Відстань від точки до прямої. Визначення відстані від точки до прямої

155*. Визначити натуральну величину відрізка АВ прямого загального стану (рис. 153 а).

Рішення. Як відомо, проекція відрізка прямої на будь-якій площині дорівнює самому відрізку (з урахуванням масштабу креслення), якщо він паралельний цій площині

(Рис. 153, б). З цього випливає, що шляхом перетворення креслення треба досягти паралельності даного відрізка пл. V чи пл. Н або доповнити систему V, Н ще однією площиною, перпендикулярною до пл. V або пл. H і в той же час паралельний даному відрізку.

На рис. 153, показано введення додаткової площини S, перпендикулярної до пл. H і паралельному заданому відрізку АВ.

Проекція asbs дорівнює натуральній величині відрізка AB.

На рис. 153 г показаний інший прийом: відрізок АВ повернутий навколо прямої, що проходить через точку В і перпендикулярної до пл. Н, до положення, паралельного

пл. V. При цьому точка залишається на місці, а точка А займає нове положення А 1 . У новому положенні обрій. проекція а 1 b | осі х. Проекція a"1b" дорівнює натуральній величині відрізка АВ.

156. Дано піраміду SABCD (рис. 154). Визначити натуральну величину ребер піраміди AS та CS, використовуючи спосіб зміни площин проекцій, і ребер BS та DS, використовуючи спосіб обертання, причому взяти вісь обертання перпендикулярно пл. H.

157*. Визначити відстань від точки А до прямої ПС (рис. 155, а).

Рішення. Відстань від точки до прямої вимірюється відрізком перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Якщо пряма перпендикулярна до будь-якої площини (рис. 155,6), то відстань від точки до прямої вимірюється відстанню між проекцією точки та точкою-проекцією прямої на цій площині. Якщо пряма займає в системі V, H загальне положення, то щоб визначити відстань від точки до прямої способом зміни площин проекцій, треба ввести в систему V, H ще дві додаткові площини.

Спочатку (рис. 155, в) вводимо пл. S, паралельну відрізку ВС (нова вісь S/H паралельна проекції bс), і будуємо проекції b s c s і a s . Потім (рис. 155 г) вводимо ще пл. Т, перпендикулярну до прямої ВС (нова вісь T/S перпендикулярна b s s). Будуємо проекції прямої та точки - з t (b t) та a t. Відстань між точками a t і t (b t) дорівнює відстані l від точки А до прямої ВС.

На рис. 155, ця ж задача виконана за допомогою способу обертання в тій його формі, яку називають способом паралельного переміщення. Спочатку пряму ВС і точку А, зберігаючи незмінним їхнє взаємне положення, повертаємо навколо деякої (не позначеної на кресленні) прямої, перпендикулярної до пл. H, так, щоб пряма НД розташувалася паралельно пл. V. Це рівносильно переміщенню точок А, В, С у площинах, паралельних пл. H. При цьому обрій. проекція заданої системи (BC + A) не змінюється ні за величиною, ні по конфігурації, лише змінюється положення щодо осі х. Маємо горизонт. проекцію прямої ВС паралельно осі х (положення b 1 c 1) і визначаємо проекцію a 1 відкладаючи c 1 1 1 = с-1 і а 1 1 1 = а-1, причому a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1 . Провівши прямі b"b" 1 , a"a" 1 , з "с" 1 паралельно осі х, знаходимо на них фронт. проекції b" 1 ,а" 1 , с" 1 . Далі, переміщуємо точки В 1 , С 1 і A 1 у площинах, паралельних пл. V (також не змінюючи їх взаємного розташування), так, щоб отримати В 2 С 2 ⊥ пл. H. При цьому фронту проекція прямої розташується перпендикулярно до осі x,b 2 c" 2 = b" 1 с" 1 , а для побудов проекції а" 2 треба взяти b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 провести 2"a" 2 ⊥ b" 2 с" 2 і відкласти а" 2 2" 2 = а" 1 2" 1 . Тепер, провівши з 1 с 2 і а 1 а 2 || х 1 отримаємо проекції b 2 з 2 і а 2 і відстань l від точки А до прямої ВС Визначити відстань від А до ВС можна, повернувши площину, що визначається точкою А і прямою ВС, навколо горизонталі цієї площини до положення Т||пл.H (рис. 155 е).

