Раціональне рівняння. Вичерпний гід (2019)

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Конспект уроку математики у 8 класі на тему «Рішення раціональних рівнянь» за підручником Мордкович А.Г.

Каліннікова Аліна Юріївна

Місце роботи

МБОУ ЗОШ № 6 ім.Ц.Л.Куніковаг.Туапсе

Посада

Вчитель математики

Предмет

Клас

Базовий підручник

А.Г. Мордкович. Алгебра 8 клас. Дві частини. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів, 12 видання, стереотипне. - М. Мнемозіна, 2010 . - 215с.

Назва уроку

Розв'язання раціональних рівнянь

Тип уроку

Урок - узагальнення знань та способів вирішення раціональних рівнянь

Форма проведення уроку

Традиційна

Освітнє середовище уроку

Комп'ютер, мультимедійний проектор, екран, друковані аркуші для учнів на уроці, аркуші з додатковим завданням додому.

Форми роботи учнів

Індивідуальна, групова

Цілі завдання уроку:

-навчальні: Удосконалювати практичні навички та вміння учнів

-розвиваючі: розвивати логічне мислення учнів, підвищувати інтерес до теми, що вивчається;, розвивати вміння спостерігати, порівнювати, узагальнювати, аналізувати

математичні моделі.

-виховні Виховувати пізнавальну активність, культуру спілкування, самостійність; вивчати самоконтролю, взаємоконтролю, самоаналізу діяльності.

Хід уроку:

Ι.Організаційний момент:

Вітання. Автор теорії відносності Альберт Ейнштейн свого часу зауважив: «Мені доводиться ділити свій час між політикою та рівняннями. Однак рівняння, на мою думку, набагато важливіші, тому що політика існує тільки для цього моменту, а рівняння існуватиме вічно».

ΙΙ.Постановка мети та мотивація навчальної діяльності:

Метою нашого уроку є обробка навичок розв'язання раціональних рівнянь.

Записати дату та тему уроку у зошитах.

ΙΙΙ.Актуалізація знань:

1.Що таке рівняння?

2.Що означає вирішити рівняння?

3. Які рівняння називаються раціональними?

4. Що буде рішенням такого рівняння?

Я пропоную вам зв'язку ключів до вирішення раціональних рівнянь.

Заготівля на закритій дошці:

Ключ 1.Умова рівності дробу нулю: y ²-5y +4 =0

Ключ 2.Умова рівності двох дробів з однаковим знаменником:

5х²-3 = х

Ключ 3.Умова рівності двох дробів або основна властивість дробу:

х² = 2х

Ключ 4.Властивість рівності дробів із різними знаменниками:

х²+4 = 5х

Ключ 5.Розв'язання рівнянь за допомогою підстановки:

Х - 9Х + 20 = 0

Спробуйте застосувати різні ключі в залежності від ситуації.

Чому раціональні рівняння треба вирішувати обережно?

Усно: 1)При яких значеннях вираз має сенс?

1 1 5 4 5

Х; Х+5; Х(Х - 2); (Х - 3) (Х + 4);

2) Знайдіть спільний знаменник дробів у кожному рівнянні:

а) х 5 _ 3х 6 = = 0 ;

2 - 5х 5х - 2

Б) 3у 5 _ у² 6 = = 1 ;

в) 2х 5 + 3 6 = = 0 .

Відповіді: а) 5х - 2 або 2 - 5х; б)у² - 4; в) х(х+2).

Ι V . Формування умінь та навичок: Робота біля дошки з коментарем (кожен крок алгоритму виконує одна людина).

Розв'яжіть рівняння:Який ключ треба використати?

а) 2х² - 5х + 3 = 0; б) 8у - 5 = 9у .

х – 1 у у+2

Відповіді: а) х=1,5; б) у1=10; у2 = 1.

Це рівняння взято з матеріалів ГІА 9 клас, будьте уважні.

Висунення проблеми:

Назвіть кількість рішеньрівняння.

