Розбиття багатокутників. Урок з математики на тему "Розбиття багатокутника на трикутники", програма "Перспективна початкова школа"

Конспект уроку з математики у 4 класіIIчверть

Тема:«Розбиття багатокутника на трикутники» (1 урок)

Організаційний момент: (2 хв.)

Продзвенів уже дзвінок.

Починається урок.

Куди ми з вами потрапимо –

Дізнаєтесь ви скоро.

У відомому мультику знайдемо

Помічників веселих.

Хлопці, хто прийшов до нас у гості? (Сірий вовк та лисиця). А чому саме ці герої? (Бо скоро Новий рік). У Новий рік бувають різні пригоди. І ось одного разу одні хлопчик і дівчинка написали листа Діду Морозу і попросили Сніговика Поштовика доставити цей лист Діду Морозу. Але як ви вже знаєте, сніговику по дорозі зустрілися лисиця та вовк, які хотіли відібрати листа. Як ви вважаєте, що сталося зі Сніговиком? (Коли Сніговик тікав від них, він розсипався на частини). Хлопці, Сніговик просить вас допомогти йому у його біді. Вовк та лисиця віддадуть вам частини Сніговика лише тоді, коли ви виконаєте їхні завдання.

(На дошці фрагменти Сніговика)

Отже, хлопці, за правильно виконане завдання вовк віддаватиме вам фрагменти сніговика.

Актуалізація знань. Повторення пройденого матеріалу. (2 -3 хв.)

Слайд 1

Діти, подивіться на слайд, яку геометричну фігуру ви бачите?(багатокутник)

- Як називаються відрізки червоного кольору?(сторона багатокутника)

Як називаються відрізки зеленого кольору?(Діагональ)

Чим сторона багатокутника відрізняється від його діагоналі?

(Сторона з'єднує дві сусідні вершини, а діагональ з'єднує дві вершини, що не належать одній його стороні)

Постановка мети та завдань уроку. (2 хв.)

Що робить діагональ із багатокутником?(Діляє багатокутник на інші геометричні фігури)

У нашому випадку на які геометричні фігури розбито багатокутник?(На трикутники)

Хлопці, чому ми з вами сьогодні вчитимемося?

(Розбивати багатокутники на трикутники)

Первинне засвоєння нових знань . Робота з підручником .

( В учнів картки з багатокутниками )

- Відкрийте підручник на сторінці 108. Прочитайте завдання №376

Слайд 2

У цьому шестикутнику проведи всі можливі діагоналі з однієї його вершини.(Діти працюють самостійно)

(Слайд 1). Один учень розбиває шестикутник на трикутник на слайді.

Скільки трикутників вийшло? (4 трикутники).

Давайте збудуємо шестикутники і проведемо в них всілякі діагоналі тільки з інших вершин. (Діти виконують побудову шестикутників та виконують завдання –у дітей картки з вершинами шестикутників ).

На дошці проектуються різні креслення, які від вибору вершин. Діти звіряють зі своїми кресленнями.(Перевірка у групах)

Хлопці, вовк просить вас зробити висновок про виконану вами роботу.

Діти роблять висновок про те, що діагоналі, що виходять із однієї вершини шестикутника, яку б із вершин ми не вибрали, розбивають його на чотири трикутники.

Вчитель дає хлопцям перший фрагмент тулуба Сніговика, діти прикладають його до голови Сніговика.

Слайд 3

- Діти, послухайте наступне завдання вовка - накресліть у зошиті прямокутник і розбийте його на 4 трикутники (Після самостійного виконання, один учень ділить прямокутник на слайді).

Хлопці, можливо у когось із вас є інші варіанти?

Можливі варіанти:

У якому разі прямокутник розбитий діагоналями, а яких відрізками?

(1 варіант – діагоналями) –одержують наступний фрагмент, прикріплюють до тулуба.

Слайд

Наступне завдання вовка.

Слайд 4

Розбий восьмикутник на 8 трикутників.

Діти, хто знає, як це можна зробити?

Діти пояснюють, як можна виконати це завдання.

Наприклад, вибираємо деяку точку всередині восьмикутника, а потім від цієї точки проводимо відрізки у кожну вершину восьмикутника.