У площині, що задається точкою А і прямою ПС, проводимо горизонталь А-1 (рис. 155, ж) і повертаємо навколо неї точку В. Точка переміщається в пл. R (заданої на кресленні слідом R h), перпендикулярної А-1; у точці Про знаходиться центр обертання точки В. Визначаємо тепер натуральну величину радіусу обертання, (рис. 155, в). У необхідному положенні, тобто коли пл. Т, що визначається точкою А та прямою ВС, стане || пл. H, точка В вийде на R h на відстані Оb 1 від точки О (можливо й інше положення на тому ж сліді R h але по іншу сторону від О). Крапка b 1 – це горизонт. проекція точки після переміщення її в положення В 1 в просторі, коли площина, яка визначається точкою А і прямою ВС, зайняла положення Т.

Провівши (рис. 155 і) пряму b 1 1, отримуємо горизонт. проекцію прямої ЗС, вже розташованої || пл. H в одній площині з А. У цьому положенні відстань а до b 1 1 дорівнює шуканій відстані l. Площина Р, у якій лежать задані елементи, можна поєднати з пл. H (рис. 155, к), повернувши пл. Р навколо неї обрій. сліду. Перейшовши від завдання площини точкою А та прямою ВС до завдання прямими ВС та А-1 (рис. 155, л), знаходимо сліди цих прямих і проводимо через них сліди Р і P h . Будуємо (рис. 155, м) поєднане з пл. H становище фронт. сліду - P ϑ0.

Через точку проводимо горизонт. проекцію фронталі; суміщена фронталь проходить через точку 2 на сліді Р h паралельно Р ϑ0 . Точка А 0 - суміщена з пл. H положення точки А. Аналогічно знаходимо точку 0 . Пряма НД у поєднаному з пл. H положенні проходить через точку 0 і точку m (горизонт. слід прямий).

Відстань від точки A 0 до прямої 0 С 0 дорівнює шуканій відстані l.

Можна виконати вказану будову, знайшовши лише один слід Р h (рис. 155, н і о). Вся побудова аналогічна повороту навколо горизонталі (див. рис. 155 ж, в, і): слід Р h - це одна з горизонталів пл. Р.

З наведених на вирішення цього завдання способів перетворення креслення кращим є спосіб обертання навколо горизонталі чи фронталі.

158. Дано піраміду SABC (рис. 156). Визначити відстані:

а) від вершини підстави до його боку АС способом паралельного переміщення;

б) від вершини S піраміди до сторін ВС та АВ основи способом обертання навколо горизонталі;

в) від вершини S до сторони АС підстави способом зміни площин проекцій.

159. Дана призма (рис. 157). Визначити відстані:

а) між ребрами AD та CF способом зміни площин проекцій;

б) між ребрами BE та CF обертанням навколо фронталі;

в) між ребрами AD та BE способом паралельного переміщення.

160. Визначити натуральну величину чотирикутника ABCD (рис. 158) суміщенням із пл. М. Користуватися лише горизонтальним слідом площини.

161*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (рис. 159, а) і побудувати проекції спільного до них перпендикуляра.

Рішення. Відстань між схрещувальними прямими вимірюється відрізком (MN) перпендикуляра до обох прямих (рис. 159, б). Очевидно, якщо одну з прямих розташувати перпендикулярно до будь-якої пл. Т, то

відрізок MN перпендикуляра до обох прямих виявиться паралельним пл. Т нього проекція на цій площині відобразить відстань, яку шукає. Проекція прямого кута менаду MN н АВ на пл. Т виявляється також прямим кутом між m t n t і а t b t так як одна зі сторін прямого кута AMN, а саме MN. паралельна пл. Т.

На рис. 159, і г шукана відстань l визначено способом зміни площин проекцій. Спочатку вводимо додаткову пл. проекцій S, перпендикулярну до пл. H та паралельну прямий CD (рис. 159, в). Потім вводимо ще одну додаткову пл. Т, перпендикулярну до пл. S і перпендикулярну до тієї ж прямої CD (рис. 159 г). Тепер можна побудувати проекцію загального перпендикуляра, провівши m t n t з точки c t (d t) перпендикулярно до проекції a t b t . Точки m t і nt - проекції точок перетину цього перпендикуляра з прямими АВ і CD. По точці m t (рис. 159, д) знаходимо m s на a s b s: проекція m s ns має бути паралельна осі Т/S. Далі, по ms і ns знаходимо m і n на ab і cd, а по них m" і n" на а"b" і c"d".

