначаються через основні і відомі раніше. У процесі доказів ми вдається до креслень, які допомагають робити правильні логічні висновки (але не замінюють їх). Використання креслень зручно з тієї причини, що модель, що вивчається, є для нас природною і звичною, ми багато можемо «піддивитися» на кресленні, здогадатися з його допомогою про правильне формулювання твердження, а потім вже довести його (зрозуміло, що це - специфіка нашого сприйняття: для Гомо Арифметикуса наші креслення незрозумілі, а тому марні).

Але немає правил без винятків. Зазначимо, що з побудові шкільного курсу геометрії ідея аксіоматичного методу не витримується остаточно. Замість послідовного викладу логічних наслідків з аксіом з повними їх доказами прийнятий, висловлюючись шахівною, гамбітний стиль: логічна строгість і стрункість викладу місцями свідомо приносяться в жертву стислості та наочності. Деякі теореми не доводяться або доводяться лише для найпростіших окремих випадків, не даються суворі визначення деяких понять тощо. Це пов'язано з тим, що всі логічно суворі курси геометрії досить складні для сприйняття і дуже об'ємні.

Насамкінець ми обговоримо дуже важливе питання про вибір аксіом. Вимоги до системи аксіом, яка кладеться в основу теорії, такі. По-перше, система аксіом має бути несуперечливою, тобто з неї не повинно випливати якесь твердження разом з його запереченням. Ця вимога найголовніша, вона є абсолютно необхідною. Далі ми говоритимемо лише про несуперечливі системи аксіом. По-друге, бажано, щоб система аксіом була незалежною, тобто щоб жодна з цих аксіом не випливала з інших. Виконання цієї вимоги не обов'язково, але все ж таки природно прагнути до того, щоб серед аксіом не було «зайвих». По-третє, хотілося б, щоб система аксіом була повною, тобто щоб до цієї системи не можна було додати нову аксіому так, щоб вона не випливала з вже наявних аксіом і не суперечила їм (мається на увазі, що безліч основних понять залишається у своїй незмінним). Зауважимо, що системи аксіом геометрії є повними, але це швидше виняток, ніж правило: зазвичай в математиці системи аксіом виявляються неповними. Нарешті, по-четверте, можна зажадати від системи аксіом її замкнутості, т. е. щоб у ній не використовувалися поняття з іншої теорії. Системи аксіом геометрії, як правило, незамкнуті, оскільки в них, наприклад, використовується поняття числа, що визначається зазвичай у курсах математичного аналізу.

§ 2. Елементи логіки та теорії множин

Так би й сказала, – зауважив Мартовський Заєць. - Потрібно завжди казати те, що думаєш.

Я так і роблю, - поспішила пояснити Аліса. - Принаймні... Принаймні я завжди думаю те, що говорю... а це одне й те саме...

Зовсім не те саме, - заперечив Болван-шик. - Так ти ще чого доброго скажеш, ніби "Я бачу те, що їм" і "Я їм те, що бачу", - одне й те саме!

Л. Керрол. Пригоди Аліси в країні чудес

У цьому параграфі наводяться елементарні відомості з логіки та теорії множин. Можливо, Ви вже знайомі з викладеним тут матеріалом, проте зважаючи на важливість понять, що обговорюються, краще повторити їх ще раз. Ми торкаємося логіки і теорії безлічі настільки, наскільки це необхідно для нашого курсу стереометрії. Більш докладне і суворе запровадження ці розділи математики можна знайти, наприклад, у книзі [Кутасов та інших., 1981].

Будемо називати висловлюванням будь-яке твердження, про яке можна сказати, істинно воно чи хибне. Прикладами висловлювань можуть бути такі твердження: збірна Бразилії - чемпіон світу з футболу 1994 року; число 100 парне; сума кутів трикутника дорівнює 90 °. Перші два з цих висловлювань істинні, а останнє хибне. Не є висловлюванням, наприклад, таке твердження: вчитися у школі легко; тому що не можна напевно сказати, істинно воно чи хибно. Багато теореми (зокрема, біль-

1 Пояснимо сенс слова «слід» у цьому визначенні: твердження випливає із системи аксіом, якщо у будь-якій моделі, де виконуються ці аксіоми, вірно і дане твердження; якщо ж існує така модель цієї системи аксіом, де це твердження невірно, то вважається, що воно не випливає з цієї системи аксіом.

• Усні вправи з геометрії 9-10 КЛАСИ 1983 завантажити Радянський підручник
• Початки стереометрії ДЛЯ 10 КЛАСУ 1982 рік Скачати Радянський підручник

З цими наочними посібниками я проводжу заняття з стереометрії в 10-11 класі при підготовці до ЄДІ. Очевидно, що репетитор з математики, який використовує реальні тривимірні аналоги креслень, зможе швидше сформувати в учня необхідні навички роботи з багатогранниками. Моделі полегшують сприйняття умов завдань та допомагають репетитору розвивати просторове мислення школяра. Попереджаються помилки, пов'язані з неправильним читанням малюнка та прискорюється процес пошуку алгоритмів розв'язання складних завдань.

