Радіус сфери та кулі. Сфера, куля, сегмент та сектор

Визначення.

Сферу можна описати, як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180 ° або півкола навколо свого діаметра на 360 °.

Визначення.

Кулю можна описати як об'ємну фігуру, яка утворюється обертанням кола навколо свого діаметра на 180° або півкола навколо свого діаметра на 360°.

Визначення. Радіус сфери (кулі)(R) - це відстань від центру сфери (кулі) Oдо будь-якої точки сфери (поверхні кулі).

Визначення. Діаметр сфери (кулі)(D) - це відрізок, що з'єднує дві точки сфери (поверхні кулі) та проходить через її центр.

Формули. Об'єм кулі:

Формули. Площа поверхні сферичерез радіус або діаметр:

S = 4π R 2 = π D 2

Рівняння сфери

1. Рівняння сфери з радіусом R та центром на початку декартової системи координат:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Рівняння сфери з радіусом R та центром у точці з координатами (x 0 , y 0 , z 0) у декартовій системі координат:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Визначення. Діаметрально протилежними точкаминазиваються будь-які дві точки на поверхні кулі (сфері), які з'єднані діаметром.

Основні властивості сфери та кулі

1. Усі точки сфери однаково віддалені від центру.

2. Будь-який переріз сфери площиною є коло.

3. Будь-який переріз кулі площиною є кругом.

4. Сфера має найбільший обсяг серед усіх просторових постатей з однаковою площею поверхні.

5. Через будь-які дві діаметрально протилежні точки можна провести безліч великих кіл для сфери або кіл для кулі.

6. Через будь-які дві точки, крім діаметрально протилежних точок, можна провести тільки одне велике коло для сфери або велике коло для кулі.

7. Будь-які два великі кола однієї кулі перетинаються по прямій, що проходить через центр кулі, а кола перетинаються у двох діаметрально протилежних точках.

8. Якщо відстань між центрами будь-яких двох куль менше суми їх радіусів і більше модуля різниці їх радіусів, то такі кулі перетинаються, а площині перетину утворюється коло.

Січна, хорда, січна площина сфери та їх властивості

Визначення. Поточна сфера- це пряма, яка перетинає сферу у двох точках. Точки перетину називаються точками протиканняповерхні або точками входу та виходу на поверхні.

Визначення. Хорда сфери (кулі)- Це відрізок, що сполучає дві точки сфери (поверхні кулі).

Визначення. Поточна площина– це площина, яка перетинає сферу.

Визначення. Діаметральна площина- це січна площина, що проходить через центр сфери або кулі, сеченме утворює відповідно велике колоі велике коло. Велике коло та велике коло мають центр, який збігаються з центром сфери (кулі).

Будь-яка хорда, що проходить через центр сфери (кулі) є діаметром.

Хорда є відрізком прямої.

Відстань d від центру сфери до січної завжди менша ніж радіус сфери:

d< R

Відстань m між січною площиною та центром сфери завжди менша за радіус R:

m< R

Місцем перерізу сіючої площини на сфері завжди буде мале коло, а на кулі місцем перерізу буде мале коло. Мале коло і малий круг мають свої центри, які збігаються з центром сфери (кулі). Радіус r такого кола можна знайти за формулою:

r = √R 2 - m 2,

Де R – радіус сфери (кулі), m – відстань від центру кулі до січної площини.

Визначення. Півсфера (півкуля)- Це половина сфери (кулі), яка утворюється при її перерізі діаметральною площиною.

Дотична, дотична площина до сфери та їх властивості

Визначення. Стосовно сфери- це пряма, що стосується сфери лише в одній точці.

Визначення. Дотична площина до сфери- це площина, що стикається зі сферою тільки в одній точці.

Дотична пряма (площина) завжди перпендикулярна радіусу сфери, проведеному до точки дотику.

Відстань від центру сфери до дотичної прямої (площини) дорівнює радіусу сфери.

Визначення. Сегмент кулі- це частина кулі, яка відсікається від кулі площею. Основою сегментуназивають коло, яке утворилося у місці перерізу. Висотою сегмента h називають довжину перпендикуляра, проведеного з середини основи сегмента до поверхні сегмента.

Формули. Площа зовнішньої поверхні сегмента сфериз висотою h через радіус сфери R:

S = 2π Rh

Багато хто з нас любить грати у футбол або, принаймні, майже кожен з нас чув про цю знамениту спортивну гру. Усім відомо, що у футбол грають м'ячем.

Якщо запитати перехожого, форму якої геометричної фігури має м'яч, частина людей скажуть, що форму кулі, а частина, що форми сфери. То хто ж із них правий? І в чому різниця між сферою та кулею?