На рис. 159, показано рішення цієї задачі за способом паралельного переміщень. Спочатку ставимо пряму CD паралельно до пл. V: проекція з 1 d 1 || х. Далі переміщуємо прямі CD і АВ з положень C 1 D 1 і А 1 В 1 положення С 2 B 2 і А 2 В 2 так, щоб С 2 D 2 розташувалася перпендикулярно Н: проекція з "2 d" 2 ⊥ х. Відрізок шуканого перпендикуляра розташовується | пл. H, і, отже, m 2 n 2 виражає відстань l між АВ і CD. Знаходимо положення проекцій m" 2 і n" 2 на а" 2 b" 2 і c" 2 d" 2 потім проекцій і m 1 і m" 1 , n 1 і n" 1 , нарешті, проекцій m" і n ", m та n.

162. Дано піраміду SABC (рис. 160). Визначити відстань між ребром SB та стороною АС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SB та АС, застосувавши спосіб зміни площин проекцій.

163. Дано піраміду SABC (рис. 161). Визначити відстань між ребром SH та стороною ВС основи піраміди та побудувати проекції загального перпендикуляра до SX та ВС, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

164*. Визначити відстань від точки А до площини у випадках, коли задана площина: а) трикутником BCD (рис. 162, а); б) слідами (рис. 162, б).

Рішення. Як відомо, відстань від точки до площини вимірюється величиною перпендикуляра, проведеного з точки на площину. Ця відстань проектується на якусь пл. проекцій у натуральну величину, якщо дана площина перпендикулярна до пл. проекцій (рис. 162, в). Досягти такого положення можна, перетворюючи креслення, наприклад, способом зміни пл. проекцій. Введемо пл. S (рис. 16ц, г), перпендикулярну до пл. трикутник BCD. Для цього проводимо у пл. трикутника горизонталь В-1 і маємо вісь проекцій S перпендикулярно до проекції b-1 горизонталі. Будуємо проекції точки та площини - а s та відрізок c s d s . Відстань від a s до c s d s дорівнює пошуковій відстані l точки до площини.

На Ріо. 162, д застосований спосіб паралельного переміщення. Переміщуємо всю систему до тих пір, поки горизонталь В-1 площини не стане перпендикулярна до площини V: проекція b 1 1 має бути перпендикулярна до осі x. У цьому положенні площина трикутника стане фронтально-проецірующей, і відстань l від точки А до неї вийде пл. V без спотворення.

На рис. 162 б площина задана слідами. Вводимо (рис. 162, е) додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. P: вісь S/Н перпендикулярна Р h . Подальше зрозуміло з креслення. На рис. 162 ж завдання вирішена за допомогою одного переміщення: пл. Р перетворюється на становище Р 1 , т. е. стає фронтально-проецирующей. Слід. Р 1h перпендикулярний до осі х. Будуємо у цьому положенні площині фронт. слід горизонталі - точку n" 1 ,n 1 . Слід P 1ϑ пройде через Р 1x і n 1 . Відстань від a" 1 до Р 1ϑ дорівнює шуканій відстані l.

165. Дано піраміду SABC (див. рис. 160). Визначити відстань від точки до грані SBC піраміди, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

166. Дано піраміду SABC (див. рис. 161). Визначити висоту піраміди, застосувавши спосіб паралельного переміщення.

167*. Визначити відстань між прямими АВ і CD, що схрещуються, (див. рис. 159,а) як відстань між паралельними площинами, проведеними через ці прямі.

Рішення. На рис. 163 а показані паралельні між собою площини Р і Q, з яких пл. Q проведена через CD паралельно АВ, пл. Р - через АВ паралельно пл. Q. Відстань між такими площинами і вважається відстанню між прямими АВ і CD, що схрещуються. Однак можна обмежитися побудовою тільки однієї площини, наприклад, Q, паралельно АВ, а потім визначити відстань хоча б від точки А до цієї площини.

На рис. 163 показана площина Q, проведена через CD паралельно АВ; у проекціях проведено "е" || а"b" і се || аb. Застосовуючи спосіб зміни пл. проекцій (рис. 163, в), введемо додаткову пл. S, перпендикулярну до пл. V і в той же час

перпендикулярну до пл. Q. Щоб провести вісь S/V, беремо у цій площині фронталь D-1. Тепер проводимо S/V перпендикулярно до "1" (рис. 163, в). Пл. Q зобразиться на пл. S у вигляді прямої з s d s . Решта ясно з креслення.

168. Дано піраміду SABC (див. рис, 160). Визначити відстань між ребрами SC та AB. Застосувати: 1) спосіб зміни пл. проекцій; 2) спосіб паралельного переміщення.

169*. Визначити відстань між паралельними площинами, з яких одна задана прямими АВ та АС, а інша – прямими DE та DF (рис. 164, а). Виконати також побудову випадку, коли площині задані слідами (рис. 164, б).

Рішення. Відстань (рис. 164, в) між паралельними площинами можна визначити, провівши перпендикуляр із будь-якої точки однієї площини на іншу площину. На рис. 164 г введена додаткова пл. S перпендикулярно пл. Н і до обох даних площин. Вісь S.H перпендикулярна до горизонту. проекції горизонталі, проведеної в одній із площин. Будуємо проекцію цієї площини та точки В іншій площині на пл. 5. Відстань точки d s до прямої l s a s дорівнює пошуку відстані між паралельними площинами.

На рис. 164, д дана інша побудова (за способом паралельного переміщення). Для того щоб площина, виражена прямими АВ і АС, що перетинаються, виявилася перпендикулярна до пл. V, горизонт. проекцію горизонталі цієї площини ставимо перпендикулярно до осі х: 1 1 2 1 ⊥ х. Відстань між фронтом. проекцією d" 1 точки D і прямий а" 1 2" 1 (фронт. проекцією площини) дорівнює шуканій відстані між площинами.

На рис. 164, е показано введення додаткової пл. S, перпендикулярної до пл.H і даних площин Р і Q (вісь S/H перпендикулярна до слідів Р h , і Q h). Будуємо сліди Р s і Q s . Відстань між ними (див. рис. 164, в) дорівнює шуканій відстані l між площинами Р і Q.

На рис. 164 ж показано переміщення площин Р 1 н Q 1 в положення P 1 і Q 1 коли горизонт. сліди виявляються перпендикулярними до осі x. Відстань між новим фронтом. слідами P 1 і Q 1 дорівнює шуканій відстані l.

170. Даний паралелепіпед ABCDEFGH (рис. 165). Визначити відстані: а) між основами паралелепіпеда - l 1 ; б) між гранями ABFE та DCGH - l 2 ; в) між гранями ADHE та BCGF-l 3 .

Формула для обчислення відстані від точки до прямої на площині

Якщо задано рівняння прямої Ax + By + C = 0, то відстань від точки M(M x , M y) до прямої можна знайти, використовуючи таку формулу

Приклади завдань на обчислення відстані від точки до прямої на площині

приклад 1.

Знайти відстань між прямою 3x + 4y - 6 = 0 та точкою M(-1, 3).

Рішення.Підставимо у формулу коефіцієнти прямої та координати точки

Відповідь:відстань від точки до прямої дорівнює 0.6.

рівняння площини перпендикулярно вектору, що проходить через точки Загальне рівняння площини

Ненульовий вектор , перпендикулярний заданій площині, називається нормальним вектором (або, коротше, нормаллю ) для цієї площини.

Нехай у координатному просторі (у прямокутній системі координат) задані:

а) точка ;

б) ненульовий вектор (рис.4.8 а).

Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору Кінець підтвердження.

Розглянемо тепер різні типи рівнянь прямої на площині.

1) Загальне рівняння площиниP .

З висновку рівняння випливає, що одночасно A, Bі Cне рівні 0 (поясніть чому).

Крапка належить площині Pтільки у тому випадку, коли її координати задовольняють рівняння площини. Залежно від коефіцієнтів A, B, Cі Dплощина Pзаймає те чи інше становище:

‑ площина проходить через початок системи координат, ‑ площина не проходить через початок системи координат,

‑ площина паралельна осі X,

X,

‑ площина паралельна осі Y,

‑ площина не паралельна осі Y,

‑ площина паралельна осі Z,

‑ площина не паралельна осі Z.

Доведіть ці твердження самостійно.

Рівняння (6) легко виводиться із рівняння (5). Справді, нехай точка лежить на площині P. Тоді її координати задовольняють рівняння Віднімаючи з рівняння (5) рівняння (7) і групуючи доданки, отримаємо рівняння (6). Розглянемо тепер два вектори з координатами відповідно. З формули (6) випливає, що їх скалярний добуток дорівнює нулю. Отже, вектор перпендикулярний вектору Початок і кінець останнього вектора знаходяться відповідно в точках які належать P. Отже, вектор перпендикулярний площині. P. Відстань від точки до площини P, загальне рівняння якої визначається за формулою Доказ цієї формули повністю аналогічний доказу формули відстані між точкою та прямою (див. рис. 2).
Мал. 2. До висновку формули відстані між площиною та прямою.

Справді, відстань dміж прямою і площиною одно

де - точка лежача на площині. Звідси, як і в лекції № 11, виходить вище наведена формула. Дві площини паралельні, якщо паралельні їхнім нормальним векторам. Звідси отримуємо умову паралельності двох площин - Коефіцієнти загальних рівнянь площин. Дві площини перпендикулярні, якщо перпендикулярні їх нормальні вектори, звідси отримуємо умову перпендикулярності двох площин, якщо відомі їх загальні рівняння

Кут fміж двома площинами дорівнює куту між їх нормальними векторами (див. рис. 3) і може, тому, бути обчислений за формулою
Визначення кута між площинами.

(11)

Відстань від точки до площини та способи її знаходження

Відстань від точки до площині- Довжина перпендикуляра, опущеного з точки на цю площину. Існує принаймні два способи знайти відстань від точки до площини: геометричнийі алгебраїчний.

При геометричному способіпотрібно спочатку зрозуміти, як розташований перпендикуляр з точки на площину: може він лежить в якійсь зручній площині, є висотою в якійсь зручному (або не дуже) трикутнику, а може цей перпендикуляр взагалі є висотою в якійсь піраміді.

Після цього першого і найскладнішого етапу завдання розпадається на кілька конкретних планиметричних завдань (можливо, у різних площинах).

При алгебраїчному способіЩоб знайти відстань від точки до площині, потрібно ввести систему координат, знайти координати точки і рівняння площини, і після цього застосувати формулу відстані від точки до площини.

Для обчислення відстані від точки M до прямої L можна використовувати різні способи. Наприклад, якщо на прямій L взяти довільну точку M 0 то можна визначити ортогональну проекцію вектора M 0 M на напрямок нормального вектора прямої.Ця проекція з точністю до знака є потрібна відстань.

Інший спосіб обчислення відстані від точки до прямої заснований на використанні нормального рівняння прямої. Нехай пряма L задана нормальним рівнянням (4.23). Якщо точка M(x; у) не лежить на прямій L, то ортогональна проекція пр n OM радіус-вектораточки M напрямок одиничного нормального вектора n прямий L дорівнює скалярному добутку векторів OM і n, тобто. x cosφ + у sinφ. Ця ж проекція дорівнює сумі відстані p від початку координат до прямої та деякої величини δ (рис. 4.10). Величина δ за абсолютною величиною дорівнює відстані від точки М до прямої. При цьому δ > 0, якщо точки М і O знаходяться по різні боки від прямої, і відхиленням точки М від прямої.

Відхилення для точки M(x; у) від прямої L обчислюється як різницю проекції пр n OM і відстані p від початку координат до прямої (див. рис. 4.10), тобто. δ = x cosφ + у sinφ - p.

За цією формулою можна отримати відстань p(M, L) від точки M(x; у) до прямої L, заданої нормальним рівнянням: p(M, L) = |δ | = |x cos? + у sin? - p |.

2 Два суміжні кути в сумі дають 180°

Враховуючи наведену вище процедуру перетворення загального рівняння прямоїу її нормальне рівняння, отримуємо формулу для відстані від точки M(х; у) до прямої L, заданої своїм загальним рівнянням:

приклад 4.8.Знайдемо загальні рівняння висоти AH, медіани AM та бісектриси AD трикутника ABC, що виходять з вершини A. Відомі координати вершин трикутника А(-1;-3), B(7; 3), C(1;7).

Насамперед уточнимо умову прикладу: під зазначеними рівняннями мають на увазі рівняння прямих L AH , L AM і L AD , на яких розташовані відповідно висота АН, медіана AM та бісектриса AD зазначеного трикутника (рис. 4.11).

Щоб знайти рівняння прямої L AM , скористаємося тим, що медіана ділить протилежну сторону трикутника навпіл. Знайшовши координати (x 1 ; y 1) середини сторони BC x 1 = (7 + 1) / 2 = 4, у 1 = (3 + 7) / 2 = 5, записуємо рівняння для L AM у вигляді рівняння прямої, що проходить через дві точки,(x + 1) / (4 + 1) = (y + 3) / (5 + 3). Після перетворень отримуємо загальне рівняння медіани 8х - 5у - 7 = 0.

Щоб знайти рівняння висоти L AH , скористаємося тим, що висота перпендикулярна до протилежної стороні трикутника. Отже, вектор BC перпендикулярний висоті AH і його можна вибрати як нормальний вектор прямий L AH . Рівняння цієї прямої отримуємо (4.15), підставляючи координати точки A і нормального вектора прямої L AH:

(-6) (х + 1) + 4 (у + 3) = 0.

Після перетворень отримуємо загальне рівняння висоти 3x – 2у – 3 = 0.

Щоб знайти рівняння бісектриси L AD , скористаємося тим, що бісектриса AD належить множині точок N(х; у), які рівновіддалені від прямих L AB і L AC . Рівняння цієї множини має вигляд

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

і воно задає дві прямі, що проходять через точку A і ділять кути між прямими L AB і AC AC навпіл. Скориставшись рівнянням прямої, що проходить через дві точки, знайдемо загальні рівняння прямих LAB і LAC:

L AB: (x + 1) / (7 + 1) = (y + 3) / (3 + 3), L AC: (x + 1) / (1 + 1) = (y + 3) / (7 + 3)

Після перетворень отримуємо L AB: 3х - 4у - 9 = 0, L AC: 5х - у + 2 = 0. Рівняння (4.28) за допомогою формули (4.27) для обчислення відстані від точки до прямої запишемо у вигляді

Перетворимо його, розкривши модулі:

У результаті отримаємо загальні рівняння двох прямих

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Щоб вибрати з них рівняння бісектриси, врахуємо, що вершини B і C трикутника розташовані по різні сторони від прямої і тому підстановки їх координат в ліву частину загального рівняння прямий L AD повинні давати значення з різними знаками. Вибираємо рівняння, що відповідає верхньому знаку, тобто.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Підстановка координат точки B у ліву частину цього рівняння дає негативне значення, оскільки

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

і такий самий знак виходить для координат точки C, оскільки

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Отже, вершини B і C розташовані по одну сторону прямої з обраним рівнянням, а тому рівнянням бісектриси є

(3 + 25/√26)х + (-4 - 5/√26)у + (-9 + 10/√26) = 0.

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. У накреслювальній геометрії вона визначається графічним шляхом за наведеним нижче алгоритмом.

Алгоритм

1. Пряму переводять у положення, в якому вона буде паралельна будь-якій площині проекції. Для цього застосовують методи перетворення ортогональних проекцій.
2. З точки проводять перпендикуляр до прямої. В основі даної побудови лежить теорема про проектування прямого кута.
3. Довжина перпендикуляра визначається шляхом перетворення його проекцій або за допомогою способу прямокутного трикутника.

На наступному малюнку представлений комплексний креслення точки M та прямий b, заданої відрізком CD. Потрібно знайти відстань між ними.

Згідно з нашим алгоритмом, перше, що необхідно зробити, це перевести пряму в положення, паралельне площині проекції. При цьому важливо розуміти, що після проведених перетворень фактична відстань між точкою та прямою не повинна змінитися. Саме тому тут зручно використовувати метод заміни площин, який передбачає переміщення фігур у просторі.

Результати першого етапу побудов показані нижче. На малюнку видно, як паралельно введена додаткова фронтальна площина П 4 . У новій системі (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 знаходяться на тому ж віддаленні від осі X 1 , що і C"", D"", M"" від осі X.

Виконуючи другу частину алгоритму, з M"" 1 опускаємо перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на пряму b"" 1 оскільки прямий кут MND між b і MN проектується на площину П 4 в натуральну величину. По лінії зв'язку визначаємо положення точки N" та проводимо проекцію M"N" відрізка MN.

На заключному етапі потрібно визначити величину відрізка MN за його проекціями M"N" та M"" 1 N"" 1 . Для цього будуємо прямокутний трикутник M"" 1 N"" 1 N 0 , у якого катет N"" 1 N 0 дорівнює різниці (Y M 1 - Y N 1) видалення точок M" і N" від осі X 1 . Довжина гіпотенузи M"" 1 N 0 трикутника M"" 1 N"" 1 N 0 відповідає шуканій відстані від M до b.

Другий спосіб вирішення

• Паралельно CD вводимо нову передню площину П 4 . Вона перетинає П 1 по осі X 1 , причому X 1 C "D". Відповідно до методу заміни площин визначаємо проекції точок C""1, D""1 і M""1, як це зображено на малюнку.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 будуємо додаткову горизонтальну площину П 5 на яку пряма b проектується в точку C" 2 = b" 2 .
• Розмір відстані між точкою M і прямою b визначається довжиною відрізка M" 2 C" 2 , позначеного червоним кольором.

Схожі завдання: