Розв'язання матричного рівняння методом гауса. Метод Гауса для вирішення матриць

Продовжуємо розглядати системи лінійних рівнянь. Цей урок є третім на тему. Якщо ви невиразно уявляєте, що таке система лінійних рівнянь взагалі, почуваєтеся чайником, то рекомендую почати з азів на сторінці Далі корисно вивчити урок.

Метод Гауса – це просто!Чому? Відомий німецький математик Йоган Карл Фрідріх Гаусс ще за життя отримав визнання найбільшого математика всіх часів, генія і навіть прізвисько «короля математики». А все геніальне, як відомо просто!До речі, на гроші потрапляють не лише лохи, а ще й генії – портрет Гауса красувався на купюрі в 10 дойчмарок (до введення євро), і Гаус досі загадково посміхається німцям зі звичайних поштових марок.

Метод Гауса простий тим, що для його освоєння ДОСИТЬ ЗНАНЬ П'ЯТИКЛАСНИКА. Необхідно вміти складати та множити!Невипадково метод послідовного виключення невідомих викладачі часто розглядають на шкільних математичних факультативах. Парадокс, але у студентів метод Гауса викликає найбільші складнощі. Нічого дивного – вся річ у методиці, і я постараюся в доступній формі розповісти про алгоритм методу.

Спочатку трохи систематизуємо знання про системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь може:

1) Мати єдине рішення. 2) Мати безліч рішень. 3) Не мати рішень (бути несумісний).

Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якийсистеми лінійних рівнянь Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. А метод послідовного виключення невідомих в будь-якому випадкуприведе нас до відповіді! На цьому уроці ми знову розглянемо метод Гауса для випадку №1 (єдине рішення системи), під пунктами №№2-3 відведено статтю. Зауважу, що сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково.

Повернемося до найпростішої системи з уроку Як розв'язати систему лінійних рівнянь?і вирішимо її методом Гауса.

На першому етапі слід записати розширену матрицю системи: . За яким принципом записані коефіцієнти, гадаю, всім видно. Вертикальна характеристика всередині матриці не несе ніякого математичного сенсу - це просто накреслення для зручності оформлення.

Довідка : рекомендую запам'ятати терміни лінійної алгебри. Матриця системи - Це матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, в даному прикладі матриця системи: . Розширена матриця системи – це та сама матриця системи плюс стовпець вільних членів, у разі: . Будь-яку з матриць можна для стислості називати просто матрицею.

Після того, як розширена матриця системи записана, з нею необхідно виконати деякі дії, які також називаються елементарними перетвореннями.

Існують такі елементарні перетворення:

1) Рядкиматриці можна, можливо переставлятимісцями. Наприклад, у матриці можна безболісно переставити перший і другий рядки:

2) Якщо в матриці є (або з'явилися) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного. Розглянемо, наприклад, матрицю . У цій матриці останні три рядки пропорційні, тому достатньо залишити лише одну з них: .

3) Якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його також слідує видалити. Малювати не буду, зрозуміло, нульовий рядок – це рядок, у якому одні нулі.

4) Рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля. Розглянемо, наприклад, матрицю. Тут доцільно перший рядок розділити на –3, а другий рядок – помножити на 2: . Ця дія дуже корисна, оскільки спрощує подальші перетворення матриці.

5) Це перетворення викликає найбільші труднощі, але насправді нічого складного також немає. До рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля. Розглянемо нашу матрицю з практичного приклада: . Спочатку я розпишу перетворення дуже докладно. Помножуємо перший рядок на -2: , і до другого рядка додаємо перший рядок помножений на –2: . Тепер перший рядок можна розділити «назад» на –2: . Як бачите, рядок, який ПРИДБА ЧИ – не змінилась. Завждизмінюється рядок, ДО ЯКОГО ДОДАТИ ЮТ.

Насправді так докладно, звісно, ​​не розписують, а пишуть коротше: Ще раз: до другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. Помножують рядок зазвичай усно або на чернетці, при цьому уявний хід розрахунків приблизно такий:

«Переписую матрицю та переписую перший рядок: »

«Спочатку перший стовпець. Внизу мені потрібно отримати нуль. Тому одиницю вгорі множу на –2: , і до другого рядка додаю перший: 2 + (–2) = 0. Записую результат у другий рядок: »

«Тепер другий стовпець. Угорі –1 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: 1 + 2 = 3. Записую результат до другого рядка: »

«І третій стовпець. Угорі –5 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: –7 + 10 = 3. Записую результат до другого рядка: »

Будь ласка, ретельно осмисліть цей приклад і розберіться в послідовному алгоритмі обчислень, якщо ви це зрозуміли, то метод Гауса практично «в кишені». Але, звісно, ​​над цим перетворенням ми ще попрацюємо.

Елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь

! УВАГА: розглянуті маніпуляції не можна використовуватиякщо Вам запропоновано завдання, де матриці дано «самі по собі». Наприклад, при «класичних» діях з матрицямищось переставляти всередині матриць в жодному разі не можна! Повернемося до нашої системи. Вона практично розібрана по кісточках.

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого вигляду:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. І знову: чому перший рядок множимо саме на -2? Для того щоб внизу отримати нуль, а значить, позбавитися однієї змінної в другому рядку.

(2) Ділимо другий рядок на 3.

Ціль елементарних перетворень – привести матрицю до ступінчастого вигляду: . В оформленні завдання прямо так і відкреслюють простим олівцем «сходи», а також обводять кружальцями числа, які розташовуються на «сходах». Сам термін «ступінчастий вид» не цілком теоретичний, у науковій та навчальній літературі він часто називається трапецієподібний виглядабо трикутний вигляд.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентнавихідна система рівнянь:

Тепер систему потрібно «розкрутити» у зворотному напрямку – знизу нагору, цей процес називається зворотним ходом методу Гауса.

У нижньому рівнянні ми вже готовий результат: .

Розглянемо перше рівняння системи та підставимо в нього вже відоме значення «гравець»:

Розглянемо найпоширенішу ситуацію, коли методом Гауса потрібно вирішити систему трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими.

Приклад 1

Розв'язати методом Гауса систему рівнянь:

Запишемо розширену матрицю системи:

Зараз я одразу намалюю результат, до якого ми прийдемо під час рішення: І повторюся, наша мета – за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до східчастого вигляду. З чого розпочати дії?

Спочатку дивимося на ліве верхнє число: Майже завжди тут має бути одиниця. Взагалі кажучи, влаштує і –1 (а іноді й інші числа), але якось традиційно склалося, що туди зазвичай поміщають одиницю. Як організувати одиницю? Дивимось на перший стовпець – готова одиниця у нас є! Перетворення перше: міняємо місцями перший і третій рядки:

Тепер перший рядок у нас залишиться незмінним до кінця рішення. Вже легше.

Одиниця у лівому верхньому кутку організована. Тепер потрібно отримати нулі на цих місцях:

Нулі отримуємо саме за допомогою «важкого» перетворення. Спочатку знаємося з другим рядком (2, -1, 3, 13). Що потрібно зробити, щоби на першій позиції отримати нуль? Потрібно до другого рядка додати перший рядок, помножений на –2. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –2: (–2, –4, 2, –18). І послідовно проводимо (знову ж таки подумки або на чернетці) додавання, до другого рядка додаємо перший рядок, вже помножений на –2:

Результат записуємо у другий рядок:

Аналогічно розуміємося з третім рядком (3, 2, -5, -1). Щоб отримати на першій позиції нуль, потрібно до третього рядка додати перший рядок, помножений на –3. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –3: (–3, –6, 3, –27). І до третього рядка додаємо перший рядок, помножений на –3:

Результат записуємо у третій рядок:

Насправді ці дії зазвичай виконуються усно і записуються за один крок:

Не треба рахувати все відразу і одночасно. Порядок обчислень та «вписування» результатів послідовнийі зазвичай такий: спочатку переписуємо перший рядок, і пихкаємо собі потихеньку - НАСЛІДНО і Уважно:
А уявний хід самих розрахунків я вже розглянув вище.

У цьому прикладі це зробити легко, другий рядок ділимо на –5 (оскільки там усі числа діляться на 5 без залишку). Заодно ділимо третій рядок на –2, адже що менше числа, то простіше рішення:

На заключному етапі елементарних перетворень потрібно отримати ще один нуль:

Для цього до третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –2:
Спробуйте розібрати цю дію самостійно - помножте другий рядок на -2 і проведіть додавання.

Остання виконана дія – зачіска результату, ділимо третій рядок на 3.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну вихідну систему лінійних рівнянь: Круто.

Тепер у дію вступає зворотний перебіг методу Гаусса. Рівняння розкручуються знизу вгору.