Наведіть курсор на фотографію та клацніть на неї. Вона відкриється у збільшеному масштабі.

Зверніть увагу на спеціальні кріплення на ребрах моделей. Вони рухаються, і я можу закріплювати ними будь-які положення будь-яких перерізів. Це дозволяє добудовувати моделі до їх точної відповідності умові конкретного завдання.

Ми можемо імітувати перерізи, проводити лінії в гранях, показувати висоту піраміди, висоту призми, апофемні та реберні трикутники та багато іншого.

Замість того, щоб розумітися на численних нагромадженнях і спотвореннях зошитового аналога завдання, її можна відтворити в реальності.

Використання репетитором з математики реальних моделей допомагає учню розпізнати

• схрещувальні прямі
• перпендикуляри до площин
• кут між прямою та площиною
• кут між площинами

При вирішенні завдань учню надається можливість

• взяти модель до рук
• повернути її до себе зручною стороною
• вкласти листочок, що імітує перетин
• провести у перерізі будь-які лінії
• позначити вершини перерізу A,B,C...

Репетитору з математики на моделях зручно

• давати пояснення до завдань
• знайомити учня з видами багатогранників та їх властивостями
• вказувати помилки у виявленні різних кутів
• доводити стереометричні теореми та виводити формули

Витяги з листів репетиторів:

Віра Вікторівна, репетитор з математики на пенсії
«У Вас чудові стереометричні моделі. Невже Ви їх робили самі? Чи купувалися вони? Підкажіть, будь ласка, де можна замовити саме прозору допомогу? Можливо, хтось із Ваших знайомих репетиторів їх робить? Із задоволенням скористалася б їхніми послугами.

Я ні в кого нічого не купував, крім матеріалу для збирання. Всі моделі зроблені моїми руками влітку на дачі і, наскільки я знаю, ніхто з репетиторів математики в Москві нічого подібного не пропонує. Принаймні відкритих моделей ніхто не має. Купити їх навряд чи вдасться і точно на замовлення їх ніхто не збирає. Це дуже клопітне заняття. На кожен екземпляр я витрачаю в середньому по 5 - 6 годин часу. Обрізаю, зачищаю, підганяю.

Краювцева І.П., викладач-початківець: "Це фантастика! Шалено сподобалися моделі!!! Я сама репетитор з математики і багато часу займаюся підготовкою до ЄДІ. Мучуся з малюнками у стереометрії постійно. Учні не вміють уявити всієї картини в задачі. Як Вам вдалося скріпити між собою ребра моделей? Поділіться, будь ласка, секретом виробництва.»

До кінця не розкриватиму секрети конструкцій. Скажу лише те, що для ребер був використаний моток дуже жорсткого дроту з ідеальним діаметром під отвори в пластмасових кріпильних механізмах. Для з'єднання бічних ребер з багатокутником основи ці кріплення спеціально підрізалися залежно від величин кутів фігури на підставі. Найпростішим заняттям виявилося складання багатокутників для основ. Для цього я зняв обмотку зі шматка ще одного дроту (м'якого), порізав її на шматочки довжиною приблизно 1 сантиметр і просто вставив у кожен з них з різних боків відрізані шматочки жорсткого дроту. На моє щастя, всі розміри ідеально підійшли один для одного.

Репетитор з математики про моделі «останнього покоління».
Влітку я приступив до вдосконалення наочних посібників. На ребра останніх моделей поставлені спеціальні повзуночки з отворами, через які можна просмикнути м'яку дріт або товсту нитку, що імітує слід від перерізу. Клацніть на маленьку фотографію, яку Ви бачите праворуч від тексту, і вона відкриється в новому вікні у збільшеному вигляді. На фотографії показаний такий повзунок крупним планом. Повзунки дозволяють репетитору математики моделювати сліди від будь-яких перерізів площин з поверхнею багатогранника.

Колпаков Олександр Миколайович, репетитор з математики у Москві.

МБОУ «ЗОШ №7»

Методична розробка

зі стереометрії

для учнів 10 11 класу

Білоусова О.М., учитель математики

2012 р., Нальчик

«Основні поняття та аксіоми стереометрії.

Паралельність прямих та площин»

Стереометрія - це розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі.

Слово "стереометрія" походить від грецьких слів «στερεοσ» - об'ємний, просторовий та «μετρεο» - вимірювати.

Найпростіші фігури у просторі: точка, пряма, площина.

Аксіоми стереометрії та їх наслідки