Розв'язання задач за допомогою формули повної ймовірності та формули байєсу. Формула повної ймовірності та формули байєсу

Сибірський державний університет телекомунікацій та інформатики

Кафедра вищої математики

з дисципліни: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

«Формула повної ймовірності та формула Бейєса(Байєса) та їх застосування»

Виконав:

Керівник: професор Б.П.Зеленцов

Новосибірськ, 2010

Вступ 3

1. Формула повної ймовірності 4-5

2. Формула Баєса (Бейєса) 5-6

3. Завдання з рішеннями 7-11

4. Основні сфери застосування формули Байєса (Бейєса) 11

Висновок 12

Література 13

Вступ

Теорія ймовірностей одна із класичних розділів математики. Вона має тривалу історію. Основи цього розділу науки було закладено великими математиками. Назву, наприклад, Ферма, Бернуллі, Паскаля.
Пізніше розвиток теорії ймовірностей визначилися на роботах багатьох учених.
Великий внесок у теорію ймовірностей зробили вчені нашої країни:
П.Л.Чебишев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.М.Колмогоров. Імовірнісні та статистичні методи в даний час глибоко проникли у додатки. Вони використовуються у фізиці, техніці, економці, біології та медицині. Особливо зросла їх у зв'язку з розвитком обчислювальної техніки.

Наприклад, вивчення фізичних явищ проводять спостереження чи досліди. Їхні результати зазвичай реєструють у вигляді значень деяких спостережуваних величин. При повторенні дослідів виявляємо розкид їх результатів. Наприклад, повторюючи вимірювання однієї і тієї ж величини одним і тим же приладом при збереженні певних умов (температура, вологість тощо), ми отримуємо результати, які хоч трохи, але все ж таки відрізняються один від одного. Навіть багаторазові виміри не дають змоги точно передбачити результат наступного виміру. У цьому сенсі кажуть, що результат виміру є випадковою. Ще більш наочним прикладом випадкової величини може бути номер виграшного квитка в лотереї. Можна навести багато інших прикладів випадкових величин. Все ж таки у світі випадковостей виявляються певні закономірності. Математичний апарат вивчення таких закономірностей і дає теорія ймовірностей.
Отже, теорія ймовірностей займається математичним аналізом випадкових подій пов'язаних із нею випадкових величин.

1. Формула повної ймовірності.

Нехай є група подій H 1 ,H 2 ,..., H n, що має наступні властивості:

1) всі події попарно несумісні: H i

2) їхнє об'єднання утворює простір елементарних результатів W:

У цьому випадку говоритимемо, що H 1 , H 2 ,...,H nутворюють повну групу подій. Такі події іноді називають гіпотезами .

Нехай А- Деяка подія: АÌW (діаграма Венна представлена ​​малюнку 8). Тоді має місце формула повної ймовірності:

P (A) = P (A /H 1)P (H 1) + P (A /H 2)P (H 2) + ...+P (A /H n)P (H n) =

Доведення. Очевидно: A =

P (A) = P (

Якщо врахувати, що з теореми множення P (

приклад. У магазині продаються електролампи виробництва трьох заводів, причому частка першого заводу – 30%, другого – 50%, третього – 20%. Шлюб у їхній продукції становить відповідно 5%, 3% та 2%. Якою є ймовірність того, що випадково обрана в магазині лампа виявилася бракованою.

Нехай подія H 1 полягає в тому, що обрана лампа зроблена на першому заводі, H 2 на другому, H 3 – на третьому заводі. Очевидно:

P (H 1) = 3/10, P (H 2) = 5/10, P (H 3) = 2/10.

Нехай подія Аполягає в тому, що обрана лампа виявилася бракованою; A/H iозначає подію, що полягає в тому, що обрана бракована лампа з ламп, вироблених на i-му заводі. З умови завдання випливає:

P (A / H 1) = 5/10; P (A / H 2) = 3/10; P (A / H 3) = 2/10

За формулою повної ймовірності отримуємо

2. Формула Байєса (Бейєса)

Нехай H 1 ,H 2 ,...,H n- повна група подій та АÌ W – певна подія. Тоді за формулою для умовної ймовірності

Тут P (H k /A) – умовна ймовірність події (гіпотези) H kабо ймовірність того, що H kреалізується за умови, що подія Асталося.

По теоремі множення ймовірностей чисельник формули (1) можна подати у вигляді

P = P = P (A /H k)P (H k)

Для представлення знаменника формули (1) можна використати формулу повної ймовірності

P (A)

Тепер із (1) можна отримати формулу, звану формулою Байєса :

За формулою Байєса обчислюється ймовірність реалізації гіпотези H kза умови, що подія Асталося. Формулу Байєса ще називають формулою ймовірності гіпотезЙмовірність P (H k) називають апріорною ймовірністю гіпотези H k, а ймовірність P (H k /A) – апостеріорною ймовірністю.

Теорема. Імовірність гіпотези після випробування дорівнює добутку ймовірності гіпотези до випробування на відповідну їй умовну ймовірність події, що сталася при випробуванні, поділеному на повну ймовірність цієї події.

приклад.Розглянемо наведене вище завдання про електролампи, тільки змінимо питання задачі. Нехай покупець купив електролампу у цьому магазині, і вона виявилася бракованою. Знайти можливість того, що ця лампа виготовлена ​​на другому заводі. Величина P (H 2) = 0,5 в даному випадку це апріорна ймовірність події, що полягає в тому, що куплена лампа виготовлена ​​на другому заводі. Отримавши інформацію про те, що куплена лампа бракована, ми можемо виправити нашу оцінку можливості виготовлення цієї лампи на другому заводі, обчисливши апостеріорну ймовірність цієї події.

Докладно теорема Байєса викладається в окремій статті. Це чудова робота, але у ній 15 000 слів. У цьому перекладі статті від Kalid Azad коротко пояснюється сама суть теореми.

• Результати досліджень та випробувань – це не події.Існує метод діагностики раку, а є сама подія – наявність захворювання. Алгоритм перевіряє, чи містить лист спам, але подію (на пошту дійсно надійшов спам) потрібно розглядати окремо від результату його роботи.
• У результатах випробувань є помилки.Часто наші методи досліджень виявляють те, чого немає (хибнопозитивний результат), і не виявляють те, що є (хибнонегативний результат).
• За допомогою випробувань ми отримуємо ймовірність певного результату.Ми надто часто розглядаємо результати випробування власними силами і не враховуємо помилки методу.
• Хибнопозитивні результати спотворюють картину.Припустимо, що ви намагаєтеся виявити якийсь дуже рідкісний феномен (1 випадок на 1000000). Навіть якщо ваш метод точний, найімовірніше, його позитивний результат буде насправді хибнопозитивним.
• Працювати зручніше із натуральними числами.Краще сказати: 100 із 10000, а не 1%. За такого підходу буде менше помилок, особливо при множенні. Припустимо, нам потрібно далі працювати із цим 1%. Міркування у відсотках незграбні: «у 80% випадків з 1% отримали позитивний результат». Набагато легше інформація сприймається так: «у 80 випадках із 100 спостерігали позитивний результат».
• Навіть у науці будь-який факт - це лише результат застосування будь-якого методу.З філософської точки зору науковий експеримент – це лише випробування з ймовірною помилкою. Є метод, який виявляє хімічну речовину або якийсь феномен, і є сама подія – присутність цього феномена. Наші методи випробувань можуть дати хибний результат, а будь-яке обладнання має властиву йому помилку.

• Якщо нам відома ймовірність події та ймовірність хибнопозитивних і хибнонегативних результатів, ми можемо виправити помилки вимірів.
• Теорема співвідносить можливість події з ймовірністю певного результату. Ми можемо співвіднести Pr(A|X): можливість події А, якщо дано результат X, і Pr(X|A): можливість результату X, якщо дана подія А.

Розберемося у методі

• 1% всіх жінок хворіють на рак грудей (і, відповідно, 99% не хворіють)
• 80% маммограм виявляють захворювання, коли воно справді є (і, відповідно, 20% не виявляють)
• 9,6% досліджень виявляють рак, коли його немає (і, відповідно, 90,4% чітко визначають негативний результат)

• 1% жінок хворіють на рак грудей
• якщо у пацієнтки виявили захворювання, дивимося в першу колонку: є 80% ймовірність того, що метод дав правильний результат, і 20% ймовірність того, що результат дослідження неправильний (хибнонегативний)
• якщо у пацієнтки захворювання не виявили, дивимося на другу колонку. З ймовірністю 9,6% можна сказати, що позитивний результат дослідження невірний, і з 90,4% ймовірністю можна сказати, що пацієнтка справді здорова.

Наскільки метод точний?

Давайте подумаємо:

• Є позитивний результат. Розберемо всі можливі результати: отриманий результат може бути як істинним позитивним, так і хибнопозитивним.
• Імовірність справжнього позитивного результату дорівнює: ймовірність захворіти, помножена на ймовірність того, що тест справді виявив захворювання. 1% * 80% = .008
• Імовірність хибнопозитивного результату дорівнює: ймовірність того, що захворювання немає, помножена на ймовірність того, що метод виявив захворювання невірно. 99% * 9.6% = .09504

Імовірність події = результати події / всі можливі результати

Імовірність справжнього позитивного результату – 008. Імовірність позитивного результату - це ймовірність істинного позитивного результату + ймовірність хибнопозитивного.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Отже, ймовірність захворювання за позитивного результату дослідження розраховується так: .008/.10304 = 0.0776. Ця величина становить близько 7.8%.

Тобто позитивний результат маммограм означає лише те, що ймовірність наявності захворювання – 7,8%, а не 80% (остання величина - це лише передбачувана точність методу). Такий результат здається спочатку незрозумілим і дивним, але потрібно врахувати: метод дає хибнопозитивний результат у 9,6% випадків (а це досить багато), тому у вибірці буде багато хибнопозитивних результатів. Для рідкісного захворювання більшість позитивних результатів будуть хибнопозитивними.

Давайте пробіжимо очима по таблиці і спробуємо інтуїтивно схопити сенс теореми. Якщо ми маємо 100 осіб, тільки в одного з них є захворювання (1%). У цієї людини з 80% ймовірністю метод дасть позитивний результат. З 99%, що залишилися, у 10% будуть позитивні результати, що дає нам, грубо кажучи, 10 хибнопозитивних результатів зі 100. Якщо ми розглянемо всі позитивні результати, то тільки 1 з 11 буде вірним. Таким чином, якщо отримано позитивний результат, ймовірність захворювання становить 1/11.

Вище ми вважали, що ця можливість дорівнює 7,8%, тобто. число насправді ближче до 1/13, проте тут за допомогою простої міркування нам вдалося знайти приблизну оцінку без калькулятора.

Теорема Байєса

• Pr(A|X) = ймовірність захворювання (А) при позитивному результаті (X). Це саме те, що хочемо знати: яка ймовірність події у разі позитивного результату. У прикладі вона дорівнює 7,8%.
• Pr(X|A) = ймовірність позитивного результату (X) у разі, коли хворий дійсно хворий (А). У нашому випадку це величина справжніх позитивних – 80%
• Pr(A) = ймовірність захворіти (1%)
• Pr(not A) = ймовірність не захворіти (99%)
• Pr(X|not A) = ймовірність позитивного результату дослідження у разі, якщо захворювання немає. Це величина хибнопозитивних - 9,6%.

У нашому прикладі Pr(X) – досить велике число, тому що велика ймовірність хибнопозитивних результатів.

Pr(X) створює результат 7,8%, який на перший погляд здається таким, що суперечить здоровому глузду.

Сенс теореми

Спам-фільтр

У нас є:

• подія А - у листі спам
• результат випробування - зміст у листі певних слів:

Фільтр спаму на основі чорного списку має недоліки - він часто видає хибнопозитивні результати.

Спам-фільтр на основі теореми Байєса використовує зважений та розумний підхід: він працює з ймовірностями. Коли ми аналізуємо слова у листі, ми можемо розрахувати ймовірність того, що лист – це спам, а не приймати рішення на кшталт «так/ні». Якщо можливість того, що лист містить спам, дорівнює 99%, то лист і справді є таким.

Згодом фільтр тренується на дедалі більшій вибірці та оновлює ймовірності. Так, просунуті фільтри, створені на основі теореми Байєса, перевіряють безліч слів поспіль і використовують їх як дані.

Додаткові джерела:

Теги: Додати теги

ІНФОРМАТИКА, ВИЧИСЛЮВАЛЬНА ТЕХНІКА ТА УПРАВЛІННЯ INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE, AND MANAGEMENT

Про застосовність формули Байєса

DOI 10.12737/16076

А. І. Долгов **

1Акціонерне товариство «Конструкторське бюро з радіоконтролю систем управління, навігації та зв'язку», м. Ростов-на-Дону, Російська Федерація

On applicability of Bayes" formula*** A. I. Dolgov1**

1«Дизайн bureau on monitoring control, navigation and communication systems» JSC, Ростов-он-Дон, Російська Федерація

Предметом цього дослідження є формула Байєса. Мета цієї роботи - аналіз та розширення сфери застосування формули. Першочерговим завданням є вивчення публікацій, присвячених зазначеній проблемі, що дозволило виявити недоліки застосування формули Байєса, що призводять до некоректних результатів. Наступне завдання – побудова модифікацій формули Байєса, які забезпечують облік різних одиночних свідоцтв із отриманням коректних результатів. І, нарешті, з прикладу конкретних вихідних даних порівнюються некоректні результати, одержувані із застосуванням формули Байєса, і коректні результати, обчислювані з допомогою запропонованих модифікацій. Під час проведення дослідження використано два методи. По-перше, проведено аналіз принципів побудови відомих виразів, які застосовуються для запису формули Байєса та її модифікацій. По-друге, виконано порівняльну оцінку результатів (у тому числі кількісну). Пропоновані модифікації забезпечують більш широке застосування формули Байєса в теорії та на практиці, у тому числі при вирішенні прикладних завдань.

Ключові слова: умовні ймовірності, несумісні гіпотези, сумісні та несумісні свідчення, нормування.

Bayes" formula is the research subject. The work objective is to analyze the formula application and widen the scope of its applicability. результатів. Next task is to construct the Bayes" formula modifications to provide an accounting of different single indications to obtain correct results. And finally, the incorrect results obtained with application of Bayes" наведено формули зміни на те, що міститься в конкретних ініціальних даних. Два методи є використані в дослідженнях. Перший, analysis of principles of constructing the known expressions used to record the Bayesian formula and its modifications is conducted. Зрештою, comparative evaluation of the results (включаючи the quantitative one) is performed. Зазначені зміни виконують широке застосування bays" формула в теорії і практика в тому числі й відповідні проблеми.

Keywords: конкретні проблеми, несприятливі hypotheses, надійні і некомпітальні показники, нормалізовані.

Вступ. Формула Байєса знаходить дедалі ширше застосування у теорії та практиці, зокрема під час вирішення прикладних завдань з допомогою обчислювальної техніки. Використання взаємно незалежних обчислювальних процедур дозволяє особливо ефективно застосовувати дану формулу під час вирішення завдань на багатопроцесорних обчислювальних системах , оскільки у разі паралельна реалізація виконується лише на рівні загальної схеми, і за додаванні чергового алгоритму чи класу завдань немає необхідності повторно проводити роботу з розпаралелювання.

Предметом даного дослідження є застосування формули Байєса для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностей несумісних гіпотез при різних одиночних свідченнях. Як показує аналіз, у таких випадках порівнюються нормовані ймовірності несумісних комбінованих подій, що на-

S X<и ч и

IS eö І IS X X<и H

"Робота виконана у рамках ініціативної НДР.

**E-mail: [email protected]

""Research is done within frame of the independent R&D.

спраглих різним повним групам подій. У цьому порівнювані результати виявляються неадекватними реальним статистичним даним. Це зумовлено такими факторами:

Використовується некоректне нормування;

Не береться до уваги наявність або відсутність перетинів свідчень, що враховуються.

З метою усунення виявлених недоліків виявляються випадки застосування формули Байєса. Якщо зазначена формула не застосовна, вирішується завдання побудови її модифікації, що забезпечує облік різних одиночних свідоцтв з отриманням коректних результатів. На прикладі конкретних вихідних даних виконано порівняльну оцінку результатів:

Некоректних – одержуваних з використанням формули Байєса;

Коректних - обчислюваних за допомогою запропонованої модифікації.

Вихідні становища. В основу викладених далі тверджень покладемо принцип збереження відносин ймовірностей: «Коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише при нормуванні із застосуванням одного загального нормуючого дільника, що забезпечує рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей» . Даний принцип є суб'єктивною основою теорії ймовірностей, проте не відображається належним чином у сучасній навчальній та науково-технічній літературі.

При порушенні зазначеного принципу спотворюються відомості про ступінь можливості подій, що розглядаються. Отримані з урахуванням спотворених відомостей результати і прийняті рішення виявляються неадекватними реальним статистичним данным.

У пропонованій статті будуть використані такі поняття:

Елементарна подія - подія, що не поділяється на елементи;

Комбіноване подія - подія, що представляє те чи інше поєднання елементарних подій;

Сумісні події - події, які у одних випадках порівняльної оцінки їх ймовірностей може бути несумісними, інших випадках спільними;

Несумісні події - події, які завжди є несумісними.

Відповідно до теореми множення ймовірностей, ймовірність Р (І ^ Е) твори елементарних подій І ^ і

Е обчислюється як твори ймовірностей Р(Ик Е) = Р(Е)Р(И^Е) . У зв'язку з цим формула Байєса часто

записується у вигляді Р(Ік\Е) =--- , що описує визначення апостеріорних умовних ймовірностей

Р(І^Е) гіпотез Ік (к = 1,...п) на основі нормування апріорних ймовірностей Р(І^Е) врахованих комбінованих несумісних подій І до Є. Кожна з таких подій представляє твір, співмножниками якого є одна з аналізованих гіпотез і одне свідчення, що враховується. При цьому все розглядає-

події ІкЕ (к = 1,...п) утворюють повну групу іІкЕ несумісних комбінованих подій, у зв'язку з

з чим їх ймовірності Р(Ік Е) повинні бути нормовані з урахуванням формули повної ймовірності згідно з кото-

рій Р(Е) = 2 Р(Ік)Р(Е\Ік). Тому формула Байєса найчастіше записується в найбільш вживаному вигляді:

Р(Ік) Р(ЄІк)

Р(Ік\Е) = -. (1)

^ кацією формули Байєса.

й Аналіз особливостей побудови формули Байєса, націленої на вирішення прикладних завдань, а також приклади

«та її практичного застосування дозволяють зробити важливий висновок щодо вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (кожна з яких є твором двох елементарних подій – однією з гіпотез та свідоцтва, що враховується). Такий вибір здійснюється суб'єктивно особою, що приймає рішення, на основі об'єктивних вихідних даних, властивих типовим умовам обстановки: види і кількість оцінюваних гіпотез і свідоцтво, що конкретно враховується.

Незрівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Формула Байєса традиційно застосовується у разі визначення не порівнюваних за ступенем можливості апостеріорних умовних віро-

ятностей гіпотез Н^ ​​при поодиноких несумісних свідченнях, кожне з яких може з'явитися

тільки в комбінації з будь-якою з цих гіпотез». При цьому вибираються повні групи та НкЕ, комбіні-

ванних подій у вигляді творів, співмножниками яких є одне із свідоцтв ц. (1=1,...,т) та одна

з п аналізованих гіпотез.

Формула Байєса застосовується для порівняльної оцінки ймовірностей комбінованих подій кожної такої повної групи, що відрізняється від інших повних груп не тільки свідченням е, що враховується, але і в загальному випадку видами гіпотез Н ^ і (або) їх кількістю п (див., наприклад, )

РНкИ = Р(Нк) Р(еН)

% Р(Нк) Р(Ег\Нк) до = 1

В окремому випадку при п = 2

РНк\Е,~ Р(Нк) Р(ЕН)

% Р(Нк) Р(Е,\Н к) до = 1

і отримані результати є правильними, зважаючи на дотримання принципу збереження відносин ймовірностей:

Р(Н1Е,) _ Р(Н 1)Р(Е,\Н1) / Р(Н2) Р(Е,\Н2) = Р(Н 1) Р(Е,\Н1)

Р(Н 2 = % РШ1!) РЕ, \ Н0 % ^) РЕ, \ Н) "Р (Н 2> 2>"

Суб'єктивність вибору повної групи порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій (з

тими чи іншими елементарними подіями, що змінюються) дозволяє вибрати повну групу подій і Нк Е ■ с

запереченням елементарної події Е ■ () і записати формулу Байєса (1 = 1,.. .,т) так:

Р(Нк\Е) -=-РНШ±.

% Р(Нк)Р(Е,Нк)

Така формула також застосовна і дає можливість отримати правильні результати, якщо обчислювані до

нормовані ймовірності порівнюються при різних аналізованих гіпотезах, але не при різних свід- ^

ствах. ¡^

Порівнянні ймовірності гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях. Судячи з відомих публ- ^

няється для порівняльної оцінки апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез при різних одиночних свід- ^

ствах. При цьому не приділяється увага наступному факту. У зазначених випадках порівнюються ймовірності, що нормуються ^ несумісних (несумісних) комбінованих подій, що належать різним повним групам н подій. Однак у даному випадку формула Байєса не застосовна, тому що порівнюються комбіновані події, що не входять в одну повну § групу, нормування ймовірностей яких здійснюється з використанням різних л нормуючих дільників. Нормовані ймовірності несумісних (несумісних) комбінованих подій можна порівнювати тільки в тому випадку, якщо вони належать одній і тій же повній групі подій і нормовані ¡3 з використанням загального дільника, що дорівнює сумі ймовірностей всіх подій, що входять у повну §

У загальному випадку як несумісні свідчення можуть розглядатися:

Два свідчення (наприклад, свідчення та його заперечення); ^

Три свідчення (наприклад, в ігровій ситуації виграш, програш та нічия); ^

Чотири свідоцтва (зокрема, у спорті виграш, програш, нічия та перегравання) тощо.

Розглянемо досить простий приклад (відповідний прикладу, наведеному в) застосування формули ^ Байєса для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотези Н ^ при двох несумісних подіях

вигляді свідоцтва Л]- та її заперечення Л]

Р(Н,к) - ^. ^ Р (А ^ до », (2)

] Е Р (Нк> Р (А] \ вк> до - 1

■ _ Р(НкА]) Р(Нк> Р(А]\нк>

Р(Н,\А,) ----к-]-. (3)

V к\Л]> Р(А > п

] Е Р(Нк) Р(А]\Нк) до -1

У випадках (2) і (3) суб'єктивно обраними повними групами порівнюваних за ступенем можливості ком-

бінованих подій є відповідно безлічі і Н до А і Н до А. Це той випадок, коли формула

до-1 до ] до-1 до ]

Байєса не застосовується, тому що порушено принцип збереження відносин ймовірностей - не дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:

Р(Н до А]] Р(Нк) Р(А]\Нк) / Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)

Р(Нк Е Р(Нк) Р(А]\Нк)/ Е Р(Нк) Р(А]\Нк) Р(Нк) Р(А] Нк)

до - 1 /к - 1 Відповідно до принципу збереження відносин ймовірностей, коректна обробка ймовірностей подій здійсненна лише за нормування із застосуванням одного загального нормуючого дільника, рівного сумі всіх порівнюваних нормованих виразів. Тому

Е Р(Нк)Р(А]\Нк) + Е Р(Нк)Р(А]\Нк) - Е Р(Нк)[Р(А]\Нк) + Р(Нк) Р(А]\Нк )] - ЕР(Нк) - 1. до -1 до -1 до -1 до -1

Таким чином, виявляється той факт, що існують різновиди формули Байєса, що відрізняються від

відомих відсутністю нормуючого дільника:

А,) - Р(Н) Р(А]\Нк), Р(Нк А) - Р(Н) Р(А, Н к). (4)

J до I ■> до

При цьому дотримується рівність відносин нормованих ймовірностей відносин відповідних їм нормованих ймовірностей:

т^А^ Р(Нк) Р(А]\Нк)

А,) Р(Н к) Р(А,Нк)

На основі суб'єктивного вибору нетрадиційно записуваних повних груп несумісних комбінованих подій можна збільшити кількість модифікацій формули Байєса, що включають свідчення, а також ту чи іншу кількість їх заперечень. Наприклад, найповнішій групі комбінованих подій

і і Нк /"./^ і і Нк Е відповідає (з урахуванням відсутності нормуючого дільника) модифікація формула; =1 А"=1 ; =1 ли Байєса

Р(Нк\~) - Р(Н к) ПЕ^^^

де елементарна подія у вигляді свідоцтва Е II II / "/ є одним з елементів зазначеного множини-

о За відсутності заперечень свідчень, тобто при Ё\ = // е і /"./,

^ Р(Н\Е) Р(Нк) Р(Е,\Нк)

Р(Нк) Р(Е\Нк) до - 1

Таким чином, модифікація формули Байєса, призначена для визначення порівнюваних за рівнем можливості умовних ймовірностей гіпотез при поодиноких несумісних свідченнях виглядає наступним чином. У чисельнику міститься нормована ймовірність однієї з комбінованих несумісних подій, про-110 разующих повну групу, виражену як твори апріорних ймовірностей, а знаменнику - сума всіх

нормованих ймовірностей. При цьому дотримується принцип збереження відносин ймовірностей - і результат, що отримується, є правильним.

Ймовірність гіпотез при одиночних сумісних свідченнях. Формули Байєса традиційно застосовуються визначення порівнюваних за рівнем можливості апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Нк (к = 1,...,п) при одному з кількох аналізованих сумісних свідчень ЕЛ (1 = 1,...,т). Зокрема (див.

наприклад, і ), щодо апостеріорних умовних ймовірностей Р(Н 1Е^) і Р(Н 1 Е2) при кожному з двох сумісних свідоцтв Е1 і Е2 використовуються формули виду:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1-і P(H J E 2) =--1-. (5)

I P (Hk) PE (Hk) I P (Hk) P (E2 Hk)

k = 1 k = 1 Необхідно врахувати, що це ще один випадок, коли формула Байєса не застосовується. Причому в даному випадку мають бути усунені дві недоліки:

Проілюстроване нормування ймовірностей комбінованих подій некоректно, зважаючи на належність різним повним групам подій, що розглядаються;

У символічних записах комбінованих подій HkEx і HkE2 не знаходить відображення той факт, що свідоцтва E х і E 2, що враховуються, є сумісними.

Для усунення останньої вади може бути використаний більш розгорнутий запис комбінованих подій з урахуванням того, що сумісні свідоцтва E1 та E2 в одних випадках можуть бути несумісними, а в інших спільними:

HkE1 = HkE1 E2 та HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, де E1 та E 2 є свідченнями, протилежними E1 та E 2.

Очевидно, що у таких випадках добуток подій Hk E1E2 враховується двічі. Крім того, воно може бути враховано ще раз окремо, проте цього не відбувається. Справа в тому, що в ситуації, що розглядається, на оцінювану обстановку впливають три ймовірних несумісних комбінованих події: HkE1E2, HkE 1E2 і

Hk E1E2. При цьому для особи, яка приймає рішення, цікавить оцінка за рівнем можливості лише

двох несумісних комбінованих подій: HkE1 E2 та HkE 1E2, що відповідає розгляду тільки g

одиночних свідоцтв. ¡Ц

Таким чином, при побудові модифікації формули Байєса для визначення апостеріорних умовних ве-^

роятностей гіпотез при одиночних сумісних свідченнях необхідно виходити з наступного. Особа, при- ^

що має рішення, цікавить, яка саме елементарна подія, представлена ​​тим чи іншим свідченням з

числа аналізованих реально відбулося в конкретних умовах. Якщо відбувається інша елементарна подія до

вигляді одиночного свідоцтва, потрібно перегляд рішення, обумовленого результатами порівняльної оцінки н

апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез з неодмінним врахуванням інших умов, що впливають на реальну загальну

становлення. 3

Введемо наступне позначення: HkE- для одного (і тільки одного) несумісного комбінованого со-

буття, що у тому, що з m > 1 аналізованих елементарних подій Ei (i = 1,...,m) разом із гіпотезою «

Hk сталася одна елементарна подія Ex і не відбулися інші елементарні події. се"

У найпростішому випадку розглядаються два поодинокі несумісні свідчення. Якщо підтвер-

очікується одне з них, умовна ймовірність свідоцтва у загальному вигляді виражається формулою л

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g

У справедливості формули можна переконатися (рис. 1).

Мал. 1. Геометрична інтерпретація обчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,2 При умовно незалежних свідченнях

Р(К1К2\Нк) = р(Е\Нк)Р(Е2\Нк),

тому з урахуванням (6)

Р(Нк Е-) = РЕ Нк) - Р(Е1 Нк) Р(Е21Нк) = 1,.,2. (7)

Аналогічно ймовірність Р(НкЕ-) одного з трьох (/ = 1,...,3) несумісних подій НкЕ виражається формулою

Наприклад, при i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk)] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)-P(E]E^Hk)-P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Справедливість цієї формули наочно підтверджує геометрична інтерпретація, подана на

Мал. 2. Геометрична інтерпретація обчислення Р(Нк Е-) при / = 1,...,3

Методом математичної індукції можна довести загальну формулу для ймовірності Р(Нк Е-) за будь-якої кількості свідчення, 0=1,...,т):

Р(НкЕ-) = Р(Е,Нк)- т РЕ\Нк) Р(Е]\Нк) + 1 Р(Е\Нк) Р(Е]\Нк) Р(Е^Нк) +■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Використовуючи теорему множення ймовірностей, запишемо умовну ймовірність Р(НкЕ~-) у двох формах:

^ з яких випливає, що

P(Hk E -) = P(H k) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

З використанням формули повної ймовірності P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) виходить, що

Е-) = Р(НкЕТ)

2 Р(НкЕ-) до = 1

Підставивши в отриману формулу виразу для Р(НкЕ-) у вигляді правої частини (8), отримаємо остаточний вид формули для визначення апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез Н^ ​​(к = 1,.. .,п) при одному з декількох несумісних одиночних свідчень, що розглядаються. : (Е ^ \Нк)

Р(Нк)[Р(Е,\Нк) - 2 Р(Е,\Нк) Р(Ер к) +...+ (-1)т-1 Р(П Р(Єрк)] Р(Н, Е~) =-] = 1(] * ■----(9)

до 1 п т т т

2 Р(Н к) 2 [Р(Е,\Н к) - 2 Р(ЕгНк) Р(Е^Нк) + ...+ (-1)т-1 Р(П Р (Єр к)]

к = 1, = 1) = 1 () *,) ■! =1

Порівняльні оцінки. Розглядаються досить прості, але наочні приклади, що обмежуються аналізом обчислюваних апостеріорних умовних ймовірностей однієї з двох гіпотез при двох одиночних свідченнях. 1. Імовірність гіпотез при несумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані із застосуванням формул Байєса (2) і (3), на прикладі двох свідчень Л. = Л і Л. = Л при вихідних даних:

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Л| Н^ = 0,1; Р(Л\н 1) = 0,9; Р(Л\Н2) = 0,6 Р(Л\Н2) = 0,4 У аналізованих прикладах з гіпотезою Н1 традиційні формули (2) і (3) призводять до наступних результатів:

Р(Н.) Р(А\Але 007

Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,28,

2 Р(Н к) Р(А\Нк) до = 1

Р(Н Л Р(А\Н 1) 0 63

Р(Н, Л) =-- 11 = - = 0,84,

2 Р(Нк) Р(А\Нк) до = 1

ормуючих ділить Р(Н 1 Л) = Р(Н^ Р(Л\Нр = 0,07; Р(Н^ А) = Р(Н1) Р(л|Н^ = 0,63).

Р<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

а при запропонованих формулах (4), які не мають нормуючих дільників: «і

Таким чином, у разі застосування запропонованих формул відношення нормованих ймовірностей дорівнює відношенню до нормованих ймовірностей: До

гт ж Р(Н1) Р(А\Н1) А11 |

При використанні відомих формул при такому ж відношенні -;-=-= 0,11 нормованих веро- н

Р(Н 1) Р(А\Н 1) «§

ятностей, зазначених у чисельниках, відношення одержуваних нормованих ймовірностей: 2

Р(Н 1) Р(А\Н 1) Р(А\Н 1) 0,63

Р(Н1 Л) = 0,28 Р(Н1 Л) = 0,84

Тобто принцип збереження відносин імовірностей не дотримується і виходять невірні результати. При цьому £

у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (11) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (10) виявляється дуже суттєвим, оскільки становить

°, 33 - °, П х 100 = 242%.

2. Імовірність гіпотез при сумісних одиночних свідченнях. Порівняємо результати, одержувані з застосуванням формул Байєса (5) та побудованої коректної модифікації (9), використовуючи наступні вихідні дані: ^

Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Е1Н1) = 0,4; Р(Е2Н1) = 0,8; Р(Е1\Н2) = 0,7; Н2) = 0,2 113

У прикладах з гіпотезою H 2 у випадку використання традиційних формул (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

I p (Hk) p (El Hk) k = 1

P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6

P(H 2 E 2) =-2-- = - = 0,097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

У разі застосування запропонованої формули (9) з урахуванням (7) P(H

P(H2) 0,168

E.) ----- 0,291,

Z P(Hk) Z "

P(H2) 0,018

E0) ----- 0,031.

Z P (Hk) Z k - 1 i - 1

При використанні пропонованих коректних формул, зважаючи на однакові знаменники, відношення P(H2) -

Нормованих ймовірностей, що вказуються в чисельниках, дорівнює відношенню

P(H2)

нормованих ймовірностей:

Тобто принцип збереження відносин імовірностей дотримується.

Однак у разі застосування відомих формул щодо зазначених у чисельниках нормованих ймовірностей

Р(Н 2) Р(Е1\Н 2) _ 0,21 _3 5 Р(Н 2)Р(Е 2 Н 2) 0,06 ,

відношення нормованих ймовірностей:

Р(Н 2 = 0.429 = 4,423. (13)

Р(Н 2 \е2) 0,097

Тобто принцип збереження відносин ймовірностей, як і раніше, не дотримується. При цьому у разі застосування відомих формул значення відносного відхилення відношення (13) апостеріорних умовних ймовірностей гіпотез від коректних результатів (12) також виявляється дуже суттєвим:

9,387 4,423 х 100 = 52,9%.

Висновок. Аналіз побудови конкретних формульних співвідношень, що реалізують формулу Байєса та її модифікації, які пропонуються для вирішення практичних завдань, дозволяють стверджувати наступне. Повна група порівнюваних за рівнем можливості комбінованих подій може вибиратися суб'єктивно особою, яка приймає рішення. Цей вибір грунтується на об'єктивних вихідних даних, що враховуються, характерних для типової об-ї становки (конкретні види і кількість елементарних подій - оцінюваних гіпотез і свідчень). Представляє практичний інтерес суб'єктивний вибір інших варіантів повної групи порівнюваних за ступенем можли-

ності комбінованих подій - таким чином забезпечується суттєва різноманітність формульних співвідношень при побудові нетрадиційних варіантів модифікацій формули Байєса. На цьому, у свою чергу, може ґрунтуватися вдосконалення математичного забезпечення програмної реалізації, а також розширення області застосування нових формульних співвідношень для вирішення прикладних завдань.

бібліографічний список

1. Гнеденко, В.В. Kinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144р.

2. Вентцель, Є. С. Теорія ймовірностей/Є. С. Вентцель. - 10-те вид., стер. – Москва: Вища школа, 2006. – 575 с.

3. Андронов. А. М., Теорія ймовірностей та математична статистика / А. М. Андронов, Є. А. Копитов, Л. Я. Грінглаз. – Санкт-Петербург: Пітер, 2004. – 481 с.

4. Змітрович, А. І. Інтелектуальні інформаційні системи / А. І. Змітрович. – Мінськ: ТетраСі-стемс, 1997. – 496 с.

5. Чорноруцький, І. Г. Методи прийняття рішень / І. Г. Чорноруцький. – Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2005. – 416 с.

6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 p.

7. Романов, В. П. Інтелектуальні інформаційні системи економіки / В. П. Романов. - 2-ге вид., стер.

Москва: Іспит, 2007. – 496 с.

8. Економічна ефективність та конкурентоспроможність / Д. Ю. Муромцев [та ін.]. - Тамбов: Вид-во Тамб. держ. техн. ун-ту, 2007. - 96 с.

9. Долгов, А. І. Коректні модифікації формули Байєса для паралельного програмування / А. І. Долгов // Суперкомп'ютерні технології: матеріали 3-й всерос. наук-техн. конф. - Ростов-на-Дону. – 2014. – Т. 1 – С. 122-126.

10. Долгов, А. І. Про коректність модифікацій формули Байєса / А. І. Долгов // Вісник Дон. держ. техн. ун-ту.

2014. – Т. 14, № 3 (78). – С. 13-20.

1. Гнеденко, В.В., Хінчін, А.Я. Як елементарне введення в теорію проблеми. New York: Dover Publications, 1962, 144р.

2. Ventsel, E.S. Теорія веройатности. 10th ed., reimpr. Moscow: Vysshaya shkola, 2006, 575 p. (in Ukrainian).

3. Андронов, А.М., Копитов, Е.А., Грінглаз, Л.І. Теорія веройатности і математична статистика. St.Petersburg: Piter, 2004, 481 p. (in Ukrainian).

4. Змітровіч, А.1. Інтеллектуальні" інформаційні системи. Мінськ: TetraSistems, 1997, 496 р. (у Росії).

5. Чернорутскій, І.Г. Методи принятія решенії. St.Petersburg: BKhV-Peterburg, 2005, 416 p. (in Ukrainian).

6. Naylor, C.-M. Build Your Own Expert System. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 p.

7. Романов, V.P. Інтеллектуальні" інформаційні системи в ekonomice. 2nd ed., reimpr. Moscow: Ekzamen, 2007, 496 p. (in Russian).

8. Муромцев, Д.І., та ін. Економічна ефективність "і konkurentosposobnost". Tambov: Izd-vo Tamb. gos. tekhn. un-ta, 2007, 96 p. (in Ukrainian). IB

9. Дольгов, А1. Коректні modifikatsii формули Bayesa для parallel'nogo programmirovania. Superkomp'uternye технології: mat-ly 3-й veros. nauch-tekhn. konf. Rostov-on-Don, 2014, vol. 1, pp. 122-126 (in Ukrainian). ^

10. Дольгов, А1. Про коректність modifikatsij формули Bayesa. ^ Vestnik of DSTU, 2014, vol. 14, no. 3 (78), pp. 13-20 (у Russian). *

Якщо подія Аможе статися тільки при виконанні однієї з подій, які утворюють повну групу несумісних подій , то ймовірність події Аобчислюється за формулою

Ця формула називається формулою повної ймовірності .

Знову розглянемо повну групу несумісних подій, ймовірність появи яких . Подія Аможе статися тільки разом з будь-якою з подій, які будемо називати гіпотезами . Тоді за формулою повної ймовірності

Якщо подія Асталося, то це може змінити ймовірність гіпотез .

За теоремою множення ймовірностей

.

Аналогічно для інших гіпотез

Отримана формула називається формулою Байєса (формулою Бейєса ). Ймовірності гіпотез називаються апостеріорними ймовірностями , тоді як - апріорними ймовірностями .

приклад.До магазину надійшла нова продукція із трьох підприємств. Процентний склад цієї продукції наступний: 20% – продукція першого підприємства, 30% – продукція другого підприємства, 50% – продукція третього підприємства; далі, 10% продукції першого підприємства вищого ґатунку, на другому підприємстві - 5% і на третьому - 20% продукції вищого ґатунку. Знайти ймовірність того, що випадково куплена нова продукція виявиться найвищого гатунку.

Рішення.Позначимо через Уподія, що полягає в тому, що буде куплено продукцію вищого ґатунку, через позначимо події, що полягають у купівлі продукції, що належить відповідно до першого, другого та третього підприємств.

Можна застосувати формулу повної ймовірності, причому у наших позначеннях:

Підставляючи ці значення у формулу повної ймовірності, отримаємо ймовірність:

приклад.Один із трьох стрільців викликається на лінію вогню і робить два постріли. Ймовірність влучення в ціль при одному пострілі для першого стрільця дорівнює 0,3, для другого - 0,5; для третього – 0,8. Мета не вражена. Знайти ймовірність того, що постріли зроблено першим стрільцем.

Рішення.Можливі три гіпотези:

На лінію вогню викликаний перший стрілець,

На лінію вогню викликаний другий стрілець,

На лінію вогню викликано третій стрілець.

Оскільки виклик на лінію вогню будь-якого стрілка рівноможливий, то

Через війну досвіду спостерігалося подія У - після зроблених пострілів мета не вражена. Умовні ймовірності цієї події при зроблених гіпотезах рівні:

за формулою Байєса знаходимо ймовірність гіпотези після досвіду:

приклад.На трьох верстатах-автоматах обробляються однотипні деталі, що надходять після обробки загальний конвеєр. Перший верстат дає 2% шлюбу, другий – 7%, третій – 10%. Продуктивність першого верстата в 3 рази більша за продуктивність другого, а третього – у 2 рази менша, ніж другого.

а) Який відсоток шлюбу на конвеєрі?

б) Які частини деталей кожного верстата серед бракованих деталей на конвеєрі?

Рішення.Візьмемо з конвеєра навмання одну деталь і розглянемо подію А – деталь бракована. Воно пов'язане з гіпотезами щодо того, де була оброблена ця деталь: - взята навмання деталь оброблена на-ом верстаті.

Умовні ймовірності (за умови завдання вони дано у формі відсотків):

Залежності між продуктивністю верстатів означають таке:

Оскільки гіпотези утворюють повну групу, то .

Розв'язавши отриману систему рівнянь, знайдемо: .

а) Повна ймовірність того, що взята навмання з конвеєра деталь - бракована:

Іншими словами, у масі деталей, що сходять із конвеєра, шлюб становить 4%.

б) Нехай відомо, що взята навмання деталь - бракована. Користуючись формулою Байєса, знайдемо умовні ймовірності гіпотез:

Таким чином, у загальній масі бракованих деталей на конвеєрі частка першого верстата становить 33%, другого – 39%, третього – 28%.

Практичні завдання

Завдання 1

Розв'язання задач з основних розділів теорії ймовірності

Мета - отримання практичних навичок у вирішенні завдань

розділів теорії ймовірностей

Підготовка до виконання практичного завдання

Ознайомитися з теоретичним матеріалом на цю тематику, вивчити зміст теоретичного, а також відповідні розділи в літературних джерелах

Порядок виконання завдання

Розв'язати 5 завдань згідно з номером варіанта завдання, наведеним у таблиці 1.

Варіанти вихідних даних

Таблиця 1

Склад звіту за завданням 1

5 вирішених завдань згідно з номером варіанта.

Завдання для самостійного вирішення

1.. Чи є випадками такі групи подій: а) досвід – кидання монети; події: А1- Поява герба; А2- Поява цифри; б) досвід – кидання двох монет; події: В 1- Поява двох гербів; В 2 -поява двох цифр; У 3- поява одного герба та однієї цифри; в) досвід – кидання гральної кістки; події: З 1 -поява трохи більше двох очок; С2 -поява трьох чи чотирьох очок; С3 -поява щонайменше п'яти очок; г) досвід – постріл по мішені; події: D1- Попадання; D2 -промах; д) досвід – два постріли по мішені; події: Е0- жодного влучення; Е1- одне влучення; Е2- два влучення; е) досвід - виймання двох карт із колоди; події: F1 -поява двох червоних карток; F2- Поява двох чорних карт?

2. В урні A білих та B чорні кулі. З урни виймають навмання одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля – біла.

3. У урні A білих та B чорні кулі. З урни виймають одну кулю і відкладають убік. Ця куля виявилася білою. Після цього із урни беруть ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля теж буде білою.

4. У урні A білих та B чорні кулі. З урни вийняли одну кулю і, не дивлячись, відклали убік. Після цього зі скриньки взяли ще одну кулю. Він виявився білим. Знайти ймовірність того, що перша куля, відкладена убік, - теж біла.

5. З урни, що містить A білих та B чорних куль, виймають одна одною всі кулі, крім одного. Знайти ймовірність того, що останній куля, що залишилася в урні, буде білою.

6. З урни, в якій A білих куль і B чорних, виймають поспіль всі кулі, що знаходяться в ній. Знайти ймовірність того, що другим по порядку буде вийнята біла куля.

7. В урні A білих та B чорних куль (A > 2). З урни виймають відразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

8. В урні A білих та B чорних кульок (A > 2, B > 3). З урни виймають одразу п'ять куль. Знайти ймовірність ртого, що два з них будуть білими, а три чорними.

9. У партії, що складається з X виробів, є Iдефектних. З партії вибирається контролю I виробів. Знайти ймовірність ртого, що з них рівно J виробів будуть дефектними.

10. Гральна кістка кидається один раз. Знайти ймовірність наступних подій: А -поява парного числа очок; У- Поява не менше 5 очок; С-поява трохи більше 5 очок.

11. Гральна кістка кидається двічі. Знайти ймовірність ртого, що обидва рази з'явиться однакове число очок.

12. Впадають одночасно дві гральні кістки. Знайти ймовірність наступних подій: А- сума очок, що випали, дорівнює 8; У- добуток очок, що випали, дорівнює 8; С-сума очок, що випали більше, ніж їх твір.

13. Кидаються дві монети. Яка з подій є більш імовірною: А -монети ляжуть однаковими сторонами; В -монети ляжуть різними сторонами?

14. У урні A білих та B чорних куль (A > 2; B > 2). З урни виймають одночасно дві кулі. Яка подія більш імовірна: А- кулі одного кольору; В -кулі різних кольорів?

15. Троє гравців грають у карти. Кожному з них здано по 10 карток і дві картки залишено у прикупі. Один із гравців бачить, що у нього на руках 6 карт бубнової масті та 4 - не бубнової. Він скидає дві карти з цих чотирьох і бере собі прикуп. Знайти ймовірність того, що він купить дві бубнові карти.

16. З урни, що містить пперенумерованих куль, навмання виймають один за одним всі кулі, що знаходяться в ній. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих куль будуть йти по порядку: 1, 2,..., п.

17. Та ж урна, що й у попередньому завданні, але кожна куля після виймання вкладається назад і перемішується з іншими, а її номер записується. Знайти ймовірність того, що буде записано природну послідовність номерів: 1, 2,..., п.

18. Повна колода карт (52 аркуша) ділиться навмання на дві рівні пачки по 26 аркушів. Знайти ймовірність наступних подій: А -у кожній з пачок виявиться по два тузи; У- в одній з пачок не буде жодного туза, а в іншій – усі чотири; С-воднієї з пачок буде один туз, а в іншій – три.

19. У розіграші першості з баскетболу беруть участь 18 команд, з яких випадково формуються дві групи по 9 команд у кожній. Серед учасників змагань є 5 команд

екстра-класу. Знайти ймовірність наступних подій: А -всі команди екстра-класу потраплять до однієї групи; У- дві команди екстра-класу потраплять до однієї з груп, а три – до іншої.

20. На дев'яти картках написані цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Дві з них виймаються навмання і укладаються на стіл у порядку появи, потім читається одержане число, наприклад 07(сім), 14 ( чотирнадцять) і т. п. Знайти ймовірність того, що число буде парним.

21. На п'яти картках написано цифри: 1, 2, 3, 4, 5. Дві з них, одна за одною, виймаються. Знайти ймовірність того, що число на другій картці буде більшим, ніж на першій.

22. Те ж питання, що в задачі 21, але перша картка після виймання кладеться назад і перемішується з іншими, а число, що стоїть на ній, записується.

23. У урні A білих, B чорні і C червоні кулі. З урни виймають один за одним всі кулі, що знаходяться в ній, і записують їх кольори. Знайти ймовірність того, що у цьому списку білий колір з'явиться раніше за чорний.

24. Є дві урни: у першій A білих та B чорних куль; у другій C білих та D чорний. З кожної урни виймається по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

25. В умовах задачі 24 знайти ймовірність того, що вийняті кулі будуть різних кольорів.

26. У барабані револьвера сім гнізд, їх у п'яти закладено патрони, а два залишені порожніми. Барабан приводиться в обертання, у результаті проти стовбура випадковим чином виявляється одне з гнізд. Після цього натискається спусковий гачок; якщо осередок був порожній, пострілу не відбувається. Знайти ймовірність ртого, що, повторивши такий досвід двічі поспіль, ми обидва рази не вистрілимо.

27. У тих самих умовах (див. задачу 26) знайти ймовірність того, що обидва рази постріл відбудеться.

28. У урні є А; куль, помічених номерами 1, 2, ..., доЗ урни Iраз виймається по одній кулі (I<к), номер кулі записується і куля кладеться назад у урну. Знайти ймовірність ртого, що всі записані номери будуть різними.

29. З п'яти букв розрізної абетки складено слово «книга». Дитина, яка не вміє читати, розсипала ці літери і потім зібрала в довільному порядку. Знайти ймовірність рте, що в нього знову вийшло слово «книга».

30. З літер розрізної абетки складено слово "ананас". Дитина, яка не вміє читати, розсипала ці літери і потім зібрала в довільному порядку. Знайти ймовірність ртого, що в нього знову слово «ананас

31. З повної колоди карт (52 листи, 4 масті) виймається відразу кілька карт. Скільки карток потрібно вийняти для того, щоб із ймовірністю більшою ніж 0,50 стверджувати, що серед них будуть карти однієї й тієї ж масті?

32. Nлюдина випадково розсідають за круглим столом (N> 2). Знайти ймовірність ртого, що дві фіксовані особи Аі Увиявляться поруч.

33. Те саме завдання (див. 32), але стіл прямокутний, і N людина розсідають випадково вздовж однієї з його сторін.

34. На бочонках лото написано числа від 1 до N.З цих Nдіжок випадково вибираються дві. Знайти ймовірність того, що на обох барилах написані числа, менші ніж k (2

35. На бочонках лото написано числа від 1 до N.З цих Nдіжок випадково вибираються дві. Знайти ймовірність того, що на одній з діжок написано число, більше ніж k , а на іншому - менше ніж k . (2

36. Батарея з Мгармат веде вогонь по групі, що складається з Nцілей (М< N). Знаряддя вибирають собі цілі послідовно, випадковим чином, за умови, що жодні дві гармати стріляти по одній цілі не можуть. Знайти ймовірність ртого, що буде обстріляно цілі з номерами 1, 2,..., М.

37.. Батарея, що складається з догармат, веде вогонь по групі, що складається з Iлітаків (до< 2). Кожна зброя вибирає собі за мету випадково і незалежно від інших. Знайти ймовірність того, що всі дознарядь стрілятимуть по одній і тій самій меті.

38. В умовах попереднього завдання знайти ймовірність того, що всі знаряддя стрілятимуть з різних цілей.

39. Чотири кульки випадково розкидаються по чотирьох лунках; кожна кулька потрапляє в ту чи іншу лунку з однаковою ймовірністю і незалежно від інших (перешкод до попадання в ту саму лунку кількох кульок немає). Знайти ймовірність того, що в одній з лунок виявиться три кульки, в іншій - одна, а в двох інших лунках не буде кульок.

40. Маша посварилася з Петею і не хоче їхати з ним в одному автобусі. Від гуртожитку до інституту з 7 до 8 вирушає 5 автобусів. Той, хто не встиг на ці автобуси, спізнюється на лекцію. Скільки способами Маша і Петя можуть доїхати до інституту на різних автобусах і не запізнитися на лекцію?

41. В інформаційно-технологічному управлінні банку працює 3 аналітики, 10 програмістів та 20 інженерів. Для понаднормової у святковий день начальник управління має виділити одного співробітника. Скільки способами це можна зробити?

42. Начальник служби безпеки банку має щоденно розставляти 10 охоронців за 10 постами. Скільки способами це можна зробити?

43. Новий президент банку повинен призначити 2 нових віце-президентів з числа 10 директорів. Скільки способами це можна зробити?

44. Одна з воюючих сторін захопила 12, а інша – 15 полонених. Скільки можна обміняти 7 військовополонених?

45. Петя та Маша колекціонують відеодиски. У Петі є 30 комедій, 80 бойовиків та 7 мелодрам, у Маші – 20 комедій, 5 бойовиків та 90 мелодрам. Скільки способами Петя і Маша можуть обмінятися 3 комедіями, 2 бойовиками та 1 мелодрамою?

46. ​​В умовах завдання 45 скільки способів Петя і Маша можуть обмінятися 3 мелодрамами та 5 комедіями?

47. В умовах завдання 45 скільки способів Петя і Маша можуть обмінятися 2 бойовиками і 7 комедіями.

48. Одна з воюючих сторін захопила 15, а інша – 16 полонених. Скільки можна обміняти 5 військовополонених?

49. Скільки автомобілів можна зареєструвати в 1 місті, якщо номер має 3 цифри та 3 літери (тільки те чиє написання збігається з латинськими – А,В,Е,К,М,Н,О,Р,С,Т,У,Х )?

50. Одна з воюючих сторін захопила 14, а інша – 17 полонених. Скільки можна обміняти 6 військовополонених?

51. Скільки різних слів можна скласти, переставляючи літери в слові «мама»?

52. У кошику 3 червоних та 7 зелених яблук. З неї виймають одне яблуко. Знайти ймовірність, що воно буде червоним.

53. У кошику 3 червоних та 7 зелених яблук. З неї вийняли і відклали убік одне зелене яблуко. Після чого із кошика виймають ще 1 яблуко. Яка ймовірність того, що це яблуко буде зеленим?

54. У партії, що складається із 1000 виробів, 4 мають дефекти. Для контролю обирають партію зі 100 виробів. Яка ймовірність ТОВ, що у контрольній партії не виявиться бракованих?

56. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 5 з 36". Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав жодного числа.

57. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 5 з 36". Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав одне число.

58. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра «спортлото 5 із 36». Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав 3 числа.

59. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 5 з 36". Граючий відзначав на картці 5 чисел від 1 до 36 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав усі 5 чисел.

60. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 6 із 49". Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав 2 числа.

61. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 6 із 49". Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець не вгадав жодного числа.

62. У 80-ті роки в СРСР була популярна гра "спортлото 6 із 49". Граючий відзначав на картці 6 чисел від 1 до 49 і отримував призи різної гідності, якщо він вгадував різну кількість чисел, оголошених тиражною комісією. Знайти ймовірність того, що гравець вгадав усі 6 чисел.

63. У партії, що складається із 1000 виробів, 4 мають дефекти. Для контролю обирають партію зі 100 виробів. Яка ймовірність ТОВ, що у контрольній партії виявиться лише 1 бракована?

64. Скільки різних слів можна скласти, переставляючи літери в слові «книга»?

65. Скільки різних слів можна скласти, переставляючи літери в слові «ананас»?

66. До ліфту увійшло 6 осіб, а гуртожиток має 7 поверхів. Яка ймовірність того, що всі 6 людей вийдуть на одному поверсі?

67. До ліфту увійшло 6 осіб, будинок має 7 поверхів. Яка ймовірність того, що всі 6 людей вийдуть на різних поверхах?

68. Під час грози на ділянці між 40 та 79 км лінії електропередачі стався обрив дроту. Вважаючи, що обрив однаково можливий у будь-якій точці, знайти ймовірність того, що обрив стався між 40-м і 45-м кілометрами.

69. На 200 кілометровій ділянці газопроводу відбувається витік газу між компресорними станціями А і В, який однаково можливий у будь-якій точці трубопроводу. яка ймовірність того, що витік відбувається не далі 20 км від А

70. На 200 кілометровій ділянці газопроводу відбувається витік газу між компресорними станціями А і В, який однаково можливий у будь-якій точці трубопроводу. яка ймовірність того, що витік відбувається ближче до А, ніж до В

71. Радар інспектора ДПС має точність 10 км\годину і округляє у найближчий бік. Що відбувається частіше – заокруглення на користь водія чи інспектора?

72. Маша витрачає на дорогу до інституту від 40 до 50 хвилин, причому будь-який час у цьому проміжку є рівноймовірним. Яка ймовірність того, що вона витратить на дорогу від 45 до 50 хвилин.

73. Петя і Маша домовилися зустрітися біля пам'ятника Пушкіну з 12 до 13 години, проте ніхто не зміг вказати точно час приходу. Вони домовилися чекати один на одного 15 хвилин. Яка ймовірність їхньої зустрічі?

74. Рибалки спіймали у ставку 120 риб, з них 10 виявилися окольцованними. Яка можливість зловити окольцованную рибу?

75. З кошика містить 3 червоних і 7 зелених яблук виймають усі яблука по черзі. яка ймовірність того, що 2-е яблуко виявиться червоним?

76. З кошика, що містить 3 червоних і 7 зелених яблук, виймають усі яблука по черзі. яка ймовірність того, що останнє яблуко виявиться зеленим?

77. Студенти вважають, що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя та Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Яка ймовірність того, що Маші дістався «добрий» квиток?

78. Студенти вважають, що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя та Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Якою є ймовірність того, що їм обом дістався «добрий» квиток?

79. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка ймовірність того, що Маша відповість на 3 питання?

80. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка ймовірність того, що Маша не відповість на жодне запитання?

81. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка можливість того що Маша відповість на одне запитання?

82. Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - держ. органи, 20% - інші банки, інше – фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 та 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

83. Можливість те, що тижневий оборот продавця морозивом перевищить 2000 крб. становить 80% при ясній погоді, 50% при мінливій хмарності та 10% при дощовій погоді. Яка ймовірність що оборот перевищить 2000 руб. якщо ймовірність ясної погоди – 20%, а мінливої ​​хмарності та дощів – по 40%.

84. В урні А білих (б) та В чорних (ч) куль. З урни виймають (одночасно чи послідовно) дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білими.

85. У урні А білих і В

86. В урні А білих і В

87. В урні А білих і В чорні кулі. З урни виймається одна куля, відзначається її колір і куля повертається в урну. Після цього із урни береться ще одна куля. Знайти ймовірність того, що ці кулі будуть різними кольорами.

88. Є коробка з дев'ятьма новими тенісними м'ячами. Для гри беруть три м'ячі; після гри їх кладуть назад. При виборі м'ячів грані від неграних не відрізняють. Якою є ймовірність того, що після трьох ігор у коробці не залишиться неграних м'ячів?

89. Ідучи з квартири, N кожен гість одягне свої калоші;

90. Ідучи з квартири, Nгостей, які мають однакові розміри взуття, одягають калоші у темряві. Кожен з них може відрізнити праву калош від лівої, але не може відрізнити свою від чужої. Знайти ймовірність того, що кожен гість, одягне галоші, що відносяться до однієї пари (може бути і не свої).

91. В умовах завдання 90знайти ймовірність того, що кожен піде у своїх галошах якщо гості не можуть відрізнити правої калоші від лівої і просто беруть перші два калоші, що попалися.

92. Ведеться стрілянина літаком, вразливими частинами якого є два двигуни і кабіна пілота. Для того, щоб вразити (вивести з ладу) літак, достатньо вразити обидва двигуни разом або кабіну пілота. За даних умов стрілянини ймовірність ураження першого двигуна дорівнює p1другого двигуна р2,кабіни пілота р3.Частини літака уражаються незалежно одна від одної. Знайти ймовірність того, що літак буде вражений.

93. Два стрілки, незалежно один від одного, роблять по два постріли (кожен за своєю мішенню). Імовірність попадання в ціль при одному пострілі для першого стрілка p1для другого р2.Вигравшим змагання вважається той стрілець, в мішені якого буде більше пробоїн. Знайти ймовірність Рхтого, що виграє перший стрілець.

94. за космічним об'єктом, об'єкт виявляється з ймовірністю нар.Виявлення об'єкта у кожному циклі відбувається незалежно від інших. Знайти ймовірність того, що при пциклів об'єкт буде виявлено.

95. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово "кінець".

96. Дві кульки розкидаються випадково і незалежно одна від одної по чотирьох осередках, розташованих одна за одною по прямій лінії. Кожна кулька з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну комірку. Знайти ймовірність того, що кульки потраплять до сусідніх осередків.

97. Здійснюється стрілянина літаком запальними снарядами. Пальне літаком зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за одним. Площі баків однакові. Для того щоб запалити літак, достатньо потрапити двома снарядами або в той самий бак, або в сусідні баки. Відомо, що в область баків потрапило два снаряди. Знайти ймовірність того, що літак спалахне.

98. З повної колоди карт (52 листи) виймаються одразу чотири карти. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

99. З повної колоди карт (52 аркуша) виймаються відразу чотири карти, але кожна карта після виймання повертається у колоду. Знайти ймовірність того, що всі ці чотири карти будуть різних мастей.

100. При включенні запалення двигун починає працювати з ймовірністю нар.

101. Прилад може працювати у двох режимах: 1) нормальному та 2) ненормальному. Нормальний режим спостерігається у 80% всіх випадків роботи приладу; ненормальний – у 20 %. Ймовірність виходу приладу за час tу нормальному режимі дорівнює 0,1; у ненормальному – 0,7. Знайти повну ймовірність рвиходу приладу із ладу.

102. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го та 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 та 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того, що куплений бракований товар надійшов від другого постачальника.

103. Потік автомобілів повз АЗС складається на 60% з вантажних та на 40% з легкових автомобілів. Якою є ймовірність знаходження на АЗС вантажного автомобіля, якщо ймовірність його заправки 0.1, а легкового – 0.3

104. Потік автомобілів повз АЗС складається на 60% з вантажних та на 40% з легкових автомобілів. Якою є ймовірність знаходження на АЗС вантажного автомобіля, якщо ймовірність його заправки 0.1, а легкового – 0.3

105. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го та 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 та 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того, що куплений бракований товар надійшов від одного постачальника.

106. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово "книга".

107. Магазин отримує товар від 3 постачальників: 55% від 1-го, 20 від 2-го та 25% від 3-го. Частка шлюбу становить 5, 6 та 8 відсотків відповідно. Яка ймовірність того, що куплений бракований товар надійшов від одного постачальника.

108. Дві кульки розкидаються випадково і незалежно одна від одної по чотирьох осередках, розташованих одна за одною по прямій лінії. Кожна кулька з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну комірку. Знайти ймовірність того, що 2 кульки потраплять в один осередок

109. При включенні запалювання двигун починає працювати з ймовірністю нар.Знайти ймовірність, що двигун почне працювати при другому включенні запалювання;

110. Здійснюється стрілянина літаком запальними снарядами. Пальне літаком зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за одним. Площі баків однакові. Для того щоб запалити літак, достатньо потрапити двома снарядами в той самий бак. Відомо, що в область баків потрапило два снаряди. Знайти ймовірність того, що літак спалахне

111. Здійснюється стрілянина літаком запальними снарядами. Пальне літаком зосереджено в чотирьох баках, розташованих у фюзеляжі один за одним. Площі баків однакові. Для того, щоб запалити літак, достатньо потрапити двома снарядами до сусідніх баків. Відомо, що в область баків потрапило два снаряди. Знайти ймовірність того, що літак спалахне

112.В урні А білих і В чорні кулі. З урни виймається одна куля, відзначається її колір і куля повертається в урну. Після цього із урни береться ще одна куля. Знайти ймовірність того, що обидві вийняті кулі будуть білими.

113. В урні А білих і В чорні кулі. З урни виймаються відразу дві кулі. Знайти ймовірність того, що ці кулі будуть різними кольорами.

114. Дві кульки розкидаються випадково і незалежно одна від одної по чотирьох осередках, розташованих одна за одною по прямій лінії. Кожна кулька з однаковою ймовірністю 1/4 потрапляє в кожну комірку. Знайти ймовірність того, що кульки потраплять до сусідніх осередків.

115. Маша прийшла на іспит знаючи відповіді на 20 питань програми з 25. Професор ставить 3 питання. Яка ймовірність того, що Маша відповість на 2 питання?

116. Студенти вважають, що з 50 квитків 10 є «хорошими». Петя та Маша по черзі тягнуть по одному квитку. Якою є ймовірність того, що їм обом дістався «добрий» квиток?

117. Статистика запитів кредитів у банку така: 10% - держ. органи, 20% - інші банки, інше – фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 та 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

118. 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки. П'ять карток виймаються навмання одна одною і вкладаються стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово "кінець".

119 Статистика запитів кредитів у банку така: 10% – держ. органи, 20% - інші банки, інше – фізичні особи. Імовірність неповернення кредитів відповідно 0.01, 0.05 та 0.2. Яка частка кредитів не повертається?

120. Можливість те що тижневий оборот продавця морозивом перевищить 2000 крб. становить 80% при ясній погоді, 50% при мінливій хмарності та 10% при дощовій погоді. Яка ймовірність що оборот перевищить 2000 руб. якщо ймовірність ясної погоди – 20%, а мінливої ​​хмарності та дощів – по 40%.

При виведенні формули ймовірності передбачалося, що ймовірності гіпотез відомі до досвіду. Формула Байєса дозволяє проводити переоцінку початкових гіпотез у світлі нової інформації, що полягає в тому, що подія сталося. Тому формулу Байєса називають формулою уточнення гіпотез.

Теорема (Формула Байєса). Якщо подія може відбуватися лише з однією з гіпотез
, які утворюють повну групу подій, то ймовірність гіпотез за умови, що подія сталося, обчислюється за формулою

,
.

Доведення.

Формула Байєса чи байесовський підхід до оцінки гіпотез грає значної ролі економіки, т.к. дає можливість коригувати управлінські рішення, оцінки невідомих параметрів розподілу ознак, що вивчаються в статистичному аналізі і.т.п.

приклад. Електролампи виготовляються на двох заводах. Перший завод виробляє 60% загальної кількості електроламп, другий – 40%. Продукція першого заводу містить 70% стандартних ламп, другого – 80%. До магазину надходить продукція обох заводів. Лампочка, куплена в магазині, виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що лампа виготовлена ​​першому заводі.

Запишемо умову завдання, вводячи відповідні позначення.

Дано: подія полягає в тому, що стандартна лампа.

Гіпотеза
полягає в тому, що лампа виготовлена ​​на першому заводі

Гіпотеза
полягає в тому, що лампа виготовлена ​​на другому заводі.

Знайти
.

Рішення.

5. Повторні незалежні випробування. Формула Бернуллі

Розглянемо схему незалежних випробуваньабо схему Бернуллі, яка має важливе наукове значення та різноманітні практичні застосування.

Нехай проводиться незалежних випробувань, у кожному з яких може статися певна подія .

Визначення. Випробування називаютьсянезалежними якщо в кожному з них подія

, яка не залежить від того з'явилася чи не з'явилася подія
у інших випробуваннях.

приклад. На випробувальний стенд поставлено 20 ламп розжарювання, які випробовуються під навантаженням протягом 1000 годин. Імовірність того, що лампа витримає випробування дорівнює 0,8 і не залежить від того, що трапилося з іншими лампами.

У цьому прикладі під випробуванням розуміється перевірка лампи на її здатність витримати навантаження протягом 1000 годин. Тому кількість випробувань дорівнює
. У кожному окремому випробуванні можливі лише два результати:

Визначення. Серія повторних незалежних випробувань, у кожному з яких подія
настає з однією і тією ж ймовірністю
, яка не залежить від номера випробування, називаєтьсясхемою Бернуллі.

Ймовірність протилежної події позначають
, причому, як було доведено вище,

Теорема. В умовах схеми Бернуллі ймовірність того, що при незалежних випробуваннях подія з'явиться
раз, визначається за формулою

де
кількість проведених незалежних випробувань;

кількість появи події
;

ймовірність настання події
в окремому випробуванні;

ймовірність не настання події
в окремому випробуванні;