Вирішення системи нерівностей з однією змінною. Урок «Розв'язання нерівностей з однією змінною та їх систем

1. Поняття нерівності з однією змінною

2. Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей

3. Вирішення нерівностей з однією змінною

4. Графічне розв'язання нерівностей з однією змінною

5. Нерівності, що містять змінну під знаком модуля

6. Основні висновки

Нерівності з однією змінною

Пропозиції 2 х + 7 > 10-х, х 2+7х< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 називають нерівностями з однією змінною.

Загалом це поняття визначають так:

Визначення. Нехай f(х) і g(х) - два вирази зі змінною х та областю визначення X. Тоді нерівність виду f(х) > g(х) або f(х)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Значення змінної xз множини X,при якому нерівність перетворюється на справжню числову нерівність, називається її рішенням.Вирішити нерівність - це означає знайти безліч її рішень.

Так, рішенням нерівності 2 x + 7 > 10 -х, х? Rє число x= 5, тому що 2 · 5 + 7> 10 - 5 - істинна числова нерівність. А множина його рішень - це проміжок (1, ∞), який знаходять, виконуючи перетворення нерівності: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.

Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильність нерівностей

В основі розв'язання нерівностей з однією змінною лежить поняття рівносильності.

Визначення. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо їхні множини рішень рівні.

Наприклад, нерівності 2 x+ 7 > 10 та 2 x> 3 рівносильні, оскільки їх безлічі рішень рівні і є проміжок (2/3, ∞).

Теореми про рівносильність нерівностей та наслідки з них аналогічні відповідним теоремам про рівносильність рівнянь. За їхнього доказу використовуються властивості істинних числових нерівностей.

Теорема 3.Нехай нерівність f(х) > g(х)поставлено на безлічі Xі h(x) - Вираз, визначений на тому ж множині. Тоді нерівності f(х) > g(х) та f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)рівносильні на безлічі X.

З цієї теореми випливають наслідки, які часто використовуються при вирішенні нерівностей:

1) Якщо до обох частин нерівності f(х) > g(х)додати те саме число d,то отримаємо нерівність f(х) + d > g(х)+ d,рівносильне вихідному.

2) Якщо якийсь доданок (числовий вираз або вираз зі змінною) перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак доданку на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даному.

Теорема 4.Нехай нерівність f(х) > g(х)поставлено на безлічі Xі h(х хз множини Xвираз h(х)набуває позитивних значень. Тоді нерівності f(х) > g(х) і f(х) · h(x) > g(х) · h(x)рівносильні на безлічі X.

f(х) > g(х)помножити на те саме позитивне число d,то отримаємо нерівність f(х) d > g(х) d,рівносильне цьому.

Теорема 5.Нехай нерівність f(х) > g(х)поставлено на безлічі Xі h(х) - вираз, визначений на тому ж множині, і для всіх хїх множини Xвираз h(х) набуває негативних значень. Тоді нерівності f(х) > g(х) і f(х)·h(x) > g(х)·h(x)рівносильні на безлічі X.

З цієї теореми випливає слідство: якщо обидві частини нерівності f(х) > g(х)помножити на те саме негативне число dі знак нерівності поміняти на протилежний, то отримаємо нерівність f(х) d > g(х) d,рівносильне цьому.

Вирішення нерівностей з однією змінною

Розв'яжемо нерівність 5 х - 5 < 2х - 16, х? R, і обґрунтуємо всі перетворення, які ми виконуватимемо у процесі рішення.

Розв'язанням нерівності х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 є проміжок (-∞, 7).

Вправи

1. Встановіть, які з таких записів є нерівностями з однією змінною:

а) -12 - 7 х< 3x+ 8; г) 12 х + 3(х- 2);

б) 15( x+ 2)>4; д) 17-12 · 8;

в) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2х 2+ 3x-4> 0.

2. Чи є число 3 рішенням нерівності 6(2х + 7) < 15(х + 2), х? R? А чисельність 4,25?

3. Чи однакові на безлічі дійсних чисел такі пари нерівностей:

а) -17 х< -51 и х > 3;

б) (3 x-1)/4 >0 та 3 х-1>0;

в) 6-5 x>-4 та х<2?

4. Які з таких висловлювань істинні:

а) -7 х < -28 => x>4;

б) x < 6 => x < 5;

в) х< 6 => х< 20?

