Рішення матриць. Теорема умови існування зворотної матриці

Методика тестування

Дизайн та ергономіка

U2311H



U2711

Кнопки на U2211H

Кнопки U2410

Екранне меню та можливості

"Shortcut keys" - кількість переназначуваних користувачем кнопок монітора.
"Input color format" - формат кодування кольору (навіщо на моніторах без компонентного відеовходу потрібен YPbPr, не дуже зрозуміло).
«Gamma» – доступне регулювання гами, для всіх моделей це вибір між 2,2 (PC) та 1,8 (Mac).
«Preset modes» – кількість попередньо встановлених профілів налаштувань. Старші моделі виділяються як рахунок появи перемикання між колірними просторами sRGB і AdobeRGB, і рахунок додаткового «покращувача картинки».
"sRGB" і "AdobeRGB" - можливість перемикання колірного простору. Дві молодші моделі мають стандартне охоплення кольорів і тому AdobeRGB не підтримують.
"Wide mode" - режими інтерполяції картинки в нерідному для монітора дозволі.
"Sharpness" - регулювання чіткості картинки.
"Noise reduction" - режим, покликаний, на думку Dell, покращити чіткість країв динамічного зображень. Доступний тільки в профілях "Game", "Multimedia" та "Movie".
"Dynamic Contrast" - увімкнення режиму динамічної контрастності. Доступно лише у профілях «Game» та «Movie».
"Line Out source" - джерела звуку для лінійного виходу. Аналогових звукових входів монітори не мають.
"Audio configurations" - можливі конфігурації зовнішньої акустичної системи, підключеної до монітора. Нагадаємо, що багатоканальний звук на монітор можна передати лише за цифровим інтерфейсом (HDMI або DisplayPort) та лише у форматі PCM.
"Picture-By-Picture" - режим, в якому дві картинки з різних входів розташовуються на екрані поряд.
"Picture-In-Picture" - режим, в якому дві картинки з різних входів розташовуються одна поверх іншої.

Матриця e-IPS: плюси та мінуси

відмінні кути огляду як по горизонталі, так і по вертикалі: кольори на екрані виглядають практично однаково при погляді прямо та під кутом;
Гарний час відгуку: S-IPS у парі з не надто агресивною схемою компенсації відгуку показує результат на рівні 6-10 мс (GtG), що робить монітори на таких матрицях досить швидкими для ігор.

при погляді під кутом чорний колір набуває характерного фіолетового відтінку;
«кристалічний ефект»: покриття антивідблиску старих моделей матриць давало неприємний ефект, картинка ніби злегка переливалася; у нових моделях із цим досить ефективно борються;
невисока ефективність: невелика прозорість матриці вимагає використання більш потужного підсвічування;
висока ціна.

порівняні з S-IPS кути огляду як по горизонталі, так і по вертикалі: кольори на екрані виглядають практично однаково при погляді прямо та під кутом;
хороша швидкодія: під час використання схеми компенсації часу відгуку монітори на e-IPS підходять й у ігор;
практично повна відсутність «кристалічного ефекту»;
невисока вартість, що дозволяє вивести монітори на e-IPS у середній ціновий сегмент.

середні показники контрастності - лише на рівні TN-матриць, але гірше, ніж в PVA;
при погляді під кутом сильно падає контрастність – чорний колір помітно висвітлюється.

Dell U2211H: результати тестування

Dell U2311H: Результати тестування

Dell U2410: результати тестування

Dell U2711: результати тестування

Dell U3011: результати тестування

Висновок

Ця тема є однією з найненависніших серед студентів. Гірше, мабуть, лише визначники.

Фішка в тому, що саме поняття зворотного елемента (і я зараз не лише про матриці) відсилає нас до операції множення. Навіть у шкільній програмі множення вважається складною операцією, а множення матриць — взагалі окрема тема, якій у мене присвячений цілий параграф і відеоурок.

Сьогодні ми не будемо вдаватися до подробиць матричних обчислень. Просто згадаємо: як позначаються матриці, як вони множаться і що з цього випливає.

Повторення: множення матриць

Насамперед домовимося про позначення. Матрицею $A$ розміру $\left[ m\times n \right]$ називається просто таблиця з чисел, в якій рівно $m$ рядків і $n$ стовпців:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Щоб випадково не переплутати рядки та стовпці місцями (повірте, на іспиті можна і одиницю з двійкою переплутати — що вже казати про якісь там рядки), просто погляньте на картинку:

Що відбувається? Якщо розмістити стандартну систему координат $OXY$ у лівому верхньому кутку і направити осі так, щоб вони охоплювали всю матрицю, то кожній клітині цієї матриці можна однозначно зіставити координати $\left(x;y \right)$ - це і буде номер рядка і номер стовпця.