х(х+ 3 ) (х² - 3х + 2) = 0

Спробуйте розв'язати це рівняння. Ваші пропозиції.

Навідні питання:

Який ключ ви скористаєтеся?

Коли дріб дорівнює 0?

Коли твір дорівнює 0?

Скільки коренів ви отримаєте?

Рішення:дріб дорівнює 0, якщо чисельник цього дробу дорівнює 0, а знаменник

х(х +3) (х² - 3х + 2) = 0

Х1=0 чи Х+3=0 чи Х² - 3Х + 2 = 0

Х2 = -3 Х3 = 2, Х4 = 1

Перевірка:підставимо коріння у знаменник х-1 ≠ 0

Х4 = 1 - сторонній корінь.

Тепер можна назвати кількість коренів цього рівняння?

Відповідь:дане рівняння має 3 рішення.

V .Самостійна робота: Лунають аркуші з умовою.

1-варіант 2-варіант

а) х²-х-6 = 0 а) х²-5х-6 = 0

Х-3 х +1

Відповідь: х = -2 Відповідь: х = 6

б) Х - 5Х - 36 = 0 б) Х - 8Х + 16 = 0

Відповідь: х1 = 2; х2 = -2. Відповідь: х1 = 2; х = -2.

в) х²-6х = 3х-4в) х²-2х = 4х-3

3х-1 1-3х 2х-1 1-2х

Відповідь: х1 = 4; х2 = -1. Відповідь: х1 = 1; х2=-3.

Взаємоперевірка(Робота в парах).

Діти обмінюються зошитами, перевіряють рішення.

Відповіді розміщуються на дошці . Система оцінювання на переносній дошці.

Виставлення оцінок.

V. Підбиття підсумків.

Які ж із запропонованих «ключів» знадобилися вам на уроці?

Яким "ключом" ви користуєтеся найчастіше?

Бажаю, щоб на іспиті ви змогли підібрати «ключи» до вирішення будь-якого рівняння!

VΙΙ. Домашнє завдання. Завдання лунає на початку уроку

(на 3"а,б;

на "4"а Б В;

на 5"а Б В Г).

1-варіант 2-варіант

а) х² = 2х; а) 3х-9 = 3х;

3-х 3-х х-1 2-х

б) х-7 _ х+4= 1; б) х²-2х + х+6 =3;

х-2 х+2 2х-1 х+1

в) 9 Х - 40Х + 16 = 0; в) 16 Х - 25Х + 9 = 0;

г) 3 х²+11х-4= 3. г) 2 х²+2х-1 = 2.

Додаткове завдання:

3 + 2 = 1

х²-2х +1 1-х² х+1

Список використаної літератури:

1.Підручник та задачник «Алгебра» - 8 клас за редакцією А.Г. Мордковіча.

2. Математика 9 клас. Підготовка ДІА за редакцією Ф.Ф.Лисенка.

3. Хрестоматія з історії математики. За редакцією А.П.Юшкевича.

Ми вже навчилися розв'язувати квадратні рівняння. Тепер поширимо вивчені методи на раціональні рівняння.

Що таке раціональний вираз? Ми вже стикалися з цим поняттям. Раціональними виразаминазиваються вирази, складені з чисел, змінних, їх ступенів та знаків математичних дій.

Відповідно, раціональними рівняннями називаються рівняння виду: , де - Раціональні висловлювання.

Раніше ми розглядали лише ті раціональні рівняння, що зводяться до лінійних. Тепер розглянемо і ті раціональні рівняння, які зводяться до квадратних.

Приклад 1

Вирішити рівняння: .

Рішення:

Дроб дорівнює 0 тоді і лише тоді, коли її чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0.

Отримуємо таку систему:

Перше рівняння системи – це квадратне рівняння. Перш ніж його вирішувати, поділимо всі його коефіцієнти на 3. Отримаємо:

Отримуємо два корені: ; .

