Розкладання квадратного кореня на множники: внесення та винесення. Позбавлення виразу з дробовим показником

На перший погляд може здатися, що процедура розкладання квадратного кореня на множники складна та неприступна. Але це не так. У цій статті ми розповімо вам, як підступитися до квадратного кореня та множників, а також легко та просто розкласти квадратний корінь, скориставшись двома перевіреними методами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Розкладання кореня на множники

Для початку визначимо мету процедури розкладання квадратного кореня на множники. Ціль- спростити квадратний корінь та записати його у зручному для обчислень вигляді.

Визначення 1

Розкладання квадратного кореня на множники - знаходження двох чи кількох чисел, які, за умови перемноження їх одне одного, дадуть число рівне вихідному. Наприклад: 4×4 = 16.

Якщо ви знайдете множники, то зможете легко спростити вираз із квадратним коренем або зовсім його скасувати:

Приклад 1

Розділіть підкорене число на 2, якщо воно є парним.

Підкорене число завжди слід ділити на прості числа, оскільки будь-яке значення простого числа можна розкласти на прості множники. Якщо у вас непарне число, спробуйте розділити його на 3. Не ділиться на 3? Поділіть далі на 5, 7, 9 і т.д.

Запишіть вираз у вигляді кореня добутку двох чисел.

Наприклад, можна спростити у такий спосіб 98: = 98 ÷ 2 = 49 . З цього випливає, що 2 49 = 98 , тому можна переписати задачу наступним чином: 98 = (2 49) .

Продовжуйте розкладати числа, доки під коренем не залишиться добуток двох однакових чисел та інших чисел.

Візьмемо наш приклад (2 × 49) :

Оскільки 2 і так максимально спрощено, необхідно спростити 49 . Шукаємо просте число, на яке можна поділити 49 . Очевидно, що ні 3 ні 5 не підходять. Залишається 7: 49 ÷ 7 = 7, тому 7 × 7 = 49 .

Записуємо приклад у такому вигляді: (2×49) = (2×7×7).

Спростіть вираз із квадратним коренем.

Оскільки в дужках ми маємо добуток 2 і двох однакових чисел (7) , то ми можемо винести за знак кореня число 7 .

Приклад 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

У той момент, коли під коренем виявилося два однакові числа, зупиняйтеся з розкладанням чисел на множники. Звичайно, якщо ви використовували всі можливості максимум.

Запам'ятайте: існує коріння, яке можна спрощувати багаторазово.

У такому разі числа, які ми виносимо з-під кореня, і числа, що стоять перед ним, перемножуються.

Приклад 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

але 45 можна розкласти на множники та ще раз спростити корінь.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Коли неможливо отримати два однакові числа під знаком кореня, це означає, що спростити такий корінь не можна.

Якщо після розкладання підкореного виразу на добуток простих чисел, у вас не вдалося отримати два однакові числа, то такий корінь спростити не можна.

Приклад 4

70 = 35 × 2, тому 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, тому (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Як бачимо, всі три множники – прості числа, які не можна розкласти на множники. Серед них немає однакових чисел, тому неможливо винести ціле число з-під кореня. Спростити 70 не можна.

Повний квадрат

Запам'ятаєте кілька квадратів простих чисел.

Квадрат числа виходить, якщо помножити його самого себе, тобто. при зведенні у квадрат. Якщо ви запам'ятаєте десяток квадратів простих чисел, це дуже спростити вам життя в подальшому спрощенні коренів.

Приклад 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

Якщо під знаком кореня квадратного кореня знаходиться повний квадрат, варто прибрати знак кореня і записати квадратний корінь даного повного квадрата.

Важко? Ні:

Приклад 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Спробуйте розкласти число під знаком кореня на добутки повного квадрата та іншого числа.

Якщо ви бачите, що підкорене вираз розкладається на добуток повного квадрата і якогось числа, то, запам'ятавши кілька прикладів, ви суттєво заощадите час і нерви:

Приклад 7

50 = (25 × 2) = 5 2 . Якщо підкорене число закінчується на 25, 50 або 75, ви можете розкласти його на твір 25 і якогось числа.

1700 = (100 × 17) = 1017. Якщо підкорене число закінчується на 00, ви можете розкласти його на добуток 100 і якогось числа.

72 = (9 × 8) = 38. Якщо сума цифр підкореного числа дорівнює 9, ви можете розкласти його до твір 9 і якогось числа.

Спробуйте розкласти підкорене число на твір кількох повних квадратів: винесіть їх з-під кореневого знака і перемножте.

Приклад 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

На початку уроку ми повторимо основні властивості квадратного коріння, а потім розглянемо кілька складних прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Тема:Функція. Властивості квадратного кореня

Урок:Перетворення та спрощення складніших виразів з корінням

1. Повторення властивостей квадратного коріння

Коротко повторимо теорію і нагадаємо основні властивості квадратного коріння.

Властивості квадратного коріння:

1. , отже, ;

3. ;

4. .

2. Приклади на спрощення виразів із корінням

Перейдемо до прикладів використання цих властивостей.

Приклад 1. Спростити вираз .

Рішення. Для спрощення число 120 необхідно розкласти на прості множники:

Квадрат суми розкриємо за відповідною формулою:

Приклад 2. Спростити вираз .

Рішення. Врахуємо, що даний вираз має сенс не при всіх можливих значеннях змінної, тому що в даному виразі присутні квадратне коріння і дроби, що призводить до звуження області допустимих значень. ОДЗ: ().

Наведемо вираз у дужках до спільного знаменника і розпишемо чисельник останнього дробу як різницю квадратів:

Відповідь. при.

Приклад 3. Спростити вираз .

Рішення. Видно, що друга дужка чисельника має незручний вигляд і потребує спрощення, спробуємо розкласти її на множники за допомогою методу угруповання.

Для можливості виносити загальний множник ми спростили коріння шляхом їхнього розкладання на множники. Підставимо отриманий вираз у вихідний дріб:

Після скорочення дробу застосовуємо формулу різниці квадратів.

3. Приклад на порятунок від ірраціональності

Приклад 4. Звільнитися від ірраціональності (коренів) у знаменнику: а); б).

Рішення. а) Для того щоб позбавитися ірраціональності в знаменнику, застосовується стандартний метод домноження і чисельника і знаменника дробу на пов'язаний до знаменника множник (таке ж вираз, але зі зворотним знаком). Це робиться для доповнення знаменника дробу до різниці квадратів, що дозволяє позбавитися коріння в знаменнику. Виконаємо цей прийом у нашому випадку:

б) виконаємо аналогічні дії:

4. Приклад на доказ і виділення повного квадрата в складному радикалі

Приклад 5. Доведіть рівність .

Доведення. Скористаємося визначенням квадратного кореня, з якого випливає, що квадрат правого виразу має дорівнювати підкореному виразу:

. Розкриємо дужки за формулою квадрата суми:

, Здобули правильну рівність.

Доведено.

Приклад 6. Спростити вираз.

Рішення. Зазначений вираз прийнято називати складним радикалом (корінь під коренем). У цьому прикладі необхідно здогадатися виділити повний квадрат із підкореного виразу. Для цього зауважимо, що з двох доданків є претендентом на роль подвоєного твору у формулі квадрата різниці (різниці, тому що є мінус). Розпишемо його у вигляді такого твору: , тоді роль одного з доданків повного квадрата претендує , але в роль другого - 1.

Підставимо цей вислів під корінь.

Формули коріння. Властивості квадратного коріння.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливим розділом 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.

Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча й у трьох формулах коріння багато хто блукає, та...

Почнемо з найпростішої. Ось вона:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.