У третьому рівнянні ми вже готовий результат:

Дивимося друге рівняння: . Значення «зет» вже відоме, таким чином:

І, нарешті, перше рівняння: . «Ігрек» і «Зет» відомі, справа за малим:

Відповідь:

Як вже неодноразово зазначалося, для будь-якої системи рівнянь можна і потрібно зробити перевірку знайденого рішення, благо це нескладно і швидко.

Приклад 2

Це приклад для самостійного рішення, зразок чистового оформлення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ваш хід рішенняможе не збігтися з моїм ходом рішення, і це – особливість методу Гауса. Але відповіді обов'язково повинні вийти однаковими!

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Я вчинив так: (1) До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на –1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додатковий рух тіла: помножити перший рядок на –1 (змінити у неї знак).

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

(3) Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

(4) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

(5) Третій рядок поділили на 3.

Поганою ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок, і, відповідно, , то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що припущена помилка під час елементарних перетворень.

Заряджаємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює, знизу нагору. Та тут подарунок вийшов:

Відповідь: .

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Це приклад для самостійного рішення, він дещо складніший. Нічого страшного, якщо хтось заплутається. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку. Ваше рішення може відрізнятись від мого рішення.

В останній частині розглянемо деякі особливості алгоритму Гаусса. Перша особливість полягає в тому, що іноді в рівняннях системи відсутні деякі змінні, наприклад: Як правильно записати розширену матрицю системи? Про цей момент я вже розповідав на уроці Правило Крамер. Матричний метод. У розширеній матриці системи на місці відсутніх змінних ставимо нулі: До речі, це досить легкий приклад, оскільки в першому стовпці вже є один нуль, і виконати менше елементарних перетворень.

Друга особливість полягає ось у чому. У всіх розглянутих прикладах на «сходинки» ми поміщали або -1 або +1. Чи можуть там бути інші цифри? У деяких випадках можуть. Розглянемо систему: .

Тут на лівій верхній сходинці у нас двійка. Але помічаємо той факт, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2 без залишку - й інша двійка та шістка. І двійка зліва нагорі нас влаштує! На першому кроці потрібно виконати такі перетворення: до другого рядка додати перший рядок, помножений на -1; до третього рядка додати перший рядок, помножений на -3. Таким чином, ми отримаємо потрібні нулі у першому стовпці.

Або ще такий умовний приклад: . Тут трійка на другому «сході» теж нас влаштовує, оскільки 12 (місце, де нам потрібно отримати нуль) ділиться на 3 без залишку. Необхідно провести наступне перетворення: до третього рядка додати другий рядок, помножений на -4, в результаті чого буде отримано потрібний нам нуль.

Метод Гауса універсальний, але є одна своєрідність. Впевнено навчитися вирішувати системи іншими методами (методом Крамера, матричним методом) можна буквально з першого разу там дуже жорсткий алгоритм. Але щоб впевнено себе почувати в методі Гауса, слід «набити руку», і вирішувати хоча б 5-10 десять систем. Тому спочатку можливі плутанина, помилки у обчисленнях і в цьому немає нічого незвичайного чи трагічного.

Дощова осіння погода за вікном. Тому для всіх бажаючих складніший приклад для самостійного рішення:

Приклад 5

Вирішити методом Гауса систему 4-х лінійних рівнянь із чотирма невідомими.

Таке завдання практично зустрічається негаразд і рідко. Думаю, навіть чайнику, який докладно вивчив цю сторінку, інтуїтивно зрозумілий алгоритм розв'язання такої системи. Принципово так само – просто дій більше.

Випадки, коли система не має рішень (неспільна) або має безліч рішень, розглянуті на уроці. Несумісні системи та системи із загальним рішенням. Там можна закріпити розглянутий алгоритм методу Гаусса.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.
Виконані елементарні перетворення: (1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -1. Увага! Тут може виникнути спокуса від третього рядка відняти першу, вкрай не рекомендую віднімати - сильно підвищується ризик помилки. Тільки складаємо! (2) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Другий і третій рядки поміняли місцями. Зверніть увагу , Що на «сходинках» нас влаштовує не тільки одиниця, але ще й -1, що навіть зручніше. (3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 5. (4) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Третій рядок поділили на 14.

Зворотній хід:

Відповідь : .

Приклад 4: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) До першого рядка додали другий. Таким чином, організована потрібна одиниця на лівій верхній сходинці. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 7. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 6.

