Вирішити графічне рівняння. Графічне розв'язання квадратних нерівностей

Початковий рівень

Вирішення рівнянь, нерівностей, систем за допомогою графіків функцій. Візуальний гід (2019)

Багато завдань, які ми звикли обчислювати суто алгебраїчно, можна набагато легше і швидше вирішити, у цьому нам допоможе використання графіків функцій. Ти скажеш "як так?" креслити щось, та й що креслити? Повір мені, іноді це зручніше та простіше. Почнемо? Почнемо з рівнянь!

Графічне вирішення рівнянь

Графічне вирішення лінійних рівнянь

Як ти вже знаєш, графіком лінійного рівняння є пряма лінія, звідси назва цього виду. Лінійні рівняння досить легко вирішувати шляхом алгебри - всі невідомі переносимо в один бік рівняння, все, що нам відомо - в іншу і вуаля! Ми знайшли корінь. Зараз я покажу тобі, як це зробити графічним способом.

Отже, у тебе є рівняння:

Як його вирішити?
Варіант 1, і найпоширеніший - перенести невідомі в один бік, а відомі в інший, отримуємо:

А тепер будуємо. Що в тебе вийшло?

Як ти вважаєш, що є коренем нашого рівняння? Правильно, координата точки перетину графіків:

Наша відповідь -

Ось і вся премудрість графічного рішення. Як ти з легкістю можеш перевірити, що коренем нашого рівняння є число!

Як я говорила вище, це найпоширеніший варіант, наближений до рішення алгебри, але можна вирішувати і по-іншому. Для розгляду альтернативного рішення повернемося до нашого рівняння:

На цей раз не будемо нічого переносити з боку в бік, а побудуємо графіки безпосередньо, тому що вони зараз є:

Збудував? Дивимося!

Що рішення цього разу? Все вірно. Те саме - координата точки перетину графіків:

І знову наша відповідь - .

Як ти бачиш, з лінійними рівняннями все дуже просто. Настав час розглянути щось складніше... Наприклад, графічне розв'язання квадратних рівнянь.

Графічне розв'язання квадратних рівнянь

Отже, тепер приступимо до розв'язання квадратного рівняння. Допустимо, тобі потрібно знайти коріння цього рівняння:

Звичайно, ти можеш зараз почати рахувати через дискримінант, або за теоремою Вієта, але багато хто на нервах помиляється при перемноженні або в зведенні в квадрат, особливо якщо приклад з великими числами, а калькулятора, як ти знаєш, у тебе на іспиті не буде… Тому, давай спробуємо трохи розслабитися та помалювати, вирішуючи це рівняння.

Графічно знайти рішення даного рівняння можна у різний спосіб. Розглянемо різні варіанти, а вже ти сам обереш, який найбільше тобі сподобається.

Спосіб 1. Безпосередньо

Просто будуємо параболу за цим рівнянням:

Щоб зробити це швидко, дам тобі одну маленьку підказку: зручно розпочати побудову з визначення вершини параболи.Визначити координати вершини параболи допоможуть такі формули:

Ти скажеш «Стоп! Формула дуже схожа на формулу знаходження дискримінанта» так, так воно і є, і це є величезним мінусом «прямої» побудови параболи, щоб знайти її коріння. Тим не менш, давай дорахуємо до кінця, а потім я покажу, як це зробити набагато (набагато!) Простіше!

Порахував? Які координати вершини параболи в тебе вийшли? Давай розбиратися разом:

Така сама відповідь? Молодець! І ось ми знаємо вже координати вершини, а для побудови параболи нам потрібно ще… крапок. Як ти вважаєш, скільки мінімум точок нам необхідно? Правильно, .

Ти знаєш, що парабола симетрична щодо своєї вершини, наприклад:

Відповідно, нам необхідно ще дві точки по лівій або правій гілки параболи, а надалі ми ці точки симетрично відобразимо на протилежний бік:

Повертаємося до нашої параболи. Для нашого випадку крапка. Нам потрібно ще дві точки, відповідно, можна взяти позитивні, а можна взяти негативні? Які точки тобі зручніші? Мені зручніше працювати з позитивними, тому я розрахую за в.

Тепер у нас є три точки, і ми спокійно можемо побудувати нашу параболу, відобразивши дві останні точки щодо її вершини:

Як ти вважаєш, що є рішенням рівняння? Правильно точки, в яких, тобто і. Тому що.

І якщо ми говоримо, що, то значить, що теж має бути рівним, або.

Просто? Це ми закінчили з тобою рішення рівняння складним графічним способом, чи ще буде!