Чому система координат розміщена саме у лівому верхньому кутку? Бо саме звідти ми починаємо читати будь-які тексти. Це просто запам'ятати.

А чому вісь $x$ спрямована саме вниз, а не праворуч? Знову все просто: візьміть стандартну систему координат (вісь $x$ йде вправо, вісь $y$ вгору) і поверніть її так, щоб вона охоплювала матрицю. Це поворот на 90 градусів за годинниковою стрілкою – його результат ми й бачимо на картинці.

Загалом, як визначити індекси у елементів матриці, ми розібралися. Тепер розберемося з множенням.

Визначення. Матриці $A=\left[ m\times n \right]$ і $B=\left[ n\times k \right]$, коли кількість стовпців у першій збігається з кількістю рядків у другій, називаються узгодженими.

Саме у такому порядку. Можна сумніватися і сказати, мовляв, матриці $A$ і $B$ утворюють впорядковану пару $\left(A;B \right)$: якщо вони узгоджені в такому порядку, то необов'язково, що $B$ і $A$, тобто. пара $ \ left (B; A \ right) $ - теж узгоджена.

Помножувати можна лише узгоджені матриці.

Визначення. Твір узгоджених матриць $A=\left[m\times n\right]$ і $B=\left[n\times k \right]$ - це нова матриця $C=\left[m\times k \right]$ елементи якої $((c)_(ij))$ вважаються за формулою:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Іншими словами: щоб отримати елемент $((c)_(ij))$ матриці $C=A\cdot B$, потрібно взяти $i$-рядок першої матриці, $j$-й стовпець другої матриці, а потім попарно перемножити елементи з цього рядка та стовпця. Результати скласти.

Так, ось таке суворе визначення. З нього відразу випливає кілька фактів:

1. Множення матриць, взагалі кажучи, некомутативно: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
2. Однак множення асоціативно: $ \ left (A cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $;
3. І навіть дистрибутивно: $ \ left (A + B \ right) \ cdot C = A cdot C + B cdot C $;
4. І ще раз дистрибутивно: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.

Дистрибутивність множення довелося окремо описувати для лівого та правого множника-суми якраз через некомутативність операції множення.

Якщо все ж таки виходить так, що $A cdot B = B cdot A $, такі матриці називаються перестановочними.

Серед усіх матриць, які там на щось множаться, є особливі ті, які при множенні на будь-яку матрицю $A$ знову дають $A$:

Визначення. Матриця $E$ називається одиничною, якщо $A\cdot E=A$ або $E\cdot A=A$. У випадку з квадратною матрицею $A$ можемо записати:

Поодинока матриця - частий гість під час вирішення матричних рівнянь. І взагалі найчастіший гість у світі матриць.:)

А ще через цю $E$ дехто вигадав всю ту дичину, яка буде написана далі.

Що таке зворотна матриця

Оскільки множення матриць - дуже трудомістка операція (доводиться перемножувати купу рядків і стовпців), то поняття зворотної матриці теж виявляється не найбільш очевидним. І потребує деяких пояснень.

Ключове визначення

Що ж, настав час пізнати істину.

Визначення. Матриця $B$ називається зворотною до матриці $A$ , якщо

Зворотна матриця позначається через $((A)^(-1))$ (не плутати зі ступенем!), тому визначення можна переписати так:

Здавалося б, все дуже просто і ясно. Але під час аналізу такого визначення відразу виникає кілька питань:

1. Чи завжди є зворотна матриця? І якщо не завжди, то як визначити: коли вона існує, а коли ні?
2. А хто сказав, що така матриця одно? Раптом для деякої вихідної матриці $A$ знайдеться ціла юрба зворотних?
3. Як виглядають усі ці «зворотні»? І як, власне, їх рахувати?

Щодо алгоритмів обчислення – про це ми поговоримо трохи згодом. Але на інші питання відповімо зараз. Оформимо їх у вигляді окремих тверджень-лем.

Основні властивості

Почнемо з того, як у принципі має виглядати матриця $A$, щоб для неї існувала $((A)^(-1))$. Зараз ми переконаємося в тому, що обидві ці матриці повинні бути квадратними, причому одного розміру: $ \ left [n \ times n \ right] $.

Лемма 1 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді обидві ці матриці квадратні, причому однакового порядку $ n $.

Доведення. Все просто. Нехай матриця $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Оскільки добуток $A\cdot ((A)^(-1))=E$ за визначенням існує, матриці $A$ і $((A)^(-1))$ узгоджені у вказаному порядку:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( align)\]

Це прямий наслідок алгоритму перемноження матриць: коефіцієнти $n$ і $a$ є «транзитними» і мають бути рівними.

Водночас визначено і зворотне множення: $((A)^(-1))\cdot A=E$, тому матриці $((A)^(-1))$ і $A$ також узгоджені у вказаному порядку:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( align)\]

Отже, без обмеження спільності можемо вважати, що $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Однак згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, тому розміри матриць суворо збігаються:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Ось і виходить, що всі три матриці - $ A $, $ ((A) ^ (-1)) $ і $ E $ - є квадратними розміром $ \ left [n \ times n \ right] $. Лемма доведена.

Що ж, уже непогано. Ми, що оборотними бувають лише квадратні матриці. Тепер переконаємося, що зворотна матриця завжди одна.

Лемма 2 . Дана матриця $A$ і обернена їй $((A)^(-1))$. Тоді ця зворотна матриця єдина.

Доведення. Підемо від протилежного: нехай матриця $A$ має хоча б два екземпляри зворотних —$B$ і $C$. Тоді, згідно з визначенням, вірні такі рівності:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \end(align)\]

З леми 1 ми укладаємо, що всі чотири матриці - $ A $, $ B $, $ C $ і $ E $ - є квадратними однакового порядку: $ \ left [n \ times n \ right] $. Отже, визначено твір:

Оскільки множення матриць асоціативно (але не комутативно!), ми можемо записати:

\\\\\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \ \ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ left (A \ cdot C \ right) = B \ cdot E = B; \ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Rightarrow B = C. \\ \end(align)\]

Отримали єдино можливий варіант: два екземпляри зворотної матриці рівні. Лемма доведена.

Наведені міркування майже дослівно повторюють доказ єдиність зворотного елемента всім дійсних чисел $b\ne 0$. Єдине істотне доповнення - облік розмірності матриць.

Втім, ми досі нічого не знаємо про те, чи квадратна матриця є оборотною. Тут нам на допомогу приходить визначник це ключова характеристика для всіх квадратних матриць.

Лемма 3 . Дано матрицю $A$. Якщо зворотна до неї матриця $((A)^(-1))$ існує, то визначник вихідної матриці відмінний від нуля:

\[\left| A \right|\ne 0\]

Доведення. Ми вже знаємо, що $A$ і $((A)^(-1))$ — квадратні матриці розміру $\left[ n\times n \right]$. Отже, кожної з них можна обчислити визначник: $\left| A \right|$ і $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Проте визначник твору дорівнює твору визначників:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

Але згідно з визначенням $A\cdot ((A)^(-1))=E$, а визначник $E$ завжди дорівнює 1, тому

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Добуток двох чисел дорівнює одиниці тільки в тому випадку, коли кожне з цих чисел відмінно від нуля:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Ось і виходить, що $ \ left | A \right|\ne 0$. Лемма доведена.

Насправді ця вимога є цілком логічною. Зараз ми розберемо алгоритм знаходження зворотної матриці - і стане зрозуміло, чому за нульового визначника ніякої зворотної матриці в принципі не може існувати.

Але для початку сформулюємо «допоміжне» визначення:

Визначення. Вироджена матриця - це квадратна матриця розміру $ \ left [n \ times n \ right] $, чий визначник дорівнює нулю.

Таким чином, ми можемо стверджувати, що будь-яка оборотна матриця є невиродженою.

Як знайти зворотну матрицю

Зараз розглянемо універсальний алгоритм знаходження зворотних матриць. Взагалі, існує два загальноприйняті алгоритми, і другий ми також сьогодні розглянемо.

Той, який буде розглянутий зараз, дуже ефективний для матриць розміру $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і - частково - розміру $ \ left [3 \ times 3 \ right] $. А ось починаючи з розміру $ \ left [4 \ times 4 \ right] $ його краще не застосовувати. Чому зараз самі все зрозумієте.

Алгебраїчні доповнення

Готуйтеся. Нині буде біль. Ні, не хвилюйтеся: до вас не йде красива медсестра у спідниці, панчохах з мереживом і не зробить укол у сідницю. Все куди прозаїчніше: до вас йдуть алгебраїчні доповнення та її Величність «Союзна Матриця».