Важливо!

Куля- Це просторове тіло. Усередині куля чимось заповнена. Тому у кулі можна знайти об'єм.

Приклади кулі в житті: кавун та сталева кулька.

Куля і сфера, подібно до кола і кола, мають центр, радіус і діаметр.

Важливо!

Сфера- Поверхня кулі. У сфері можна знайти площу поверхні.

Приклади сфери в житті: волейбольний м'яч та кулька для гри у настільний теніс.

Як знайти площу сфери

Запам'ятайте!

Формула площі сфери: S = 4 π R 2

Щоб знайти площу сфери, необхідно згадати, що таке ступінь числа . Знаючи визначення ступеня, можна записати формулу площі сфери в такий спосіб.
S = 4 π R 2 = 4π R · R;

Закріпимо отримані знання та вирішимо задачу на площу сфери.

Зубарєва 6 клас. Номер 692(а)

Умова задачі:

• Обчисліть площу сфери, якщо її радіус дорівнює 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R 3 = 1
• R = 1 м

Важливо!

Шановні батьки!

При остаточному розрахунку радіуса не треба змушувати дитину рахувати кубічний корінь. Учні 6-го класу ще проходили і знають визначення коренів у математиці.

У 6 класі під час вирішення такої задачі використовуйте метод перебору.

Запитайте учня, яке число, якщо його помножити 3 рази на себе дасть одиницю.

Сфера та куля – це аналог кола та кола у тривимірному просторі. Варто поговорити про кожну з цих фігур, виділити подібності та відмінності, а також формули, властиві цим фігурам.

Більшість геометричних побудов виробляється у площині, але у старших класах починають вивчати тривимірні постаті. Двовимірний простір має лише дві характеристики: довжину та ширину. У тривимірних областях додається висота. В математиці 6 класу вивчаються окремі 3д фігури.

На площині фігуру характеризувала площа та периметр. У тривимірних об'єктах до них додається обсяг.

Рис. 1. Тривимірний простір.

Крім того, є низка специфічних властивостей 3д фігур. Їх може перетинати пряма і площина, можуть бути посічені площини, які набувають форм інших фігур.

Застосування 3д фігур для складання завдань значно ускладнює їх, але водночас робить набагато цікавішими. Наведемо визначення кулі та сфери, після чого спробуємо виділити відмінності цих фігур.

Куля

Куля та сфера – це аналог кола та кола в площині. Куля є фігурою, отриманою обертанням півкола навколо однієї точки.

Куля має площу поверхні: $S=4pir^2$

Радіус це відрізок, що з'єднує центр кулі та будь-яку з точок на його поверхні.

Формула об'єму кулі$V=(4pir^3\over3)$

Об'єм показує, який простір займає фігура. Щоб зрозуміти, що таке обсяг потрібно уявити фігуру порожнистою. Тоді обсяг це кількість води, яку можна налити в цю фігуру

Кулю, як і будь-яку іншу тривимірну фігуру, можна розсікти площиною. Сікучою площиною кулі є коло, центр якого можна знайти, опустивши з центру кулі перпендикуляр на коло.

Рис. 2. Перетин кулі.

Сфера це постать, що є безліч точок у просторі, рівновіддалених від центру сфери. Сфера:

• Має ті ж формули об'єму та площі поверхні, що й куля.
• Поточна площина сфери це коло
• Центр січного кола знаходиться так само, як і у випадку з кулею

Рис. 3. Сфера.

У чому різниця

Тоді виникає питання, а чим відрізняється куля від сфери, крім визначення? Справа в тому, що відмінності кулі та сфери куди більш розмиті, ніж відмінності кола та кола. Сфера також має об'єм і площу поверхні.

Мабуть, крім визначення, різниця полягає в тому, що у завданнях ніколи не знаходять обсягу сфери. Як правило, шукають об'єм кулі. Це не означає, що сфера не має обсягу. Це тривимірна фігура, тож об'єм у неї є.

Просто проводиться аналогія з колом, у якого немає площі. Це не правило, але скоріше традиція, яку слід запам'ятати: у геометрії не вітається формулювання обсягу сфери.

Ще одна відмінність, яку можна вважати більш менш значущою: січна площина сфери: коло, яке не має внутрішнього простору, але має довжину. Сікуча площина кулі: коло, яке має площу і не має довжини кола. Тому варто бути обережним у формулюваннях завдання, щоб не було помилок через подібні дрібниці.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке сфера та куля. Поговорили про їхні подібності та відмінність. Дізналися, що відмінностей у цих постатей майже немає. Вирішили, що не варто наводити таке формулювання, як обсяг сфери.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.7. Усього отримано оцінок: 105.