Звичайно, ти можеш перевірити нашу відповідь алгебраїчним шляхом - порахуєш коріння через теорему Вієта чи Дискримінант. Що в тебе вийшло? Теж саме? Ось бачиш! Тепер подивимося просте графічне рішення, впевнена, воно тобі дуже сподобається!

Спосіб 2. З розбивкою на кілька функцій

Візьмемо все теж наше рівняння: але запишемо його дещо по-іншому, а саме:

Чи можемо ми так записати? Можемо, оскільки перетворення рівносильне. Дивимося далі.

Побудуємо окремо дві функції:

1. - Графіком є ​​проста парабола, яку ти з легкістю побудуєш навіть без визначення вершини за допомогою формул та складання таблиці для визначення інших точок.
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти так само легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Збудував? Порівняємо з тим, що вийшло у мене:

Як ти вважаєш, що в даному випадку є корінням рівняння? Правильно! Координати, які вийшли при перетині двох графіків і, тобто:

Відповідно, рішенням цього рівняння є:

Що скажеш? Погодься, цей спосіб вирішення набагато легший, ніж попередній і навіть легший, ніж шукати коріння через дискримінант! А якщо так, спробуй цим способом вирішити наступне рівняння:

Що в тебе вийшло? Порівняємо наші графіки:

За графіками видно, що відповідями є:

Впорався? Молодець! Тепер подивимося рівняння трохи складніше, а саме, рішення змішаних рівнянь, тобто рівнянь, що містять функції різного виду.

Графічне вирішення змішаних рівнянь

Тепер спробуємо вирішити таке:

Звичайно, можна привести все до спільного знаменника, знайти коріння рівняння, що вийшло, не забувши при цьому врахувати ОДЗ, але ми знову ж таки, спробуємо вирішити графічно, як робили у всіх попередніх випадках.

На цей раз давай побудуємо 2 наступні графіки:

1. - графіком є ​​гіпербола
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Зрозумів? Тепер займися шикуванням.

Ось що вийшло у мене:

Дивлячись на цей малюнок, скажи, що є корінням нашого рівняння?

Правильно, в. Ось і підтвердження:

Спробуй підставити наше коріння у рівняння. Вийшло?

Все вірно! Погодься, графічно вирішувати подібні рівняння одне задоволення!

Спробуй самостійно графічним способом вирішити рівняння:

Даю підказку: перенеси частину рівняння у правий бік, щоб з обох боків виявились найпростіші для побудови функції. Натяк зрозумів? Дій!

Тепер подивимося, що в тебе вийшло:

Відповідно:

1. - кубічна парабола.
2. - Звичайна пряма.

Ну і будуємо:

Як ти вже давно у себе записав, коренем даного рівняння є .

Вирішивши таку велику кількість прикладів, впевнена, ти усвідомив якомога легко і швидко вирішувати рівняння графічним шляхом. Настав час розібратися, як вирішувати таким способом системи.

Графічне вирішення систем

Графічне рішення систем насправді нічим не відрізняється від графічного рішення рівнянь. Ми також будуватимемо два графіки, і їх точки перетину і будуть корінням даної системи. Один графік – одне рівняння, другий графік – інше рівняння. Все дуже просто!

Почнемо з найпростішого – вирішення систем лінійних рівнянь.

Вирішення систем лінійних рівнянь

Припустимо, у нас є така система:

Для початку перетворимо її таким чином, щоб зліва було все, що пов'язано з, а праворуч - що пов'язано з. Іншими словами, запишемо дані рівняння як функцію у звичному для нас вигляді:

А тепер просто будуємо дві прямі. Що у нашому випадку є рішенням? Правильно! Крапка їхнього перетину! І тут необхідно бути дуже уважним! Подумай чому? Натякну: ми маємо справу із системою: у системі є і, і… Натяк зрозумів?

Все вірно! Вирішуючи систему, ми повинні дивитися обидві координати, а не тільки як при розв'язанні рівнянь! Ще один важливий момент – правильно їх записати і не переплутати, де в нас значення, а де значення! Записав? Тепер давай усе порівняємо по порядку:

І відповіді: і. Зроби перевірку - підставь знайдене коріння в систему і переконайся, чи правильно ми її вирішили графічним способом?

Вирішення систем нелінійних рівнянь

А якщо замість однієї прямої, у нас буде квадратне рівняння? Та нічого страшного! Просто ти замість прямої збудуєш параболу! Не віриш? Спробуй вирішити таку систему:

Який наступний наш крок? Правильно, записати так, щоб нам було зручно будувати графіки:

А тепер так взагалі справа за малим – збудував швиденько і ось тобі рішення! Будуємо:

Графіки вийшли такими самими? Тепер відзнач на малюнку рішення системи та грамотно запиши виявлені відповіді!

Все зробив? Порівняй із моїми записами:

Все вірно? Молодець! Ти вже клацаєш подібні завдання, як горішки! А якщо так, дамо тобі систему складніше:

Що ми робимо? Правильно! Записуємо систему так, щоб було зручно будувати:

Трохи тобі підкажу, тому що система виглядає дуже не простою! Будуючи графіки, будуй їх «більше», а головне, не дивуйся кількості точок перетину.

Тож поїхали! Видихнув? Тепер починай будувати!

Ну як? Гарно? Скільки точок перетину в тебе вийшло? У мене три! Давай порівнювати наші графіки:

Так само? Тепер акуратно запиши всі рішення нашої системи:

А тепер ще раз подивися на систему:

Уявляєш, що ти вирішив це за якихось 15 хвилин? Погодься, математика - це все-таки просто, особливо коли дивлячись на вираз, не боїшся помилитися, а береш і вирішуєш! Ти великий молодець!

Графічне розв'язання нерівностей

Графічне вирішення лінійних нерівностей

Після останнього прикладу тобі все під силу! Зараз видихни - в порівнянні з попередніми розділами цей буде дуже легким!

Почнемо ми, як завжди з графічного рішення лінійної нерівності. Наприклад, ось цього:

Для початку проведемо найпростіші перетворення - розкриємо дужки повних квадратів і наведемо такі складові:

Нерівність несувора, тому - не включається в проміжок, і рішенням будуть всі точки, які знаходяться правіше, тому що більше, більше і так далі:

Відповідь:

От і все! Чи легко? Давай вирішимо просту нерівність із двома змінними:

Намалюємо у системі координат функцію.

Такий графік у тебе вийшов? А тепер уважно дивимося, що там у нас у нерівності? Менше? Значить, зафарбовуємо все, що знаходиться ліворуч від нашої прямої. А якби було більше? Правильно, тоді зафарбовували б усе, що знаходиться правіше за нашу пряму. Все просто.

Всі рішення цієї нерівності «затушовані» помаранчевим кольором. Ось і все, нерівність із двома змінними вирішена. Це означає, що координати будь-якої точки із зафарбованої області - і є рішення.

Графічне розв'язання квадратних нерівностей

Тепер розбиратимемося з тим, як графічно вирішувати квадратні нерівності.

Але перш, ніж перейти безпосередньо до справи, давай повторимо деякий матеріал, що стосується квадратної функції.

А за що у нас відповідає дискримінант? Правильно, за положення графіка щодо осі (якщо не пам'ятаєш цього, то тоді точно прочитай теорію про квадратичні функції).

У будь-якому випадку, ось тобі невелика табличка-нагадувачка:

Тепер, коли ми освіжили у пам'яті весь матеріал, перейдемо до справи – вирішимо графічно нерівність.

Відразу тобі скажу, що є два варіанти його вирішення.

Варіант 1

Записуємо нашу параболу як функцію:

За формулами визначаємо координати вершини параболи (так само, як і при розв'язанні квадратних рівнянь):

Порахував? Що в тебе вийшло?

Тепер візьмемо ще дві різні точки і порахуємо для них:

Починаємо будувати одну гілку параболи:

Симетрично відбиваємо наші точки на іншу галузь параболи:

А тепер повертаємось до нашої нерівності.

Нам необхідно, щоб було менше нуля, відповідно:

Так як у нашій нерівності стоїть знак строго менший, то кінцеві точки ми виключаємо - «виколюємо».

Відповідь:

Довгий спосіб, правда? Зараз я покажу тобі простіший варіант графічного рішення на прикладі тієї самої нерівності:

Варіант 2

Повертаємося до нашої нерівності та відзначаємо потрібні нам проміжки:

Погодься, це набагато швидше.

Запишемо тепер відповідь:

Розглянемо ще один спосіб рішення, який спрощує і алгебраїчну частину, але головне не заплутатися.

Помножимо ліву та праву частини на:

Спробуй самостійно вирішити наступну квадратну нерівність будь-яким способом, що сподобався тобі: .

Впорався?

Дивись, як графік вийшов у мене:

Відповідь: .

Графічне вирішення змішаних нерівностей

Тепер перейдемо до складніших нерівностей!