Діти виконують креслення у зошиті, потім вчитель проектує креслення на слайді. Діти звіряють своє креслення з кресленням на слайді.

За виконане завдання діти одержують наступний фрагмент сніговика.

Робота в зошит

Слайд 5

Діти, давайте згадаємо, які трикутники ви знаєте? (гострокутний, тупокутний та прямокутний).

Виберіть із цих трикутників гострокутний. (Шаблони на столах у хлопців)



Накресліть гострокутний трикутник і розбийте його на 3 трикутники. Один учень виконує завдання на дошці (шаблони гострих трикутників на слайді)

Перевірка креслень. Діти порівнюють свої креслення із кресленнями на дошці.(Отримують фрагмент сніговика)

Виконання завдання №381. Робота з підручником

(Заготівлі прямокутників)

Діти, прочитайте завдання у підручнику № 381, що потрібно зробити? Візьміть прямокутник і за допомогою лінійки та олівця розбийте його на 2 прямокутні трикутники.

Хлопці, що спільного у трикутників, що вийшли?

Кожен має прямий кут.

Як називається лінія у прямокутнику, яку ви провели?

Діагональ.

Зігніть прямокутник по діагоналі. Який висновок ви можете зробити?

Діагональ ділить прямокутник на 2 рівні прямокутні трикутники.

(Отримують фрагмент Сніговика)

Виконання завдання №382. (Картка з різними багатокутниками)

Вчитель просить самостійно прочитати завдання.

Учні самостійно читають завдання та приступають до його виконання.

На дошці перевіряють рішення. (Робота в парах)

Діти, знайдіть площу квадрата.

Діти виконують рішення на картці. Перевіряють разом відповідь. (Один учень виконує рішення на дошці)

Діти одержують останній фрагмент сніговика.

Гра «Верьовочка»

Підсумок уроку

Молодці хлопці, вам вдалося зібрати сніговика. І тепер він зможе передати листа діду Морозу.

Діти, що вам сподобалося на уроці? (Відповідь дітей) А які труднощі у вас виникли?(Відповідь дітей)

Чи допомогли вовкові завдання навчитися креслити багатокутники і розбивати їх на трикутники? Якщо у вас все вийшло, то підніміть зелений смайлик. Якщо у вас виникали скрути, то жовтий смайлик.(Відповідь дітей)

Що ви хотіли б побажати вовку в новому році?

(Побажання хлопців)

Вчитель ставить домашнє завдання (Т стор. 88 №157 – 158). Слайд 6

Разом розбирають виконання домашнього завдання

№2

№2

№2

№2

№2

Пісочниця

Тріангуляція багатокутників

• Чулан *

Завдання:розбити довільний багатокутник на трикутники.

Що потрібно.

• Клас, щось на зразок списку, де можна рухатися вперед-назад і кінець з'єднаний з початком. Тобто замкнене коло, елементами якого будуть описані об'єкти пунктом нижче.
• Клас представлення точки. У ньому, як належить, мають бути координати хі у. Також ще одне поле в якому записано значення кута відповідного цій точці в багатокутнику
• Функція, на вхід якої йдуть два вектори, а на вихід – кут між ними
• Функція, на вхід якої йде точка і трикутник, на вихід - ознака, чи точка всередині трикутника.

• Створюємо пустий список для зберігання тимчасових трикутників.
  Якщо точка зліва від «робочий» (p(i)->left) має кут менше ніж 180 градусів і трикутник (p(i), p(i)->left, p(i)->left->left) не містить у собі інших точок багатокутника - заносимо цей трикутник до нашого тимчасового списку.
  Якщо точка праворуч від «робочий» (p(i)->right) має кут менше ніж 180 градусів і трикутник (p(i), p(i)->right, p(i)->right->
  Якщо «робоча» точка (p(i)) має кут менше ніж 180 градусів і трикутник (p(i)->left, p(i),p(i)->right) не містить у собі інших точок багатокутника - заносимо цей трикутник у наш тимчасовий список.
• Якщо тимчасовий список не містить трикутників – вибираємо замість «робочий», точку ліворуч від неї та повертаємось до першого пункту.
  Якщо містить - вибираємо трикутник з мінімальною різницею між мінімальним та максимальним кутом (потрібно перерахувати значення кутів), заносимо його до списку result, видаляємо з points середню точку з трикутника який вибрали а сусіднім точкам від неї (у points) перераховуємо значення кутів, першу Якщо в points залишилося тільки дві точки - припиняємо роботу, список трикутників міститься в res, інакше повертаємося до першого пункту.

Тепер кілька слів про оптимізацію алгоритму.
На другому етапі вибирається трикутник з мінімальною різницею між мінімальним і максимальним кутом для того, щоб трикутник був максимально подібний до правильного, іноді це важливо. Якщо ж вам немає різниці як виглядає трикутник - тоді можна не створювати тимчасовий список трикутників, а вибрати перший з трьох можливих трикутників, який не містить в собі іншу точку багатокутника і кут, який утворює середня точка трикутника в багатокутнику менше 180 градусів. Таке спрощення значно знизить обчислювальні витрати.
Ще, якщо впевнені, що багатокутник опуклий - тоді не потрібно перевір чи чи трикутник містить інші точки багатокутника.

П.С. Я не зустрічав такий алгоритм на просторах инета, хоч і впевнений, що щось подібне вже є.

тріангуляція

Почнемо з найпростішого випадку - n = 3. У трикутнику ця точка відома, існує і єдина для будь-якого трикутника. Цікаво дослідити, чи перенесуться якісь із її властивостей на чотирикутник і т.д. Розбір випадку n = 4 можна розпочати з квадрата та поступово послаблювати умови (паралелограм, трапеція, довільний чотирикутник).

Відновлення багатокутника

Тема виникла із двох завдань:

1. Відновити трикутник по серединах сторін (проста).

2. Відновити п'ятикутник по серединах сторін (складніше).

При вирішенні виникають два випадки:

1) Число сторін непарно. Тоді рішення існує і єдине для будь-якого розташування вихідних точок. Якщо вихідні точки утворюють багатокутник, то рішення невироджене.

2) Число сторін парне. Тоді або рішення не існує, або їх багато (залежно від розташування вихідних точок).

При вирішенні можна використовувати і теорему Варіньйона, і метод координат, і програму «Жива геометрія».

Узагальнення.Відзначили точки, що ділять сторони щодо 1: a.

Рівнокутні шестикутники та рівносторонні шестикутники

Дослідження зручно проводити у програмі «Жива геометрія» (побудувати в ній необхідну фігуру вже є цікавим «завданням»). Виявиться, що з рівностороннього шестикутника ніяких цікавих властивостей немає, тобто. вимога рівності всіх сторін надто слабка. Можна спитати, а що треба задати ще, щоб якісь властивості з'явилися. Знайти властивості рівнокутного шестикутника допомагає наступна конструкція: продовжимо сторони до перетину через одну, отримаємо два правильні трикутники.

А) Протилежні сторони паралельні.

Б) Бісектриси кутів паралельні сторонам.

В) Сума двох суміжних сторін дорівнює сумі двох протилежних суміжних сторін.

Г) Три середні лінії перетинаються лише у точці. (А що у чотирикутників? А чи правильне зворотне твердження? Чи не діляться середні лінії навпіл? У яких випадках діляться?)

Д) Середини великих діагоналей є вершинами рівностороннього трикутника, яке сторони паралельні сторонам шестикутника.

Е) Точки перетину малих діагоналей перебувають у середніх лініях.

Напівправильні шестикутники

Можна шукати властивості напівправильних шестикутників, аналогічні властивостям паралелограма. У паралелограма діагоналі ділять один одного навпіл. У вписаного паралелограма кути рівні та діагоналі рівні. У описаного паралелограма сторони рівні та діагоналі взаємно перпендикулярні. Які з цих властивостей мають напівправильні шестикутники? (Про діагоналі треба ще зрозуміти, які саме брати і чи перетинаються вони в одній точці.)

Чудові точки

За двома даними чудовим точкам O і H за теоремою Ейлера відновлюється третя - точка перетину медіан G. Якщо у довільному місці вибрати вершину трикутника A, то неважко зробити побудови, що дають вершини B і С (якщо вершини існують). Тепер можна провести експеримент у програмі «Жива геометрія» – знайти безліч точок A, за яких точки B та С існують. В силу рівноправності вершин т оА безліч точок буде відповіддю і для вершин В і С.

Узагальнення. 1. Вивчіть кути трикутника ABC залежно від положення вершини A. 2. Розв'яжіть аналогічне завдання для даних центру вписаного кола та точки перетину медіан; для інших пар чудових точок.

3. Розгляньте аналогічне завдання у просторі (тетраедри замість трикутників).

4. Взагалі, можна вигадати багато аналогічних завдань, вибираючи різні чудові точки.

Складання фігур

Корисно почати з простих фігур: дві точки, точка та відрізок, два відрізки.

Узагальнення. Сумою Мінковськогофігур F і G назвемо безліч точок K, що визначаються рівністю , де , , O – дана точка. Дослідіть властивості цієї операції. Що можна сказати про площу суми двох фігур?

1. Н. Васильєв. "Складання фігур". квант. 1976. N 4. Пс. 22-29. Містить ряд завдань – власне план дослідження, і застосування отриманих методів до складним завданням.

2. Г.Ю. Паніна. "Алгебра багатогранників". Математичне просвітництво. 2006. N 10. С. 109-131. Продовження цього сюжету у сучасній науці.

КОМБІНАТОРИКА

Розрізи

Це з класичних завдань, у яких вчать доводити методом математичної індукції. Але ми дотримуємося принципу Пойа: «спочатку вгадай, потім доведи». Оскільки завдання добре підходить для математичного експерименту, то подумати над нею корисно і школяреві, який не володіє методом математичної індукції. Найменша кількість частин легко вгадується, з найбільшим буває непросто сформулювати умови розрізання (так звані прямі загального становища) та докази їх оптимальності. Допомогти може наступне зауваження: питання «Скільки частин додає дана пряма» і «На скільки частин цю пряму поділяють попередні» - рівносильні. також с. …

Узагальнення.

1. Чи всі проміжні значення трапляються? Ні: наприклад, 3 прямі можуть ділити площину тільки на 4, 6 та 7 частин (а на 5 не можуть). Які саме значення зустрічаються при довільному n, наука знає в повному обсязі, див. В.І. Арнольд «На скільки частин ділять площину nпрямих? / Математичне просвітництво. 3-я серія. Випуск 12. 2008. С. 95-104.

2. На скільки частин ділять простір nплощин загального стану? , сс. 65-73, 76.

3. На скільки частин ділять площину nпопарно перетинаються кіл загального становища?

Забарвлення

Завдання має довге «лічильне» рішення та коротке ідейне. Щоб винайти друге, треба вигадати такий спосіб розфарбовування, при якому різні послідовності дій призводять до різних розмальовок, а потім порахувати кількість послідовностей. Наприклад, можна зафіксувати порядок граней, а змінювати порядок кольорів: у перший колір зафарбувати будь-яку грань, у другий – протилежну їй (5 варіантів), у третій – будь-яку з бічних, у четвертий – наступну за нею за годинниковою стрілкою (3 варіанти), у п'ятий – наступну (2 варіанти), у шостий – останню (1 варіант). (Ідея взята з роботи семикласниці.) Придумати такий спосіб можна, формулюючи алгоритм, як зрозуміти, однакові або різні забарвлення двох даних кубиків.

З молодшими дітьми можна зробити моделі всіх таких кубиків.

Узагальнення.

1. Те саме завдання для інших правильних багатогранників. Можливо, варто почати з правильного тетраедра.

2. Можна розфарбовувати не грані, а ребра чи вершини.