Почнемо з головного. Нехай є квадратна матриця розміру $ A = \ left [n \ times n \ right] $, елементи якої іменуються $ ((a)_ (ij)) $. Тоді для кожного такого елемента можна визначити додаток алгебри:

Визначення. Алгебраїчне доповнення $((A)_(ij))$ до елемента $((a)_(ij))$, що стоїть у $i$-му рядку і $j$-му стовпці матриці $A=\left[ n \times n \right]$ - це конструкція виду

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Де $M_(ij)^(*)$ — визначник матриці, отриманої з вихідної $A$ викреслюванням того самого $i$-го рядка і $j$-го стовпця.

Ще раз. Додаток алгебри до елемента матриці з координатами $\left(i;j \right)$ позначається як $((A)_(ij))$ і вважається за схемою:

1. Спочатку викреслюємо з вихідної матриці $i$-рядок і $j$-й стовпець. Отримаємо нову квадратну матрицю і її визначник ми позначаємо як $M_(ij)^(*)$.
2. Потім множимо цей визначник на $((\left(-1 \right))^(i+j))$ — спочатку цей вираз може здатися мозковиносним, але по суті ми просто з'ясовуємо знак перед $M_(ij)^(*) $.
3. Вважаємо - отримуємо конкретне число. Тобто. Додаток алгебри — це саме число, а не якась нова матриця і т.д.

Саму матрицю $M_(ij)^(*)$ називають додатковим мінором до елемента $((a)_(ij))$. І в цьому сенсі наведене вище визначення алгебраїчного доповнення є окремим випадком складнішого визначення того, що ми розглядали в уроці про визначник.

Важливе зауваження. Загалом у «дорослій» математиці алгебраїчні доповнення визначаються так:

1. Беремо у квадратній матриці $k$ рядків і $k$ стовпців. На їх перетині вийде матриця розміру $ \ left [k \ times k \ right] $ - її визначник називається мінором порядку $ k $ і позначається $ ((M)_ (k)) $.
2. Потім викреслюємо ці «вибрані» $k$ рядків і $k$ стовпців. Знову вийде квадратна матриця - її визначник називається додатковим мінором і позначається $ M_(k) ^ (*) $.
3. Помножуємо $M_(k)^(*)$ на $((\left(-1 \right))^(t))$, де $t$ — це (ось зараз увага!) сума номерів усіх вибраних рядків та стовпців . Це і буде додаток алгебри.

Погляньте на третій крок: там взагалі сума $2k$ доданків! Інша річ, що для $k=1$ ми отримаємо лише 2 доданків — це будуть ті самі $i+j$ — «координати» елемента $((a)_(ij))$, для якого ми шукаємо алгебраїчне доповнення.

Таким чином, сьогодні ми використовуємо злегка спрощене визначення. Але як ми побачимо надалі, його виявиться більш ніж достатньо. Куди важливіша наступна штука:

Визначення. Союзна матриця $S$ до квадратної матриці $A=\left[ n\times n \right]$ — це нова матриця розміру $\left[ n\times n \right]$, яка виходить із $A$ заміною $(( a)_(ij))$ алгебраїчними доповненнями $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Перша думка, що виникає в момент усвідомлення цього визначення - це скільки ж доведеться всього вважати! Розслабтеся: вважати доведеться, але не так вже й багато.

Що ж, все це дуже мило, але навіщо це потрібне? А ось навіщо.

Основна теорема

Повернемося трохи тому. Пам'ятайте, в Лемме 3 стверджувалося, що оборотна матриця $A$ завжди не вироджена (тобто її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).

Так ось, вірно і зворотне: якщо матриця $ A $ не вироджена, вона завжди оборотна. І навіть існує схема пошуку $((A)^(-1))$. Зацініть:

Теорема про зворотну матрицю. Нехай дана квадратна матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $, причому її визначник відмінний від нуля: $ \ left | A \right|\ne 0$. Тоді зворотна матриця $((A)^(-1))$ існує і вважається за формулою:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

А тепер — все те саме, але розбірливим почерком. Щоб знайти зворотну матрицю, потрібно:

1. Порахувати визначник $ \ left | A \right|$ і переконатися, що він відмінний від нуля.
2. Скласти союзну матрицю $S$, тобто. порахувати 100500 додатків алгебри $((A)_(ij))$ і розставити їх на місці $((a)_(ij))$.
3. Транспонувати цю матрицю $S$, а потім помножити її на деяке число $q=(1)/(\left|A \right|)\;$.

І все! Зворотну матрицю $((A)^(-1))$ знайдено. Давайте подивимося на приклади:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Рішення. Перевіримо оборотність. Порахуємо визначник:

\[\left| A \right|=\left| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Визначник відмінний від нуля. Значить, матриця оборотна. Складемо союзну матрицю:

Порахуємо додатки алгебри:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end(align)\]

Зверніть увагу: визначники | 2 |, | 5 |, | 1 | та |3| - це саме визначники матриць розміру $ \ left [1 \ times 1 \ right] $, а не модулі. Тобто. якщо в визначниках стояли негативні числа, прибирати мінус не треба.