Оскільки 2 ніколи не дорівнює 0, необхідно, щоб виконувались дві умови: . Оскільки жоден із отриманих вище коренів рівняння не збігається з неприпустимими значеннями змінної, які вийшли при вирішенні другої нерівності, вони обидва є рішеннями цього рівняння.

Відповідь:.

Отже, давайте сформулюємо алгоритм розв'язання раціональних рівнянь:

1. Перенести всі складові до лівої частини, щоб у правій частині вийшов 0.

2. Перетворити та спростити ліву частину, привести всі дроби до спільного знаменника.

3. Отриманий дріб прирівняти до 0, за таким алгоритмом: .

4. Записати те коріння, яке вийшло в першому рівнянні і задовольняє другу нерівність, у відповідь.

Давайте розглянемо ще один приклад.

Приклад 2

Вирішити рівняння: .

Рішення

На самому початку перенесемо всі складові в ліву сторону, щоб праворуч залишився 0. Отримуємо:

Тепер наведемо ліву частину рівняння до спільного знаменника:

Дане рівняння еквівалентне системі:

Перше рівняння системи – це квадратне рівняння.

Коефіцієнти цього рівняння: . Обчислюємо дискримінант:

Отримуємо два корені: ; .

Тепер розв'яжемо другу нерівність: добуток множників не дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли жоден з множників не дорівнює 0.

Необхідно, щоб виконували дві умови: . Отримуємо, що з двох коренів першого рівняння підходить лише один – 3.

Відповідь:.

На цьому уроці ми згадали, що такий раціональний вираз, а також навчилися вирішувати раціональні рівняння, які зводяться до квадратних рівнянь.

На наступному уроці ми розглянемо раціональні рівняння моделі реальних ситуацій, а також розглянемо завдання на рух.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра, 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра, 8. 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.
3. Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра, 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

1. Фестиваль педагогічних ідей "Відкритий урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнє завдання

Цілі: провести аналіз самостійної роботи; повторити поняття алгебраїчного дробу; пояснити розв'язання раціональних рівнянь; формувати вміння розв'язувати раціональні рівняння.
Хід уроку:
1. Організаційний момент.
2. Аналіз самостійної роботи.
До журналу виставлять оцінки за самостійну роботу. Якщо з цією роботою добре впоралася більшість учнів, то ці завдання даються для домашнього виконання тим учням, хто отримав негативні оцінки. Якщо самостійна робота написана погано загалом, завдання розбираються у класі біля дошки.
Розв'язати рівняння:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
3. Актуалізація знань.
Повторити поняття алгебраїчного дробу. Потім на дошці розглянути рішення лінійного рівняння зі знаменником:

Потім повторити область допустимих значень для дробів та розглянути на дошці завдання:
При якому значенні змінної дане рівняння матиме один корінь.
4. Пояснення нового матеріалу.
Запропонувати одному учневі класу на дошці розв'язати рівняння
.
Вчитель лише спрямовує рішення. Потім виправляє рішення, якщо десь було допущено помилку. Після складається алгоритм розв'язання будь-якого раціонального рівняння (згідно з підручником с. 131).
5. Закріплення нового матеріалу.
1) Які з чисел 2, 5, - 3, 1 не можуть бути корінням рівняння:
а) б) в)
2) Розглянути рішення рівнянь № 852, 854, 856, 859, 861, 863.
6. Підбиття підсумків.
7. Домашнє завдання:
прочитати матеріал параграфа с. 129 – 135, вивчити алгоритм розв'язання раціональних рівнянь. Розв'язати рівняння № 851, 855, 858.

Презентація та урок на тему: "Раціональні рівняння. Алгоритм та приклади вирішення раціональних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Посібник до підручника Макарічева Ю.М. Посібник до підручника Мордковича О.Г.

Знайомство з ірраціональними рівняннями

Нехай $r(x)$ – це раціональний вираз. Такий вираз може являти собою простий багаточлен від змінної $х$ або відношення багаточленів (вводиться операція поділу, як для раціональних чисел).
Рівняння $ r (x) = 0 $ називається раціональним рівнянням.
Будь-яке рівняння виду $p(x)=q(x)$, де $p(x)$ і $q(x)$ – раціональні вирази, також буде раціональним рівнянням.