Як тобі таке:

Жах, правда? Чесно кажучи, я гадки не маю, як вирішити таке алгебраїчно… Але, воно і не треба. Графічно нічого складного у цьому немає! Очі бояться, а руки роблять!

Перше, з чого ми почнемо, це з побудови двох графіків:

Я не розписуватиму для кожного таблицю - впевнена, ти чудово впораєшся з цим самостійно (ще б пак, стільки прорішати прикладів!).

Розписав? Тепер будуй два графіки.

Порівняємо наші малюнки?

У тебе так само? Чудово! Тепер розставимо точки перетину і кольором визначимо, який графік у нас за ідеєю має бути більшим, тобто. Дивись, що вийшло в результаті:

А тепер просто дивимося, де у нас виділений графік знаходиться вище, ніж графік? Сміливо бери олівець і зафарбовуй цю область! Вона і буде розв'язанням нашої складної нерівності!

На яких проміжках по осі у нас вище, ніж? Правильно, . Це і є відповідь!

Ну ось, тепер тобі під силу і будь-яке рівняння, і будь-яка система, і тим більше будь-яка нерівність!

КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Алгоритм розв'язання рівнянь із використанням графіків функцій:

1. Виразимо через
2. Визначимо тип функції
3. Побудуємо графіки функцій, що вийшли
4. Знайдемо точки перетину графіків
5. Коректно запишемо відповідь (з урахуванням ОДЗ та знаків нерівностей)
6. Перевіримо відповідь (підставимо коріння у рівняння чи систему)

Докладніше про побудову графіків функцій дивись у темі « ».

Одним із способів розв'язання рівнянь є графічний спосіб. Він заснований на побудові графіків функції та визначення точок їх перетину. Розглянемо графічний спосіб розв'язання квадратного рівняння a*x^2+b*x+c=0.

Перший спосіб вирішення

Перетворимо рівняння a*x^2+b*x+c=0 на вигляд a*x^2 =-b*x-c. Будуємо графіки двох функцій y=a*x^2 (парабола) та y=-b*x-c (пряма). Шукаємо точки перетину. Абсциси точок перетину і будуть рішенням рівняння.

Покажемо на прикладі:розв'язати рівняння x^2-2*x-3=0.

Перетворимо його на x^2 =2*x+3. Будуємо в одній системі координат графіки функції y=x^2 та y=2*x+3.

Графіки перетинаються у двох точках. Їхні абсциси будуть корінням нашого рівняння.

Рішення за формулою

Для переконливості перевіримо це рішення аналітичним шляхом. Розв'яжемо квадратне рівняння за формулою:

D = 4-4 * 1 * (-3) = 16.

X1 = (2 +4) / 2 * 1 = 3.

X2 = (2-4) / 2 * 1 = -1.

Значить, рішення збігаються.

Графічний спосіб розв'язання рівнянь має свій недолік, з допомогою нього який завжди можна отримати точне рішення рівняння. Спробуємо розв'язати рівняння x 2 = 3 + x.

Побудуємо в одній системі координат параболу y=x^2 та пряму y=3+x.

Знову отримали схожий малюнок. Пряма та парабола перетинаються у двох точках. Але точні значення абсцис цих точок ми сказати не можемо, тільки наближені: x-1,3 x-2,3.

Якщо нас влаштовують відповіді такої точності, можна скористатися цим методом, але таке буває рідко. Зазвичай потрібні точні рішення. Тому графічний спосіб використовують рідко, і переважно перевірки вже наявних рішень.

Потрібна допомога у навчанні?

На уроці учні продемонстрували знання та вміння програми:

- Розпізнавати види функції, будувати їх графіки;
- Відпрацьовували навички побудови квадратичної функції;
- Відпрацьовували графічні способи розв'язання квадратних рівнянь, використовуючи метод виділення повного квадрата.

Мені захотілося приділити особливу увагу вирішенню завдань із параметром, тому що ЄДІ з математики пропонує дуже багато завдань такого типу.

Можливість застосувати на уроці такий вид роботи дали мені самі учні, оскільки вони мають достатню базу знань, які можна поглибити та розширити.

Заздалегідь підготовлені учнями шаблони дозволили заощаджувати час уроку. Під час уроку мені вдалося реалізувати поставлені завдання на початку уроку та отримати очікуваний результат.

Використання фізкультхвилинки допомогло уникнути перевтоми учнів, зберегти продуктивну мотивацію здобуття знань.

Загалом результатом уроку я задоволена, але думаю, що ще є резервні можливості: сучасні інноваційні технологічні засоби, якими ми, на жаль, не маємо можливості користуватися.

Тип уроку:закріплення вивченого матеріалу.

Цілі уроку:

• Загальноосвітні та дидактичні:
  • розвивати різноманітні способи мисленнєвої діяльності учнів;
  • формувати можливості самостійного вирішення завдань;
  • виховувати математичну культуру учнів;
  • розвивати інтуїцію учнів та вміння користуватися отриманими знаннями.
• Навчальні цілі:
  • узагальнити раніше вивчені відомості на тему «Графічне розв'язання квадратних рівнянь»;
  • повторити побудову графіків квадратичної функції;
  • сформувати навички використання алгоритмів розв'язання квадратичних рівнянь графічним методом.
• Виховні:
  • прищеплення інтересу до навчальної діяльності, предмет математики;
  • формування толерантності (терпимості), уміння працювати у колективі.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний момент

– Сьогодні на уроці ми узагальнимо і закріпимо графічне вирішення квадратних рівнянь у різний спосіб.
Надалі ці навички нам будуть потрібні у старших класах на уроках математики під час вирішення тригонометричних і логарифмічних рівнянь, знаходження площі криволінійної трапеції, а також на уроках фізики.

ІІ. Перевірка домашньої роботи

Розберемо на дошці №23.5(г).

Вирішити це рівняння за допомогою параболи та прямої.

Рішення:

х 2 + х - 6 = 0
Перетворимо рівняння: х 2 = 6 - х
Введемо функції:

у = х 2; квадратична функція у = 6 - х лінійна,
графіком явл. парабола, графіком явл. пряма,

Будуємо в одній системі координат графіки функцій (за шаблоном)

Отримали дві точки перетину.

Рішенням квадратного рівняння є абсциси цих точок х 1 = - 3, х 2 = 2.

Відповідь: - 3; 2.

ІІІ. Фронтальне опитування

• Що є графіком квадратичної функції?
• Скажіть алгоритм побудови графіка квадратичної функції?
• Що називається квадратичним рівнянням?
• Наведіть приклади квадратичних рівнянь?
• Запишіть на дошці свій приклад квадратичного рівняння. Назвіть, чому рівні коефіцієнти?
• Що означає розв'язати рівняння?
• Скільки способів ви знаєте графічне розв'язання квадратних рівнянь?
• У чому полягає графічні способи розв'язання квадратних рівнянь:

IV. Закріплення матеріалу

На дошці вирішують учні першим, другим, третім методами.

Клас вирішує четвертим

- х 2 + 6х - 5 = 0

Перетворю квадратне рівняння, виділяючи повний квадрат двочлена:

– х 2 + 6х – 5 = – (х 2 – 6х + 5) = – (х 2 – 6х + 32 – 9 + 5) = – ((х – 3) 2 – 4) = – (х – 3) 2+4

Отримали квадратне рівняння:

– (х – 3) 2 + 4 = 0

Введемо функцію:

у = – (х 2 – 3) 2 + 4

Квадратична функція виду у = а (х + L) 2 + m

Графіком явл. парабола, гілки спрямовані вниз, зрушення основної параболи по осі Ох у право на 3 од., по осі Оу вгору на 4 од., вершина (3; 4).

Будуємо за шаблоном.

Знайшли точки перетину параболи із віссю Ох. Абсциси цих точок явл. розв'язанням даного рівняння. х = 1, х = 5.

Давайте подивимося на інші графічні рішення біля дошки. Прокоментуйте свій спосіб розв'язання квадратних рівнянь.

1 учень

Рішення:

- х 2 + 6х - 5 = 0

Введемо функцію у = - х + 6х - 5, квадратична функція, графіком є ​​парабола, гілки спрямовані вниз, вершина

х 0 = - в/2а
х 0 = - 6 / - 2 = 3
у 0 = - 3 2 + 18 = 9; точка (3; 9)
вісь симетрії х = 3

Будуємо за шаблоном

Отримали точки перетину з віссю Ох, абсцис цих точок є рішенням квадратного рівняння. Два корені х 1 = 1, х 2 = 5

2 учень

Рішення:

- х 2 + 6х - 5 = 0

Перетворимо: - х 2 + 6х = 5

Введемо функції: у1 = - х 2 + 6х, у2 = 5, лінійна функція, квадратична функція, графіком графіком явл. пряма у || Ох явл. парабола, гілки спрямовані вниз, вершина х 0 = – в/2а
х 0 = - 6 / - 2 = 3
у 0 = - 3 2 + 18 = 9;
(3; 9).
вісь симетрії х = 3
Будуємо за шаблоном
Отримали точки перетину
параболи та прямий, їх абсциси є рішенням квадратного рівняння. Два корені х 1 = 1, х 2 = 5
Отже, одне й теж рівняння можна вирішувати різними способами, а відповідь виходити має той самий.

