Розв'язання вправ на тему скорочення дробів. Скорочення дробів

Хід уроку (28.09.16)

Тема: скорочення дробів

Ціль: вивести правило скорочення дробів, використовуючи ознаки подільності чисел та основної властивості дробу, та вміти застосовувати його на практиці.

Завдання:

4. Формувати вміння працювати індивідуально, у парах, аргументувати та відстоювати свою думку

I Організаційний момент

Доброго ранку хлопці! Я рада вас бачити у гарному настрої. У нас сьогодні є багато гостей. Постараємося показати наші знання та вміння.

II Актуалізація знань

1. Що називається дільником числа a?

2. Що називається НОД чисел a та b?

3. Які числа називаються взаємно простими?

5. Ознаки подільності на 2, 5, 10, 3, 9.

6. Сформулюйте основну властивість дробу.

7. Назвіть кілька дробів, рівних даним:

Використовуючи основну властивість дробу, виконайте графічний диктант.

Відповідь "так" відповідає +, відповідь "ні" відповідає - .

+ - - + + - - +

Взаємоперевірка

Критерії

8 завдань 3 бали

6-7 завдань 2 бали

4-5 завдань 1 бала

менше 4 завдань 0 балів

III Первинне сприйняття навчального матеріалу

Резервуар басейну заповнюють дві труби. Одна труба наповнюєбасейну за годину, а інша. Яка із труб пропускає води більше?

Завдання

I т. - басейну за годину

II т. - басейну за годину

Хто труба пропускає більше води?

Про що йдеться у завданні?

Скільки труб наповнюють басейн?

Що в задачі йдеться про труби?

Що треба знайти?

Що для цього треба знати?

Два учні біля дошки

= = (б) за одну годину I труба

2) = = (б) за одну годину II труба

Відповідь: ІІ труба пропускає більше води.

- Чи могли ми відразу порівняти два дроби... без перетворень?

– А порівняти два дроби з однаковими знаменниками?

– Як ми отримали рівні дроби, але з однаковими знаменниками?

– Яку властивість для цього використали?

IV Визначення теми уроку

– Отже, ми з вами застосували основну властивість дробу, замінили дроби на рівні ним шляхом розподілу чисельника та знаменника на одне й те саме число.

Вийшов дріб, значення якого дорівнює даного дробу, але з меншим чисельником і знаменником

Таке перетворення називають…. СКОРОЧЕННЯМ ДРОБІВ

– Тема нашого уроку "Скорочення дробів". Запишіть її у зошит.

– Розповідь про застосування поняття «скорочення».

V Постановка мети уроку

– А тепер спробуйте сформулювати мету нашого уроку, з чим ми маємо познайомитися та чого навчитися на уроці.

Ставимо перед собоюмета:

Вчиться скорочувати дроби, використовуючи ознаки ділимості чисел та основної властивості дробу.

Завдання

1. Сформулювати правило скорочення дробів

2. Ввести поняття нескоротного дробу

3. Навчитися застосовувати ці правила на практиці

– Як отримали відповідь?

– Спробуймо сформулювати правило, що таке скорочення дробів і як скоротити дріб.

– Молодці!

– Тепер відкрийте підручник на стор. 39, прочитайте правило (запишіть його у зошит)

VI Перевірка розуміння учнями нового матеріалу

= = пояснює вчитель

Виводимо алгоритм скорочення дробу: 12/18

Тепер застосуємо наші нові знання на практиці. Скоротити дроби, коментуючи, працюємо за варіантами:

– Завдання вирішуватимемо самостійно, до дошки підуть дві людини та виконуватимуть завдання на дошці, потім ми разом все перевіримо.

____________________________________________________________________________

- Подивіться на слайд, скоротить дріб, якщо це можливо:

– У яких із цих дробів чисельник та знаменник дробу – взаємно прості числа?

– Чому дорівнює в цьому випадку НОД чисельника та знаменника?

– Правильно, 1. Значить, спільних дільників, крім 1, ці цифри не мають, і такий дріб скоротити не можна. Вона так і називається – нескоротна.

– Спробуйте сформулювати визначення нескоротного дробу.

(Якщо чисельник і знаменник дробу взаємно прості числа, їх НОД дорівнює 1 і такий дріб нескоротна.)

VII Закріплення

Тест, самооцінка, критерії

VIII Підбиття підсумків уроку

Підходить до завершення наш урок, настав час підбити підсумки.

Запишіть домашнє завдання:

– Що означає скоротити дріб?

- Що змінюється при скороченні дробу?

- Який дріб називається нескоротним?

– Поставте оцінку за урок.

IХ Рефлексія

Про що ми сьогодні говорили?

Яку мету ми поставили сьогодні?

Чи ми досягли цієї мети?

Чи все було зрозуміло?

Урок закінчено! Ви всі молодці! Дякую за роботу!

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Самоаналіз уроку Скорочення дробів 6 клас

Тема уроку: Скорочення дробів Мета уроку: вивести правило скорочення дробів, використовуючи основну властивість дробу та ознаки ділимості чисел

Завдання: формулювати правило скорочення дробів у вести поняття нескоротного дробу навчитися застосовувати ці правила на практиці

Етапи уроку Заплановані результати Організаційний момент Створити сприятливий психологічний настрій Актуалізація знань Учні вміють відповідати на поставлені питання, знають правила основної властивості дробу, вміють його застосовувати Визначення теми уроку , що підводить до нової теми Постановка мети уроку Учні формулюють мету уроку, розуміють практичну значущість матеріалу, що вивчається

Етапи уроку Заплановані результати Первинне сприйняття та засвоєння нового навчального матеріалу Забезпечення сприйняття, осмислення та первинного запам'ятовування матеріалу, що вивчається Перевірка розуміння учнями нового матеріалу Виявлення якості та рівня засвоєння матеріалу Включення нового матеріалу в систему раніше засвоєних знань Учні вміють скорочувати дроби

Етапи уроку Заплановані результати Закріплення нового матеріалу Вміють скорочувати дроби Домашнє завдання Забезпечення розуміння дітьми мети, змісту та способів виконання домашнього завдання Підсумок уроку Рефлексія діяльності Дати якісну оцінку роботи класу та окремих учнів.

Дякую за увагу!

Щоб висловити частину в частках цілого, частину потрібно розділити на ціле.

Завдання 1.У класі 30 учнів відсутні четверо. Яка частина учнів відсутня?

Рішення:

Відповідь:у класі немає учнів.

Знаходження дробу від числа

Для вирішення завдань, в яких потрібно знайти частину цілого, справедливо наступне правило:

Якщо частина цілого виражена дробом, те щоб знайти цю частину, можна поділити на знаменник дробу і результат помножити на її чисельник.

Завдання 1.Було 600 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей витратили?

Рішення:щоб знайти від 600 рублів, треба цю суму розділити на 4 частини, тим самим ми дізнаємося, скільки грошей складає одна четверта частина:

600: 4 = 150 (р.)

Відповідь:витратили 150 рублів.

Завдання 2.Було 1000 рублів, цю суму витратили. Скільки грошей було витрачено?

Рішення:з умови завдання ми знаємо, що 1000 рублів складається із п'яти рівних частин. Спочатку знайдемо скільки рублів становить одна п'ята частина від 1000, а потім дізнаємось скільки рублів складають дві п'ятих:

1) 1000: 5 = 200 (р.) – одна п'ята частина.

2) 200 · 2 = 400 (р.) - Дві п'ятих частини.

Ці дві дії можна поєднати: 1000: 5 · 2 = 400 (р.).

Відповідь:було витрачено 400 рублів.

Другий спосіб знаходження частини цілого:

Щоб знайти частину цілого, можна помножити ціле на дріб, що виражає цю частину цілого.

Завдання 3.За статутом кооперативу, для правомочності звітних зборів у ньому має бути щонайменше членів організації. У кооперативі 120 членів. За якого складу можуть відбутися звітні збори?

Рішення:

Відповідь:Звітні збори можуть відбутися за наявності 80 членів організації.

Знаходження числа з його дробу

Для вирішення завдань, в яких потрібно знайти ціле в його частині, справедливо таке правило:

Якщо частина цілого, що шукається, виражена дробом, то щоб знайти це ціле, можна цю частину розділити на чисельник дробу і результат помножити на її знаменник.

Завдання 1.Витратили 50 рублів, це становило від початкової суми. Знайдіть початкову суму.

Рішення:з опису завдання бачимо, що 50 рублів у 6 разів менше початкової суми, т. е. первісна сума у ​​6 разів більше, ніж 50 рублів. Щоб знайти цю суму, треба 50 помножити на 6:

50 · 6 = 300 (р.)

Відповідь:первісна сума – 300 рублів.

Завдання 2.Витратили 600 рублів, це становило від початкової суми грошей. Знайдіть початкову суму.

Рішення:будемо вважати, що число, що шукається, складається з трьох третіх часток. За умовою дві третини числа дорівнюють 600 рублів. Спочатку знайдемо одну третину від початкової суми, а потім скільки рублів становлять три треті (первісна сума):

1) 600: 2 · 3 = 900 (р.)

Відповідь:первісна сума – 900 рублів.

Другий спосіб знаходження цілого з його частини:

Щоб знайти ціле за величиною частину, що виражає його, можна розділити цю величину на дріб, що виражає цю частину.

Завдання 3.Відрізок AB, рівний 42 см, становить довжину відрізка CD. Знайти довжину відрізка CD.

Рішення:

Відповідь:довжина відрізка CD 70 см.

Завдання 4.До магазину привезли кавуни. До обіду магазин продав, після обіду - привезених кавунів, і залишилося продати 80 кавунів. Скільки всього кавунів привезли до магазину?

Рішення:спочатку дізнаємося, яку частину від привезених кавунів становить число 80. Для цього приймемо за одиницю загальну кількість привезених кавунів та віднімемо з неї ту кількість кавунів, яку вдалося реалізувати (продати):

І так, ми дізналися, що 80 кавунів складає від загальної кількості кавунів. Тепер дізнаємось скільки кавунів від загальної кількості становить , а потім скільки кавунів складають (кількість привезених кавунів):

2) 80: 4 · 15 = 300 (кавунів)

Відповідь:Загалом у магазин привезли 300 кавунів.

Клас: 6

Тип уроку:урок повторення, узагальнення та систематизації знань.

Цілі уроку:

Цей урок останній у темі «Скорочення дробів» і спрямований на досягнення наступних цілей:

Пізнавальні:

• систематизувати знання на тему «скорочення дробів»;
• домогтися навички скорочення дробів кожним учням класу;
• перевірити наявність вищеназваної навички;
• повторити на матеріалі тему «швидкість, час, відстань»
• повторити переклад одиниць виміру маси, часу, довжини.
• повторити поняття прямого та розгорнутого кута
• застосувати учнями знання про скорочення дробів у стандартних та нестандартних ситуаціях.

Розвиваючі:

• розвиток математичної мови («скорочую на множник…», «числитель і знаменник поділяються на….»), культури читання дробів;
• формування вміння будувати аналогії.

Виховують:

• розвиток зібраності та акуратності;
• розвиток вміння слухати інших і водночас вміння відстоювати свою думку.

Обладнання для організації уроку:комп'ютер, мультимедійний проектор;

Для підвищення інтересу до предмета урок підготовлений з використанням ІКТ у вигляді презентації Power point.

Структура уроку:

1. Організаційний момент, збір зошитів з домашньою роботою (2 хв.)
2. Повідомлення теми та мети уроку (1 хв.)
3. Усна робота (6 хв.)
4. Узагальнення та систематизація знань за темою та їх застосування у стандартній ситуації та нестандартній ситуації (13 хв.)
5. Математичний диктант (13 хв.)
6. Повторення матеріалу 5 кл. (7 хв.)
7. Підбиття підсумків уроку (2 хв.)
8. Постановка домашнього завдання (1 хв.)

Хід уроку

Урок підготовлений у вигляді презентації Power point (додаток)

I. Організаційний момент.Повідомлення теми уроку.

ІІ. Усний рахунок

1. Машиністка виконала роботу за 7 днів. Яку частину роботи вона виконає протягом 1 дня? (1/7)
2. Туристи від бази до озера йшли 4 години зі швидкістю 6 км/год.
   А) Яка відстань від бази до озера? (24 км)
   Б) З якою швидкістю вони йшли назад, якщо шлях назад зайняв 3 години? (8 км/год)
3. За підручником №253(а, б) (автор Н.Я. Віленкін).

Примітка: Нескладний обчислювальний матеріал усного рахунку дозволяє краще сконцентруватися на суті питань та швидко перейти до закріплення вивченого матеріалу на тему «скорочення дробів».

ІІІ. Повторення вивченого матеріалу

Самостійне рішення із самоперевіркою в режимі он-лайн на комп'ютері.

IV. Динамічна пауза

V. Математичний диктант

Скоротіть дріб:

Яку частку

1. однієї тонни становлять два центнери (одного кілометра становлять двісті метрів)
2. однієї години становлять десять хвилин (однієї хвилини становлять п'ятнадцять секунд)
3. величини прямого кута становлять тридцять градусів (величини розгорнутого кута становлять тридцять градусів)

Чи правильне висловлювання:

VI. Повторення матеріалу 5 класу. Робота над завданняміз підручника.

№267(1). Робота з дошкою.

• Прочитайте завдання.
• Зробіть короткий запис.

• Як дізнатися швидкість проти течії?
• З якою швидкістю рухався пліт?
• Що відомо про шлях, пройдений туди і шлях, пройдений назад?
• Що можна дізнатися однією дією?

(24-3)*3=63 (км) довжина колії
63:3=21 (год) час руху на плоту

Відповідь: 21 год.

VII. Підсумки уроку.

• У чому полягає основна властивість дробу?
• Що означає скоротити дріб?
• Наведіть приклади скоротливих та нескоротних дробів.

VIII. Домашня робота

№266; 270; 274(б); 267(2).

Список літератури:

1. ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ МІСТА МОСКВИ МОСКОВСЬКИЙ ІНСТИТУТ ВІДКРИТОЇ ОСВІТИ
   ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ У 2009/2010 НАВЧАЛЬНОМУ РОКУ Методичний лист
   За редакцією І.В. Ященко, О.В. Семенова. Москва. МІОО. ВАТ "Московські підручники", 2009.
2. Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. Математика 6 клас, підручник, частина 1. ВАТ "Московські підручники", 2006.
3. В.В. Виговська. Поурочні розробки з математики 6 клас. Москва, Вако, 2009.
4. В.І. Жохів. Математичні диктанти 6кл., Москва, "Росмен", 2003.

Ця стаття продовжує тему перетворення алгебраїчних дробів: розглянемо таку дію як скорочення дробів алгебри. Дамо визначення самому терміну, сформулюємо правило скорочення та розберемо практичні приклади.

Сенс скорочення алгебраїчного дробу

У матеріалах про звичайний дроб ми розглядали її скорочення. Ми визначили скорочення звичайного дробу як розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник.

Скорочення дробу алгебри являє собою аналогічну дію.

Визначення 1

Скорочення алгебраїчного дробу– це розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. При цьому, на відміну від скорочення звичайного дробу (загальним знаменником може бути тільки число), загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може служити многочлен, зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчна дріб 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 може бути скорочена на число 3, в результаті отримаємо: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Цей же дріб ми можемо скоротити на змінну х, і це дасть нам вираз 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Також заданий дріб можна скоротити на одночлен 3 · xабо будь-який з багаточленів x + 2 · y, 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y або 3 · x 2 + 6 · x · y.

Кінцевою метою скорочення алгебраїчного дробу є дріб простішого виду, у кращому випадку – нескоротний дріб.

Чи всі дроби алгебри підлягають скороченню?

Знову ж таки з матеріалів про звичайні дроби ми знаємо, що існують скорочені і нескоротні дроби. Нескоротні – це дроби, які мають загальних множників чисельника і знаменника, відмінних від 1 .

З алгебраїчними дробами так само: вони можуть мати спільні множники чисельника і знаменника, можуть і не мати. Наявність загальних множників дозволяє спростити вихідний дріб за допомогою скорочення. Коли спільних множників немає, оптимізувати заданий дріб способом скорочення неможливо.

У загальних випадках за заданим видом дробу досить складно зрозуміти, чи підлягає вона скороченню. Звичайно, в деяких випадках наявність загального множника чисельника та знаменника очевидна. Наприклад, в алгебраїчному дробі 3 · x 2 3 · y зрозуміло, що загальним множником є ​​число 3 .

У дробі - x · y 5 · x · y · z 3 також ми відразу розуміємо, що скоротити її можливо на х, або y, або на х · y. І все ж таки набагато частіше зустрічаються приклади алгебраїчних дробів, коли загальний множник чисельника і знаменника не так просто побачити, а ще частіше - він просто відсутній.

Наприклад, дріб x 3 - 1 x 2 - 1 ми можемо скоротити на х - 1 при цьому зазначений загальний множник у записі відсутній. А ось дріб x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 піддати дії скорочення неможливо, оскільки чисельник і знаменник не мають спільного множника.

Таким чином, питання з'ясування скоротливості алгебраїчного дробу не таке просте, і найчастіше простіше працювати з дробом заданого виду, ніж намагатися з'ясувати, чи вона скоротлива. При цьому мають місце такі перетворення, які в окремих випадках дозволяють визначити загальний множник чисельника і знаменника або зробити висновок про нескоротність дробу. Розглянемо детально це питання у наступному пункті статті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Правило скорочення алгебраїчних дробівскладається з двох послідовних дій:

• знаходження загальних множників чисельника та знаменника;
• у разі знаходження таких здійснення безпосередньо впливу скорочення дробу.

Найзручнішим методом відшукання загальних знаменників є розкладання на множники многочленів, що у чисельнику і знаменнику заданої алгебраїчної дробу. Це дозволяє відразу побачити наявність чи відсутність загальних множників.

Саме вплив скорочення алгебраїчної дробу виходить з основному властивості алгебраїчної дробу, що виражається рівністю undefined , де a , b , c – деякі многочлены, причому b і c – ненульові. Першим кроком дріб наводиться до вигляду a · c b · c, в якому ми відразу помічаємо загальний множник c. Другим кроком – виконуємо скорочення, тобто. перехід до дробу виду a b.

Характерні приклади

Незважаючи на певну очевидність, уточнимо про окремий випадок, коли чисельник і знаменник алгебраїчної дробу рівні. Подібні дроби тотожно рівні 1 на всій ОДЗ змінних цього дробу:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Оскільки звичайні дроби є окремим випадком алгебраїчних дробів, нагадаємо, як здійснюється їх скорочення. Натуральні числа, записані в чисельнику та знаменнику, розкладаються на прості множники, потім загальні множники скорочуються (якщо є).

Наприклад, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Добуток простих однакових множників можна записати як ступеня, і в процесі скорочення дробу використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами. Тоді вищезгадане рішення було б таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель та знаменник розділені на загальний множник 2 2 · 3). Або для наочності, спираючись на властивості множення та поділу, вирішенню дамо такий вигляд:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

За аналогією здійснюється скорочення алгебраїчних дробів, у яких у чисельнику та знаменнику є одночлени з цілими коефіцієнтами.

Приклад 1

Задано алгебраїчну дріб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необхідно зробити її скорочення.

Рішення

Можливо записати чисельник та знаменник заданого дробу як добуток простих множників та змінних, після чого здійснити скорочення:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однак, раціональнішим способом буде запис рішення у вигляді виразу зі ступенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Відповідь:- 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Коли в чисельнику і знаменнику алгебраїчної дробу є дробові числові коефіцієнти, можливо два шляхи подальших дій: або окремо здійснити поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на якесь натуральне число. Останнє перетворення проводиться в силу основної якості алгебраїчної дробу (про нього можна почитати в статті «Приведення дробу алгебри до нового знаменника»).

Приклад 2

Задано дроб 2 5 · x 0, 3 · x 3 . Необхідно здійснити її скорочення.

Рішення

Можливо скоротити дріб таким чином:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Спробуємо вирішити завдання інакше, попередньо позбавившись дробових коефіцієнтів – помножимо чисельник і знаменник на найменше загальне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто. на НОК (5, 10) = 10 . Тоді отримаємо:

2 5 · x 0, 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Відповідь: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Коли ми скорочуємо алгебраїчні дроби загального виду, у яких чисельники і знаменники можуть бути як одночленами, і многочленами, можлива проблема, коли загальний множник який завжди відразу видно. Або більше, він просто не існує. Тоді для визначення загального множника або фіксації факту про його відсутність чисельник і знаменник дробу алгебри розкладають на множники.

Приклад 3

Задано раціональний дріб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Потрібно її скоротити.

Рішення

Розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Здійснимо винесення за дужки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Ми бачимо, що вираз у дужках можна перетворити з використанням формул скороченого множення:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Добре помітно, що можна скоротити дріб на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо скорочення:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Коротке рішення без пояснень запишемо як ланцюжок рівностей:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Відповідь: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Трапляється, що загальні множники приховані числовими коефіцієнтами. Тоді при скороченні дробів оптимально числові множники при старших ступенях чисельника та знаменника винести за дужки.

Приклад 4

Дано алгебраїчну дріб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необхідно здійснити її скорочення, якщо це можливо.

Рішення

На погляд у чисельника і знаменника немає спільного знаменника. Однак спробуємо перетворити заданий дріб. Винесемо за дужки множник х у чисельнику:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Тепер видно певну схожість виразу в дужках і виразу в знаменнику за рахунок x 2 · y . Винесемо за дужку числові коефіцієнти при старших ступенях цих багаточленів:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Тепер стає видно загальний множник, здійснюємо скорочення:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Відповідь: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x.

Зробимо акцент на тому, що навичка скорочення раціональних дробів залежить від уміння розкладати багаточлени на множники.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Скорочення дробів тема досить складна для математики 6 класу, тому розбирати її варто поетапно. Щоб не припускатися помилок, перші скорочення краще робити так само, поетапно. Наведемо алгоритм, щоб не припускатися помилок і навчиться швидко і просто скорочувати будь-які дроби.

Алгоритм скорочення дробів.

Спочатку слід сказати, що саме скорочення дробів можливе завдяки одному з визначень дробу.

Дроб – це незавершена операція поділу. Мається на увазі, що завжди будь-який дріб можна замінити на приватний. Заміна дробом потрібна, щоб зберегти точність обчислень.

Подивимося, як виглядає докладне скорочення з прикладу:

$$(25\over(40))=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$

Щоб щоразу не розписувати – це вираз, можна скористатися правилом скорочення дробів: якщо помножити чи розділити знаменник одне й те саме число, то значення дробу не зміниться.

Тепер запишемо сам алгоритм. Для того, щоб скоротити дріб потрібно:

• Уявити чисельник і знаменник у вигляді простих множників.
• Скоротити кожен із рівних простих множників.
• Перемножити залишки і записати результат.

Замість того, щоб розписувати в якості множників чисельник і знаменник, можна просто знайти НОД чисельника та знаменника. Це і буде максимально можливе число, на яке можна розділити обидва значення.

Спеціальної формули для скорочення будь-якого дробу не існує, проте можна використовувати правила, наведені в цьому алгоритмі.

Як знайти НОД?

Згадаймо, як знаходиться НОД:

• Перший крок - це розкладання числа на прості множники.
• У розкладанні шукаються загальні прості числа та виписуються в окремий вираз.
• Значення, що вийшло, і є НОД.

Наведемо приклад.
Необхідно знайти НОД чисел 150 та 294.

приклад

Наведемо приклад скорочення дробів. Для цього спрости дріб $(513216\over(145152))$. Для прикладу спеціально вибрані великі числа, щоб показати, як найбільше може стати маленьким в результаті спрощення.

Ми не шукатимемо НОД, розкладемо числа на прості множники і знайдемо загальні значення.

513216:2=256608 - насамперед число ділиться на 2. Щоб число ділилося на два, потрібно, щоб число одиниць було парним.

256608:2=128304 - розподіл на 2 триває до моменту, коли остання цифра числа перестане бути парною. Після цього пробуємо ділити число на 3 та інші прості числа. Усі прості числа є у таблиці простих чисел.

Запишемо результат розкладання: 513216 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 11 - всього вийшло 6 чисел 3, 6 чисел 2 і число 11. Таким же чином розкладемо 145152 .

Запишемо результати:

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*7 - всього 8 чисел 2, 4 числа 3 та одне число 7.

В обох числах потрібно скоротити 6 чисел 2 і 4 числа 3. Запишемо чисельник, що вийшов. У ньому залишаться числа: 2 числа 3 та число 11

Запишемо знаменник, що вийшов. У ньому залишаться числа: 2 числа два та число 7

Внаслідок скорочення вийшов дріб:

$(99\over(28))$ - за бажання можна виділити цілу частину. Але, якщо цього не потрібно за умови завдання, то допускається залишити відповідь у такому вигляді.

Що ми дізналися?

Ми поговорили про скорочення дробів. Дізналися, чому скорочення можливе. З'ясували, як правильно робити скорочення. Навели алгоритм скорочення та два способи проведення операції. Розглянули приклад скорочення дробів.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.5. Усього отримано оцінок: 74.