5. Розв'яжіть нерівність 3( x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 і обґрунтуйте всі перетворення, які при цьому виконуватимете.

6. Доведіть, що розв'язанням нерівності 2(х+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2х) є будь-яке дійсне число.

7. Доведіть, що немає дійсного числа, яке було б розв'язком нерівності 3(2 - х) - 2 > 5 - 3х.

8. Одна сторона трикутника дорівнює 5 см, а інша 8 см. Якою може бути довжина третьої сторони, якщо периметр трикутника:

а) менше 22 см;

б) більше ніж 17 см?

ГРАФІЧНЕ РІШЕННЯ НЕРАВЕНСТВ З ОДНІЙ ЗМІННОЮ.Для графічного розв'язання нерівності f(х) > g(х)потрібно побудувати графіки функцій

у = f(х) = g(х)і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції у = f(х)розташований вище графіка функції у = g(х).

Приклад 17.8.Розв'яжіть графічно нерівність х 2- 4 > 3х.

Рішення.Побудуємо в одній системі координат графіки функцій

у = х 2 - 4 та у =Зх (рис. 17.5). З малюнка видно, що графіки функцій у= х 2- 4 розташований вище графіка функції у = 3 хпри х< -1 та х > 4, тобто. безліч рішень вихідної нерівності є безліч

(- ¥; -1) È (4; + оо) .

Відповідь: х Î(- оо; -1) та ( 4; + оо).

Графіком квадратичної функції у= ах 2 + bх + сє парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а< 0. При цьому можливі три випадки: парабола перетинає вісь Ох(тобто рівняння ах 2+ bх+ з = 0 має два різні корені); парабола стосується осі х(тобто рівняння ах 2 + bх+ с = 0 має один корінь); парабола не перетинає вісь Ох(тобто рівняння ах 2+ bх+ з = 0 не має коріння). Таким чином, можливі шість положень параболи, що є графіком функції у = ах 2+ b х + с(Рис. 17.6). Використовуючи ці ілюстрації, можна розв'язувати квадратні нерівності.

Приклад 17.9.Розв'яжіть нерівність: а) 2 х г+ 5х – 3 > 0; б) -Зх 2 - 2х- 6 < 0.

Рішення,а) Рівняння 2х 2 + 5х -3 = 0 має два корені: х, = -3, х 2 = 0,5. Парабола, що є графіком функції у= 2х 2+ 5х-3, показано на рис. а.Нерівність 2х 2+ 5х -3 > 0 виконується за тих значень х,при яких точки параболи лежать вище осі Ох:це буде за х< х х або при х> х г>тобто. при х< -3 або при х > 0,5. Значить, безліч розв'язків вихідної нерівності є безліч (- ¥; -3) і (0,5; + ¥).

б) Рівняння -Зх 2+ 2х- 6 = 0 не має дійсних коренів. Парабола, що є графіком функції у= - 3х 2 - 2х - 6 показана на рис. 17.6 Нерівність -3х 2 - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х,при яких точки параболи лежать нижче осі Ох.Оскільки вся парабола лежить нижче за осю Ох,то безліч рішень вихідної нерівності є безліч R .

НЕРАВЕНСТВА, Що МІСТЬ ЗМІННУ ПІД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.При розв'язанні даних нерівностей слід мати на увазі, що:

|f(х) | =

f(х), якщо f(х) ³ 0,

- f(х), якщо f(х) < 0,

У цьому область допустимих значень нерівності слід розбити на інтервали, кожному з яких вирази, які стоять під знаком модуля, зберігають знак. Потім, розкриваючи модулі (з урахуванням знаків виразів), потрібно вирішувати нерівність на кожному інтервалі та отримані рішення об'єднувати у безліч рішень вихідної нерівності.

Приклад 17.10.Розв'яжіть нерівність:

|х -1| + | 2-х | > 3+х.

Рішення. Точки х = 1 та х = 2 ділять числову вісь (ОДЗ нерівності (17.9) на три інтервали: х< 1, 1 £ х £.2, х >2. Вирішимо цю нерівність кожному з них. Якщо х< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; тому |х -1| = - (x - I), | 2 - x | = 2 – х. Отже, нерівність (17.9) набуває вигляду: 1-х + 2 - х > 3 + х, тобто. х< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Якщо 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 і 2 – х ³ 0; тому | х-1| = x - 1, | 2 - x | = 2 - x. .Отже, має місце система:

х - 1 + 2 - х > 3 + х,

Отримана система нерівностей рішень немає. Отже, на інтервалі [1; 2] безліч розв'язків нерівності (17.9) порожньо.

Якщо х > 2, то х - 1 > 0 та 2 – х<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

х -1 + х - 2 > 3 + х,

х > 6 або

Об'єднуючи знайдені рішення на всіх частинах ОДЗ нерівності (17.9), отримуємо її розв'язання - безліч (-¥; 0) È (6; +оо).

Іноді корисно скористатися геометричною інтерпретацією модуля дійсного числа, за якою | а | означає відстань точки а координатної прямої від початку відліку О, а | а - b | означає відстань між точками а та b на координатній прямій. Крім того, можна використовувати метод зведення у квадрат обох частин нерівності.

Теорема 17.5. Якщо вирази f(х) та g(х)при будь-яких х приймають лише невід'ємні значення, то нерівності f(х) > g(х)і f(х)² > g(х)²рівносильні.

58. Основні висновки § 12

У цьому параграфі ми визначили наступні поняття:

Числове вираз;

Значення числового виразу;

Вираз, що не має сенсу;

Вираз із змінною (змінними);

Область визначення виразу;

Тотожно рівні вирази;

Тотожність;

Тотожне перетворення висловлювання;

Числова рівність;

Числова нерівність;

Рівняння з однією змінною;

Корінь рівняння;

Що означає розв'язати рівняння;

Рівносильні рівняння;

Нерівність з однією змінною;

Розв'язання нерівності;

Що означає вирішити нерівність;

Рівносильні нерівності.

Крім того, ми розглянули теореми про рівносильність рівнянь та нерівностей, які є основою їх вирішення.

Знання визначень всіх названих вище понять та теорем про рівносильність рівнянь та нерівностей - необхідна умова методично грамотного вивчення з молодшими школярами алгебраїчного матеріалу.

Програма на вирішення лінійних, квадратних і дробових нерівностей непросто дає відповідь завдання, вона наводить докладне рішення з поясненнями, тобто. відображає процес рішення для того, щоб проконтролювати знання з математики та/або алгебри.

Причому, якщо у процесі розв'язання однієї з нерівностей потрібно вирішити, наприклад, квадратне рівняння, його докладне рішення також виводиться (воно полягає у спойлер).

Ця програма може бути корисною учням старших класів під час підготовки до контрольним роботам, батькам контролю за розв'язання нерівностей їх дітьми.

Дана програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Правила введення нерівностей

Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числа можна вводити у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x^2

Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник може бути негативним.

При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частина відокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

При введенні виразів можна використовувати дужки. І тут при розв'язанні нерівності вирази спочатку спрощуються.
Наприклад: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Виберіть потрібний знак нерівності та введіть багаточлени у поля нижче.

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Системи нерівностей із одним невідомим. Числові проміжки

З поняттям системи ви познайомилися у 7 класі та навчилися вирішувати системи лінійних рівнянь із двома невідомими. Далі будуть розглянуті системи лінійних нерівностей із однією невідомою. Багато рішень систем нерівностей можуть записуватися за допомогою проміжків (інтервалів, напівінтервалів, відрізків, променів). Також ви познайомитеся з позначеннями числових проміжків.

Якщо в нерівностях \(4x > 2000 \) і \(5x \leq 4000 \) невідоме число х одне й те саме, то ці нерівності розглядають спільно і кажуть, що вони утворюють систему нерівностей: $$ \left\(\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right.$$

Фігурна дужка показує, що потрібно знайти такі значення х, при яких обидві нерівності системи звертаються до вірних числових нерівностей. Ця система - приклад системи лінійних нерівностей з одним невідомим.

Рішенням системи нерівностей з одним невідомим називається значення невідомого, у якому всі нерівності системи звертаються у вірні числові нерівності. Вирішити систему нерівностей - це означає знайти всі рішення цієї системи або встановити, що їх немає.

Нерівності \(x \geq -2 \) та \(x \leq 3 \) можна записати у вигляді подвійної нерівності: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Рішеннями систем нерівностей з одним невідомим є різні числові множини. Ці множини мають назви. Так, на числовій осі безліч чисел х, таких, що (-2 \ leq x \ leq 3 \), зображується відрізком з кінцями в точках -2 і 3.

Якщо (а відрізком і позначається [а; b]

Якщо \(a інтервалом і позначається (а; b)

Безліч чисел \(x \), що задовольняють нерівностям \(a \leq x напівінтервалами і позначаються відповідно [а; b) та (а; b)

Відрізки, інтервали, напівінтервали та промені називають числовими проміжками.

Таким чином, числові проміжки можна задавати як нерівностей.

Розв'язанням нерівності з двома невідомими називається пара чисел (х; у), що звертає цю нерівність у вірну числову нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти безліч його рішень. Так, рішеннями нерівності х > у будуть, наприклад, пари чисел (5; 3), (-1; -1), оскільки \(5 \geq 3 \) і \(-1 \geq -1\)

Вирішення систем нерівностей

Вирішувати лінійні нерівності з одним невідомим ви вже навчилися. Знаєте, що таке система нерівностей та розв'язання системи. Тому процес розв'язання систем нерівностей з однією невідомою не викликає у вас труднощів.

І все ж таки нагадаємо: щоб вирішити систему нерівностей, потрібно вирішити кожну нерівність окремо, а потім знайти перетин цих рішень.

Наприклад, вихідна система нерівностей була приведена до вигляду:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Щоб вирішити цю систему нерівностей, відзначимо розв'язання кожної нерівності на числовій осі та знайдемо їх перетин:

Перетином є відрізок [-2; 3] - це рішення вихідної системи нерівностей.

У цій статті зібрано початкову інформацію про системи нерівностей. Тут дано визначення системи нерівностей та визначення розв'язання системи нерівностей. А також перераховані основні види систем, з якими найчастіше доводиться працювати на уроках алгебри у школі, та наведено приклади.

Навігація на сторінці.

Що таке система нерівностей?

Системи нерівностей зручно визначити аналогічно тому, як ми вводили визначення системи рівнянь , тобто, за записом і змістом, вкладеним у неї.

Визначення.

Система нерівностей- Це запис, що представляє собою деяке число записаних один під одним нерівностей, об'єднаних зліва фігурною дужкою, і позначає безліч всіх рішень, що є одночасно рішеннями кожної нерівності системи.

Наведемо приклад системи нерівностей. Візьмемо два довільні , наприклад, 2·x−3>0 і 5−x≥4·x−11 , запишемо їх одне під іншим
2·x−3>0 ,
5−x≥4·x−11
і об'єднаємо знаком системи - фігурною дужкою, в результаті отримаємо систему нерівностей такого виду:

Аналогічно дається уявлення про системи нерівностей у шкільних підручниках. Варто зазначити, що в них визначення даються більш вузько: для нерівностей з однією змінною або з двома змінними.

Основні види систем нерівностей

Зрозуміло, що можна скласти безліч різних систем нерівностей. Щоб не заблукати в цьому різноманітті, їх доцільно розглядати за групами, що мають відмітні ознаки. Усі системи нерівностей можна розбити на групи за такими критеріями:

• за кількістю нерівностей у системі;
• за кількістю змінних, що у записи;
• на вигляд самих нерівностей.

За кількістю нерівностей, що входять до запису, розрізняють системи двох, трьох, чотирьох і т.д. нерівностей. У попередньому пункті ми навели приклад системи, яка є системою двох нерівностей. Покажемо ще приклад системи чотирьох нерівностей .

Окремо скажемо, що немає сенсу говорити про систему однієї нерівності, в цьому випадку насправді мова йдепро саму нерівність, а не про систему.

Якщо дивитися на кількість змінних, то мають місце системи нерівностей з однією, двома, трьома тощо. змінними (або, як ще кажуть, невідомими). Подивіться на останню систему нерівностей, записану двома абзацами вище. Це система з трьома змінними x, y та z. Зверніть увагу, що її дві перші нерівності містять не всі три змінні, а лише по одній із них. У контексті цієї системи їх варто розуміти як нерівності з трьома змінними видами x+0·y+0·z≥−2 та 0·x+y+0·z≤5 відповідно. Зауважимо, що у школі основна увага приділяється нерівностям з однією змінною.

Залишилося обговорити, які види нерівностей беруть участь у записі систем. У школі в основному розглядають системи двох нерівностей (рідше - трьох, ще рідше - чотирьох і більше) з однією або двома змінними, причому самі нерівності зазвичай є цілими нерівностямипершого або другого ступеня (рідше – більш високих ступенів або дрібно раціональними). Але не дивуйтеся, якщо в матеріалах з підготовки до ОДЕ зіткнетеся з системами нерівностей, що містять ірраціональні, логарифмічні, показові та інші нерівності. Як приклад наведемо систему нерівностей , Вона взята з .

Що називається розв'язанням системи нерівностей?

Введемо ще одне визначення, пов'язане із системами нерівностей, - визначення розв'язання системи нерівностей:

Визначення.

Розв'язанням системи нерівностей з однією змінноюназивається таке значення змінної, що звертає кожну з нерівностей системи у вірне, іншими словами, є рішенням кожної нерівності системи.

Пояснимо на прикладі. Візьмемо систему двох нерівностей з однією змінною. Візьмемо значення змінної x , що дорівнює 8 , воно є рішенням нашої системи нерівностей за визначенням, так як його підстановка в нерівності системи дає дві вірні числові нерівності 8>7 і 2-3·8≤0 . Навпаки, одиниця не є рішенням системи, тому що при її підстановці замість змінної x перша нерівність звернеться в неправильну числову нерівність 1>7.

Аналогічно можна запровадити визначення розв'язання системи нерівностей із двома, трьома та більшою кількістю змінних:

Визначення.

Розв'язанням системи нерівностей із двома, трьома тощо. змінниминазивається пара, трійка і т.д. значень цих змінних, яка одночасно є рішенням кожної нерівності системи, тобто, звертає кожну нерівність системи у правильну числову нерівність.

Наприклад, пара значень x=1 , y=2 чи іншого запису (1, 2) є рішенням системи нерівностей з двома змінними , оскільки 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Системи нерівностей можуть мати рішень, можуть мати кінцеве число рішень, а можуть мати і безліч рішень. Часто говорять про безліч розв'язків системи нерівностей. Коли система немає рішень, має місце порожня безліч її рішень. Коли рішень кінцеве число, безліч рішень містить кінцеве число елементів, а коли рішень нескінченно багато, то і безліч рішень складається з нескінченного числа елементів.

У деяких джерелах вводяться визначення приватного та загального розв'язання системи нерівностей, як, наприклад, у підручниках Мордковича. Під приватним розв'язанням системи нерівностейрозуміють її одне окремо взяте рішення. В свою чергу загальне рішення системи нерівностей- це її приватні рішення. Однак у цих термінах є сенс лише тоді, коли потрібно особливо наголосити, про яке рішення йдеться, але зазвичай це і так зрозуміло з контексту, тому набагато частіше говорять просто «вирішення системи нерівностей».

З введених у цій статті визначень системи нерівностей та її рішень випливає, що розв'язання системи нерівностей є перетином безлічі рішень усіх нерівностей цієї системи.

Список літератури.

1. Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. ЄДІ-2013. Математика: типові екзаменаційні варіанти: 30 варіантів/за ред. А. Л. Семенова, І. В. Ященко. - М.: Видавництво «Національна освіта», 2012. - 192 с. – (ЄДІ-2013. ФІПД – школі).

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

«Середня загальноосвітня школа №26

з поглибленим вивченням окремих предметів»

міста Нижньокамська Республіки Татарстан

Конспект уроку з математики
у 8 класі

Вирішення нерівностей з однією змінною

та їх систем

підготувала

учитель математики

першої кваліфікаційної категорії

Кунгурова Гульназ Рафаелівна

Нижньокамськ 2014

План-конспект уроку

Вчитель: Кунгурова Г.Р.

Предмет: математика

Тема: «Розв'язування лінійних нерівностей з однією змінною та їх систем».

Клас: 8Б

Дата проведення: 10.04.2014

Тип уроку:урок узагальнення та систематизації вивченого матеріалу.

Мета уроку:закріплення практичних умінь та навичок розв'язання нерівностей з однією змінною та їх систем, нерівностей, що містять змінну під знаком модуля.

Завдання уроку:

Навчальні:

узагальнення та систематизація знань учнів про способи вирішення нерівностей з однією змінною;

розширення виду нерівностей: подвійні нерівності, нерівності, що містять змінну під знаком модуля, системи нерівностей;

встановлення міжпредметного зв'язку між математикою, російською мовою, хімією.

Розвиваючі:

активізація уваги, мисленнєвої діяльності, розвиток математичної мови, пізнавального інтересу у учнів;

оволодіння способами та критеріями самооцінки та самоконтролю.

Виховні:

виховання самостійності, акуратності, вміння працювати у колективі

Основні методи, що застосовуються на уроці: комунікативний, пояснювально-ілюстративний, репродуктивний метод програмованого контролю.

Обладнання:

комп'ютер

комп'ютерна презентація

моноблоки (виконання індивідуального онлайн-тесту)

роздатковий матеріал (різнорівневі індивідуальні завдання);

листи самоконтролю;

План уроку:

1. Організаційний момент.

4. Самостійна робота

5. Рефлексія

6. Підсумки уроку.

Хід уроку:

1. Організаційний момент.

(Учитель повідомляє учням мети та завдання уроку.).

Сьогодні перед нами постає дуже важливе завдання. Ми повинні підбити підсумок на цю тему. Знову потрібно буде дуже ретельно опрацювати теоретичні питання, зайнятися обчисленнями, розглянути практичне застосування цієї теми у нашому повсякденному житті. І не можна ніколи забувати про те, як ми міркуємо, аналізуємо, будуємо логічні ланцюжки. Наша мова завжди має бути грамотною правильною.

Кожен з вас на столі має аркуш самоконтролю. Протягом усього уроку не забувайте відзначати знаком «+» свій внесок у цей урок.

Вчитель задає домашнє завдання, прокоментувавши його:

№1026(а,б) №1019(в,г); додатково - №1046(а)

2. Актуалізація знань, умінь, навичок

1) Перш ніж почнемо виконувати практичні завдання, звернемося до теорії.

Вчитель озвучує початок визначення, а учні мають завершити формулювання

а) Нерівністю з однією змінною називається нерівність виду ах>в, ах<в;

б) Вирішити нерівність - означає знайти всі її рішення або довести, що рішень немає;

в) Розв'язанням нерівності з однією змінною називається значення змінної, що звертає їх у правильну нерівність;

г) Нерівності називаються рівносильними, якщо вони збігаються безлічі рішень. Якщо вони не мають рішень, то вони теж називаються рівносильними

2) На дошці нерівності з однією змінною, що розташовані в один стовпчик. А поряд в інший стовпчик вписано їх рішення у вигляді числових проміжків. Завдання учнів - встановити відповідність між нерівностями та відповідними проміжками.

Встановити відповідність між нерівностями та числовими проміжками:

1. 3x > 6 а) (-∞; - 0,2]

2. -5х ≥ 1 б) (- ∞ ; 15)

3. 4х > 3 в) (2; + ∞)

4. 0,2х< 3 г) (0,75; + ∞)

3) Практична роботау зошити із самоперевіркою.

На дошці учням написано лінійну нерівність із однією змінною. Виконавши яке один із учнів озвучує свої рішення та виправляються допущені помилки)

Розв'яжіть нерівність:

4 (2х - 1) - 3(х + 6) > х;

8х - 4 - 3х - 18> х;

8х - 3х - х > 4 +18;

4х > 22;

х > 5,5.

Відповідь. (5,5; +∞)

3. Практичне застосування нерівностей у повсякденному житті (хімічний досвід)

Нерівності в нашому повсякденному житті можуть стати добрими помічниками. І крім того, звичайно ж існує нерозривний зв'язок між шкільними предметами. Математика йде пліч-о-пліч не тільки з російською мовою, але і з хімією.

(На кожній парті еталонна шкала для водневого показника pH в межах від 0 до 12)

Якщо показник 0 ≤ pH< 7, то среда кислая;

якщо показник pH = 7, то середовище нейтральне;

якщо показник 7< pH ≤ 12, то среда щелочная

Вчитель наливає в різні пробірки 3 безбарвні розчини. З курсу хімії учням пропонується згадати види середовища розчину (кисле, нейтральне, лужне). Далі дослідним шляхом, залучаючи учнів, визначається середовище кожного із трьох розчинів. Для цього кожен розчин опускається універсальний індикатор. Відбувається таке: кожен індикатор забарвлюється у відповідний колір. І по колірній гамі, завдяки еталонній шкалі, учні встановлюють середовище кожного із запропонованих розчинів.

Висновок:

1 індикатор забарвився у червоний колір, показник 0 ≤ pH< 7, значит среда первого раствора кислая, т.е. имеем кислоту в 1пробирке

2 індикатор забарвився в зелений колір, показник pH = 7, значить середовище другого розчину нейтральна, тобто у нас була вода у 2 пробірці

3 індикатор забарвився у синій колір, показник 7< pH ≤ 12 , значит среда третьего раствора щелочная, значит в 3 пробирке была щелочь

Знаючи межі показника pH можна визначити рівень кислотності ґрунту, мила, багатьох косметичних засобів.

Продовження актуалізації знань, умінь, навичок.

1) Знову вчитель починає формулювання визначень, а учні мають завершити їх

Продовжити визначення:

а) Вирішити систему лінійних нерівностей – отже знайти її рішення чи довести, що їх немає

б) Розв'язанням системи нерівностей з однією змінною називається значення змінної, при якому правильна кожна з нерівностей

в) Щоб вирішити систему нерівностей з однією змінною потрібно знайти розв'язання кожної нерівності, і знайти перетин цих проміжків

Вчитель знову нагадує учням про те, що вміння вирішувати лінійні нерівності з однією змінною та їх систем є основою, базою для складніших нерівностей, які належить вивчити у старших класах. Закладається фундамент знань, міцність якого має бути підтверджена на ОДЕ з математики після 9 класу.

Учні письмово у зошити вирішують системи лінійних нерівностей із однією змінною. (2 учні виконують ці завдання на дошці, пояснюють своє рішення, озвучують властивості нерівностей, використані під час вирішення систем).

№1012(д). Розв'яжіть систему лінійних нерівностей

0,3 х+1< 0,4х-2;

1,5х-3> 1,3х-1. Відповідь. (30; + ∞).

№1028 (р). Розв'яжіть подвійну нерівність і вкажіть усі цілі числа, які є її вирішенням

1 < (4-2х)/3 < 2 . Ответ. Целое число: 0

2) Вирішення нерівностей, що містять змінну під знаком модуля.

Практика показує, що нерівності, що містять змінну під знаком модуля, викликають у учнів тривогу, невпевненість у собі. І часто за такі нерівності учні просто не беруться. А причиною тому є неякісно закладений фундамент. Вчитель налаштовує учнів те що, щоб вони своєчасно попрацювали з себе, засвоїли послідовно всі кроки успішного виконання цих нерівностей.

Проводиться усна робота. (Фронтальне опитування)

Розв'язання нерівностей, що містять змінну під знаком модуля:

1. Модулем числа х називається відстань від початку відліку до крапки з координатою х.

| 35 | = 35,

| - 17 | = 17,

| 0 | = 0

2. Вирішити нерівності:

а) | х |< 3 . Ответ. (-3 ; 3)

б) | х | >2. Відповідь. (- ∞; -2) U (2; +∞)

На екран докладно виводиться хід розв'язання даних нерівностей та промовляється алгоритм розв'язання нерівностей, що містять змінну під знаком модуля.

4. Самостійна робота

З метою контролю ступеня засвоєння цієї теми 4 учні займають місця за моноблоками та проходять тематичне онлайн-тестування. Час тестування – 15 хвилин. Після виконання здійснюється самоперевірка як у балах, так і процентному співвідношенні.

Інші учні за партами виконують поваріантно самостійну роботу

Самостійна робота (час виконання 13хв)

Варіант 1

Варіант 2

1. Розв'яжіть нерівності:

а) 6+х< 3 - 2х;

б) 0,8(х-3) - 3,2 ≤ 0,3(2 - х).

3(х+1) - (х-2)< х,

2> 5х - (2х-1).

-6 < 5х - 1 < 5

4*. (Додатково)

Розв'яжіть нерівність:

| 2-2х | ≤ 1

1. Розв'яжіть нерівності:

а) 4+х< 1 - 2х;

б) 0,2 (3х - 4) - 1,6 ≥ 0,3 (4-3х).

2. Розв'яжіть систему нерівностей:

2(х+3) - (х - 8)< 4,

6х > 3(х+1)-1.

3. Розв'яжіть подвійну нерівність:

-1 < 3х - 1 < 2

4*. (Додатково)

Розв'яжіть нерівність:

| 6х-1 | ≤ 1

Після виконання самостійної роботи учні здають зошити на перевірку. Учні, які працювали за моноблоками, теж здають зошити на перевірку вчителю.

5. Рефлексія

Вчитель нагадує учням про аркуші самоконтролю, у яких вони мали протягом усього уроку, різних його етапах, оцінювати свою роботу знаком «+».

Але основну оцінку своєї діяльності учням належить поставити тільки зараз, після озвучення однієї давньої казки.

Притча.

Ішов мудрець, а назустріч йому – 3 особи. Вони під гарячим сонцем для будівництва храму везли візки з камінням.

Мудрець зупинив їх і спитав:

- Що ви робили цілий день?

- Возив прокляте каміння, - відповів перший.

- Я сумлінно виконував свою роботу, - відповів другий.

- А я брав участь у будівництві храму, - гордо відповів третій.

У аркуші самоконтролю, у пункті №3 учні повинні вписати фразу, яка б відповідала їхнім діям на цьому уроці.

Лист самоконтролю __________________________________________

№ п / п

Етапи уроку

Оцінка навчальної діяльності

Усна робота на уроці

Практична частина:

Вирішення нерівностей з однією змінною;

розв'язання систем нерівностей;

вирішення подвійних нерівностей;

розв'язання нерівностей зі знаком модуля

Рефлексія

У пунктах 1 та 2 вірні відповіді на уроці відзначати знаком «+»;

у пункті 3 оцінити свою роботу на уроці згідно з інструкцією

6. Підсумки уроку.

Вчитель підбиваючи підсумки уроку відзначає успішні моменти та проблеми, над якими належить провести додаткову роботу.

Учням пропонується оцінити свою роботу згідно з листами самоконтролю, і ще за однією оцінкою отримують учні за результатами самостійної роботи.

Наприкінці уроку понукач звертає увагу учнів на слова французького вченого Блеза Паскаля: «Велич людини-в його здатності мислити».

Список літератури:

1 . Алгебра. 8 клас. Ю.М.Макаричов, Н.Г. Міндюк, К.Є. Нешков, І.Є.Феоктистів.-М.:

Мнемозина, 2012

2. Алгебра.8 клас. Дидактичні матеріали. Методичні рекомендації / І. Є. Феоктистів.

2-ге видання., стер.-М.: Мнемозіна, 2011

3. Контрольно-вимірювальні матеріали. Алгебра: 8клас / Упорядник Л.І. Мартишова.-

М: ВАКО, 2010

Інтернет ресурси:

Тема уроку «Розв'язання нерівностей та їх систем» (математика 9 клас)

Тип уроку:урок систематизації та узагальнення знань та умінь

Технологія уроку:технологія розвитку критичного мислення, диференційоване навчання, ІКТ-технології

Мета уроку: повторити та систематизувати знання про властивості нерівностей та методи їх вирішення, створити умови для формування умінь застосовувати ці знання при вирішенні стандартних та творчих завдань.

Завдання.

Освітні:

сприяти розвитку умінь учнів узагальнювати отримані знання, проводити аналіз, синтез, порівняння, робити необхідні висновки

організувати діяльність учнів із застосування отриманих знань практично

сприяти розвитку умінь застосовувати отримані знання у нестандартних умовах

Розвиваючі:

продовжити формування логічного мислення, уваги та пам'яті;

удосконалювати навички аналізу, систематизації, узагальнення;

створення умов, які забезпечують формування в учнів навичок самоконтролю;

сприяти оволодінню необхідними навичками самостійної навчальної діяльності.

Виховні:

виховувати дисциплінованість та зібраність, відповідальність, самостійність, критичне ставлення до себе, уважність.

Заплановані освітні результати.

Особистісні:відповідальне ставлення до навчання та комунікативна компетентність у спілкуванні та співпраці з однолітками у процесі освітньої діяльності.

Пізнавальні:вміння визначати поняття, створювати узагальнення, самостійно вибирати підстави та критерії для класифікації, будувати логічну міркувань, робити висновки;

Регулятивні:вміння визначати потенційні труднощі при вирішенні навчальної та пізнавальної задачі та знаходити засоби для їх усунення, виконувати оцінку своїх досягнень

Комунікативні:вміння висловлювати судження з використанням математичних термінів та понять, формулювати питання та відповіді у ході виконання завдання, обмінюватися знаннями між членами групи для прийняття ефективних спільних рішень.

Основні терміни, поняття:лінійна нерівність, квадратна нерівність, система нерівностей.

Устаткування

Проектор, ноутбук вчителя, кілька нетбуків для учнів;

презентація;

Картки з основними знаннями та вміннями на тему уроку (додаток 1);

Картки із самостійною роботою (додаток 2).

План уроку

Список використаної літератури: Алгебра.Підручник для 9 класу. / Ю.Н.Макричев, Н.Г.Міндюк, К.І.Нешков, С.Б.Суворова. - М: Просвітництво, 2014