V. Фізкультхвилинка

VI. Розв'язання задачі з параметром

При яких значеннях ррівняння х 2 + 6х + 8 = р:
– Не має коріння?
– Чи має один корінь?
- Має два корені?
Чим відрізняється це рівняння від попереднього?
Правильно, буквою!
Цю букву надалі ми називатимемо параметром, Р.
Поки що вона вам ні про що не говорить. Але ми надалі вирішуватимемо різні завдання з параметром.
Сьогодні вирішимо квадратне рівняння з параметром графічним методом, використовуючи третій спосіб за допомогою параболи та прямої паралельної осі абсцис.
Учень допомагає вчителеві вирішувати біля дошки.
Із чого почнемо вирішувати?

Задамо функції:

у 1 = х 2 + 6х + 8 у 2 = р лінійна функція,
квадратична функція, графіком є ​​пряма
графіком явл. парабола,
гілки спрямовані вниз, вершина

х 0 = - в/2а,
х 0 = - 6/2 = - 3
у 0 = (-3) 2 + 6 (-3) + 8 = - 1
(– 3; – 1)

Вісь симетрії х = 3, таблицю будувати не буду, а візьму шаблон у = х 2 і додаю до вершини параболи.
Парабола збудована! Тепер треба провести пряму у = р.
– Де треба накреслити пряму р, щоб отримати два корені?
– Де треба накреслити пряму рщоб отримати один корінь?
– Де треба накреслити пряму рщоб не було коріння?
– Отже, скільки наше рівняння може мати коріння?
- Сподобалося завдання? Спасибі за допомогу! Оцінка 5.

VII. Самостійна роботаза варіантами (5 хв.)

у = х 2 - 5х + 6 у = - х 2 + х - 6

Вирішити квадратне рівняння графічним способом, вибираючи вам зручний спосіб. Якщо хтось впорається із завданням раніше, перевірте своє рішення іншим способом. За це виставлятиметься додаткова оцінка.

VIII. Підсумок уроку

– Чого ви навчилися на сьогоднішньому уроці?
– Сьогодні на уроці ми з вами квадратні рівняння вирішували графічним методом, використовуючи різні способи розв'язання, та розглянули графічний спосіб розв'язання квадратного рівняння з параметром!
– Переходимо до домашнього завдання.

ІХ. Домашнє завдання

1. Домашня контрольна робота на стор. 147, із задачника Мордковича за варіантами I та II.
2. На гуртку, в середу, вирішуватимемо V-м способом, (гіпербола та пряма).

Х. Література:

1. А.Г. Мордкович. Алгебра-8. Частина 1. Підручник для учнів навчальних закладів. М: Мнемозіна, 2008 р.
2. А.Г. Мордкович, Л.А.Александрова, Т.М. Мішустіна, Є.Є. Тульчинська. Алгебра – 8. Частина 2. Задачник учнів освітніх установ. М: Мнемозіна, 2008 р.
3. А.Г. Мордкович. Алгебра 7-9. Методичний посібник для учителя.М.: Мнемозіна, 2004
4. Л.А. Олександрова. Алгебра-8. Самостійні роботи для учнів освітніх установ. / Под ред. А.Г. Мордковіча. М.: Мнемозіна, 2009

Презентація та урок на тему: "Графічне вирішення квадратних рівнянь"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Ступені та коріння Функції та графіки

Графіки квадратичних функцій

Способи розв'язання квадратичних функцій

Рішення.
Спосіб 1. Побудуємо графік функції $y=x^2+2x-8$ і знайдемо точки перетину з прямою $y=0$. Коефіцієнт при старшому ступені позитивний, отже гілки параболи дивляться нагору. Знайдемо координати вершини:
$x_(в)=-\frac(b)(2a)=\frac(-2)(2)=-1$.
$y_(в)=(-1)^2+2*(-1)-8=1-2-8=-9$.

Крапку з координатами $(-1;-9)$ приймемо за початок нової системи координат і побудуємо в ній графік параболи $y=x^2$.

Ми бачимо дві точки перетину. Вони позначені чорними точками на графіку. Ми вирішуємо рівняння щодо х, тому треба вибрати абсцис цих точок. Вони дорівнюють $-4$ і $2$.
Отже, рішенням квадратного рівняння $x^2+2x-8=0$ є два корені:$ x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 2. Перетворимо вихідне рівняння до виду $x^2=8-2x$.
Таким чином, ми можемо вирішити це рівняння звичайним графічним способом, знайшовши абсциси точок перетину двох графіків $y=x^2$ і $y=8-2x$.
Отримали дві точки перетину, абсциси яких збігаються з отриманими в першому способі рішеннями, а саме $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 3.
Перетворимо вихідне рівняння такого виду: $x^2-8=-2x$.
Побудуємо два графіки $y=x^2-8$ і $y=-2x$ і знайдемо їхні точки перетину.
Графік $y=x^2-8$ є парабола, зміщена на 8 одиниць вниз.
Отримали дві точки перетину, причому абсциси цих точок такі ж, як і у двох попередніх способах, а саме $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 4.
Виділимо повний квадрат у вихідному рівнянні: $x^2+2x-8=x^2+2x+1-9=(x+1)^2-9$.
Побудуємо два графіки функцій $y=(x+1)^2$ та $y=9$. Графіком першої функції є парабола, зміщена однією одиницю вліво. Графік другої функції – це пряма, паралельна осі абсцис і проходить через ординату рівну $9$.
В черговий раз отримали дві точки перетину графіків, причому абсциси цих точок збігаються з отриманими попередніми способами $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Спосіб 5.
Розділимо вихідне рівняння на х: $\frac(x^2)(x)+\frac(2x)(x)-\frac(8)(x)=\frac(0)(x)$.
$x+2-\frac(8)(x)=0$.
$x+2=\frac(8)(x)$.
Вирішимо це рівняння графічно, побудуємо два графіки $ y = x + 2 $ і $ y = \ frac (8) (x) $.
Знову отримали дві точки перетину, причому абсциси цих точок збігаються з одержаними вище $x_1=-4$ і $x_2=2$.

Алгоритм графічного розв'язання квадратичних функцій

Основні способи графічного розв'язання квадратних рівнянь $ax^2+bx+c=0$, $a, b, c$ - будь-які числа, але $a≠0$:
1. Побудувати графік функції $y=ax^2+bx+c$, знайти точки перетину з віссю абсцис, які будуть рішенням рівняння.
2. Побудувати два графіки $y=ax^2$ і $y=-bx-c$, знайти абсциси точок перетину цих графіків.
3. Побудувати два графіки $y=ax^2+c$ і $y=-bx$, знайти абсциси точок перетину цих графіків. Графіком першої функції буде парабола, зміщена або донизу або догори, залежно від знака числа с. Другий графік - пряма, яка проходить через початок координат.
4. Виділити повний квадрат, тобто навести вихідне рівняння до виду: $a(x+l)^2+m=0$.
Побудувати два графіки функції $y=a(x+l)^2$ і $y=-m$, знайти їх точки перетину. Графіком першої функції буде парабола, зміщена вліво або вправо, залежно від знака числа $l$. Графіком другої функції буде пряма, паралельна осі абсцис і вісь ординат, що перетинає, у точці рівної $-m$.
5. Розділити вихідне рівняння на x: $ax+b+\frac(c)(x)=0$.
Перетворити на вигляд: $\frac(c)(x)=-ax-b$.
Знову побудувати два графіки та знайти точки їх перетину. Перший графік – гіпербола, другий графік – пряма. На жаль, графічний метод розв'язання квадратних рівнянь не завжди є добрим способом розв'язання. Точки перетину різних графіків не завжди є цілими числами або можуть мати в абсцис (ординаті) дуже великі числа, які не побудувати на звичайному аркуші паперу.

Наочніше продемонструємо всі ці способи на прикладі.

приклад.
Розв'язати рівняння: $x^2+3x-12=0$,

Рішення.
Побудуємо графік параболи і знайдемо координати вершин: $x_(в)=-\frac(b)(2a)=\frac(-3)(2)=-1,5$.
$y_(в)=(-1,5)^2+2*(-1,5)-8=2,25-3-8=-8,75$.
При побудові такої параболи відразу виникають проблеми, наприклад, щоб правильно відзначити вершину параболи. Щоб точно відзначити ординату вершини потрібно вибрати одну клітинку, рівну 0,25 одиниць масштабу. За такого масштабу потрібно спуститися на 35 одиниць униз, що незручно. Все-таки збудуємо наш графік.
Друга проблема з якою ми стикаємося, це те, що графік нашої функції перетинає вісь абсцис у точці з координатами, які точно визначити неможливо. Можливе приблизне рішення, але математика – це точна наука.
Таким чином, графічний метод виявляється не найзручнішим. Тому для розв'язання квадратних рівнянь потрібно більш універсальний метод, який ми вивчимо на наступних уроках.

Завдання для самостійного вирішення

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду, а якщо хочете навчитися вирішувати завдання – вирішуйте їх.

Д. Пойа

Рівняння– це рівність, що містить одне чи кілька невідомих, за умови, що ставиться завдання знаходження тих значень невідомих, котрим воно істинно.

Вирішити рівняння- Це означає знайти всі значення невідомих, при яких воно звертається у вірну числову рівність, або встановити, що таких значень немає.

Область допустимих значеньрівняння (О.Д.З.)- Це безліч всіх тих значень змінної (змінних), при яких визначені всі вирази, що входять до рівняння.

Багато рівнянь, поданих у ЄДІ, вирішуються стандартними методами. Але ніхто не забороняє використовувати щось незвичайне, навіть у найпростіших випадках.

Так, наприклад, розглянемо рівняння 3 – x 2 = 6 / (2 – x).

Вирішимо його графічно, а потім знайдемо збільшене в шість разів середнє арифметичне його коріння.

Для цього розглянемо функції y = 3 – x 2і y = 6 / (2 - x)та побудуємо їх графіки.

Функція y = 3 – х 2 – квадратична.

Перепишемо цю функцію у вигляді y = -x 2 + 3. Її графіком є ​​парабола, гілки якої спрямовані вниз (бо a = -1< 0).

Вершина параболи буде зміщена по осі ординат на 3 одиниці вгору. Таким чином, координата вершини (0; 3).

Щоб знайти координати точок перетину параболи з віссю абсцис, прирівняємо цю функцію до нуля і вирішимо отримане рівняння:

Таким чином, у точках з координатами (√3; 0) та (-√3; 0) парабола перетинає вісь абсцис (рис. 1).

Графіком функції y = 6/(2 – x) є гіпербола.

Графік цієї функції можна побудувати за допомогою таких перетворень:

1) y = 6/x – зворотна пропорційність. Графік функції – гіпербола. Її можна побудувати за точками, для цього складемо таблицю значень для x та y:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) – графік функції, отриманої у пункті 1, симетрично відображаємо щодо осі ординат (рис. 3).

3) y = 6 / (-x + 2) – зрушуємо графік, отриманий у пункті 2, по осі абсцис на дві одиниці вправо (рис. 4).

Тепер зобразимо графіки функцій y = 3 – x 2 та y = 6 / (2 – x) в одній системі координат (рис. 5).

На малюнку видно, що графіки перетинаються у трьох точках.

Важливо розуміти, що графічний спосіб рішення дозволяє знайти точне значення кореня. Отже, числа –1; 0; 3 (абсциси точок перетину графіків функцій) є поки що передбачуваним корінням рівняння.

За допомогою перевірки переконаємось, що числа -1; 0; 3 – справді коріння вихідного рівняння:

Корінь -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

Їхнє середнє арифметичне:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

Збільшимо його у шість разів: 6 · 2/3 = 4.

Дане рівняння, звичайно ж, можна вирішити і більш звичним способом - алгебраїчним.

Отже, знайти збільшене у шість разів середнє арифметичне коріння рівняння 3 – x 2 = 6 / (2 - x).

Почнемо рішення рівняння з пошуку О.Д.З. У знаменнику дробу не повинен виходити нуль, тому:

Щоб вирішити рівняння, скористаємося основною властивістю пропорції, це дозволить позбутися дробу.

(3 – x 2) (2 - x) = 6.

Розкриємо дужки і наведемо такі складові:

6 - 3x – 2x2+x3=6;

x 3 – 2x 2 - 3x = 0.

Винесемо загальний множник за дужки:

x(x 2 – 2x - 3) = 0.

Скористаємося тим, що добуток дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, тому маємо:

x = 0 або x 2 – 2x - 3 = 0.

Розв'яжемо друге рівняння.

x 2 – 2x - 3 = 0. Воно квадратне, тому скористаємося дискримінантом.

D = 4 – 4 · (-3) = 16;

x 1 = (2 + 4) / 2 = 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

Усі три отриманих кореня задовольняють О.Д.З.

Тому знайдемо їхнє середнє арифметичне і збільшимо його у шість разів:

6 · (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

Насправді графічний спосіб розв'язання рівнянь застосовується досить рідко. Це з тим, що графічне уявлення функцій дозволяє вирішувати рівняння лише наближено. В основному цей метод використовують у тих завданнях, де важливий пошук не самого коріння рівняння – їх чисельних значень, а лише їх кількості.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.