Отже, наша союзна матриця виглядає так:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

Ну от і все. Завдання вирішено.

Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\end(array) \right] \]

Рішення. Знову вважаємо визначник:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Визначник відмінний від нуля - матриця оборотна. А ось зараз буде найжорсткіша: треба порахувати аж 9 (дев'ять, мати їх!) алгебраїчних доповнень. І кожне з них міститиме визначник $\left[2\times 2\right]$. Полетіли:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrix)\]

Коротше, союзна матриця виглядатиме так:

Отже, зворотна матриця буде такою:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right]\]

Ось і все. Ось і відповідь.

Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\end(array) \right ]$

Як бачите, наприкінці кожного прикладу ми виконували перевірку. У зв'язку з цим важливе зауваження:

Не лінуйтеся виконувати перевірку. Помножте вихідну матрицю на знайдену зворотну - має вийти $E$.

Виконати цю перевірку набагато простіше та швидше, ніж шукати помилку у подальших обчисленнях, коли, наприклад, ви вирішуєте матричне рівняння.

Альтернативний спосіб

Як я і говорив, теорема про зворотну матрицю чудово працює для розмірів $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ і $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ (в останньому випадку - вже не так вже й "прекрасно" »), а ось для матриць великих розмірів починається прямий смуток.

Але не переживайте: є альтернативний алгоритм, за допомогою якого можна незворушно знайти зворотну хоч для матриці $ \ left [10 \ times 10 \ right] $. Але, як це часто буває, для розгляду цього алгоритму нам знадобиться невелика теоретична вступна.

Елементарні перетворення

Серед різноманітних перетворень матриці є кілька особливих їх називають елементарними. Таких перетворень рівно три:

1. множення. Можна взяти $i$-й рядок (стовпець) і помножити його на будь-яке число $k\ne 0$;
2. Додавання. Додати до $i$-го рядка (стовпця) будь-який інший $j$-й рядок (стовпець), помножений на будь-яке число $k\ne 0$ (можна, звичайно, і $k=0$, але який у цьому сенс ? Нічого не зміниться ж).
3. Перестановка. Взяти $i$-ю і $j$-ю рядки (стовпці) і поміняти місцями.

Чому ці перетворення називаються елементарними (для великих матриць вони виглядають не такими вже елементарними) і чому їх лише три ці питання виходять за рамки сьогоднішнього уроку. Тому не вдаватимемося в подробиці.

Важливо інше: всі ці збочення ми повинні виконувати над приєднаною матрицею. Так, так: ви не дочули. Зараз буде ще одне визначення – останнє у сьогоднішньому уроці.

Приєднана матриця

Напевно, у школі ви вирішували системи рівнянь методом складання. Ну, там, відняти з одного рядка інший, помножити якийсь рядок на число - ось це все.

Так ось: зараз буде все те саме, але вже «по-дорослому». Чи готові?

Визначення. Нехай дана матриця $ A = \ left [n \ times n \ right] $ і одинична матриця $ E $ такого ж розміру $ n $. Тоді приєднана матриця $ \ left [ A \ left | E \right. \right]$ — це нова матриця розміру $\left[ n\times 2n \right]$, яка виглядає так:

\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Коротше кажучи, беремо матрицю $A$, праворуч приписуємо до неї одиничну матрицю $E$ потрібного розміру, розділяємо їх вертикальною рисою для краси - ось вам і приєднана.

У чому прикол? А ось у чому:

Теорема. Нехай матриця $A$ оборотна. Розглянемо приєднану матрицю $ \ left [ A \ left | E \right. \right]$. Якщо за допомогою елементарних перетворень рядківпривести її до вигляду $ \ left [ E \ left | B \right. \right]$, тобто. шляхом множення, віднімання та перестановки рядків отримати з $A$ матрицю $E$ праворуч, то отримана зліва матриця $B$ - це зворотна до $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Ось так просто! Коротше кажучи, алгоритм знаходження зворотної матриці виглядає так:

1. Записати приєднану матрицю $\left[ A\left| E \right. \right]$;
2. Виконувати елементарні перетворення рядків доти, доки права замість $A$ не з'явиться $E$;
3. Зрозуміло, ліворуч теж щось з'явиться якась матриця $B$. Це і буде обернена;
4. PROFIT!:)

Звісно, ​​сказати набагато простіше, ніж зробити. Тому давайте розглянемо кілька прикладів: для розмірів $\left[ 3\times 3 \right]$ і $\left[ 4\times 4 \right]$.

Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Рішення. Складаємо приєднану матрицю:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Оскільки останній стовпець вихідної матриці заповнений одиницями, віднімемо перший рядок з інших:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \endend(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Більше одиниць немає, окрім першого рядка. Але її ми не чіпаємо, інакше в третьому стовпці почнуть «розмножуватися» щойно прибрані одиниці.

Зате можемо відняти другий рядок двічі з останнього — отримаємо одиницю в нижньому лівому кутку:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 &-7 & 0 & -1 & 0 & 1 \endend(array) \right]\begin(matrix) \\ \downarrow \\ -2 \\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Тепер можна відняти останній рядок з першого і двічі з другого — таким чином ми «занулимо» перший стовпець:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\end(matrix)\to \ \ \ to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Помножимо другий рядок на −1, а потім віднімемо його 6 разів з першого і додамо 1 раз до останнього:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrix) \to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Залишилося лише поміняти місцями рядки 1 та 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\end(array) \right]\]

Готово! Праворуч - шукана зворотна матриця.

Відповідь. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\end(array) \right ]$

Завдання. Знайдіть зворотну матрицю:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\end(matrix) \right]\]

Рішення. Знову складаємо приєднану:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Трохи позалимаємо, потурбуємося від того, скільки зараз доведеться рахувати... і почнемо рахувати. Для початку «обнулили» перший стовпець, віднімаючи рядок 1 з рядків 2 та 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Спостерігаємо дуже багато «мінусів» у рядках 2—4. Помножимо всі три рядки на −1, а потім випалимо третій стовпець, віднімаючи рядок 3 з інших:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Тепер саме час «підсмажити» останній стовпець вихідної матриці: віднімаємо рядок 4 з інших:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Фінальний кидок: «випалюємо» другий стовпець, віднімаючи рядок 2 з рядка 1 та 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\end(array) \right] \\ \end(align)\]

І знову зліва одинична матриця, значить праворуч - зворотна.:)

Відповідь. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

Подібні на зворотні за багатьма властивостями.

Властивості зворотної матриці

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), де det (\displaystyle \ \det )позначає визначник.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))для двох квадратних оборотних матриць A (\displaystyle A)і B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), де (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))позначає транспоновану матрицю.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))для будь-якого коефіцієнта k ≠ 0 (\displaystyle k\not = 0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Якщо необхідно вирішити систему лінійних рівнянь (b - ненульовий вектор) де x (\displaystyle x)- Шуканий вектор, і якщо A − 1 (\displaystyle A^(-1))існує, то x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В іншому випадку або розмірність простору рішень більша за нуль, або їх немає зовсім.

Відео на тему

Способи знаходження зворотної матриці

Якщо матриця оборотна, то для знаходження зворотної матриці можна скористатися одним із наступних способів:

Точні (прямі) методи

Метод Жордана-Гаусса

Візьмемо дві матриці: саму Aта одиничну E. Наведемо матрицю Aдо одиничної матриці методом Гаусса-Жордана застосовуючи перетворення рядками (можна також застосовувати перетворення і стовпцями). Після застосування кожної операції до першої матриці застосуємо ту саму операцію до другої. Коли приведення першої матриці до одиничного вигляду буде завершено, друга матриця виявиться рівною. A −1.

При використанні методу Гауса перша матриця збільшуватиметься зліва на одну з елементарних матриць Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекцію або діагональну матрицю з одиницями на головній діагоналі, крім однієї позиції):

Друга матриця після застосування всіх операцій дорівнюватиме Λ (\displaystyle \Lambda )тобто буде шуканою. Складність алгоритму - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

За допомогою матриці додатків алгебри

Матриця, обернена матриці A (\displaystyle A), представна у вигляді

де adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- приєднана матриця (матриця, складена з додатків алгебри для відповідних елементів транспонованої матриці).

Складність алгоритму залежить від складності алгоритму розрахунку визначника O det і дорівнює O(n²) · O det.

Використання LU/LUP-розкладання

Матричне рівняння A X = I n (\displaystyle AX = I_(n))для зворотної матриці X (\displaystyle X)можна розглядати як сукупність n (\displaystyle n)систем виду A x = b (\displaystyle Ax = b). Позначимо i (\displaystyle i)-ий стовпець матриці X (\displaystyle X)через X i (\displaystyle X_(i)); тоді A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1, …, n (\displaystyle i = 1, \ ldots, n),оскільки i (\displaystyle i)-м стовпцем матриці I n (\displaystyle I_(n))є одиничний вектор e i (\displaystyle e_(i)). іншими словами, перебування зворотної матриці зводиться до розв'язання n рівнянь з однією матрицею та різними правими частинами. Після виконання LUP-розкладання (час O(n³)) на розв'язання кожного з n рівнянь потрібен час O(n²), так що і ця частина роботи потребує часу O(n³).

