Розподіл безперервних випадкових величин. Ймовірність та статистика – основні факти Визначення випадкового вектора

Розглянемо Гамма розподіл, обчислимо його математичне очікування, дисперсію, моду. За допомогою функції MS EXCEL ГАММА.РАСП() побудуємо графіки функції розподілу та щільності ймовірності. Згенеруємо масив випадкових чисел і здійснимо оцінку параметрів розподілу.

Гамма розподіл(англ. Gammadistribution) залежить від 2-х параметрів: r(визначає форму розподілу) та λ (визначає масштаб). цього розподілу задається такою формулою:

де Г(r) – гамма-функція:

якщо r - позитивне ціле, то Г (r) = (r-1)!

Вищезазначена форма запису густини розподілунаочно показує його зв'язок із . При r=1 Гамма розподілзводиться до Експонентному розподілуз параметром?

Якщо параметр λ – ціле число, то Гамма розподілє сумою rнезалежних і однаково розподілених за експоненційному законуз параметром λ випадкових величин x. Таким чином, випадкова величина y= x 1 + x 2 +… x rмає гамма розподілз параметрами rта λ.

, своєю чергою, тісно пов'язані з дискретним . Якщо Розподіл Пуассонаописує кількість випадкових подій, що відбулися за певний інтервал часу, то Експонентний розподіл,у цьому випадку описує довжину тимчасового інтервалу між двома послідовними подіями.

З цього випливає, що, наприклад, якщо час до настання першої події описується експоненційним розподіломз параметром λ, той час до настання другої події описується гамма розподіломз r = 2 і тим самим параметром λ.

Гамма розподіл у MS EXCEL

У MS EXCEL прийнята еквівалентна форма запису, що відрізняється параметрами щільності гамма розподілу.

Параметр α ( альфа) еквівалентний параметру r, а параметр b (бета) – параметром 1/λ. Нижче дотримуватимемося саме такого запису, т.к. це полегшить написання формул.

У MS EXCEL, починаючи з версії 2010, для Гама розподілує функція ГАММА.РАСП() , англійська назва - GAMMA.DIST(), яка дозволяє обчислити щільність імовірності(див. формулу вище) та (ймовірність, що випадкова величина X має гамма розподіл, Прийме значення менше або дорівнює x).

Примітка: До MS EXCEL 2010 у EXCEL була функція ГАММАРАСП() , яка дозволяє обчислити інтегральну функцію розподілуі щільність імовірності. ГАММАРАСП() залишено в MS EXCEL 2010 для сумісності.

Графіки функцій

У файлі прикладу наведено графіки густини розподілу ймовірностіі інтегральної функції розподілу.

Гамма розподілмає позначення Gamma (Альфа; бета).

Примітка: Для зручності написання формул у файлі прикладу для параметрів розподілу альфа та бетастворено відповідні.

Примітка: Залежність від 2-х параметрів дозволяє побудувати розподіл різноманітних форм, що розширює застосування цього розподілу. Гамма розподіл, як і Експонентний розподілчасто використовується для розрахунку часу очікування між випадковими подіями. Крім того, можливе застосування цього розподілу для моделювання рівня опадів і при проектуванні доріг.

Як було показано вище, якщо параметр альфа= 1, то функція ГАММА.РАСП() повертає параметром 1/бета. Якщо параметр бета= 1, функція ГАММА.РАСП() повертає стандартне гамма розподіл.

Примітка: Т.к. є окремим випадком гамма розподілу, то формула =ГАМА.РАСП(x;n/2;2;ІСТИНА) для цілого позитивного n повертає той самий результат, що і формула =ХІ2.РАСП(x;n; ІСТИНА)або =1-ХІ2.РАСП.ПХ(x;n). А формула =ГАМА.РАСП(x;n/2;2;БРЕХНЯ)повертає той самий результат, що і формула =ХІ2.РАСП(x;n; БРЕХНЯ), тобто. щільність імовірності ХІ2-розподілу.

У файл прикладу на аркуші Графікинаведено розрахунок гамма розподілурівного альфа*бетаі

THE PRACTICE OF APPLYING GAMMA DISTRIBUTION THE THEORY OF RELIABILITY OF TECHNICAL SYSTEMS

Ruslan Litvinenko

candidate of technical sciences, docent, associate profesor at the sub-department of electrotechnical complexes and systems, Казан State Power Engineering University,

Russia,Republic of Tatarstan,Kazan

Олександр Jamshhikov

master student,

Russia,Republic of Tatarstan,Kazan

Aleksej Bagaev

master studentKazan state power engineering university,

Russia,Republic of Tatarstan,Kazan

АННОТАЦІЯ

У практиці експлуатації технічних систем найчастіше доводиться мати справу з імовірнісними (випадковими) процесами, коли функція відбиває аргумент із деякою ймовірністю. В умовах невизначеності інформації про закон розподілу часу настання відмов внаслідок малих обсягів статистичних даних, що, як правило, буває на початкових етапах розробки техніки, досліднику доводиться приймати рішення про вибір апріорної моделі надійності, виходячи з досвіду попередньої експлуатації прототипів або аналогів. Систематизація інформації про практичне використання основних розподілів при прогнозуванні та оцінці надійності різних технічних систем є актуальним науковим завданням.