Розглянемо приклади розв'язання раціональних рівнянь.

Рішення.
Перенесемо всі вирази в ліву частину: $ frac (5x-3) (x-3) - frac (2x-3) (x) = 0 $.
Якби в лівій частині рівняння були представлені звичайні числа, ми привели б два дроби до спільного знаменника.
Давайте так і зробимо: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x )=\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) *x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Отримали рівняння: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Дроб дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли чисельник дробу дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тоді окремо прирівняємо чисельник до нуля і знайдемо коріння чисельника.
$3(x^2+2x-3)=0$ або $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=frac(-2±sqrt(4-4*(-3)))(2)=frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Тепер перевіримо знаменник дробу: $(x-3)*x≠0$.
Добуток двох чисел дорівнює нулю, коли хоча б одне з цих чисел дорівнює нулю. Тоді: $x≠0$ або $x-3≠0$.
$x≠0$ або $x≠3$.
Коріння, отримані в чисельнику та знаменнику, не збігаються. Значить у відповідь записуємо обидва корені чисельника.
Відповідь: $ х = 1 $ або $ х = -3 $.

Якщо раптом, один з коренів чисельника збігся з коренем знаменника, його слід виключити. Таке коріння називається стороннім!

Алгоритм розв'язання раціональних рівнянь:

приклад 2.
Розв'яжіть рівняння: $frac(3x)(x-1)+frac(4)(x+1)=frac(6)(x^2-1)$.

Рішення.
Вирішимо згідно з пунктами алгоритму.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Прирівняємо чисельник до нуля: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1 $.
4. Прирівняємо знаменник до нуля:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ і $x=-1$.
Один із коренів $х=1$ збігся з коренем із чисельника, тоді ми його у відповідь не записуємо.
Відповідь: $ х = -1 $.

Вирішувати раціональні рівняння зручно за допомогою методу заміни змінних. Давайте продемонструємо це.

приклад 3.
Розв'язати рівняння: $x^4+12x^2-64=0$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x ^ 2 $.
Тоді наше рівняння набуде вигляду:
$t^2+12t-64=0$ - звичайне квадратне рівняння.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 $.
Введемо зворотну заміну: $ x ^ 2 = 4 $ або $ x ^ 2 = -16 $.
Корінням першого рівняння є пара чисел $х=±2$. Друге – не має коріння.
Відповідь: $ х = ± 2 $.

приклад 4.
Розв'язати рівняння: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Рішення.
Введемо нову змінну: $ t = x ^ 2 + x + 1 $.
Тоді рівняння набуде вигляду: $t=\frac(15)(t+2)$.
Далі діятимемо за алгоритмом.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $ t 2 +2 t-15 = 0 $.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - коріння не співпадає.
Введемо зворотну заміну.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Розв'яжемо кожне рівняння окремо:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - ні коріння.
І друге рівняння: $ x ^ 2 + x-2 = 0 $.
Корінням цього рівняння будуть числа $х=-2$ і $х=1$.
Відповідь: $ х = -2 $ і $ х = 1 $.

Приклад 5.
Розв'язати рівняння: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Рішення.
Введемо заміну: $ t = x + \ frac (1) (x) $.
Тоді:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ або $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Здобули рівняння: $t^2-2+t=4$.
$ t 2 + t-6 = 0 $.
Корінням даного рівняння є пара:
$ t = -3 $ і $ t = 2 $.
Введемо зворотну заміну:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$ x + \ frac (1) (x) = 2 $.
Вирішимо окремо.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=frac(-3±sqrt(9-4))(2)=frac(-3±sqrt(5))(2)$.
Розв'яжемо друге рівняння:
$ x + \ frac (1) (x) -2 = 0 $.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренем цього рівняння є число $х = 1 $.
Відповідь: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Завдання для самостійного вирішення

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.