Розбиття багатокутників

Вступ Попередні визначення та факти Основні результати Література

Вступ

Добре відомо, що розбиття багатокутника на трикутники і багатогранника на тетраедри є основою при побудові теорії площі та обсягу (див. ). Крім того, спеціального виду розбиття (тріангуляції) є зручним інструментом у доказі існування нерухомих і майже нерухомих точок безперервних відображень поліедрів (див. ). Тому можливість такого роду розбиття потребує суворого доказу. Існує кілька різних варіантів вирішення цієї проблеми. Один з них (див. ), Що використовує математичну індукцію, заснований на пошуку діагоналі, що розбиває, в багатокутнику. Згідно з іншим відомим способом доказу необхідно провести всі прямі, що містять сторони багатокутника, і розглянути всілякі перетину отриманих напівплощин. Залишиться розбити на трикутники лише ті перетину, які містяться у цьому багатокутнику.

У статті розглянуто клас плоских фігур, що узагальнюють поняття багатокутника, та доведено існування тріангуляції довільного елемента цього класу. Основою доказу є найпростіші топологічні факти, що дає можливість допитливому читачеві легко поширити наші міркування на випадок більших розмірностей.

Попередні визначення та факти

Фігура F називається опуклоюякщо для кожної пари точок A,BÎ F випливає, що відрізок [ AB] міститься у F.

Вправа 1. Довести, що перетин опуклих множин є опуклим множиною.

Відстань між точками Aі Bбудемо позначати через | AB|. Тоді для будь-якого позитивного e називатимемо e-околицеюдовільної точки Aплощині a така безліч: O e( A) = {XÎ a: | AX| < e}.

Крапка Aназивається внутрішньоїточкою фігури F, якщо існує хоча б одна e-околиця точки A, що міститься в цій множині. Безліч усіх внутрішніх точок фігури F позначається через Int F. Крапка Aназивається граничноїточкою фігури F, якщо для будь-якої її e-околиці виконується одночасно O e( A)ÇF ¹ Æ і O e( A)Ç(a\F) ¹ Æ. Безліч усіх граничних точок фігури F позначається через Bound F. Якщо кожна точка множини Vє його внутрішньою точкою (тобто. V = Int V), то Vназивається відкритимбезліччю. Безліч F, Що містить усі свої граничні точки (тобто. Bound F Í F), називається замкнутимбезліччю.

Вправа 2. Довести, що доповнення до відкритої множини є замкненою множиною і навпаки.

Безліч називається зв'язковим, якщо його не можна у вигляді об'єднання двох своїх непустих відкритих підмножин. Зв'язне відкрите безліч на площині називається областю. Наступне твердження дозволяє ввести визначення багатокутника: проста замкнута ламана1 розбиває площину на дві області, точно одна з яких є обмеженим множеством2 (доказ можна знайти в ). Багатокутникомназиватимемо об'єднання простою замкнутою ламаною з її внутрішньою областю. Складність останнього визначення змушує розглядати інший клас, що складається зі всіх багатокутних фігур. При цьому багатокутною фігуроюназивається кінцеве поєднання трикутників.

Вправа 3. Довести замкнутість та обмеженість3 будь-якого багатокутника та будь-якої багатокутної фігури.

Наступне поняття відіграє головну роль у доказі основної теореми. Безліч Fназивається компактним, якщо з будь-якої родини відкритих множин V = {Gi: i Î I), об'єднання яких містить F, можна виділити кінцеве число членів ( Gi 1,Gi 2,...,Gin), об'єднання яких також міститиме безліч F. Таке сімейство ( Gi: i Î I) ми називатимемо відкритим покриттям безлічі F, А відповідну частину цього сімейства, тобто безліч ( Gi 1,Gi 2,...,Gin), кінцевим підпокриттям Vбезлічі F. Очевидно, що будь-яка кінцева множина є компактною. Наступні дві вправи дозволяють описати всі компактні підмножини площини (докази цих тверджень можна знайти у ).

Вправа 4. Довести, що прямокутник є компактною безліччю.

Вправа 5. Довести, що замкнуте підмножина компактної множини компактно.

Наслідком останніх трьох вправ є компактність будь-якого багатокутника та будь-якої багатокутної фігури, оскільки кожна з цих множин замкнута і міститься в деякому прямокутнику. Більш того, будь-яке обмежене замкнене підмножина площини компактне. Зауважимо, що протилежне до останнього твердження також справедливе, і це дає критерій компактності плоских множин.