З другою «сходинкою» все гірше , «Кандидати» неї - числа 17 і 23, а нам необхідна або одиниця, або -1. Перетворення (3) та (4) будуть спрямовані на отримання потрібної одиниці (3) До третього рядка додали другий, помножений на –1. (4) До другого рядка додали третій, помножений на –3. Потрібна річ на другій сходинці отримана . (5) До третього рядка додали другий, помножений на 6. (6) Другий рядок помножили на -1, третій рядок поділили на -83.

Зворотній хід:

Відповідь :

Приклад 5: Рішення : Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) Перший і другий рядки поміняли місцями. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додали перший рядок, помножений на -3. (3) До третього рядка додали другий, помножений на 4. До четвертого рядка додали другий, помножений на –1. (4) У другому рядку змінили знак. Четвертий рядок розділили на 3 та помістили замість третього рядка. (5) До четвертого рядка додали третій рядок, помножений на -5.

Зворотній хід:

Відповідь :

Тут ви зможете безкоштовно вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса онлайнвеликих розмірів у комплексних числах із дуже докладним рішенням. Наш калькулятор вміє вирішувати онлайн як звичайну певну, так і невизначену систему лінійних рівнянь методом Гаусса, яка має безліч рішень. І тут у відповіді ви отримаєте залежність одних змінних через інші, вільні. Також можна перевірити систему рівнянь на сумісність онлайн, використовуючи рішення методом Гаусса.

Про метод

Під час вирішення системи лінійних рівнянь онлайн методом Гаусса виконуються такі кроки.

1. Записуємо розширену матрицю.
2. Фактично рішення поділяють на прямий та зворотний хід методу Гаусса. Прямим ходом методу Гаусса називається приведення матриці до ступінчастого вигляду. Зворотним ходом методу Гаусса називається приведення матриці до спеціального ступінчастого вигляду. Але на практиці зручніше відразу занулювати те, що знаходиться і зверху і знизу елемента, що розглядається. Наш калькулятор використовує цей підхід.
3. Важливо відзначити, що при вирішенні методом Гауса, наявність у матриці хоча б одного нульового рядка з ненульовою правою частиною (стовпець вільних членів) говорить про несумісність системи. Рішення лінійної системи у разі немає.

Щоб найкраще зрозуміти принцип роботи алгоритму Гауса онлайн, введіть будь-який приклад, виберіть "дуже докладне рішення" і перегляньте його рішення онлайн.

Даний онлайн калькулятор знаходить рішення системи лінійних рівнянь (СЛП) методом Гаусса. Надається докладне рішення. Для обчислення вибирайте кількість змінних та кількість рівнянь. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

Подання чисел:

Число знаків після десяткового роздільника

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Метод Гауса

Метод Гауса - це метод переходу від вихідної системи лінійних рівнянь (за допомогою еквівалентних перетворень) до системи, яка вирішується простіше, ніж вихідна система.

Еквівалентними перетвореннями системи лінійних рівнянь є:

• зміна місцями двох рівнянь у системі,
• множення будь-якого рівняння у системі на ненульове дійсне число,
• додавання одного рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

Запишемо систему (1) у матричному вигляді:

(3)

A-називається матриця коефіцієнтів системи, b− права частина обмежень, x− вектор змінних, яку потрібно знайти. Нехай rang( A)=p.

Еквівалентні перетворення не змінюють ранг матриці коефіцієнтів та ранг розширеної матриці системи. Не змінюється безліч рішень системи при еквівалентних перетвореннях. Суть методу Гауса полягає у приведенні матраца коефіцієнтів Aдо діагонального чи ступінчастого.

Побудуємо розшрену матрицю системи:

На наступному етапі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче елемента . Якщо цей елемент нульовий, то цей рядок міняємо місцями з рядком, що лежить нижче за цей рядок і має ненульовий елемент у другому стовпці. Далі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче провідного елемента a 22 . Для цього складемо рядки 3, ... mз рядком 2, помноженим на − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22 відповідно. Продовжуючи процедуру, отримаємо матрицю діагонального чи ступінчастого вигляду. Нехай отримана розширена матриця має вигляд:

Так як rangA=rang(A|b), то безліч рішень (7) є ( n−p) - Різноманітність. Отже n−pневідомих можна вибрати довільно. Інші невідомі із системи (7) обчислюються так. З останнього рівняння виражаємо x p через інші змінні та вставляємо у попередні вирази. Далі з передостаннього рівняння виражаємо x p−1 через інші змінні та вставляємо у попередні вирази тощо. Розглянемо метод Гауса на конкретних прикладах.

Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Приклад 1. Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса:

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

a 1 1 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -2/3,-1/2 відповідно:

Матричний вид запису: Ax=b, де

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

Виключимо елементи 1-го стовпця матриці нижче елемента a 11 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -1/5,-6/5 відповідно:

Ділимо кожен рядок матриці на відповідний провідний елемент (якщо провідний елемент існує):

де x 3 , x

Підставивши верхні вирази у нижні, отримаємо рішення.

Тоді векторне рішення можна уявити так:

де x 3 , x 4 − довільні дійсні числа.

Карл Фрідріх Гаусс, найбільший математик довгий час вагався, вибираючи між філософією та математикою. Можливо, саме такий склад розуму дозволив йому так помітно "успадкувати" у світовій науці. Зокрема, створивши "Метод Гауса".

Майже 4 роки статті цього сайту стосувалися шкільної освіти, здебільшого з боку філософії, принципів (не)розуміння, які впроваджуються у свідомість дітей. Приходить час більшої конкретики, прикладів та методів... Я вірю, що саме такий підхід до звичних, заплутаних та важливимобластям життя дає найкращі результати.

Ми, люди так влаштовані, що скільки не говори про абстрактне мислення, але розуміння завждивідбувається через приклади. Якщо приклади відсутні, то принципи вловити неможливо... Як неможливо опинитися на вершині гори інакше, як пройшовши її схил від підніжжя.

Теж і зі школою: поки що живих історійнедостатньо ми інстинктивно продовжуємо вважати її місцем, де дітей вчать розуміти.

Наприклад, навчаючи методу Гауса...

Метод Гаусса у 5 класі школи

Зазначу відразу: метод Гауса має набагато ширше застосування, наприклад, при вирішенні систем лінійних рівнянь. Те, про що ми говоритимемо, проходять у 5 класі. Це початку, Уяснивши які, набагато легше розібратися в більш "просунутих варіантах". У цій статті ми говоримо про методі (способі) Гауса при знаходженні суми ряду

Ось приклад, який приніс зі школи мій молодший син, який відвідує 5 клас московської гімназії.

Шкільна демонстрація методу Гауса

Вчитель математики з використанням інтерактивної дошки (сучасні методи навчання) показав дітям презентацію історії "створення методу" маленьким Гаусом.

Шкільний вчитель відшмагав маленького Карла (застарілий метод, нині в школах не застосовується) за те, що той,

замість того, щоб послідовно складати числа від 1 до 100 знайти їх суму помітив, Що пари чисел, рівно віддалені від країв арифметичної прогресії, в сумі дають те саме число. наприклад, 100 і 1, 99 і 2. Порахувавши кількість таких пар, маленький Гаус майже миттєво вирішив запропоноване вчителем завдання. За що й був екзекуції на очах здивованої публіки. Щоб решті думати було не кортіло.

Що зробив маленький Гаус, розвинув почуття числа? Помітивдеяку особливістьчислового ряду з постійним кроком (арифметична прогресія). І саме цезробило його згодом великим ученим, уміючим помічати, що володіє почуттям, інстинктом розуміння.

Цим і цінна математика, що розвиває здатність бачитизагальне у приватному - абстрактне мислення. Тому більшість батьків та роботодавців інстинктивно вважають математику важливою дисципліною ...

"Математику вже потім вчити треба, що вона розум у порядок наводить.
М.В.Ломоносов".

Однак, послідовники тих, хто порав різками майбутніх геніїв, перетворили Метод на щось протилежне. Як 35 років тому говорив мій науковий керівник: "Занавчили питання". Або як сказав учора про метод Гауса мій молодший син: "Може не варто з цього велику науку робити, а?"

Наслідки творчості "вчених" видно за рівнем нинішньої шкільної математики, рівнем її викладання та розуміння "Цариці наук" більшістю.

Проте, продовжимо...

Методи пояснення методу Гаусса у 5 класі школи

Вчитель математики московської гімназії, пояснюючи метод Гауса по-Віленкіну, ускладнив завдання.

Що якщо різниця (крок) арифметичної прогресії буде не одиниця, а інше число? Наприклад, 20.

Завдання, яке він дав п'ятикласникам:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Перш, ніж познайомитися з гімназічним методом, заглянемо до Мережі: як це роблять шкільні вчителі – репетитори з математики?

Метод Гауса: пояснення №1

Відомий репетитор на своєму каналі YOUTUBE наводить такі міркування:

"запишемо числа від 1 до 100 наступним чином:

спочатку ряд чисел від 1 до 50, а строго під ним інший ряд чисел від 50 до 100, але у зворотній послідовності"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Зверніть увагу: сума кожної пари чисел з верхнього та нижнього рядів однакова і дорівнює 101! Порахуємо кількість пар, вона становить 50 і помножимо суму однієї пари на кількість пар! Вуаля: Відповідь готова!".

"Якщо ви не змогли зрозуміти - не засмучуйтесь!", - тричі в процесі пояснення повторив учитель. "Цей метод ви проходитимете в 9 класі!"

Метод Гауса: пояснення №2

Інший репетитор, менш відомий (судячи з переглядів) використовує більш науковий підхід, пропонуючи алгоритм рішення з 5 пунктів, які необхідно виконати послідовно.

Для непосвячених: 5 це одне з чисел Фібоначчі, що традиційно вважається магічним. Метод із 5 кроків завжди більш навчений, ніж метод, наприклад, із 6 кроків. ... І це навряд чи випадковість, швидше за все, Автор - прихований прихильник теорії Фібоначчі

Дана арифметична прогресія: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Алгоритм знаходження суми чисел ряду методом Гауса:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

При цьому потрібно пам'ятати про правил "Плюс один" : до отриманого частки необхідно додати одиницю: інакше ми отримаємо результат, менший на одиницю, ніж дійсне число пар: 42 + 1 = 43.

Це і є шукана сума арифметичної прогресії від 4 до 256 з різницею 6!

Метод Гауса: пояснення у 5 класі московської гімназії

А ось як потрібно вирішити завдання знаходження суми ряду:

20+40+60+ ... +460+480+500

у 5 класі московської гімназії, підручник Віленкіна (за словами мого сина).

Показавши презентацію, вчителька математики показала кілька прикладів методом Гаусса і дала класу завдання знайти суми чисел поруч із кроком 20.

При цьому потрібно наступне:

Як бачимо, це компактніша і ефективніша методика: число 3 - також член послідовності Фібоначчі

Мої коментарі до шкільної версії методу Гауса

Великий математик вибрав би філософію, якби передбачав, на що перетворять його "метод" послідовники німецького вчителя, що відшмагав Карла різками. Він побачив би і символізм, і діалектичну спіраль і невмираючу дурість "вчителів", намагаються виміряти алгеброю нерозуміння гармонію живої математичної думки ....

До речі: чи знаєте ви. що наша система освіти сягає корінням у німецьку школу 18 - 19 століть?

Але Гаус вибрав математику.

У чому полягає суть його методу?

У спрощення. У спостереженні та схоплюванніпростих закономірностей чисел. У перетворення сухої шкільної арифметики на цікаве та захоплююче заняття , що активізує в мозку бажання продовжувати, а не блокує високовитратну розумову діяльність

Хіба можливо однією з наведених "модифікацій методу" Гауса порахувати суму чисел арифметичної прогресії майже миттєво? За "алгоритмами" маленький Карл гарантовано уникнув би прочуханки, виховав відразу до математики і придушив на корені свої творчі імпульси.

Чому репетитор так наполегливо радив п'ятикласникам "не боятися нерозуміння" методу, переконуючи, що "такі" завдання вони вирішуватимуть аж у 9 класі? Психологічно безграмотна дія. Вдалим прийомом було відзначити: "Бачите? Ви вже у 5 класі можетевирішувати завдання, які проходитимете лише через 4 роки! Які ви молодці!

Для використання методу Гауса достатньо рівня 3 класуколи нормальні діти вже вміють складати, множити і ділити 2 -3 значні числа. Проблеми виникають через нездатність дорослих вчителів, які "не в'їжджають", як пояснити найпростіші речі нормальною людською мовою, не те що математичною... Не здатних зацікавити математикою і відбивають полювання навіть у "здібних".

Або, як прокоментував мій син: "роблять із цього велику науку".

Метод Гауса, мої пояснення

Нашій дитині ми з дружиною пояснювали цей "метод", здається, ще до школи.

Простота замість ускладнення чи гра у запитання - відповіді

""Подивися, ось числа від 1 до 100. Що ти бачиш?"

Справа не в тому, що саме побачить дитина. Фокус у тому, щоб він став дивитися.

"Як можна їх скласти?" Син вловив, що такі питання не задаються "просто так" і потрібно поглянути на питання "якось інакше, інакше, ніж він робить зазвичай"

Не важливо, чи дитина побачить рішення відразу, це малоймовірно. Важливо, щоб він перестав боятися дивитися, або як я говорю: "ворушив завдання". Це початок шляху до розуміння

"Що легше: скласти, наприклад, 5 та 6 або 5 та 95?" Навідне питання... Але ж будь-яке навчання і зводиться до "наведення" людини на "відповідь" - у будь-який прийнятний для нього спосіб.

На цьому етапі вже можуть виникнути припущення про те, як "заощадити" на обчисленнях.

Все, що ми зробили - натякнули: "лобовий, лінійний" метод рахунку - не можливий. Якщо дитина це усікала, то згодом вона вигадає ще багато таких методів, адже це цікаво!І він точно уникне "нерозуміння" математики, не відчуватиме до неї огиду. Він здобув перемогу!

Якщо дитина знайшла, Що додавання пар чисел, що дають у сумі сотню, нікчемне заняття, то "арифметична прогресія з різницею 1"- Досить моторошна і нецікава для дитини річ - раптом для нього знайшло життя . З хаосу виник порядок, а це завжди викликає ентузіазм: так ми влаштовані!

Питання на засипку: навіщо після одержання дитиною осяяння знову заганяти його в рамки сухих алгоритмів, до того ж функціонально марних у цьому випадку?!

Навіщо змушувати тупо переписуватичисла послідовності у зошит: щоб навіть у здібних не виникло і єдиного шансу на розуміння? Статистично, звичайно, адже масова освіта заточена на "статистику".

Куди подівся нуль?

І все-таки складати числа, що дають у сумі 100 для розуму набагато більш прийнятно, ніж дають 101.

"Шкільний метод Гауса" вимагає саме цього: бездумно складатирівновіддалені від центру прогресії пари чисел, незважаючи ні на що.

А якщо подивитися?

Все-таки нуль - найбільший винахід людства, якому понад 2 000 років. А вчителі математики продовжують його ігнорувати.

Набагато простіше перетворити ряд чисел, що починається з 1, в ряд, що починається з 0. Адже сума не зміниться, чи не так? Потрібно припинити "думати підручниками" і почати дивитися...І побачити, що пари із сумою 101 цілком можна замінити парами із сумою 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Як скасувати "правило плюс 1"?

Якщо чесно, то я про таке правило вперше почув від того ютубовського репетитора...

Як я досі роблю, коли потрібно визначити кількість членів якогось ряду?

Дивлюся на послідовність:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

а коли зовсім втомився, то на простіший ряд:

1, 2, 3, 4, 5

і прикидаю: якщо відняти з 5 одиницю, то вийде 4, але я цілком ясно бачу 5 чисел! Отже потрібно додати одиницю! Почуття числа, розвинене у початковій школі, підказує: навіть якщо членів ряду буде цілий гугл (10 сотою мірою), закономірність залишиться тією ж.

На фіг правила?

Щоб через пару - трійку років заповнити весь простір між чолом і потилицею і перестати розуміти? А заробляти на хліб із олією як? Адже ми прямими шеренгами рухаємось в епоху цифрової економіки!

Ще про шкільний метод Гауса: "навіщо науку з цього робити?.."

Я не дарма розмістив скріншот із зошита сина.

"Що там було, на уроці?"

"Ну, я порахував відразу, підняв руку, але вона не спитала. Тому, поки інші вважали я став робити ДЗ російською мовою, щоб не витрачати час. Потім, коли інші дописали (???), вона викликала мене до дошки." Я сказав відповідь."

"Правильно покажи, як ти вирішував", - сказала вчителька. Я показав. Вона сказала: "Неправильно, треба рахувати так, як я показала!"

"Добре, що двійку не поставила. І змусила написати в зошит "хід рішення" по-їхньому. Навіщо науку велику з цього робити?.."

Головний злочин вчителя математики

Навряд чи після того випадкуКарл Гаусс відчув високе почуття поваги до шкільного вчителя математики. Але якби він знав, як послідовники того вчителя перекрутять саму суть методу... він заревів би від обурення і через Всесвітню організацію інтелектуальної власності ВОІВ домігся заборони на використання свого чесного імені у шкільних підручниках!