В основі викладеного матеріалу лежить систематизація інформації опублікованій літературі, яка представляє аналіз результатів модельних та експериментальних досліджень надійності техніки, а також статистичні дані, отримані в ході експлуатації.

Подана теоретична інформація про застосування гамма-розподілу в теорії надійності може бути використана як перший наближення, і підлягає обов'язковому уточненню, з використанням різних критеріїв перевірки гіпотез, у міру збільшення обсягу статистичних даних у ході наступних випробувань.

Треба мати достатньо підстав для застосування експоненційного закону розподілу, як будь-якого іншого. Тому стаття може бути корисною дослідникам на ранніх етапах розробки або модернізації технічної системи як апріорну інформацію для побудови моделей і критеріїв, що використовуються для забезпечення та контролю надійності.

ABSTRACT

У практиці, функціонування технічних систем в більшості випадків має справу з статечними (західними) процесами, при функціях reflects the argument with a certain probability. У face of uncertainty про закон distribution of time of occurrence of failures down to amount amounts of statistical data, which usually happens in the initial stages of technology development, the researcher has to decide on the choice of prior model reliability функціонування експерименту з prototypes або аналогами. Systematization of information на practical use of basic distributions in forecasting and assessing the reliability of different technical systems is an important scientific task.

У цьому матеріалі є systematization of information published in literature, і репрезентуючи analysis results of model and experimental studies of reliability of equipment, as well as statistical data obtained during operation.

Визначення теоретичної інформації про використання gamma distribution в теорії теорій реалібілізації може бути використане як перше пристосування і є предметом obligatory specification, використовуючи різні критерії тестування hypotheses, збільшення кількості статистичних даних в наступних тестах.

Це необхідне для того, щоб мати широкі сили для застосування exponential distribution law, як будь-яке інше. Там, в тому числі, матеріал може бути використаний для дослідників в ранніх стадіях розвитку або модернізації технічних систем, як приорі інформаційний матеріал, щоб побудувати моделі і критерії, що використовуються для забезпечення і контролю надійності.

Ключові слова:надійність, розподіл, напрацювання, ймовірність, густота, етап, математичне очікування.

Keywords:надійність, distribution, operation time, probability, density of distribution, stage, expected value.

Для опису відмов системи можуть бути запропоновані моделі, призначені для вирішення різних завдань надійності та по-різному враховують комплекс факторів, властивих характеру відмов.

Випадковий характер виникнення відмов у процесі експлуатації технічних систем та їх елементів дозволяє застосовувати в їх описі імовірнісно-статистичні методи. Найбільш поширеними є моделі відмов, засновані на розподілі відповідних випадкових величин – напрацювань до відмови відновлюваних об'єктів та напрацювань між відмовими відновлюваних об'єктів.

Як основні види розподілу напрацювань виробів вщент слід виділити :

• експонентне;
• Вейбулла-Гніденко;
• гамма;
• логарифмічно нормальне;
• нормальне.

В результаті огляду літератури в галузі надійності технічних систем дано оцінку практичного застосування гамма-розподілу при дослідженні різних технічних об'єктів. На основі проведеного аналізу можна підібрати відповідний апріорний розподіл відповідного критерію або показника надійності.

Гамма-розподіл має двопараметричну щільність з параметром форми та параметром масштабу:

.

Імовірність безвідмовної роботи визначається за такою формулою:

,

де: – гамма-функція;

- Неповна гамма-функція.

Математичне очікування (середній час безвідмовної роботи) та середнє квадратичне відхилення для гамма-розподілу рівні:

.

Формула для інтенсивності відмов така:

.

Гамма-розподіл служить для опису зносових відмов; відмов унаслідок накопичення ушкоджень; описи напрацювання складної технічної системи із резервними елементами; розподілу часу відновлення; а також може бути використано під час розгляду довговічності (ресурсу) деяких технічних об'єктів.

Гамма-розподіл має ряд корисних властивостей:

З вищесказаного можна дійти невтішного висновку, що гамма-распределение допустимо використовувати всіх ділянках життєвого циклу: приработки (), нормальної експлуатації () і старіння () .

Виходячи з , у задачах, які вирішуються в термінах перетворення Лапласа, гамма-розподілом зручно апроксимувати реальні розподіли.

Наводиться таке визначення: гамма-розподіл – характеристика часу виникнення відмов у складних електромеханічних системах у тих випадках, коли мають місце миттєві відмови елементів на початковій стадії експлуатації або в процесі налагодження системи, тобто є зручною характеристикою часу виникнення відмов апаратури в процесі її приробітку .

Для складних технічних систем, які з елементів, які мають ймовірність безвідмовної роботи має показовий розподіл, ймовірність безвідмовної роботи системи загалом матиме гамма-распределение.

Розподіл часу виникнення відмов складної технічної системи з резервом заміщенням (за умови, що потоки відмов основної системи та всіх резервних найпростіші) також може бути описано гамма-розподілом. Аналогічно у разі ненавантаженого або змішаного резервування ймовірність безвідмовної роботи системи підпорядковується узагальненому гамма-розподілу.

На закінчення слід зазначити, що з вирішенні окремих завдань також застосовують спеціальні види (їх кілька десятків), і навіть дискретні розподілу, які у цієї статті не розглядалися. При цьому між розподілами існують різні взаємні переходи та зв'язки. Незважаючи на існуючі критерії згоди обраного теоретичного та емпіричного розподілу, вони всі дають відповідь на запитання: чи є достатньо серйозних підстав відкинути гіпотезу про обраний розподіл? Авторами помічено, що будь-які дані можна підігнати під багатопараметричний закон, навіть якщо він не відповідатиме реальним фізичним явищам. Таким чином, при виборі виду розподілу та його параметрів необхідно перш за все враховувати фізичну сутність процесів і подій, що відбуваються.

Список літератури:

1. ГОСТ Р.27.001-2009. Надійність у техніці. Моделі відмов. - М.: Стандартінформ, 2010. - 16 с.
2. Герцбах І.Б., Кордонський Х.Б. Моделі відмов / за ред. Б.В. Гніденко. - М.: Радянське радіо, 1966. - 166 с.
3. Гнєденко Б.В. Запитання математичної теорії надійності. - М.: Радіо і зв'язок,1983. - 376 с.
4. Каштанов В.М., Медведєв А.І. Теорія надійності складних систем: уч. посібник - М.: ФІЗМАТЛІТ, 2010. - 609 с.
5. Литвиненко Р.С. Імітаційна модель процесу функціонування електротехнічного комплексу з урахуванням надійності його елементів// Журнал «Надійність». - 2016. - № 1 (56) - С. 46-54.
6. Литвиненко Р.С., Ідіатуллін Р.Г., Кісьнєєва Л.М. Оцінка надійності гібридного транспортного засобу на етапі розробки// Журнал «Транспорт: наука, техніка, управління». – 2016. – №2 – С. 34–40.
7. Машинобудування: енциклопедія в 40 т. Т. IV-3: Надійність машин/В.В. Клюєв, В.В. Болотін, Ф.Р. Соснін та ін; за заг. ред. В.В. Клюєва. - М.: Машинобудування, 2003. - 592 с.
8. Труханов В.М. Надійність технічних систем типу рухомих установок на етапі проектування та випробування дослідних зразків: наукове видання - М.: Машинобудування, 2003. - 320 с.
9. Хазов Б.Ф., Дідусєв Б.А. Довідник із розрахунку надійності машин на стадії проектування. - М.: Машинобудування, 1986. - 224 с.
10. Черкесов Г.М. Надійність апаратно-програмних комплексів: навч. допомога. - СПб.: Пітер, 2005. - 479 с.

Рівномірний розподіл. Безперервна величина Х розподілено рівномірнона інтервалі ( a, b), якщо всі її можливі значення знаходяться на цьому інтервалі та щільність розподілу ймовірностей постійна:

Для випадкової величини Х, рівномірно розподіленою в інтервалі ( a, b) (рис. 4), ймовірність попадання в будь-який інтервал ( x 1 , x 2 ), що лежить всередині інтервалу ( a, b), дорівнює:

(30)


Мал. 4. Графік щільності рівномірного розподілу

Прикладами рівномірно розподілених величин є помилки заокруглення. Так, якщо всі табличні значення деякої функції округлені до одного і того ж розряду, то вибираючи навмання табличне значення, ми вважаємо, що помилка округлення обраного числа є випадковою величиною, рівномірно розподіленою в інтервалі

Показовий розподіл. Безперервна випадкова величина Хмає показовий розподіл

(31)

Графік густини розподілу ймовірностей (31) представлений на рис. 5.

Мал. 5. Графік густини показового розподілу

Час Тбезвідмовної роботи комп'ютерної системи є випадкова величина, що має показовий розподіл із параметром λ , фізичний зміст якого – середня кількість відмов за одиницю часу, крім простоїв системи на ремонт.

Нормальний (гаусовий) розподіл. Випадкова величина Хмає нормальне (гауссовий) розподілякщо щільність розподілу її ймовірностей визначається залежністю:

(32)

де m = M(X) , .

При нормальний розподіл називається стандартним.

Графік густини нормального розподілу (32) представлений на рис. 6.

Мал. 6. Графік щільності нормального розподілу

Нормальний розподіл є найчастіше що у різних випадкових явищах природи. Так, помилки виконання команд автоматизованим пристроєм, помилки виведення космічного корабля задану точку простору, помилки параметрів комп'ютерних систем тощо. в більшості випадків мають нормальний або близький до нормального розподілу. Більше того, випадкові величини, утворені підсумовуванням великої кількості випадкових доданків, розподілені практично за нормальним законом.

Гамма-розподіл. Випадкова величина Хмає гамма-розподілякщо щільність розподілу її ймовірностей виражається формулою:

(33)

де - Гамма-функція Ейлера.

ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ НЕПРЕРИВНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Нормальний закон розподілу та її значення в теорії ймовірностей. Логарифмічно нормальний закон. Гамма-розподіл. Експоненційний закон та його використання в теорії надійності, теорії черг. Рівномірний закон. Розподіл. Розподіл Стьюдента. Розподіл Фішера.

1. Нормальний закон розподілу (закон Гауса).

Щільність ймовірності нормально розподіленої випадкової величини виражається формулою:

. (8.1)

На рис. 16 представлена ​​крива розподілу. Вона симетрична щодо

Мал. 16 Мал. 17

крапки (точка максимуму). У разі зменшення ординату точки максимуму необмежено зростає. При цьому крива пропорційно сплющується вздовж осі абсцис, тому площа її під графіком залишається рівною одиниці (рис. 17).

Нормальний закон розподілу дуже поширений у завданнях практики. Пояснити причини поширення нормального закону розподілу вперше вдалося Ляпунову. Він показав, що й випадкова величина може розглядатися як сума великої кількості малих доданків, то за досить загальних умов закон розподілу цієї випадкової величини близький до нормального незалежно від цього, які закони розподілу окремих доданків. Оскільки практично випадкові величини найчастіше бувають результатом дії великої кількості різних причин, то нормальний закон виявляється найпоширенішим законом розподілу (докладніше звідси див. главу 9). Вкажемо числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини:

Таким чином, параметри та у виразі (8.1) нормального закону розподілу являють собою математичне очікування та середнє квадратичне відхилення випадкової величини. Зважаючи на це, формулу (8.1) можна переписати так:

.

Ця формула показує, що нормальний закон розподілу повністю визначається математичним очікуванням та дисперсією випадкової величини. Таким чином, математичне очікування та дисперсія повністю характеризують нормально розподілену випадкову величину. Зрозуміло, що у випадку, коли характер закону розподілу невідомий, знання математичного очікування і дисперсії недостатньо визначення цього закону розподілу.

Приклад 1. Обчислити ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина задовольняє нерівність.

Рішення. Користуючись властивістю 3 густини ймовірності (глава 4, п. 4), отримуємо:

.

,

де – функція Лапласа (див. додаток 2).

Зробимо деякі числові розрахунки. Якщо покласти в умовах прикладу 1, то

Останній результат означає, що з ймовірністю, близькою до одиниці (), випадкова величина, що підкоряється нормальному закону розподілу, не виходить за межі інтервалу . Це твердження має назву правила трьох сигм.

Нарешті, якщо , то випадкова величина, розподілена за нормальним законом з такими параметрами, називається стандартизованою нормальною величиною. На рис. 18 зображено графік густини ймовірності цієї величини .

2. Логарифмічно нормальний розподіл.

Кажуть, що випадкова величина має логарифмічно нормальний розподіл (скорочено логнормальний розподіл), якщо її логарифм розподілено нормально, тобто якщо

де величина має нормальний розподіл із параметрами , .

Щільність логнормального розподілу визначається наступною формулою:

, .

Математичне очікування та дисперсію визначають за формулами

,

.

Крива розподілу наведено на рис. 19.

Логарифмічно нормальний розподіл зустрічається у низці технічних завдань. Воно дає розподіл розмірів частинок при дробленні, розподіл вмісту елементів та мінералів у вивержених гірських породах, розподіл чисельності риб у морі тощо. Воно зустрічається у всіх

тих завданнях, де логарифм аналізованої величини можна як суми великої кількості незалежних рівномірно малих величин:

,

тобто. де незалежні.