Основні результати

Об'єднання відрізків4 x = È{[ AiBi]:i Î I) будемо називати ланцюгом(а самі відрізки - ланками цього ланцюга), якщо різні її ланки можуть перетинатися лише за своїми вершин, і кожна вершина будь-якої ланки є вершиною іншої і лише однієї ланки. Зауважимо, що ланцюг може складатися з нескінченного числа ланок, а також може розпадатися на кілька зв'язних підчепів, що не перетинаються. Для будь-якої точки Aланцюги xчерез x(A) позначимо об'єднання ланок ланцюга x, що містять точку A (x(A) складається з однієї або двох ланок). Нагадаємо, що відстанню від точки Aдо деякої множини F називають число d(A, F) = inf(| AX|:XÎ F).

Визначення.Ланцюг xназвемо k-ланцюгом, якщо для будь-якої точки Aланцюги xвиконано: d(A,x\x(A)) > 0.

Іншими словами, довільну точку A k-ланцюга не можна наблизити точками, що лежать інших ланках цього ланцюга. Очевидно, що будь-яка проста замкнута ламана є k-ланцюгом.

Вправа 6. Навести приклад k-ланцюга, що не є простою замкненою ламаною. Навести приклад ланцюга, що не є k-ланцюгом.

Визначення.Фігуру Mназвемо k-множиною, якщо

1) Mє компактною безліччю;

2) Bound M - k-ланцюг;

3) для кожної e-околиці будь-якої точки A Î Bound Mвиконується
O e( A)Ç Int M ¹ Æ.

Легко помітити, що будь-який багатокутник і кожна багатокутна фігура є k-Множинами.

Лемма. Будь-яке k-множина M можна у вигляді об'єднання кінцевого числа трикутників.

Доведення.Відразу зауважимо, що це твердження очевидне, якщо Mє опуклим багатокутником (достатньо з'єднати довільну внутрішню точку Mз його вершинами). Крім того, легко розбивається на трикутники багатокутник M = ,

DIV_ADBLOCK550">

Перший випадок.Для довільної точки A Î Int Mоберемо O e( A) так що O e( A) Í M. Визначимо через T(A) деякий правильний трикутник з центром у A, що повністю лежить в O e( A).

DIV_ADBLOCK551">

1) M iскладається з трикутників,

2) D i Î M i,

3) M Í È M i, різні трикутники з M iнемає загальних внутрішніх точок.

На малюнку показано, як за допомогою шести трикутників можна доповнити D iдо відповідної системи M i. Домовимося називати трикутник D i коріннямсистеми M i. Тепер розглядатимемо всі такі непусті перетину F = F1Ç...ÇF n(F i Î M i), що серед (F1, F2,... F n) є хоча б один корінь (такі перетину назвемо кореневими). Важливо, якщо два кореневих перетину F = F1Ç...ÇF nі F = F 1Ç...Ç Fnрізні, то вони не мають загальних внутрішніх точок (із властивості 4 системи M i). Крім того, кожна така множина F міститься в M(Див. властивість 2) і є опуклим багатокутником (тут використовується 1 і вправа 1). В результаті отримаємо розбиття K = {K 1,..., Kl) множини M, Що складається з опуклих багатокутників. Поєднавши тепер деяку внутрішню точку багатокутника Kiз усіма вершинами елементів K, що потрапили на кордон Ki, отримаємо деяку тріангуляцію багатокутника Ki. Неважко помітити, що об'єднання таких тріангуляцій дасть тріангуляцію всієї множини M. Теорему доведено.

З теореми можна вивести кілька наслідків.

Наслідок 1. Будь-яку багатокутну фігуру та кожен багатокутник можна тріангулювати.

Наслідок 2. Клас k-множин збігається із класом багатокутних фігур.

1 Ламана x = È l = 1l = n[AlAl+1] називається замкненою, якщо A 1 = An+1, та простийякщо її несуміжні ланки не перетинаються.

2 Це безліч називається внутрішньоїобластю ламаною

3 Безліч називається обмеженимякщо воно міститься в деякому колі.

4 Усі відрізки вважаються нетривіальними, тобто. Ai ¹ Biдля всіх i Î I.