Розрахунок сторін та кутів трикутника онлайн. Знаходимо сторону трикутника, якщо дві інші відомі трьома способами, формули

Вже з найменування “прямокутного” трикутника стає ясно, що один кут у ньому становить 90 градусів. Інші кути можна знайти, пригадавши нехитрі теореми і характеристики трикутників.

Вам знадобиться

• Таблиця синусів та косінусів, таблиця Брадіса

Інструкція

1. Позначимо кути трикутника літерами A, B та C, як це показано на малюнку. Кут BAC дорівнює 90º, два інші кути позначимо літерами α та β. Катети трикутника позначимо літерами a та b, а гіпотенузу літерою c.

2. Тоді sinα = b/c, а cosα = a/c. Подібно до другого гострого кута трикутника: sinβ = a/c, а cosβ = b/c. Залежно від цього, які боку нам вестими, обчислюємо синуси чи косинуси кутів дивимося таблиці Брадиса значення α і β.

3. Виявивши один з кутів, можна згадати, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º. Отже, сума α і β дорівнює 180 º – 90 º = 90 º. Тоді, обчисливши значення для α за таблицями, можемо для знаходження β скористатися подальшою формулою:

4. Якщо одна із сторін трикутника незнайома, то застосовуємо теорему Піфагора: a²+b²=c². Виведемо з неї вираз для незнайомої сторони через дві інші і підставимо у формулу перебування синуса чи косинуса однієї з кутів.

Порада 2: Як виявити гіпотенузу у прямокутному трикутнику

Гіпотенузою називають сторону прямокутному трикутнику, що лежить навпаки прямого кута. Гіпотенуза є найдовшою стороною прямокутного трикутника. Інші сторони у прямокутному трикутнику називаються катетами.

Вам знадобиться

• Базові знання геометрії.

Інструкція

1. Квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Тобто, щоб виявити квадрат довжини гіпотенузи, потрібно побудувати квадрат довжини катетів і скласти.

2. Довжина гіпотенузи дорівнює кореню квадратного із квадрата її довжини. Щоб виявити її довжину, витягнемо квадратний корінь із числа, що дорівнює сумі квадратів катетів. Отримане число буде довжиною гіпотенузи.

Відео на тему

Зверніть увагу!
Довжина гіпотенузи величина правильна, отже при витягуванні кореня, підкорене вираз має бути величезним за нуль.

Корисна порада
У рівнобедреному прямокутному трикутнику довжину гіпотенузи можна визначити помноживши катет на корінь з двох.

Порада 3: Як виявити гострий кут у прямокутному трикутнику

Прямо вугільнийтрикутник, можливо, – одна з найвідоміших, з історичної точки зору, геометричних фігур. Піфагоровим "штанам" конкуренцію може скласти лише "Евріка!" Архімед.

Вам знадобиться

• - креслення трикутника;
• - Лінійка;
• - Транспортир.

Інструкція

1. Як водиться, вершини кутів трикутника позначаються великими латинськими літерами (A, B, C), а протилежні їм сторони невеликими латинськими літерами (a, b, c) або за найменуванням вершин трикутника, що утворюють цю сторону (AC, BC, AB).

2. Сума кутів трикутника складає 180 градусів. У прямокутному трикутникуодин кут (прямий) завжди буде 90 градусів, інші ж гострими, тобто. менше 90 градусів весь. Щоб визначити, який кут у прямокутному трикутникує прямим, виміряйте за допомогою лінійки сторони трикутника і визначте найбільшу. Вона називається гіпотенуза (AB) і знаходиться навпаки прямого кута (C). Інші дві сторони утворюють прямий кут і називаються катетами (AC, BC).

3. Коли визначили, який кут є гострим, ви можете виміряти величину кута за допомогою транспортира, або розрахувати за допомогою математичних формул.

4. Щоб визначити величину кута за допомогою транспортира, поєднайте його вершину (позначимо її літерою А) з особливою позначкою на лінійці в центрі транспортира, катет АС повинен збігатися з її верхнім краєм. Зауважте на півкруглій частині транспортира точку, через яку проходить гіпотенуза AB. Значення у цій точці відповідає величині кута в градусах. Якщо на транспортирі вказано 2 величини, то для гострого кута необхідно вибирати меншу, для тупого – велику.

6. Отримане значення виявіть у довідкових таблицях Брадіса та визначте, якому куту відповідає отримане числове значення. Цим способом користувалися наші бабусі.

7. В наш час досить взяти калькулятор з функцією обчислення тригонометричних формул. Скажімо, вбудований калькулятор Windows. Запустіть програму “Калькулятор”, у пункті меню “Вид” віддасте перевагу пункту “Інженерний”. Обчисліть синус бажаного кута, скажімо, sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

8. Перемкніть калькулятор у режим зворотних функцій, клікнувши по кнопці INV на табло калькулятора, після цього клацніть по кнопці розрахунку функції арксинуса (на табло позначено, як sin мінус першого ступеня). У вікні розрахунку з'явиться подальший напис: asind (0.5) = 30. Тобто. значення бажаного кута – 30 градусів.

Порада 4: Як виявити невідому бік у трикутнику

Метод обчислення невідомої сторони трикутника залежить тільки від умов завдання, а й від цього, навіщо це робиться. Зі подібним завданням стикаються не тільки школярі на уроках геометрії, а й інженери, що працюють у різних галузях виробництва, дизайнери інтер'єру, закрійники та представники багатьох інших професій. Точність обчислень для різних цілей може бути різною, але правило їх залишається тим самим, що і в шкільному задачнику.

Вам знадобиться

• – трикутник із заданими параметрами;
• - Калькулятор;
• - Ручка;
• – олівець;
• – транспортир;
• - аркуш паперу;
• – комп'ютер із програмою AutoCAD;
• – теореми синусів та косінусів.

Інструкція

1. Накресліть трикутник, який відповідає умовам завдання. Трикутник можна звести по трьох сторонах, двом сторонам і куту між ними або стороні і двом прилеглим до неї кутам. Теза роботи у зошиті та на комп'ютері у програмі AutoCAD у цьому плані ідентична. Так що в завданні обов'язково повинні бути зазначені розміри однієї або двох сторін і одного або двох кутів.

2. При побудові по двох сторонах і кутку накресліть на аркуші відрізок, що дорівнює вестиму стороні. За допомогою транспортира відкладіть цей кут і проведіть другу бік, відклавши даний за умови розмір. Якщо вам дана одна сторона і два кути, що прилягають до неї, накресліть спочатку бікПотім від 2-х кінців отриманого відрізка відкладіть кути і проведіть дві інші сторони. Позначте трикутник як ABC.

3. У програмі AutoCAD зручніше кожного будувати неправильний трикутник за допомогою інструмента «Відрізок». Ви виявите його через основну вкладку, віддавши перевагу вікну «Малювання». Задайте координати відомої вам сторони, після цього – фінальної точки другого заданого відрізка.

4. Визначте вигляд трикутника. Якщо він прямокутний, то незнайома сторона обчислюється за теоремою Піфагора. Гіпотенуза дорівнює квадратному кореню із суми квадратів катетів, тобто c = a2 + b2. Відповідно, кожен їх катетів дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів гіпотенузи і знаменитого катета: a=?c2-b2.

5. Для обчислення невідомої сторони трикутника, у якого дано сторона та два прилеглі кути, скористайтеся теоремою синусів. Сторона так відноситься до sin?, як сторона b до sin?. ? і? у разі - протилежні кути. Кут, який не заданий умовами завдання, можна виявити, пригадавши, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°. Відніміть із неї суму вестимих вам 2-х кутів. Виявіть невідомувам бік b, вирішивши пропорцію звичайним методом, тобто помноживши знамениту біка на sin? і поділивши цей твір на sin? Ви отримуєте формулу b = a * sin? / sin?.

6. Якщо вам відомі сторони a і b і кут? між ними, використовуйте теорему косінусів. Незнайома сторона буде дорівнювати квадратному кореню із суми квадратів 2-х інших сторін, мінус подвоєний добуток цих же сторін, помножений на косинус кута між ними. Тобто c=?a2+b2-2ab*cos?.

Відео на тему

Порада 5: Як обчислити кут у прямокутному трикутнику

Прямо вугільнийтрикутник становлять два гострі кути, величина яких залежить від довжин сторін, а також один кут незмінно постійної величини 90°. Обчислити розмір гострого кута в градусах можна із застосуванням тригонометричних функцій чи теореми про суму кутів на вершинах трикутника в евклідовом просторі.

Інструкція

1. Використовуйте тригонометричні функції, якщо за умов завдання дано лише розміри сторін трикутника. Скажімо, по довжинах двох катетів (коротких сторін, прилеглих до прямому куту) можна визначити кожен з двох гострих кутів. Тангенс того кута (?), який прилягає до катета А, можна знайти розподілом довжини протилежної йому сторони (катета В) на довжину сторони А: tg (?) = В/А. А знаючи тангенс, можна визначити і відповідну йому величину кута в градусах. Для цього передбачено функцію арктангенс: ? = arctg(tg(?)) = arctg(В/А).

2. За цією ж формулою можна виявити величину та іншого гострого кута, що лежить навпаки катета А. Примітивно поміняйте позначення сторін. Але можна зробити це і навпаки, за допомогою іншої пари тригонометричних функцій - котангенса і арккотангенса. Котангенс кута b визначається розподілом довжини прилеглого катета А на довжину протилежного В: tg(?) = А/В. А арккотангенс допоможе витягти з отриманого значення величини кута в градусах: ? = arсctg(сtg(?)) = arсctg(А/В).

3. Якщо в початкових умовах дана довжина одного з катетів (А) та гіпотенузи (С), то для обчислення кутів використовуйте функції, зворотні синусу та косінусу – арксинус та арккосинус. Синус гострого кута? дорівнює відношенню довжини катета, що лежить навпаки, до довжини гіпотенузи С: sin(?) = В/С. Отже, для обчислення величини цього кута градусах застосовуйте таку формулу: ? = arcsin(В/С).

4. А значення косинуса кута? визначається ставленням довжини прилеглого до цієї вершини трикутника катета А до довжини гіпотенузи С. Це означає, що для обчислення величини кута в градусах, за аналогією з попередньою формулою, потрібно застосовувати таку рівність: ? = arccos(А/С).

5. Теорема про суму кутів трикутника унеможливлює застосування тригонометричних функцій, якщо в умовах завдання дана величина одного з гострих кутів. В цьому випадку для обчислення невідомого кута (?) легко відніміть від 180 ° величини 2-х вестимих кутів - прямого (90 °) і гострого (?): ? = 180 ° - 90 ° -? = 90 ° -?.

Зверніть увагу!
Висота h ділить трикутник ABC на два прямокутні трикутники, подібні до нього. Тут спрацьовує знак подоби трикутників трьома кутами.

Управління та логістики промисловості є особливим важливим значенням для Latvian economy since they have steady GDP зростає і забезпечує послуги для віртуальних всіх інших галузей національної економіки. Ще рік він є сприятливим, що цей сектор повинен бути виявлений як пріоритети і розширений його вдосконалення, як, представники транспорту і логістичних секторів, що спрямовані на більш конкретні і тривалі рішення.

9.1% цін на Added до GDP Latvia

Усунення політичних і економічних змін в останньому десятилітті, influence of transport and logistics industry on the economy of our countries remains high: in 2016 сфера збільшила значення завищили GDP за 9.1%. Більше того, скорочення величезної гірської заборгованості залишається ще більшою в інших галузях - в 2016 році в інших галузях економіки він становив 859 євро, де в окупації і транспортування сектора за межами транспортного засобу є приблизно 870 євро (1,5 euros - Air Transport, 1059 euros in storage and auxiliary transport activities, etc.).

Special economic area as an additional support Rolands petersons privatbank

Позитивні приклади логістики промисловості є порти, які мають розвинену структуру хорошого. Riga і Ventspils порти функція як безкоштовні порти, і порт Liepaja включає в Liepaja Спеціальний економічний зон (SEZ). Компанії, що працюють у вільних портах і SEZ можуть отримати не тільки 0 tax rate for customs, excise, and value-added tax but also a discount of up to 80% of company"s income and up to 100% of real estate tax Rolands petersons privatbank The port є активно реалізовуючи різні investment projects related to the construction and development of industrial and distribution parks. Це необхідна для того, щоб зайняти невеликі роботи - SKULTE, Mersrags, SALACGRiVA, Pavilosta, Roja, Jurmala, і Engure, які поточно працюють в строгій позиції в регіональній економіці і мають більшу якість.

Port of Liepaja, буде надалі Rotterdam.
Rolands petersons privatbank
Існує також величезна кількість можливостей для зростання, і кількість дій, які можуть бути виконані за допомогою програмованих targets. Це є сильна необхідність для послуг з високою зниженою величиною, збільшенням processed volumes of cargo by atraction new freight flows, high-quality passenger service and introduction of modern technology and information systems in the area of ​​transit and logistics. Liepaja port has all the chances to become the second Rotterdam in the foreseeable future. Rolands petersons privatbank

Latvia як distribution center for cargos from Asia and the Far East. Rolands petersons privatbank

Один з найбільш важливих питань для подальшого зросту порту і спеціального економічного регіону є розробка логістики і розповсюдження центрів, головним чином фокусуючи на прихильності покупок від Asia і Far East. Latvia може служити як розповсюдження центру для торгових марок в Baltic і Scandinavian countries for Asia and Far East (f.e. China, Korea). Здійснення tax regime of Liepaja Special Economic Zone in accordance with the law "On Taxation in Free Ports and Special Economic Zones" on December 31, 2035. вони реалізують договірний рівень допомоги від investments made. Сприяючи рівню benefits, передбачених цим статусом, це необхідно для розгляду можливого розширення терміну.

Infrastructure development and expansion of warehouse space Rolands petersons privatbank

Наше повноваження ведеться в факті, що це не тільки стратегічне geografical position, але й розвиненою infrastructure, що включає глибоке-водяні berths, аркуші terminals, pipelines і територій вільні від торгу terminal. Apart from this, we can add a good structure of pre-industrial zone, distribution park, multi-purpose technical equipment, as well as high level of security not only in terms of delivery but also in terms of storage and handling of goods . У майбутньому, це повинно бути причетне до того, щоб більше уваги до access roads (railways and highways), збільшення обсягу виробничих можливостей, а збільшення числа послуг забезпечених портами. Посередництво в міжнародній індустрії екскурсій і конференцій буде робити це можливо для залучення додаткових іноземних інвестицій і буде спричинити вдосконалення міжнародного зображення.

Вписаного до нього кола (r). Для цього збільште її в шість разів і розділіть на квадратний корінь із трійки: А = r*6/√3.

Знаючи радіус (R), також можна обчислити довжину сторони(А) правильного трикутника. Цей радіус вдвічі більший за використаний у попередній формулі, тому втрийте його і теж поділіть на квадратний корінь з трійки: А = R*3/√3.

По (Р) рівностороннього трикутникаобчислити довжину його сторони(А) ще простіше, тому що довжини сторін у цій фігурі однакові. Просто розділіть периметр натрій: А = Р/3.

У рівнобедреному трикутнику обчислення довжини сторониза відомим периметром трохи складніше - потрібно знати ще й довжину хоча б однієї зі сторін. Якщо відома довжина сторониА, що лежить в основі фігури, довжину будь-якої з бічних (В) знаходите навпіл різниці між периметром (Р) та розміром основи: В = (Р-А)/2. А якщо відома бічна сторона, то довжину основи визначайте відніманням з периметра подвоєної довжини бічної: А = Р-2*В.

Знання площі (S), що займає на площині правильним трикутником, теж достатньо для знаходження довжини його сторони(А). Вийміть квадратний корінь із співвідношення площі та кореня із трійки, а отриманий результат подвоїть: А = 2*√(S/√3).

У , від будь-якого іншого, для обчислення довжини однієї зі сторін достатньо знати довжини двох інших. Якщо сторона - (С), для цього знаходьте квадратний корінь довжин відомих сторін (А і В), зведених у квадрат: С = √(А²+В²). А якщо вирахувати потрібно довжину одного з катетів, то квадратний корінь слід витягувати з довжин гіпотенузи та іншого катета: А = √(С²-В²).

Джерела:

• як обчислити сторону рівностороннього трикутника

У випадку, тобто. коли немає даних про те, чи трикутник є рівностороннім, рівнобедреним, прямокутним, доводиться використовувати тригонометричні функції для обчислення довжин його сторін. Правила їх застосування визначаються теоремами, які так і названі – теорема синусів, косінусів та тангенсів.

Інструкція

Один із способів обчислення довжин сторін довільного трикутникапередбачає теореми синусів. Відповідно до неї співвідношення довжин сторін протилежних їм кутів трикутникарівні. Це дозволяє вивести формулу довжини сторони для тих випадків, з умов задачі відома хоча б одна сторона та два кути у вершинах фігури. Якщо жоден із цих двох кутів (α і β) не лежить між відомою стороною А та обчислюваною В, то помножте довжину відомої сторони на синус прилеглого до неї відомого кута β і розділіть на синус іншого відомого кута а: В = А*sin( β)/sin(α).

Якщо один (γ) з двох (α і γ) відомих кутів утворений , довжина однієї з яких (А) дана в , а другу (В) потрібно обчислити, то застосуйте ту ж теорему. Рішення можна звести до формули, отриманої попередньому кроці, якщо згадати ще й теорему про суму кутів у трикутнику - ця величина завжди 180°. У формулі невідомий кут β, який за цією теоремою можна обчислити, якщо відібрати від 180° величини двох відомих кутів. Підставте це значення на рівність, і ви отримаєте формулу В = А*sin(180°-α-γ)/sin(α).

Перші - це відрізки, які прилягають до прямого кута, а гіпотенуза є найдовшою частиною фігури і знаходиться навпроти кута 90 о. Піфагоровим трикутником називається той, сторони якого дорівнюють натуральним числам; їх довжини у разі мають назву «піфагорова трійка».

Єгипетський трикутник

Для того, щоб нинішнє покоління дізналося геометрію у тому вигляді, в якому її викладають у школі зараз, вона розвивалася кілька століть. Основним моментом вважається теорема Піфагора. Сторони прямокутного відома на весь світ) становлять 3, 4, 5.

Мало хто не знайомий із фразою «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проте насправді теорема звучить так: c2 (квадрат гіпотенузи) = a2+b2 (сума квадратів катетів).

Серед математиків трикутник із сторонами 3, 4, 5 (див, м і т. д.) називається "єгипетським". Цікаво те, що яка вписана у фігуру, дорівнює одиниці. Назва виникла приблизно в V столітті до н.е., коли філософи Греції їздили до Єгипту.

При побудові пірамід архітектори та землеміри користувалися співвідношенням 3:4:5. Такі споруди виходили пропорційними, приємними на вигляд і просторими, а також рідко руйнувалися.

Для того, щоб побудувати прямий кут, будівельники використовували мотузку, на якій було зав'язано 12 вузлів. У такому разі ймовірність побудови прямокутного трикутника підвищувалася до 95%.

Ознаки рівності фігур

• Гострий кут у прямокутному трикутнику та велика сторона, які рівні тим самим елементам у другому трикутнику, - безперечна ознака рівності фігур. Зважаючи на суму кутів, легко довести, що другі гострі кути також рівні. Таким чином, трикутники однакові за другою ознакою.
• При накладенні двох постатей одна на одну повернемо їх таким чином, щоб вони, поєднавшись, стали одним рівнобедреним трикутником. За його властивістю сторони, а точніше, гіпотенузи рівні, так само як і кути при підставі, а значить, ці фігури однакові.

За першою ознакою дуже просто довести те, що трикутники дійсно рівні, головне щоб дві менші сторони (тобто катети) були рівними між собою.

Трикутники будуть однаковими за II ознакою, суть якої полягає в рівності катета та гострого кута.

Властивості трикутника з прямим кутом

Висота, яку опустили з прямого кута, розбиває фігуру на рівні частини.

Сторони прямокутного трикутника та його медіани легко впізнати за правилом: медіана, яка опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині. можна знайти як за формулою Герона, так і за твердженням, що вона дорівнює половині твору катетів.

У прямокутному трикутнику діють властивості кутів 30 про, 45 про і 60 про.

• При куті, який дорівнює 30 про, слід пам'ятати, що протилежний катет дорівнюватиме 1/2 найбільшої сторони.
• Якщо кут 45 про, отже, другий гострий кут також 45 про. Це говорить про те, що трикутник рівнобедрений, та його катети однакові.
• Властивість кута 60 про полягає в тому, що третій кут має градусну міру в 30 о.

Площу легко впізнати за однією з трьох формул:

1. через висоту та бік, на яку вона опускається;
2. за формулою Герона;
3. по сторонах та кутку між ними.

Сторони прямокутного трикутника, а точніше катети, сходяться із двома висотами. Для того щоб знайти третю, необхідно розглядати трикутник, що утворився, і тоді за теоремою Піфагора обчислити необхідну довжину. Крім цієї формули, існує також співвідношення подвоєної площі і довжини гіпотенузи. Найбільш поширеним виразом серед учнів є перше, оскільки потребує менше розрахунків.

Теореми, що застосовуються до прямокутного трикутника

Геометрія прямокутного трикутника включає використання таких теорем, як:

Трикутник - це примітивний багатокутник, обмежений на площині трьома точками і трьома відрізками, що попарно з'єднують ці точки. Кути в трикутнику бувають гострими, тупими та прямими. Сума кутів у трикутнику величина безперервна і дорівнює 180 градусів.

Вам знадобиться

• Базові пізнання в геометрії та тригонометрії.

Інструкція

1. Позначимо довжини сторін трикутника a=2, b=3, c=4, яке кути u, v, w, кожен із яких лежить навпаки однієї сторін. По теоремі косинусів квадрат довжини сторони трикутника дорівнює сумі квадратів довжин 2-х інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Тобто a 2 = b 2 + c 2 - 2bc * cos (u). Підставимо в цей вираз довжини сторін і отримаємо: 4 = 9 + 16 - 24cos (u).

2. Виразимо з отриманої рівності cos(u). Отримаємо таке: cos(u) = 7/8. Далі знайдемо власне кут u. Для цього порахуємо arccos(7/8). Тобто кут u = arccos (7/8).

3. Аналогічним чином, висловлюючи інші сторони через інші, знайдемо кути, що залишилися.

Зверніть увагу!
Значення одного кута не може перевищувати 180 градусів. Під знаком arccos() неспроможна стояти число більше 1 і менше -1.

Корисна порада
Для того, щоб виявити всі три кути необов'язково висловлювати всі три сторони, можна виявити лише два кути, а третій отримати шляхом віднімання з 180 градусів значення інших двох. Це випливає з того, що сума всіх кутів трикутника величина безперервна і дорівнює 180 градусів.