Якщо матриця A невироджена, то нею можна розрахувати LUP-разложение P A = L U (\displaystyle PA = LU). Нехай P A = B (\displaystyle PA = B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тоді із властивостей зворотної матриці можна записати: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Якщо помножити цю рівність на U і L можна отримати дві рівності виду U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))і DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Перша з цих рівностей є системою з n² лінійних рівнянь для n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))з яких відомі праві частини (з властивостей трикутних матриць). Друге представляє також систему з n² лінійних рівнянь для n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))з яких відомі праві частини (також із властивостей трикутних матриць). Разом вони є системою з n² рівностей. За допомогою цих рівностей можна реккурентно визначити всі n² елементів матриці D. Тоді з рівності (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. отримуємо рівність A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

У разі використання LU-розкладання не потрібно перестановки стовпців матриці D, але рішення може розійтися навіть якщо матриця A невироджена.

Складність алгоритму – O(n³).

Ітераційні методи

Методи Шульця

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Оцінка похибки

Вибір початкового наближення

Проблема вибору початкового наближення в аналізованих тут процесах ітераційного звернення матриць не дозволяє ставитися до них як до самостійних універсальних методів, що конкурують із прямими методами обігу, заснованими, наприклад, на LU-розкладанні матриць. Є деякі рекомендації щодо вибору U 0 (\displaystyle U_(0)), що забезпечують виконання умови ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральний радіус матриці менше одиниці), що є необхідним та достатнім для збіжності процесу. Однак при цьому, по-перше, потрібно знати зверху оцінку спектра матриці, що звертається, A або матриці AT (\displaystyle AA^(T))(а саме, якщо A - симетрична позитивно визначена матриця та ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), то можна взяти U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), де; якщо ж A - довільна невироджена матриця та ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), то вважають U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), де також α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); можна звичайно спростити ситуацію і, скориставшись тим, що ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), покласти U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). По-друге, за такого завдання початкової матриці немає гарантії, що ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)буде малою (можливо, навіть виявиться ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), і високий порядок швидкості збіжності виявиться далеко ще не відразу.

Отже, сервіси за рішенням матриць онлайн:

Сервіс роботи з матрицями дозволяє виконати елементарні перетворення матриць.
Якщо у Вас стоїть завдання виконати складніше перетворення, то цим сервісом варто користуватися конструктором.

приклад. Дано матриці Aі B, треба знайти C = A -1 * B + B T ,

1. Вам варто спочатку знайти зворотну матрицюA1 = A-1 , скориставшись сервісом знаходження зворотної матриці ;
2. Далі після того, як знайшли матрицю A1виконаємо множення матрицьA2 = A1 * B, скориставшись сервісом множення матриць ;
3. Виконаємо транспонування матриціA3 = B T (сервіс знаходження транспонованої матриці);
4. І останнє – знайдемо суму матриць З = A2 + A3(Сервіс з обчислення суми матриць) - і отримуємо відповідь з докладним рішенням!;

Твір матриць

Це он-лайн сервіс у два кроки:

• Ввести перший помножувач матрицю A
• Ввести другий множник матрицю або вектор-стовпець B

Розмноження матриці на вектор

Розмноження матриці на вектор можна знайти, скориставшись сервісом Розмноження матриць
(Першим співмножником буде дана матриця, другим співмножником буде стовпець, що складається з елементів вектора)

Це он-лайн сервіс у два кроки:

• Введіть матрицю A, для якої потрібно знайти зворотну матрицю
• Отримайте відповідь із докладним рішенням щодо знаходження зворотної матриці

Визначник матриці

Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю Aдля якої потрібно знайти визначник матриці

Транспонування матриці

Тут Ви зможете відстежити алгоритм транспонування матриці та навчитись самому вирішувати подібні завдання.
Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю A, яку треба транспонувати

Ранг матриці

Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю A, для якої потрібно виконати знаходження рангу

Власні значення матриці та власні вектори матриці

Це он-лайн сервіс у один крок:

• Введіть матрицю A, для якої потрібно знайти власні вектори та власні значення (власні числа)

Зведення матриці до ступеня

Це он-лайн сервіс у два кроки:

• Введіть матрицю A, яку зводитимете в ступінь
• Ввести ціле число q- ступінь

Матриця - математичний об'єкт, записуваний як прямокутної таблиці чисел і допускає алгебраїчні операції (складання, віднімання, множення та інших.) між ним та інші подібними об'єктами. Правила виконання операцій над матрицями зроблено такими,

щоб було зручно записувати системи лінійних рівнянь. Зазвичай матрицю позначають великою літерою латинського алфавіту і виділяють круглими дужками «(…)» (зустрічається також

виділення квадратними дужками «[…]», подвійними прямими лініями «||…||») А числа, що становлять матрицю (елементи матриці), позначають тією ж літерою, що й саму матрицю, але невеликою. у кожного елемента матриці є 2 нижні індекси (a ij ) - перший «i» позначає

номер рядка, де знаходиться елемент, а другий «j» - номер стовпця.

Операції над матрицями

Розмноження матриці A на число

B , елементи якої отримані шляхом множення кожного елемента матриці на це число, тобто кожен елемент матриці B дорівнює

b ij = λ a ij

Додавання матриць A

елемент матриця C дорівнює

c ij = a ij + b ij

Віднімання матриць A

c ij = a ij - b ij

A + Θ =A

Розмноження матриць(позначення: AB, рідше зі знаком множення) - є операція обчислення матриці C, елементи якої дорівнюють сумі творів елементів у відповідному рядку першого множника і стовпці другого.

c ij = ∑ a ikb kj

У першому множнику має бути стільки ж стовпців, скільки рядків у другому. Якщо матриця має розмірність, B -, то розмірність їх твору AB = C

є. Множення матриць не комутативно. Це видно хоча б з того, що якщо матриці не квадратні, то можна множити лише одну на іншу, але не навпаки. Для

квадратних матриць результат множення залежить від порядку співмножників.

Зводити у ступінь можна лише квадратні матриці.

Одинична матриця

Для квадратних матриць існує одинична матриця E така, що множення будь-який

матриці на неї не впливає на результат, а саме

EA = AE = A

У одиничної матриці одиниці стоять лише за

діагоналі, інші елементи дорівнюють нулю

Для деяких квадратних матриць можна знайти так званузворотну матрицю.

Зворотна матриця A – 1 така, що якщо помножити матрицю на неї, то вийде одинична матриця

AA − 1 = E

Зворотна матриця не завжди. Матриці, для яких існує зворотна, називаються

невиродженими, а для яких немає – виродженими. Матриця невироджена, якщо її рядки (стовпці) лінійно незалежні як вектори. Максимальна кількість лінійно незалежних рядків

(Стовпців) називається рангом матриці. Визначником (детермінантом) матриці називається нормований кососиметричний лінійний функціонал на рядках матриці. Матриця

вироджена тоді і лише тоді, коли її визначник дорівнює нулю.

Властивості матриць

1. A + (B + C) = (A + B) + C

2. A + B = B + A

3. A (BC) = (AB)C

4. A (B+ C) = AB+ AC

5. (B + C) A = BA + CA

9. Симетрична матриця A позитивно визначена (A > 0), якщо значення у всіх її головних кутових мінорів Ak > 0

10. Симетрична матриця A негативно визначено (A< 0), если матрица (−A )

позитивно визначено, тобто якщо для будь-якого k головний мінор k-го порядкуA k має знак (−1)k

Системи лінійних рівнянь

Систему з m рівнянь з n невідомими

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn = b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn = b2

am x1 +am x2 +…+am xn = bm

можна уявити у матричному вигляді

тоді всю систему можна записати так: AX =B

Операції над матрицями

Нехай a ij елементи матриці A , а b ij - матриці B .

Розмноження матриці A на числоλ (позначення: λA ) полягає у побудові матриці

B , елементи якої отримані шляхом множення кожного елемента матриці на це число, тобто кожен елемент матриці дорівнює b ij = λa ij

Запишемо матрицю А

Помножимо перший елемент матриці А на 2

Додавання матриць A+ B є операція знаходження матриці C, всі елементи якої рівні по парній сумі всіх відповідних елементів матриць A і B, тобто кожен

елемент матриця C дорівнює

c ij = a ij + b ij

А+В Запишемо матриці А та В

Виконаємо складання перших елементів матриць

Розтягнемо значення, спочатку по горизонталі, а потім по вертикалі (можна навпаки)

Віднімання матриць A− B визначається аналогічно до додавання, це операція знаходження матриці C , елементи якої

c ij = a ij - b ij

Додавання та віднімання допускається тільки для матриць однакового розміру.

Існує нульова матриця Θ така, що її додаток до іншої матриці A не змінює A, тобто

A + Θ =A

Усі елементи нульової матриці дорівнюють нулю.