Розподіл пуассон графік. Розподіл пуасону

$Х$ має розподіл Пуассона з параметром $\lambda$ ($\lambda$$>$0), якщо ця величина набуває цілих невід'ємних значень $к=0, 1, 2,\dots$ з ймовірностями $рк$=$\frac (\lambda ^(:) )(: \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком !} Симеоном Дені Пуассоном 1837 р.)

Розподіл Пуассонатакож називають законом рідкісних подій, тому, що ймовірності РК дають наближений розподіл числа настань деякої події при великій кількості незалежних випробувань. І тут вважають $\lambda =n \cdot р$ , де $n$- число випробувань Бернуллі, $р$- ймовірність здійснення події одному випробуванні.

Правомірність використання закону Пуассона замість біномного розподілу за великої кількості випробувань дає така теорема.

Теорема 1

Теорема Пуассона.

Якщо в схемі Бернуллі n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, так що $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (кінцевому числу), то

$!_(n)^(k) p^(k) (1-p)^(n-k) \to \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $!}

Без підтвердження.

Примітка 1

Формула Пуассона стає точніше, при маленіких $p$ і великих чисел $n$, причому $n \cdot p $

Математичне очікуваннявипадкової величини, що має розподіл Пуассона з параметром $lambda$:

$М(Х)$=$\sum \limits _(k=0)^(\infty )k\cdot \frac(\lambda ^(k) )(k e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.!}

Дисперсіявипадкової величини, що має розподіл Пуассона параметром $lambda$:

$D(X)$=$\lambda$ .

Застосування формули Пуассона під час вирішення завдань

Приклад 1

Імовірність появи бракованого виробу за масового виробництва дорівнює $0,002$. Знайти ймовірність того, що в партії із $1500$ виробів буде не більше трьох бракованих. Знайти середню кількість бракованих виробів.

• Нехай $А$-число бракованих виробів у партії із $1500$ виробів. Тоді ймовірність, це ймовірність того, що $А$ $\leq$ $3$. У цьому ми маємо схему Бернуллі з $n=1500$ і $р=0,002$. Для застосування теореми Пуассона покладемо $ lambda = 1500 cdot 0,002 = 3 $. Тоді шукана ймовірність

• Середня кількість бракованих виробів $М(А)$=$\lambda$=3.

Приклад 2

Комутатор установи обслуговує $100$ абонентів. Імовірність того, що протягом $1$ хвилини абонент зателефонує, дорівнює $0,01$. Знайти ймовірність того, що протягом $1$ хвилини ніхто не зателефонує.

Нехай $А$- число тих, хто зателефонував на комутатор протягом $1$ хвилини. Тоді ймовірність - це ймовірність того, що $ А = 0 $. У цьому вся задача застосовна схема Бернуллі з $n=100$, $p=0,01$. Для використання теореми Пуассона покладемо

$ \ lambda = 100 \ cdot 0,01 = 1 $.

Тоді шукана ймовірність

$ Р = е^-1 $ $ \ approx0, 37 $.

Приклад 3

Завод відправив на базу $500 $ виробів. Імовірність пошкодження виробу на шляху дорівнює $0,002$. Знайти ймовірність того, що в дорозі буде пошкоджено

1. рівно три вироби;
2. менше трьох виробів.

Розглянувши зауваження до формули Пуассона, оскільки ймовірність $р=0,002$ пошкодження виробу мала, а кількість виробів $n=500$ велике, і $a=n\cdot p=1

Для вирішення другого завдання застосовна формула, де $k1=0$ і $k2=2$. Маємо:

Приклад 4

Підручник видано тиражем $100000$ екземплярів. Імовірність того, що один підручник зброшурований неправильно, дорівнює $0,0001$. Якою є ймовірність того, що тираж містить $5$ бракованих книг?

За умовою завдання $n = 100000 $, $ p = 0,0001 $.

Події "з $n$ книг рівно $m$ книг скинуті неправильно", де $m = 0,1,2, \dots ,100000$, є незалежними. Оскільки число $n$ велике, а ймовірність $p$ мала, ймовірність $P_n (m)$ можна обчислити за формулою Пуассона: $P_n$(m)$\approx \frac((\lambda )^m\cdot e^ (-\lambda))(m$ , где $\lambda = np$.!}

У розглянутому завданні

$ \ lambda = 100000 \ cdot 0,0001 = 10 $.

Тому ймовірність $P_(100000)$(5) визначається рівністю:

$P_(100000)$ (5)$\approx \frac(e^(-10)\cdot (10)^5)(5\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.!}

Відповідь: $ 0,0375 $.

Приклад 5

Завод відправив на базу $5000 доброякісних виробів. Імовірність того, що в дорозі виріб пошкодитися дорівнює $0,0002$. Знайти ймовірність того, що на базу прибудуть три непридатні вироби.

За умовою $ n = 5000 $; $ р = 0,0002 $; $k = 3$. Знайдемо $\lambda $:

$ \ lambda = n \ cdot p = 5000 \ cdot 0,0002 = 1 $.

Шукана ймовірність за формулою Пуассона дорівнює:

Приклад 6

Імовірність того, що на телефонну станцію протягом однієї години зателефонує один абонент, дорівнює 0,01. Протягом години зателефонували 200 абонентів. Знайти ймовірність того, що протягом години зателефонують 3 абоненти.

Розглянувши умову завдання бачимо, що:

Знайдемо $\lambda $ для формули Пуассона:

\[\lambda = np = 200 \ cdot 0,01 = 2. \]

Підставимо значення у формулу Пуассона і отримаємо значення:

Приклад 7

На факультеті налічується 500 студентів. Якою є ймовірність того, що 1 вересня є днем ​​народження одночасно для 2-х студентів?

Маємо $ n = 500 $; $ p = 1 / 365 \ approx 0,0027 $, $ q = 0,9973 $. Оскільки кількість випробувань велика, а можливість виконання дуже мала і $npq=1,35 \

Вступ

Теорія ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності у випадкових явищах. На сьогоднішній день це повноцінна наука, яка має велике практичне значення.

Історія теорії ймовірності сягає XVII століття, коли було зроблено перші спроби систематичного дослідження завдань, які стосуються масовим випадковим явищам, і з'явився відповідний математичний апарат. З того часу багато основ були розроблені і поглиблені до нинішніх понять, були відкриті інші важливі закони та закономірності. Безліч вчених працювало та працює над проблемами теорії ймовірностей.

Серед них не можна не звернути увагу на праці Симеона Дені Пуассона ((1781-1840) - французький математик), який доказав більш загальну, ніж у Якова Бернуллі, форму закону великих чисел, а також вперше застосував теорію ймовірностей до завдань стрілянини. З ім'ям Пуассона пов'язаний один із законів розподілу, що грає велику роль у теорії ймовірностей та її додатках.

Число наступів певної випадкової події за одиницю часу, коли факт настання цієї події в даному експерименті не залежать від того, скільки разів і в які моменти часу вона здійснювалася в минулому, і не впливає на майбутнє. А випробування виробляються в стаціонарних умовах, то для опису розподілу такої випадкової величини зазвичай використовують закон Пуассона (цей розподіл вперше запропоновано та опубліковано цим вченим 1837 р.).

Цей закон можна також описувати як граничний випадок біномінального розподілу, коли ймовірність p здійснення події, що цікавить нас, в одиничному експерименті дуже мала, але число експериментів m, вироблених в одиницю часу, досить велике, а саме таке, що в процесі p

Тому закон Пуассона часто називають законом рідкісних подій.

Розподіл Пуассона у теорії ймовірностей

Функція та ряд розподілу

Розподіл Пуассона - це окремий випадок біномного розподілу (при n>> 0 і при p-> 0 (рідкісні події)).

З математики відома формула, що дозволяє приблизно підрахувати значення будь-якого члена біномного розподілу:

де a = n · p– параметр Пуассона (математичне очікування), а дисперсія дорівнює математичному очікуванню. Наведемо математичні викладки, які пояснюють цей перехід. Біноміальний закон розподілу

P m = C n m · p m· (1 – p)n – m

може бути написаний, якщо покласти p = a/n, у вигляді

Так як pдуже мало, то слід брати до уваги лише числа m, малі в порівнянні з n. твір

дуже близько до одиниці. Це саме стосується величини

дуже близька до e –a. Звідси отримуємо формулу:

Для виконує функції

Інтегральна функція ймовірності розподілу дорівнює

Класичним прикладом випадкової величини, розподіленої Пуассоном, є кількість машин, що проїжджають через будь-яку ділянку дороги за заданий період часів. Також можна відзначити такі приклади, як кількість зірок на ділянці піднебіння заданої величини, кількість помилок у тексті заданої довжини, кількість телефонних дзвінків у call-центрі або кількість звернень до веб-сервера за заданий період часу.

Ряд розподілу випадкової величини Х, розподіленої за законом Пуассона, виглядає так:

На рис. 1 представлені багатокутники розподілу випадкової величини Хза законом Пуассона, що відповідають різним значенням параметра а.

Спочатку переконаємося, що послідовність ймовірностей, може бути ряд розподілу, тобто. що сума всіх ймовірностей Рmдорівнює одиниці.

Використовуємо розкладання функції е хдо ряду Маклорена:

Відомо, що цей ряд сходиться за будь-якого значення хтому, взявши х = а, отримаємо

отже

Числові характеристики положення про розподіл Пуассона

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності.

За визначенням, коли дискретна випадкова величина приймає лічильну множину значень:

Перший член суми (відповідний m=0 ) дорівнює нулю, отже, підсумовування можна починати з m=1 :

Таким чином, параметр ає не що інше, як математичне очікування випадкової величини Х.

Крім математичного очікування, становище випадкової величини характеризується модою та медіаною.

Модою випадкової величини називається її найімовірніше значення.

Для безперервної величини модою називається точкою локального максимуму функції густини розподілу ймовірностей. Якщо багатокутник чи крива розподілу мають один максимум (рис. 2 а), то розподіл називається унімодальним, за наявності більше одного максимуму – мультимодальним (зокрема, розподіл, що має дві моди, називається бімодальним). Розподіл, що має мінімум, називається антимодальним (рис. 2б)

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

Найімовірнішим значенням випадкової величини називається мода, що доставляє глобальний максимум ймовірності для випадкової дискретної величини або щільності розподілу для безперервної випадкової величини.

Медіана – це значення х l , яке ділить площу під графіком щільності ймовірності навпіл, тобто. медіана є будь-яким коренем рівняння. Математичне очікування може не існувати, а медіана існує завжди і може бути неоднозначно визначеною.

Медіаною випадкової величини

Числові характеристики розкиду

Дисперсією випадкової величини Х називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

Де ? дорівнює середньому числу появи подій у однакових незалежних випробуваннях, тобто. λ = n × p, де p - ймовірність події при одному випробуванні, e = 2,71828.

Ряд розподілу закону Пуассона має вигляд:

У випадку, коли n велике, а = p·n > 10 формула Пуассона дає дуже грубе наближення і для розрахунку P n (m) використовують локальну та інтегральну теореми Муавра-Лапласа .

Числові характеристики випадкової величини Х

Дисперсія розподілу Пуассона
D[X] = λ

Приклад №1. Насіння містить 0.1% бур'янів. Яка ймовірність при випадковому відборі 2000 насінин виявити 5 насіння бур'янів?
Рішення.
Імовірність р мала, а число n велике. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математичне очікування: M[X] = λ = 2
Дисперсія: D[X] = λ = 2

Приклад №2. Серед насіння жита є 0.4% насіння бур'янів. Скласти закон розподілу числа бур'янів при випадковому відборі 5000 насінин. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.
Рішення. Математичне очікування: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсія: D[X] = λ = 20
Закон розподілу:

Приклад №3. На телефонній станції неправильне з'єднання відбувається із ймовірністю 1/200. Знайдіть ймовірність того, що серед 200 з'єднань станеться:
а) одно неправильне з'єднання;
б) менше ніж три неправильні сполуки;
в) більше двох неправильних сполук.
Рішення.За умовою завдання ймовірність події мала, тому використовуємо формулу Пуассона (15).
а) Вказано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Знайдемо P 200 (1).
Отримуємо: . Тоді P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Маємо: a = 1.

в) Задано: n = 200, p = 1/200, k> 2. Знайдемо P 200 (k> 2).
Це завдання можна вирішити простіше: знайти ймовірність протилежної події, тому що в цьому випадку потрібно обчислити менше доданків. Зважаючи на попередній випадок, маємо

Розглянемо випадок, коли n досить великий, а p - досить малим; покладемо np = a, де a – деяке число. У цьому випадку ймовірність визначається формулою Пуассона:

Приклад №4. Імовірність того, що деталь бракована дорівнює 0.005. перевіряється 400 деталей. Вкажіть формулу обчислення ймовірності того, що більше 3 деталей одружилися.

Приклад №5. Імовірність появи бракованих деталей за її масовому виробництві дорівнює p. визначити ймовірність того, що в партії з N деталей міститься а) три деталі; б) трохи більше трьох бракованих деталей.
p=0,001; N = 4500
Рішення.
Імовірність р мала, а число n велике. np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Випадкова величина X має область значень (0,1,2,...,m). Імовірності цих значень можна знайти за такою формулою:

Знайдемо низку розподілу X.
Тут λ = np = 4500 * 0.001 = 4.5
P(0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тоді ймовірність того, що в партії з N деталей міститься рівно три деталі, дорівнює:

Тоді ймовірність того, що в партії з N деталей міститься не більше трьох бракованих деталей:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Приклад №6. Автоматична телефонна станція отримує в середньому за годину N дзвінків. Визначити ймовірність того, що за цю хвилину вона отримає: а) рівно два виклики; б) більше двох дзвінків.
N = 18
Рішення.
За одну хвилину АТС у середньому отримує λ = 18/60 хв. = 0,3
Вважаючи, що випадкова кількість X викликів, що надійшли на АТС за одну хвилину,
підпорядковується закону Пуассона, за формулою знайдемо ймовірність

Знайдемо низку розподілу X.
Тут λ = 0.3
P(0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Імовірність того, що за цю хвилину вона отримає рівно два виклики:
P(2) = 0,03334
Імовірність того, що за цю хвилину вона отримає більше двох викликів:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366

Приклад №7. Розглядаються два елементи, які працюють незалежно один від одного. Тривалість часу безвідмовної роботи має показовий розподіл параметром λ1 = 0,02 для першого елемента і λ2 = 0,05 для другого елемента. Знайти ймовірність того, що за 10 годин: а) обидва елементи працюватимуть безвідмовно; б) тільки ймовірність того, що за 10 годин елемент №1 не вийде з ладу:
Рішення.
P 1 (0) = e -λ1 * t = e -0.02 * 10 = 0,8187

Імовірність того, що за 10 годин елемент №2 не вийде з ладу:
P 2 (0) = e -λ2 * t = e -0.05 * 10 = 0,6065

а) обидва елементи працюватимуть безвідмовно;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) лише один елемент вийде з ладу.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) * 0.6065 = 0.4321

Приклад №7. Виробництво дає 1% шлюбу. Яка ймовірність того, що із взятих на дослідження 1100 виробів вибраковано буде не більше ніж 17?
Примітка: оскільки тут n*p =1100*0.01=11 > 10, необхідно використовувати

Розглянемо розподіл Пуассона, обчислимо його математичне очікування, дисперсію, моду. За допомогою функції MS EXCEL ПУАССОН.РАСП() побудуємо графіки функції розподілу та щільності ймовірності. Зробимо оцінку параметра розподілу, його математичного очікування та стандартного відхилення.

Спочатку дамо сухе формальне визначення розподілу, потім наведемо приклади ситуацій, коли розподіл Пуассона(англ. Poissondistribution) є адекватною моделлю для опису випадкової величини.

Якщо випадкові події відбуваються в заданий період часу (або певному обсязі речовини) із середньою частотою λ( лямбда), то кількість подій x, що відбулися за цей період часу, матиме розподіл Пуассона.

Застосування розподілу Пуассона

Приклади, коли Розподіл Пуассонає адекватною моделлю:

• кількість дзвінків, що надійшли на телефонну станцію за певний період часу;
• кількість частинок, що зазнали радіоактивного розпаду за певний період часу;
• число дефектів у шматку тканини фіксованої довжини.

Розподіл Пуассонає адекватною моделлю, якщо виконуються такі умови:

• події відбуваються незалежно друг від друга, тобто. ймовірність наступної події не залежить від попередньої;
• середня частота подій стала. Як наслідок, ймовірність події пропорційна довжині інтервалу спостереження;
• дві події не можуть статися одночасно;
• число подій має набувати значення 0; 1; 2…

Примітка: Хорошою підказкою, що випадкова величина, що спостерігається розподіл Пуассона,є той факт, що приблизно одно (див. нижче).

Нижче наведено приклади ситуацій, коли Розподіл Пуассона не можебути застосовано:

• кількість студентів, які виходять з університету протягом години (бо середній потік студентів не постійний: під час занять студентів мало, а в перерві між заняттями кількість студентів різко зростає);
• число землетрусів амплітудою 5 балів на рік у Каліфорнії (бо один землетрус може викликати повторні поштовхи подібної амплітуди – події не незалежні);
• число днів, які пацієнти проводять у відділенні інтенсивної терапії (бо число днів, яке пацієнти проводять у відділенні інтенсивної терапії, завжди більше 0).

Примітка: Розподіл Пуассонає наближенням точніших дискретних розподілів: і .

Примітка: Про взаємозв'язок розподілу Пуассонаі Біноміального розподілуможна прочитати у статті. Про взаємозв'язок розподілу Пуассонаі Експонентного розподілуможна прочитати у статті про .

Розподіл Пуассона у MS EXCEL

У MS EXCEL, починаючи з версії 2010, для Розподілу Пуассонає функція ПУАССОН.РАСП(), англійська назва - POISSON.DIST(), яка дозволяє обчислити не тільки ймовірність того, що за заданий період часу відбудеться хподій (функцію щільності ймовірності p(x), див. формулу вище), але і (ймовірність того, що за заданий період часу станеться не менше xподій).

До MS EXCEL 2010 EXCEL була функція ПУАССОН() , яка також дозволяє обчислити функцію розподілуі щільність імовірності p(x). Пуассон () залишена в MS EXCEL 2010 для сумісності.

У файлі прикладу наведено графіки густини розподілу ймовірностіі інтегральної функції розподілу.

Розподіл Пуассонамає скошену форму (довгий хвіст праворуч у функції ймовірності), але при збільшенні параметра стає все більш симетричним.

Примітка: Середнєі дисперсія(квадрат) рівні параметру розподілу Пуассона- λ (див. файл приклад лист Приклад).

Завдання

Типовим застосуванням Розподіл Пуассонау контролі якості є модель кількості дефектів, які можуть з'явитися у приладі чи пристрої.

Наприклад, при середній кількості дефектів в мікросхемі λ (лямбда), що дорівнює 4, ймовірність, що випадково обрана мікросхема буде мати 2 або менше дефектів, дорівнює: = ПУАССОН.РАСП(2; 4; ІСТИНА) = 0,2381

Третій параметр у функції встановлений = ІСТИНА, тому функція поверне інтегральну функцію розподілутобто ймовірність того, що число випадкових подій виявиться в діапазоні від 0 до 4 включно.

Обчислення в цьому випадку провадяться за формулою:

Імовірність того, що випадково обрана мікросхема матиме рівно 2 дефекти, дорівнює: = ПУАССОН.РАСП(2;4;БРЕХНЯ)=0,1465

Третій параметр у функції встановлений = БРЕХНЯ, тому функція поверне щільність імовірності.

Імовірність того, що випадково обрана мікросхема матиме більше 2-х дефектів, дорівнює: =1-ПУАССОН.РАСП(2;4;ІСТИНА) =0,8535

Примітка: Якщо xне є цілим числом, то при обчисленні формули . Формули = Пуассон. 2 ; 4; БРЕХНЯ)і = Пуассон. 2,9 ; 4; БРЕХНЯ)повернуть однаковий результат.

Генерація випадкових чисел та оцінка λ

При значеннях λ >15 , Розподіл Пуассонадобре апроксимується Нормальним розподіломз наступними параметрами: μ =λ , σ 2 =λ .

Докладніше про зв'язок цих розподілів можна прочитати у статті . Там же наведено приклади апроксимації, і пояснено умови, коли вона можлива і з якоюсь точністю.

ПОРАДА: Про інші розподіли MS EXCEL можна прочитати у статті .

Розподіл Пуассона – випадок біномного розподілу , коли кількість випробувань nдосить велика, а ймовірність pподії Aмала ().

Розподіл Пуассон називають також розподілом рідкісних подій. Наприклад, народження за рік трьох або чотирьох близнюків, той же закон розподілу має число атомів радіоактивної речовини, що розпалися в одиницю часу, та ін.

Імовірність настання рідкісних подій обчислюється за формулою Пуассона :

,

де mчисло настання події A;

Середнє значення розподілу Пуассона;

e=2,7183 - основа натурального логарифму.

Закон Пуассона залежить від одного параметра λ (лямбда), сенс якого в наступному: він є одночасно математичним очікуванням та дисперсією випадкової величини, розподіленою за законом Пуассона.

Умови виникнення розподілу Пуассона

Розглянемо умови, у яких виникає розподіл Пуассона.

По перше, розподіл Пуассона є граничним для біномного розподілу , коли кількість дослідів nнеобмежено збільшується (прагне нескінченності) і одночасно ймовірність pуспіху в одному досвіді необмежено зменшується (прагне нуля), але так, що їх твір npзберігається у межі постійним і рівним λ (лямбде):

У математичному аналізі доведено, що розподіл Пуассона з параметром λ = npможна приблизно застосовувати замість біноміального, коли число дослідів nдуже велике, а ймовірність pдуже мала, тобто у кожному окремому досвіді подія Aз'являється дуже рідко.

По-друге, розподіл Пуассона має місце, коли є потік подій, що називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівським потоком) . Потоком подій називають послідовність таких моментів, як надходження викликів на комунікаційний вузол, приходи відвідувачів у магазин, прибуття складів на гірку сортування тощо. Пуасонівський потік має такі властивості:

• стаціонарність: ймовірність настання mподій у певний період часу постійна і залежить від початку відліку часу, а залежить від довжини ділянки часу;
• ординарність: ймовірність попадання на малу ділянку часу двох або більше подій зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю попадання на нього однієї події;
• відсутність наслідку: ймовірність настання mподій у певний період не залежить від того, скільки подій настало в попередній період.

Характеристики випадкової величини, розподіленої згідно із законом Пуассона

Характеристики випадкової величини, розподіленої згідно із законом Пуассона:

математичне очікування ;

стандартне відхилення ;

дисперсія.

Розподіл Пуассона та розрахунки в MS Excel

Імовірність розподілу Пуассона P(m) та значення інтегральної функції F(m) можна обчислити за допомогою функції MS Excel ПУАССОН. Вікно для відповідного розрахунку показано нижче (для збільшення натиснути лівою кнопкою миші).

MS Excel вимагає ввести такі дані:

• x- Число подій m;
• середня;
• інтегральна – логічне значення: 0 – якщо потрібно обчислити ймовірність P(m) і 1 - якщо ймовірність F(m).

Рішення прикладів із розподілом Пуассона

приклад 1.Менеджер телекомунікаційної компанії вирішив розрахувати ймовірність того, що в деякому невеликому місті на протязі п'яти хвилин надійдуть 0, 1, 2, … викликів. Вибрано випадкові інтервали в п'ять хвилин, підраховано кількість дзвінків у кожний їх інтервалів та розраховано середню кількість дзвінків: .

Обчислити ймовірність того, що за п'ять хвилин надійдуть 6 викликів.

Рішення. За формулою Пуассон отримуємо:

Той самий результат отримаємо, використовуючи функцію MS Excel ПУАССОН.РАСП (значення інтегральної величини - 0):

P(6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 0) = 0,1398.

Обчислимо ймовірність того, що протягом п'яти хвилин надійдуть не більше шести викликів (значення інтегральної величини - 1):

P(≤6 ) = ПУАССОН.РАСП(6; 4,8; 1) = 0,7908.

Вирішити приклад самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 2.Виробник відправив до якогось міста 1000 перевірених, тобто справних телевізорів. Імовірність того, що при транспортуванні телевізор вийде з ладу, дорівнює 0,003. Тобто, у цьому випадку діє закон розподілу Пуассона. Знайти ймовірність того, що з усіх доставлених телевізорів несправними будуть: 1) два телевізори; 2) менше двох телевізорів.

Продовжуємо вирішувати приклади разом

приклад 3.До центру дзвінків клієнтів надходить потік дзвінків з інтенсивністю 0,8 дзвінків за хвилину. Знайти ймовірність того, що за 2 хвилини: а) не прийде жодного дзвінка; б) прийде рівно один дзвінок; в) прийде бодай один дзвінок.