У чому головна помилка шкільного підходу? Або, як я висловився – злочин шкільних вчителів математики проти дітей?

Алгоритм нерозуміння

Що роблять шкільні методисти, абсолютна більшість яких думати не вміє ні дуля?

Створюють методики та алгоритми (див. ). Це захисна реакція, що оберігає вчителів від критики ("Все робиться згідно..."), а дітей - від розуміння. І таким чином – від бажання критикувати вчителів!(Друга похідна чиновницької "мудрості", науковий підхід до проблеми). Людина не вловлюючи сенс швидше нарікатиме на власне нерозуміння, а не на тупість шкільної системи.

Що й відбувається: батьки нарікають на дітей, а вчителі... те ж саме на дітей, "не розуміють математику!..

Кмітуєте?

Що зробив маленький Карл?

Абсолютно нешаблонно підійшов до шаблонного завдання. Це квінтесенція Його підходу. Це головне, чого слід навчати у школі: думати не підручниками, а головою. Звичайно, є і інструментальна складова, яку цілком можна використати... у пошуках більш простих та ефективних методів рахунку.

Метод Гауса по-Віленкіну

У школі вчать, що метод Гауса полягає в тому, щоб

що, якщо число елементів ряду виявиться непарним, як у задачі, яку задали синові?

"Подвох" полягає в тому, що в цьому випадку слід виявити "зайве" число рядута додати його до суми пар. У нашому прикладі це число 260.

Як виявити? Переписуючи всі пари чисел у зошит!(Саме чому вчителька змусила дітей робити цю тупу роботу, намагаючись навчити "творчості" методом Гауса... І саме тому такий "метод" практично не застосовується до великих рядів даних, і саме тому він не є методом Гауса).

Трохи творчості у шкільній рутині...

Син же вчинив інакше.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

Нескладно, правда?

А практично робиться ще легше, що і дозволяє викроїти 2-3 хвилини на ДЗ російською, поки інші "вважають". До того ж, зберігає кількість кроків методики: 5, що не дозволяє критикувати підхід за антинауковість.

Очевидно цей підхід простіше, швидше та універсальніше, у стилі Методу. Але... вчителька не те, що не похвалила, а й змусила переписати "правильним чином" (див. скріншот). Тобто зробила відчайдушну спробу задушити творчий імпульс і здатність розуміти математику на корені! Мабуть, щоб потім найнятись репетитором... Не на того напала...

Все, що я так довго і нудно описав, можна пояснити нормальній дитині максимум за півгодини. Разом із прикладами.

Причому так, що він це ніколи не забуде.

І це буде крок до розуміння... не тільки математики.

Визнайте: скільки разів у житті ви складали методом Гауса? І я жодного разу!

Але інстинкт розуміння, який розвивається (або гаситься) у процесі вивчення математичних методів у школі... О!.. Це справді незамінна річ!

Особливо у вік загальної цифровізації, в який ми непомітно увійшли під чуйним керівництвом Партії та Уряду.

Декілька слів на захист вчителів...

Несправедливо та неправильно всю відповідальність за такий стиль навчання звалюватиме виключно на шкільних вчителів. Діє система.

Деяківчителі розуміють абсурдність того, що відбувається, але що робити? Закон про освіту, ФГОСи, методики, технологічні карти уроків... Все має робитися "відповідно та на підставі" і все має бути задокументовано. Крок убік – став у чергу на звільнення. Не будемо ханжами: зарплата московських вчителів дуже непогана... Звільнять - куди йти?..

Тому сайт цей не про освіту. Він про індивідуальній освіті, єдино можливий спосіб вибратися з натовпу покоління Z ...

Суть методу Гауса полягає у перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею , з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a11 перше рівняння. Отримаємо
(2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом і добутком його «проекції» на перший стовпець і перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з їхньої рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему
(3)
Отже, першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим перебігом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різниця ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.

Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:

1. Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
2. Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.

Призначення методу Гаусса

Види методу Гауса

1. Класичний метод Гаусса;
2. Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
3. Метод Жордано-Гаусса;

Приклад рішення методом Гаусса
Вирішимо систему:

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го

З першого рядка виражаємо x 3:
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса.

Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).



НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Реалізація методу Гауса

Використання методу Гауса

Застосування методу Гауса в теорії ігор

Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь

Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні