Малюнок 4 чудові точки. Проект "чудові точки трикутника"

Баранова Олена

У цій роботі розглянуті чудові точки трикутника, їх властивості та закономірності такі, як коло дев'яти точок та пряма Ейлера. Наведено історичну довідку відкриття прямої Ейлера та кола дев'яти точок. Запропоновано практичну спрямованість застосування мого проекту.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

«ПРИМІТНІ ТОЧКИ ТРИКУТНИКА». (Прикладні та фундаментальні питання математики) Баранова Олена 8 кл., МКОУ «ЗОШ № 20» Пос. Новобагатий, Духаніна Тетяна Василівна, вчитель математики МКОУ «ЗОШ №20» Селище Новобагатий 2013. Муніципальний казенний загальноосвітній заклад «Середня загальноосвітня школа №20»

Мета: вивчення трикутника на його чудові точки, вивчення їх класифікацій та властивостей. Завдання: 1. Вивчити необхідну літературу 2. Вивчити класифікацію чудових точок трикутника 3.. Познайомитись із властивостями чудових точок трикутника 4. Вміти будувати чудові точки трикутника. 5. Вивчити сферу застосування чудових точок. Об'єкт дослідження - розділ математики - геометрія Предмет дослідження - трикутник Актуальність: розширити свої знання про трикутник, властивості його чудових точок. Гіпотеза: зв'язок трикутника та природи

Точка перетину серединних перпендикулярів Вона рівновіддалена від вершин трикутника і є центром описаного кола. Кола, описані біля трикутників, вершинами яких є середини сторін трикутника і вершини трикутника перетинаються в одній точці, яка збігається з точкою перетину серединних перпендикулярів.

Точка перетину бісектрис Точка перетину бісектрис трикутника рівновіддалена від сторін трикутника. ОМ = ОА = ОВ

Точка перетину висот Точка перетину бісектрис трикутника, вершинами якого є підстави висот, збігається з точкою перетину висот трикутника.

Точка перетину медіан Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини. Якщо точку перетину медіан з'єднати з вершинами, трикутник розіб'ється на три трикутники, рівних за площею. Важливою властивістю точки перетину медіан є той факт, що сума векторів, початком яких є точка перетину медіан, а кінцями - вершини трикутників, дорівнює нулю М1 N C B А м2 м3

Точка Торрічеллі Примітка: точка Торрічеллі існує, якщо всі кути трикутника менше 120.

Окружність дев'яти точок В1, А1, С1 – підстави висот; А2, В2, С2 – середини відповідних сторін; А3, В3, С3 - середини відрізків АН, ВН і СН.

Пряма Ейлера Точка перетину медіан, точка перетину висот, центр кола дев'яти точок лежать на одній прямій, яку називають прямою Ейлера на честь вченого математика, який визначив цю закономірність.

Трохи з історії відкриття чудових точок У 1765 Ейлер виявив, що середини сторін трикутника і підстави його висот лежать на одному колі. Найдивовижнішою властивістю чудових точок трикутника є те, що деякі з них пов'язані один з одним певним співвідношенням. Точка перетину медіан М, точка перетину висот Н, і центр описаного кола Про лежать на одній прямій, причому точка М поділяє відрізок ВІН так, що справедливе співвідношення ОМ: ВІН = 1: 2. Ця теорема була доведена Леонардом Ейлером в 1765 році.

Геометрія зв'язку з природою. У цьому положенні потенційна енергія має найменше значення і сума відрізків МА+МВ+МС буде найменшою, а сума векторів, що лежать на цих відрізках з початком у точці Торрічеллі, дорівнюватиме нулю.

Я дізналася, що крім відомих мені чудових точок перетину висот, медіан, бісектрис і серединних перпендикулярів існують ще чудові точки і лінії трикутника. Отримані знання на цю тему зможу використовувати у своїй навчальній діяльності, самостійно застосовувати теореми до певних завдань, застосовувати вивчені теореми в реальній ситуації. Вважаю, що застосування чудових точок та ліній трикутника у вивченні математики є ефективним. Знання значно прискорює вирішення багатьох завдань. Запропонований матеріал можна використовувати як на уроках математики, так і позакласних заняттях учнями 5-9-х класів.

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього:

У трикутнику є так звані чотири чудові точки: точка перетину медіан. Точка перетину бісектрис, точка перетину висот та точка перетину серединних перпендикулярів. Розглянемо кожну їх.

Точка перетину медіан трикутника

Теорема 1

Про перетин медіан трикутника: Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину щодо $2:1$ починаючи з вершини.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його медіани. Бо медіани ділять сторони навпіл. Розглянемо середню лінію $A_1B_1$ (Мал. 1).

Малюнок 1. Медіани трикутника

За теоремою 1, $AB||A_1B_1$ і $AB=2A_1B_1$, отже, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Отже, трикутники $ABM$ і $A_1B_1M$ подібні за першою ознакою подібності трикутників. Тоді

Аналогічно доводиться, що

Теорему доведено.

Точка перетину бісектрис трикутника

Теорема 2

Про перетин бісектрис трикутника: Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $AM,\BP,\CK$ його бісектриси. Нехай точка $O$ - точка перетину бісектрис $AM\ і BP$. Проведемо з цієї точки перпендикуляри до сторін трикутника (рис. 2).

Малюнок 2. Бісектриси трикутника

Теорема 3

Кожна точка бісектриси нерозгорнутого кута рівновіддалена від його сторін.

По теоремі 3, маємо: $ OX = OZ, \ OX = OY $. Отже, $ OY = OZ $. Значить точка $O$ рівновіддалена від сторін кута $ACB$ і, отже, лежить на його бісектрисі $CK$.

Теорему доведено.

Точка перетину серединних перпендикулярів трикутника

Теорема 4

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються лише у точці.

Доведення.

Нехай дано трикутник $ ABC $, $ n, \ m, \ p $ його серединні перпендикуляри. Нехай точка $ O $ - точка перетину серединних перпендикулярів $ n і $ $ (рис. 3).

Рисунок 3. Серединні перпендикуляри трикутника

Для доказу нам знадобиться така теорема.

Теорема 5

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.

За теоремою 3, маємо: $ OB = OC, \ OB = OA $. Отже, $OA=OC$. Значить, точка $O$ рівновіддалена від кінців відрізка $AC$ і, отже, лежить на його серединному перпендикулярі $p$.

Теорему доведено.

Точка перетину висот трикутника

Теорема 6

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

Доведення.

Розглянемо трикутник $ABC$, де $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ його висоти. Проведемо через кожну вершину трикутника пряму, паралельну до протилежної вершині стороні. Отримуємо новий трикутник $A_2B_2C_2$ (рис. 4).

Рисунок 4. Висоти трикутника

Оскільки $AC_2BC$ і $B_2ABC$ паралелограми із загальною стороною, то $AC_2=AB_2$, тобто точка $A$ -- середина сторони $C_2B_2$. Аналогічно, отримуємо, що точка $ B $ - середина сторони $ C_2A_2 $, а точка $ C $ - середина сторони $ A_2B_2 $. З побудови маємо, що $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Отже, $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ - серединні перпендикуляри трикутника $A_2B_2C_2$. Тоді, за теоремою 4, маємо, що висоти $(AA)_1,\(BB)_1,\(CC)_1$ перетинаються в одній точці.

Ліскинський район, МОУ Аношкінська ЗОШ.

Вчитель математики Сморчкова О.Б.

Мета проекту: навчитися користуватися різною літературою з геометрії, довідковими матеріалами для докладнішого вивчення теми «Чудові точки трикутника», дати повніше уявлення про тему, підготувати презентацію з цієї теми для демонстрації під час виступів і під час уроків.

Геометрія починається зтрикутник. Ось уже два з половиноюної тисячоліття трикутник є як би символом геометрії; але він не лише символ, трикутник – атом геометрії.Та й сьогодні шкільна геометрія стає цікавою тазмістовною, стає власне геометрією тільки з появаванням трикутника. Попередні поняття - точка, прямая, кут - видаються розпливчастими абстракціями, але вбір теорем та завдань, з ними пов'язаний, просто нудним.

Вже з перших кроків свого розвитку людина, а особливо сучасна людина, стикається з різноманітними геометричними об'єктами – фігурами та тілами. Відомі випадки, коли людина в юному, якщо не сказати в дитячому віці, захоплюється геометрією і навіть робить самостійні геометричні відкриття. Так, маленький Блез Паскаль вигадав «гру в геометрію», в якій брали участь «монетки» – кола, «трикутники» – трикутники, «столи» – прямокутники, «палички» – відрізки. Його батько, який ґрунтовно знав математику, на перший час рішуче виключив математику з предметів, яким він навчав свого сина, оскільки маленький Блез не відрізнявся хорошим здоров'ям. Однак, виявивши захопленість сина, він дещо розповів йому про таємничу геометрію, а застав Блеза в момент, коли той виявив, що кути трикутника становлять у сумі два прямі, зворушений батько відкрив своєму 12-річному синові доступ до математичних книг, що зберігалися в домашній бібліотеці.

Трикутник невичерпний – постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всі відомі його властивості, необхідний том, який можна порівняти за обсягом з томом Великої енциклопедії. Про деяких із них, а точніше кажучи, про деяких чудових точках,пов'язаних із трикутником, ми й хочемо розповісти.

Пояснимо спочатку сенс виразу «чудові точки трикутника». Всі ми знаємо, що бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного в цей трикутник кола. Так само в одній точці перетинаються медіани, висоти трикутника, серединні перпендикуляри до його сторін.

Отримані при перетині перерахованих трійок прямих точки, звичайно ж, чудові (адже три прямі, як правило, перетинаються в трьох різних точках). Можливі й чудові точки інших типів, наприклад, точки, в яких досягає екстремуму будь-яка функція, визначена для всіх точок трикутника. З іншого боку, поняття «чудові точки трикутника» слід тлумачити скоріше літературно-емоційному рівні, ніж формально-математичному. Відомий софізм, що «доводить», що всі натуральні числа «цікаві». (Допустивши, що є «нецікаві» числа, візьмемо серед них найменше. Безперечно, це число «цікаве»: воно цікаве вже тим, що воно найменше серед «нецікавих».) Подібна міркування, що «доводить», що всі точки трикутника «чудові» », можна сформулювати і в нашому випадку. Перейдемо до деяких прикладів.

ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ

Доведемо, що існує точка, що рівно віддалена від вершин трикутника, або, інакше, що існує коло, проходячича через три вершини трикутника.Геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок Аі В,є перпендикуляр до відрізка АВ,проходить через його середину (серединний перпендикуляр до відрізка АВ).Розглянемо точку О,в якій перетинаються серединні перпендикуляри до відрізків АВі НД.Крапка Прорівновіддалена від точок А і В, а також від точок Уі З.Тому вона рівновіддалена від точок Аі З,тобто вона лежить і на серединному перпендикулярі до відрізка АС(Рис. 50).

Центр Проописаного кола лежить усередині трикутника, тільки якщо цей трикутник гострокутний. Якщо трикутник прямокутний, то точка Прозбігається з серединою гіпотенузи,

а якщо кут при вершині Зтупий, то прямий АВподіляє точки Про та С.

Якщо у Δ АВСкут при вершині Згострий, то бік АВвидно з точки Про під кутом, рівним 2 <. AOB вдвічі більше за вписане < ACB , що спирається на ту ж дугу. Якщо ж <. C тупий, то бік АВвидно з точки Пропід кутом, рівним 360° - 2<С. Воспользовавшись этим, легко доказать теорему синусов: AB =2 Rsin З,де R- радіус описаного кола Δ АВС.Справді, нехай З 1 - середина сторони АВ.Тоді АС 1 = АТsin <. AOC 1 = R sin З, тому AB =2 AC 1 =2 R sin С. Теорему синусів можна сформулювати і по-іншому: «Проекція діаметра описаного кола, перпендикулярного першій стороні трикутника, на пряму, що містить другу сторону, дорівнює третій стороні». Це таке громіздке твердження є насправді просто теорема синусів.

У математиці нерідко буває отже об'єкти, визначені дуже по-різному, виявляються збігаються. Покажемо на прикладі.

Нехай А 1 , В 1 і C 1 - середини сторін НД, С Аі АВ.Можна довести, що кола, описані близько Δ АВ 1 С 1 , Δ A 1 BC 1 та Δ A 1 B 1 C , перетинаються в одній точці, причому ця точка - центр описаного кола Δ АВС(Рис. 51). Отже, ми маємо дві, здавалося б, зовсім різні точки: точка перетину серединних перпендикулярів до сторін Δ АВСта точка перетину описаних кіл Δ АВ 1 З 1 , Δ AiBCi та Δ AiBiC . А виявляється, що ці дві точки чомусь збігаються!

Проведемо, однак, обіцяний доказ. Достатньо довести, що центр О описаного кола Δ АВСлежить на колах, описаних біля Δ АВ 1 З 1 , Δ А iBCi та Δ A 1 B 1 C . Кути ОВ 1 Аі ОС 1 Апрямі, тому точки У 1 і З 1 лежать на колі діаметром ОА,а значить, точка О лежить на колі, описаному близько Δ AB 1 C 1 . Для Δ AiBCi та Δ А 1 У 1 Здоказ аналогічний.

Доведене твердження є окремим випадком дуже цікавої теореми: якщо на сторонахАВ, НДіСАтрикутникаАВСвзяті довільні точкиЗ 1 , А 1 іУ 1 , то описанікола ΔАВ 1 З 1 , Δ А 1 НД 1 та ΔА 1 У 1 З перетинаються в однійточці.

Зробимо останнє зауваження щодо центру описаного кола. Прямі А 1 У 1 і АВпаралельні, тому ОС 1 перпендикулярна А 1 У 1 Аналогічно ОВ 1 перпендикулярна A 1 C 1 і ОА 1 перпендикулярна У 1 З 1 , тобто. Про- точка перетину висот трикутника A 1 B 1 З 1 ... Стривайте, стривайте! Ми поки що не доводили, що висоти трикутника перетинаються в одній точці. Чи немає тут шляху до доказу? До цієї розмови ми ще повернемось.

ЦЕНТР ВПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ

Доведемо, що бісектриси кутів Δ АВСперетинаються в одній точці. Розглянемо точку Про перетин бісектрис кутів А та Ст.Будь-які точки бісектриси кута A рівновіддалені від прямих АВі АС,а будь-яка точка бісектриси кута B рівновіддалена від прямих АВі НД,тому точка О рівновіддалена від прямих АСі НД,тобто вона лежить на бісектрисі кута C. Точка Про рівновіддалена від прямих АВ, НДі СА,значить, існує коло з центром О,що стосується цих прямих, причому точки дотику лежать самих сторонах, а чи не з їхньої продовженнях. Справді, кути при вершинах А і ВΔ АОВгострі, тому проекція точки на пряму АВлежить усередині відрізка АВ.Для сторін НДі САдоказ аналогічний.

Нехай А 1 , В 1 і З 1 - точки торкання вписаного кола трикутника зі сторонами НД, САі АВ(Рис. 52). Тоді АВ 1 =АС 1 , BC 1 = BA 1 і СА 1 = СВ 1 . Крім того, кут B 1 A 1 C 1 дорівнює кутам при підставі рівнобедреного Δ АВ 1 З 1 (за теоремою про вугілля між дотичною та хордою) і т. д. Для кута B 1 C 1 A 1 та кута A 1 B 1 C 1 доказ аналогічний.

Кути при основі будь-якого рівнобедреного трикутника гострі, тому А 1 В 1 С 1 гострокутний для будь-якого АВС.

Якщо x = AB 1 , y = BC 1 і z = CA 1 , то х+у = с,y + z = a і z + x = b , де а,b і з- Довжини сторін Δ АВС.Складаючи перші дві рівності та віднімаючи з них третю, отримуємо у = (а + з-в) / 2. Аналогічно х=(в+с-а)/2і z =(а+в-с)/2.Слід зазначити, що для чотирикутника подібні міркування не дали б бажаного результату, тому що відповідна система рівнянь

або взагалі немає рішень, або має їх нескінченно багато. Справді, якщо х + у = а,y + z = b , z + t = c і t + x = d , то у=а-х,z = b -y = b - а+хі t = c - b + a -х,а з рівності t + x = d випливає, що a + c = b + d . Тому якщо а+с не дорівнює + d , то система рішень не має, а якщо a + c = b + d , то хможна вибирати довільно, а у,z , t виражаються через х.

Повернемося знову до єдиності розв'язання системи рівнянь для трикутника. Використовуючи її, можна довести таке твердження: нехай кола з центрами А, В і С торкаються зовнішнім чином у точках А 1 , У 1 і З 1 (Рис. 53). Тоді описане коло Δ A 1 B 1 C 1 вписано в Δ АВС.Справді, якщо х, уі z - радіуси кіл; a , b і з- Довжини сторін Δ АВС,то х+у = с,y + z = a , y + x = b .

Доведемо три властивості центру Провписаного кола Δ ABC .

1. Якщо продовження бісектриси кута Зперетинає описане коло Δ АВСу точці М,то МА=МВ=МО(Рис. 54).

Доведемо, наприклад, що у Δ АМОрівні кути при вершинах А і О. Справді,<OAM = < OAB + < BAM і < AOM =< OAC +<А CO , < ОАВ =<ОАС і< ВАМ =<ВСМ = < ACO . Отже, АМ = МО.Аналогічно ВМ = МО.

2. Якщо АВ- основа рівнобедреного Δ АВС,то коло, що стосується сторін<ACB у точках А і В,проходить через точку О (рис. 55).

Нехай О" – середина (меншої) дуги АВаналізованого кола. За якістю кута між дотичною та хордою<CAO "= <О"ВА= <О"АВ, т. е. точка О" лежить на бісектрисі < A . Аналогічно можна показати, що вона лежить і на бісектрисі < B , тобто. О" = Про.

3. Якщо пряма, що проходить через точку О паралельно стороні АВ,перетинає сторони НДі САу точках А 1 і У 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .

Доведемо, що Δ AB 1 O рівнобедрений. Справді, < B 1 OA = < OAB = < B 1 AO (Рис. 56). Тому AB 1 = B 1 0. Аналогічно A 1 B = A 1 O , а значить, A 1 B 1 = A 1 Про+OB 1 = A 1 B + AB 1 .

Нехай у Δ АВСкути при вершинах А, В і Срівні α, β, γ . Обчислимо величину кута, під яким сторона АВвидно з точки О. Оскільки кути Δ АТ Впри вершинах А і В дорівнюють α/2 і β/2, то

< AOB = 180°- (α+β)/2=180°- (180°- γ)/2=90° +γ/2. Ця

формула буває корисна під час вирішення багатьох завдань.

З'ясуємо, наприклад, у якому разі чотирикутник, утворений сторонами АСі НДта бісектрисами АА 1 і ВВ 1 , є вписаним. Чотирьохкутник OA 1 CB 1 вписаний тоді і лише тоді, коли < A 1 CB 1 +

γ+(90° +γ/2) =180°, отже, γ = 60°. У цьому випадку хорди OA 1

і ОВ 1 описаного кола чотирикутника ОА 1 СВ 1 рівні, тому що на них спираються рівні кути OCA 1 і ОСВ 1 .

Вписане коло Δ АВСстосується його сторін у внутрішніх точках. З'ясуємо, які взагалі бувають кола, що стосуються трьох прямих АВ, НДі СА.Центр кола, що стосується двох прямих, що перетинаються, лежить на одній з двох прямих, що ділять навпіл кути між вихідними прямими. Тому центри кіл, що стосуються прямих АВ, НДі З А,лежать на бісектрисах зовнішніх або внутрішніх кутів трикутника (або їх продовженнях). Через точку перетину будь-яких двох бісектрис зовнішніх кутів проходить бісектриса внутрішнього кута. Доказ цього твердження дослівно повторює доказ відповідного твердження для бісектрис внутрішніх кутів. У результаті отримуємо 4 кола з центрами О, Про а , Оьі Про з (Рис. 57). Коло з центром Про а стосується сторони НДі

продовжень сторін АВі АС;це коло називається не вписаною коло Δ АВС.Радіус вписаного кола трикутника зазвичай позначається через г, а радіуси вписаних кіл - через г а , г ьі г з . Між радіусами вписаного та вписаного кіл мають місце такі співвідношення:

г / г з =(р-с)/р таг г з =(р - а) (р-в),де р- Напівпериметр Δ АВС.Доведемо це. Нехай К і L - точки торкання вписаного і вписаного кіл з прямого НД(Рис. 58). Прямокутні трикутники СІКі CO c L подібні, тому

г / г з =ОК/О з L = CK / CL .. Раніше доведено, що СК = (а+в-с)/2=р-с.

Залишається перевірити, що CL = p .

Нехай Мі Р- точки дотику до вписаного кола з прямими АВі АС.Тоді

CL= (CL+CP)/2 = (CB+BL+CA+AP)/2 = (CB+BM+CA+AM)/2 =р

Для доказу співвідношення rr c =(p - a )(p - b ) розглянемо прямокутні трикутники LO C B і КВО,які подібні, тому що

<OBK +< O C BL =(<СВА + <АВ L )/2 = 90 °.

Значить, L Про /ВL =BK /KO , тобто. rr c = KO · LO c = BK · BL . Залишається зауважити, що ВК=(a + c - b )/2= p - b і BL = CL - CB = p - a .

Зазначимо ще одну цікаву властивість (принагідно вже фактично доведене). Нехай вписані та вписані кола стосуються сторони АВу точках Nі М(Рис. 58). Тоді AM = BN . Справді, BN = p - b і АМ = АР = СР-АС = р - в.

Співвідношення rr c =(p - а) (p-у ) і r р=r з (р-с) можна використовувати для виведення формули Герона S 2 = p (p - a )(p - b )(p - c ), де S - площа трикутника. Перемножуючи ці співвідношення, отримуємо r 2 p =(p - a )(p - b )(p - c ). Залишається перевірити, що S = pr . Це легко зробити, розрізавши Δ АВСна ΔАОВ, ΔВОСі ΔСОА.

ТОЧКА ПЕРЕРОСИНИ МЕДІАН

Доведемо, що медіани трикутника перетинаються в одній точці. Розглянемо для цього точку М,в якій перетинаються медіани АА 1 і ВВ 1 . Проведемо у Δ ВВ1Ссередню лінію A 1 A 2 , паралельну ВВ 1 (Рис. 59). Тоді A 1 M : AM = B 1 A 2 : AB 1 = B 1 A 2 : B 1 C = BA 1 :ВС=1:2,тобто точка перетину медіан ВВ 1 і АА 1 ділить медіану АА 1 щодо 1:2. Аналогічно точка перетину медіан СС 1 і АА 1 ділить медіану АА 1 щодо 1:2. Отже, точка перетину медіан АА 1 і ВВ 1 збігається з точкою перетину медіан АА 1 і СС 1 .

Якщо точку перетину медіан трикутника з'єднати з вершинами, то трикутник розіб'ється на три трикутники рівної площі. Справді, достатньо довести, що якщо Р- будь-яка точка медіани АА 1 в АВС,то площі ΔАВРі ΔАСРрівні. Адже медіани АА 1 і РА 1 у Δ АВСта Δ РВСрозрізають їх на трикутники рівної площі.

Справедливим є також і зворотне твердження: якщо для деякої точки Р,лежачій усередині Δ АВС,площі Δ АВР, Δ В СРі ΔСАРрівні, то Р- Точка перетину медіан. Справді, з рівності площ ΔАВРі ΔВСРслід, що відстані від точок А і С до прямої ВРрівні, отже, ВРпроходить через середину відрізка АС.Для АРі СРдоказ аналогічний.

Рівність площ трикутників, на які медіани розбивають трикутник, дозволяє наступним чином знайти відношення площі трикутника s, складеного з медіан ΔАВС,до площі S самого Δ АВС.Нехай М- точка перетину медіан Δ АВС;крапка А"симетрична Ащодо точки М(рис. 60)

З одного боку, площа ΔА"МСдорівнює S/3. З іншого боку, цей трикутник складений із відрізків, довжина кожного з яких дорівнює 2/3 довжини відповідної медіани, тому його площа

дорівнює (2/3) 2 s = 4s/9. Отже, s =3 S /4.

Дуже важливою властивістю точки перетину медіан є те, що сума трьох векторів, що йдуть з неї до вершин трикутника, дорівнює нулю. Зауважимо спочатку, що АМ=1/3(АВ+АС), де М- точка перетину медіан Δ ABC . Справді, якщо

ABA "З- паралелограм, то АА" = АВ + АСі АМ=1/3АА".Тому МА+МВ+МС=1/3(ВА+СА+АВ+СВ+АС+ВС) = 0.

Зрозуміло також, що цією властивістю має тільки точка перетину медіан, оскільки якщо X - будь-яка інша точка, то

ХА+ХВ+ХС=(ХМ+МА)+(ХМ+МВ)+(ХМ+МС)=3ХМ.

Скориставшись цією властивістю точки перетину медіан трикутника, можна довести таке твердження: точка перетину медіан трикутника з вершинами в серединах сторін АВ,CD і EF шестикутника ABCDEF збігається з точкою перетину медіан трикутника з вершинами в серединах сторін НД,DE і FA . Справді, скориставшись тим, що якщо, наприклад, Р- середина відрізка АВ,то для будь-якої точки X справедлива рівність ХА + ХВ = 2ХР,легко довести, що точки перетину медіан обох розглянутих трикутників мають ту властивість, що сума векторів, що йдуть з них у вершини шестикутника, дорівнює нулю. Отже ці точки збігаються.

Точка перетину медіан має одну властивість, що різко виділяє її на тлі інших чудових точок трикутника: якщо Δ А"В"С"є проекцією ΔАВСна площину, то точка перетину медіан Δ А "В" С" є проекцією точки перетину медіан ΔАВСна ту саму площину. Це легко випливає з того, що при проектуванні середина відрізка переходить у середину його проекції, отже, медіана трикутника перетворюється на медіану його проекції. Ні бісектриса, ні висота такою властивістю не мають.

Не можна не відзначити, що точка перетину медіан трикутника є його центром мас, причому центром мас системи трьох матеріальних точок з рівними масами, що знаходяться у вершинах трикутника, так і центром мас пластинки, що має форму даного трикутника. Положення рівноваги трикутника, шарнірно закріпленого в довільній точці X , буде таке положення, при якому промінь ХМспрямований до центру Землі. Для трикутника, закріпленого шарнірно в точці перетину медіан, будь-яке положення є положенням рівноваги. Крім того, трикутник, точка перетину медіан якого спирається на вістря голки, також перебуватиме в положенні рівноваги.

ТОЧКА ПЕРЕМІЩЕННЯ ВИСІТ

Щоб довести, що висоти Δ АВСперетинаються в одній точці, згадаємо шлях доказу, що намітився наприкінці розділу «Центр описаного кола». Проведемо через вершини А, Ві Зпрямі, паралельні протилежним сторонам; ці прямі утворюють Δ А 1 У 1 З 1 (Рис. 61). Висоти Δ АВСє серединними перпендикулярами до сторін ΔA 1 B 1 C 1 . Отже, вони перетинаються в одній точці - центрі описаного кола ΔA 1 B 1 C 1 . Точка перетину висот трикутника називається іноді його ортоцентр.

Легко перевірити, якщо Н - точка перетину висот Δ АВС,то А, Ві З -точки перетину висот Δ ВНС, ΔСНАта Δ АНВвідповідно.

Зрозуміло також, що<ABC + < AHC = 180°, тому що < BA 1 H = < BC 1 H = 90 ° (A 1 і C 1 - основи висот). Якщо точка H 1 симетрична точці Н щодо прямої АС,то чотирикутник АВСН 1 вписаний. Отже, радіуси описаних кіл Δ АВСта Δ АН Срівні і ці кола симетричні щодо сторони АС(Рис. 62). Тепер легко довести, що

АН=а|ctg А|, де а = НД.Справді,

AH=2R sin< ACH=2R|cos A| =a|ctg А| .

Припустимо для простоти, що ΔАВСгострокутний та розглянемо Δ A 1 B 1 C 1 , утворений основами його висот. Виявляється, що центром вписаного кола Δ A 1 B 1 C 1 є точка перетину висот Δ АВС,а центри вписаних кіл

ΔA 1 B 1 C 1 є вершинами Δ АВС(Рис. 63). Крапки А 1 і У 1 СН(бо кути НВ 1 З і НА 1 Зпрямі), тому < HA 1 B 1 = < HCB 1 . Аналогічно<HA 1 C 1 = < HBC 1 . А оскільки<HCB 1 = =< HBC 1 то А 1 А -бісектриса<У 1 А 1 З 1 .

Нехай Н- точка перетину висот АА 1 , ВВ 1 і CC 1 трикутника ABC . Крапки A 1 і У 1 лежать на колі з діаметром АВ,тому AH · A 1 H = BH · B 1 H . Аналогічно ВНB 1 H =СН · С 1 н.

Для гострокутного трикутника справедливе також зворотне затвердження: якщо точки А 1 B 1 і C 1 лежать на сторонах НД, САта АВ гострокутного Δ АВС тавідрізки АА 1 , ВВ 1 і СС 1 перетинаються у точці Р,причому АР·А 1 Р = ВР · В 1 Р=СР·С 1 Р,то Р- Точка перетину висот. Справді, з рівності

AP · A 1 P = BP · B 1 P

слід, що точки А, В, А 1 і У 1 лежать на одному колі з діаметром АВ,а значить, < AB 1 B = < BA 1 A =γ. Аналогічно < ACiC =< CAiA = β і <СВ 1 В=<ВС 1 С= α (Рис. 64). Зрозуміло також, що + + = CC 1 A = l 80°, β+γ=180° та γ+α=180°. Отже, = β=γ=90°.

Точку перетину висот трикутника можна визначити ще іншим дуже цікавим способом, але для цього нам знадобляться поняття вектора і скалярного твору векторів.

Нехай Про- центр описаного кола Δ АВС.Сума векторів Про А+ OB + ОСє деяким вектором, тому існує така точка Р,що ОР = ОА + ОВ + ОС.Виявляється, що Р- точка перетину висот Δ АВС!

Доведемо, наприклад, що AP перпендикулярно BC . Зрозуміло, що АР=АТ+

+ор=ао+(оа+ів+ос)=ів+ос та вс= -ів+ос. Тому скалярний добуток векторів АРі НДодно ОС 2 - OB 2 = R 2 - R 2 =0, тобто ці вектори перпендикулярні.

Ця властивість ортоцентра трикутника дозволяє доводити деякі далеко не очевидні твердження. Розглянемо, наприклад, чотирикутник ABCD , вписаний у коло. Нехай На, Нв, Нсі H d - ортоцентри Δ BCD , Δ CDA , Δ DAB та Δ ABC відповідно. Тоді середини відрізків АН а , ВНь, СН З , DH d збігаються. Справді, якщо Про- центр кола, а М- середина відрізка АН а , то ОМ = 1/2 (0А + ВІН а )= =1/2(ОА + ОВ+ОС+ОD ) . Для середин трьох інших відрізків отримуємо такі самі вирази.

ПРЯМА ЕЙЛЕРА

Найдивовижнішою властивістю чудових точок трекосинця є те, що деякі з них пов'язані один з однимгом певними співвідношеннями. Наприклад, точка перетинумедіан М, точка перетину висот Н і центр описаного оточенняності Про лежать на одній прямій, причому точкаМділить відрізок ВІН так, що справедливе співвідношенняОМ: МН = 1:2. Ця теорема була доведена у 1765 р. Леонардом Ейлером, якийсвоєю невтомною діяльністю значно розвинув багато галузей математики і заклав основи багатьох нових її розділів. Він народився 1707 р. у Швейцарії. У 20 років Ейлер за рекомендацієюбратів Бернуллі отримав запрошення приїхати до Санкт-Петерабург, де незадовго до цього була організована академія. Унаприкінці 1740 р. у Росії у зв'язку з приходом до влади Анни ЛеопольДавно склалася тривожна обстановка, і Ейлер переїхав уБерлін. Через 25 років він знову повернувся до Росії, загаломності в Петербурзі Ейлер прожив понад 30 років. Перебуваючи у Берліні, Ейлер підтримував тісний зв'язок з російською академією і бувїї почесним членом. З Берліна Ейлер листувався з Ломоносовим. Їхнє листування зав'язалося в такий спосіб. У 1747 р. Ломоносова обрали професори, т. е. в дійсні члени академії; імператриця це обрання затвердила. Після цьогореакційний чиновник академії Шумахер, що яро ненавидить Ломоносова, надіславши його роботи Ейлеру, сподіваючись отримати про нихпоганий відгук. (Ейлер був старший за Ломоносова всього на 4 роки,але його науковий авторитет був на той час дуже високий.)У своєму відгуку Ейлер писав: «Всі ці твори не тільки хоро.ши, але й чудові, бо він пояснює фізичні та хімічніматерії найпотрібніші і найважчі, які зовсім невідомі і неможливі були до тлумаченнянайдотепнішим і вченимним людям, з таким засновникомщо я зовсім впевнений проточності його доказів...Бажати треба, щоб все прочиї академії були в змозі показати такі винаходи,торі показав пан Ломоносів».

Перейдемо до доказу теореми Ейлера.Розглянемо Δ A 1 B 1 C 1 з вершинами в середини сторін Δ АВС;нехай H 1 та Н – їх ортоцентри (рис. 65). Крапка Н 1 збігається з центром Проописаного кола Δ АВС.Доведемо, що Δ C 1 H 1 M =Δ CHM . Справді, за якістю точки перетину медіан З 1 М: СМ = 1:2, коефіцієнт подібності Δ A 1 B 1 C 1 та Δ АВСдорівнює 2, тому C 1 H 1 : CH =1:2, Крім того,<H 1 C 1 M =<НСМ (C 1 H 1 || CH ). Отже,< C 1 MH 1 = < СМН,отже, точка Млежить на відрізку H 1 H . Крім того, H 1 M : MH =1:2, оскільки коефіцієнт подібності Δ C 1 H 1 M та Δ СНМдорівнює 2.

ОКРУЖНІСТЬ ДЕВ'ЯТИ ТОЧОК

У 1765 р. Ейлер виявив, що середини сторін трикутника та підстави його висот лежать на одному колі. Доведемо і ми цю властивість трикутника.

Нехай В 2 - основа висоти, опущеної з вершини Уна
бік АС.Крапки Уі 2 симетричні щодо прямої А 1 З 1
(Рис. 66). Отже, Δ А 1 У 2 З 1 = Δ A 1 BC t = Δ A 1 B 1 C 1 , тому < A 1 B 2 C 1 = <А 1 У 1 З 1 , отже, точка У 2 лежить на описаній
кола ΔА 1 У 1 З 1 . Для інших підстав висот доказ аналогічний. „

Згодом було виявлено, що на тому самому колі лежать ще три точки - середини відрізків, що з'єднують ортоцентр із вершинами трикутника. Це і є коло дев'яти точок.

Нехай Яі Сз- середини відрізків АНі СН, С 2 - основа висоти, опущеної з вершини Зна АВ(Рис. 67). Доведемо спочатку, що A 1 C 1 A 3 C 3 - Прямокутник. Це легко випливає з того, що А 1 Сзі A 3 C 1 - Середні лінії Δ ВСНі ΔАВН,а A 1 C 1 і А 3 Сз- Середні лінії Δ АВСта Δ АСН.Тому точки А 1 і Ялежать на колі з діаметром З 1 Сз,а так як Яі Сзлежать на колі, що проходить через точки А 1, C 1 та З 2 . Це коло збігається з колом, розглянутим Ейлером (якщо Δ АВСне рівнобедрений). Для точки Вздоказ аналогічний.

ТОЧКА ТОРРІЧЕЛЛІ

Усередині довільного чотирикутника ABCD легко знайти точку, сума відстаней від якої до вершин має найменше значення. Такою точкою є точка Проперетину його діагоналей. Справді, якщо X - будь-яка інша точка, то АХ+ХС≥АС=АТ+ОСі BX + XD ≥ BD = BO + OD , причому хоча б одне з нерівностей суворе. Для трикутника аналогічне завдання вирішується складніше, до його вирішення ми зараз перейдемо. Для простоти розберемо випадок гострокутного трикутника.

Нехай М- деяка точка всередині гострокутного Δ АВС.Повернемо Δ АВСразом із точкою Мна 60° навколо точки А(Рис. 68). (Точніше кажучи, нехай В,і М"- Образи точок В, Сі Мпри повороті на 60° навколо точки А.)Тоді АМ+ВМ+СМ=ММ”+BM + C " M "АМ=ММ",так як ΔАММ"- рівнобедрений (АМ = АМ")і<МАМ" = 60 °. Права частина рівності – це довжина ламаної ВММ "С"" ; вона буде найменшою, коли ця ламана

збігається з відрізком НД" . В цьому випадку<. AMB = 180 ° -<АММ" = 120° та<АМС = <AM " C - 180 ° -<AM " M = 120°, тобто сторони АВ, НДі СА видно з точки Мпід кутом 120 °. Така точка Мназивається точкою Торрічеллітрикутника ABC .

Доведемо, втім, що всередині гострокутного трикутника завжди існує точка М,з якої кожен бік видно під утлом 120°. Побудуємо на стороні АВтрикутника ABC зовнішнім чином правильний Δ АВС 1 (Рис. 69). Нехай М-точка перетину описаного кола ΔАВС 1 і прямий СС 1 . Тоді ABC 1 = 60 °і АВСвидно з точки Мпід кутом 120 °. Продовжуючи ці міркування трохи далі, можна отримати ще одне визначення точки Торрічеллі. Побудуємо правильні трикутники А 1 НДі АВ 1 Зще й на сторонах ВС та АС.Доведемо, що точка М лежить також і на прямій АА 1 . Справді, точка Млежить на описаному колі Δ A 1 BC , тому<A 1 MB = < A 1 CB = 60 °,а значить,<А 1 МВ+<. BMA = 180 °. Аналогічно точка Млежить і на прямій ВВ 1 (Рис. 69).

Всередині Δ АВСіснує єдина точка М, з якої його сторони видно під кутом 120°, тому що описані кола Δ ABC 1 , Δ AB i C та Δ А 1 НДщо неспроможні мати більше однієї загальної точки.

Наведемо тепер фізичну (механічну) інтерпретацію точки Торрічеллі. Закріпимо у вершинах Δ АВСкільця, пропустимо крізь них три мотузки, одні кінці яких пов'язані, а до інших кінців прикріплені вантажі рівної маси (рис. 70). Якщо х = МА, у = МВ,z = MC і а- Довжина кожної нитки, то потенційна енергія аналізованої системи дорівнює m g (x -а)+ m g (y - a )+ mg (z -а).У положенні рівноваги потенційна енергія має найменше значення, тому сума х+у+z також має найменше значення. З іншого боку, у положенні рівноваги рівнодіюча сил у точці Мдорівнює нулю. Ці сили по абсолютній величині рівні, тому попарні кути між векторами сил рівні 120°.

Залишається розповісти, як справи у разі тупокутного трикутника. Якщо тупий кут менший за 120°, то всі попередні міркування залишаються в силі. А якщо тупий кут більший або дорівнює 120 °, то сума відстаней від точки трикутника до його вершин буде найменшою, коли ця точка - вершина тупого кута.

ТОЧКИ БРОКАРУ

Крапками Брокара Δ АВСназиваються такі його внутрішні точки Рі Q , що<ABP = <. BCP =< CAP і<. QAB = <. QBC = < QCA (Для рівностороннього трикутника точки Брокара зливаються в одну точку). Доведемо, що всередині будь-якого Δ АВСіснує точка Р,має необхідну властивість (для точки Q доказ аналогічний). Попередньо сформулюємо визначення точки брокара в іншому вигляді. Позначимо величини кутів так, як показано на малюнку 71. Оскільки<АРВ = 180 ° - а +х-у,рівність х=уеквівалентно рівності<APB = 180 ° -< . A . Отже, Р- точка Δ АВС,з якої сторони АВ,
НДі САвидно під кутами 180 ° -<. A , 180 ° -<B , 180 ° -<З.
Таку точку можна побудувати в такий спосіб. Побудуємо на
боці НДтрикутника АВСподібний до нього трикутник СА1В
так, як показано на малюнку 72. Доведемо, що точка Р перетину прямої АА1та описаного кола ΔА1ВСшукана. Справді,<BPC =18 O ° - β і<APB = 180 ° -<A t PB = 180 ° -<A 1 CB = l 80°- а.Побудуємо далі аналогічним чином подібні трикутники на сторонах АСі АВ(Мал. 73). Так як<. APB = 180 ° - а,крапка Рлежить також і на описаному колі Δ АВС 1 Отже,<BPC 1 = <BAC 1 = β, отже, точка
Рлежить на відрізку СС 1 . Аналогічно вона лежить і на відрізку ВВ 1 ,
тобто. Р -точка перетину відрізків АА 1 , ВВ 1 і СС 1 .

Крапка Брокара Рмає наступну цікаву властивість. Нехай прямі АР, ВРі СРперетинають описане коло ΔАВС

у точках А 1 , В 1 та C 1 (рис. 74). Тоді Δ АВС = Δ B 1 З 1 A 1 .насправді,<. A 1 B 1 C 1 = < A 1 B 1 B + < BB 1 C 1 =<A 1 AB +<В CC 1 =<A 1 AB + +< A 1 AC =<.ВАС, за властивістю точки Брокара ΔАВС кути BCC 1 і А 1 АС рівні, а значить, A 1 C 1 = BC . Рівність інших сторін Δ АВСта Δ В 1 С 1 А 1 перевіряється аналогічно.

У всіх розглянутих нами випадках доказ того, що відповідні трійки прямих перетинаються в одній точці, можна провести за допомогою теореми Чеви.Ми сформулюємо цю теорему.

Теорема. Нехай на сторонах АВ, НДі С Атрикутника ABC взяті крапки З 1 , А 1 і У 1 відповідно. Прямі АА 1 , ВВ 1 і СС 1 перетинаються в одній точці тоді і лише тоді, коли

АС 1 /З 1 В·ВА 1 /А 1 С·СВ 1 / В 1 А = 1.

Доказ теореми наведено у підручнику геометрії 7-9 клас Л.С.Атанасяна на с.300.

Література

1.Атанасян Л.С. Геометрія 7-9. - М.: Просвітництво, 2000р.

2.Кисельов А.П. Елементарна геометрія. - М.: Просвітництво, 1980р.

3. Микільська І.Л. Факультативний курс з математики. М.: Просвітництво, 1991р.

4. Енциклопедичний словник молодого математика.. Упоряд. А.П.Савін.-.М.: Педагогіка, 1989.

Зміст

Вступ………………………………………………………………………………………3

Глава 1.

1.1 Трикутник………………………………………………………………………………..4

1.2. Медіани трикутника

1.4. Висоти у трикутнику

Висновок

Список використаної літератури

Буклет

Вступ

Геометрія - це розділ математики, що розглядає різні постаті та його властивості. Геометрія починається із трикутника. Ось уже два з половиною тисячоліття трикутник є символом геометрії; але він не лише символ, трикутник – атом геометрії.

У своїй роботі я розгляну властивості точок перетину бісектрис, медіан і висот трикутника, розповім про чудові їх властивості та лінії трикутника.

До таких точок, що вивчаються в шкільному курсі геометрії, відносяться:

а) точка перетину бісектрис (центр вписаного кола);

б) точка перетину серединних перпендикулярів (центр описаного кола);

в) точка перетину висот (ортоцентр);

г) точка перетину медіан (центроїд).

Актуальність: розширити свої знання про трикутник,властивості йогочудових точок.

Ціль: дослідження трикутника на його чудові точки,вивчення їхкласифікацій та властивостей.

Завдання:

1. Вивчити необхідну літературу

2. Вивчити класифікацію чудових точок трикутника

3. Вміти будувати чудові точки трикутника.

4. Узагальнити вивчений матеріал для оформлення буклету.

Гіпотеза проекту:

вміння знаходити чудові точки у будь-якому трикутнику, дозволяє вирішувати геометричні завдання на побудову.

Глава 1. Історичні відомості про чудові точки трикутника

У четвертій книзі "Початок" Евклід вирішує завдання: "Вписати коло у цей трикутник". З рішення випливає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці – центрі вписаного кола. З вирішення іншого завдання Евкліда випливає, що перпендикуляри, відновлені до сторін трикутника у тому серединах, теж перетинаються у одній точці – центрі описаного кола. У "Початках" не йдеться про те, що і три висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром (грецьке слово "ортос" означає "прямий", "правильний"). Ця пропозиція була, однак, відома Архімеду, Паппу, Проклу.

Четвертою особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром тяжкості (барицентр) трикутника. На вищезгадані чотири точки було звернуто особливу увагу, і починаючи з XVIII століття вони були названі "чудовими" або "особливими" точками трикутника.

Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних із цими та іншими точками, послужило початком для створення нової гілки елементарної математики - "геометрії трикутника" або "нової геометрії трикутника", одним із родоначальників якої став Леонард Ейлер. У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, баріцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше "прямою Ейлера".

Трикутник - геометрична фігура, що складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки. Крапки -вершини трикутника, відрізки -сторони трикутник.

У А, В, С – вершини

АВ, НД, СА - сторони

А З

З кожним трикутником пов'язані чотири точки:

Точка перетину медіан;

Точка перетину бісектрис;

Точка перетину висот.

Точка перетину серединних перпендикулярів;

1.2. Медіани трикутника

Медина трикутника ― , що з'єднує вершину із серединою протилежної сторони (Малюнок 1). Точка перетину медіани зі стороною трикутника називається основою медіани.

Малюнок 1. Медіани трикутника

Побудуємо середини сторін трикутника і проведемо відрізки, що з'єднує кожну з вершин із серединою протилежної сторони. Такі відрізки називаються медіаною.

І знову ми спостерігаємо, що ці відрізки перетинаються в одній точці. Якщо ми виміряємо довжини відрізків медіан, то можна перевірити ще одну властивість: точка перетину медіан ділить всі медіани щодо 2:1, рахуючи від вершин. І ще трикутник, який спирається на вістря голки в точці перетину медіан, знаходиться в рівновазі! Крапка, що має таку властивість, називається центром ваги (барицентр). Центр рівних мас іноді називають центроїдом. Тому властивості медіан трикутника можна сформулювати так: медіани трикутника перетинаються у центрі тяжкості і точкою перетину діляться щодо 2:1, рахуючи від вершини.

1.3. Бісектриси трикутника

Бісектрисою називається бісектриси кута, проведений від вершини кута до її перетину з протилежною стороною. Трикутник має три бісектриси, що відповідають трьом його вершинам (Малюнок 2).

Малюнок 2. Бісектриса трикутника

У довільному трикутнику ABC проведемо бісектриси його кутів. І знову при точній побудові всі три бісектриси перетнуться в одній точці D. Точка D – теж незвичайна: вона рівновіддалена від усіх трьох сторін трикутника. Це можна переконатися, якщо опустити перпендикуляри DA 1, DB 1 і DC1 на сторони трикутника. Усі вони рівні між собою: DA1 = DB1 = DC1.

Якщо провести коло з центром в точці D і радіусом DA 1, то вона торкатиметься всіх трьох сторін трикутника (тобто матиме з кожним лише одну загальну точку). Таке коло називається вписаним у трикутник. Отже, бісектриси кутів трикутника перетинаються в центрі вписаного кола.

1.4. Висоти у трикутнику

Висота трикутника - , опущений з вершини на протилежну сторону або пряму, що збігається з протилежною стороною. Залежно від типу трикутника висота може утримуватися всередині трикутника (для трикутника), збігатися з його стороною (є трикутника) або проходити поза трикутником у тупокутного трикутника (Малюнок 3).

Рисунок 3. Висоти у трикутниках

Якщо трикутнику побудувати три висоти, всі вони перетинуться у одній точці H. Ця точка називається ортоцентром. (Малюнок 4).

За допомогою побудов можна перевірити, що в залежності від виду трикутника ортоцентр розташовується по-різному:

у гострокутного трикутника – усередині;

у прямокутного – на гіпотенузі;

у тупокутного – зовні.

Малюнок 4. Ортоцентр трикутника

Таким чином, ми познайомилися з ще однією чудовою точкою трикутника і можемо сказати, що: висоти трикутника перетинаються в ортоцентрі.

1.5. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника

Серединний перпендикуляр до відрізка - це пряма, перпендикулярна даному відрізку і через його середину.

Накреслимо довільний трикутник ABC та проведемо серединні перпендикуляри до його сторін. Якщо побудова виконано точно, то всі перпендикуляри перетнуться в одній точці – точці О. Ця точка рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Іншими словами, якщо провести коло з центром у точці О, що проходить через одну з вершин трикутника, то вона пройде і через дві інші його вершини.

Коло, що проходить через усі вершини трикутника, називається описаним біля нього. Тому встановлену властивість трикутника можна сформулювати так: серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в центрі описаного кола (Малюнок 5).

Малюнок 5. Трикутник вписаний у коло

Глава 2. Дослідження чудових точок трикутника.

Дослідження висоти у трикутниках

Усі три висоти трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається ортоцентр трикутника.

Висоти гострокутного трикутника розташовані всередині трикутника.

Відповідно, точка перетину висот також знаходиться усередині трикутника.

У прямокутному трикутнику дві висоти збігаються зі сторонами. (Це висоти, проведені з вершин гострих кутів до катетів).

Висота, проведена до гіпотенузи, лежить усередині трикутника.

AC - висота, проведена з вершини до сторони AB.

AB – висота, проведена з вершини B до сторони AC.

AK – висота, проведена з вершини прямого кута А до гіпотенузи ВС.

Висоти прямокутного трикутника перетинаються у вершині прямого кута (А – ортоцентр).

У тупокутному трикутнику всередині трикутника лежить лише одна висота - та, яка проведена з вершини тупого кута.

Дві інші висоти лежать поза трикутником і опущені до продовження сторін трикутника.

AK – висота, проведена до сторони BC.

BF – висота, проведена до продовження сторони АС.

CD – висота, проведена до продовження сторони AB.

Точка перетину висот тупокутного трикутника також знаходиться поза трикутником:

H – ортоцентр трикутника ABC.

Дослідження бісектрис у трикутнику

Бісектриса трикутника є частиною бісектриси кута трикутника (променя), яка знаходиться всередині трикутника.

Всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Точка перетину бісектрис в гострокутному, тупокутному та прямокутному трикутниках, є центром вписаного в трикутник кола і знаходиться всередині.

Дослідження медіан у трикутнику

Так як у трикутника три вершини і три сторони, то і відрізків, що з'єднують вершину і середину протилежної сторони, також три.

Дослідивши ці трикутники, я зрозумів, що в будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці. Цю точку називають центром тяжкості трикутника.

Дослідження серединних перпендикулярів до сторони трикутника

Серединний перпендикуляр Трикутник – це перпендикуляр, проведений до середини сторони трикутника.

Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці, є центром описаного кола.

Точка перетину серединних перпендикулярів у гострокутному трикутнику лежить усередині трикутника; у тупокутному – поза трикутником; у прямокутному – на середині гіпотенузи.

Висновок

У ході виконаної роботи ми приходимо до таких висновків:

Мета досягнута:досліджували трикутник та знайшли його чудові точки.

Поставлені завдання вирішено:

1). Вивчили необхідну літературу;

2). Вивчили класифікацію чудових точок трикутника;

3). Навчилися будувати чудові точки трикутника;

4). Узагальнили вивчений матеріал для оформлення буклету.

Гіпотеза, що вміння знаходити чудові точки трикутника, допомагає у вирішенні завдань на побудову підтвердилася.

У роботі послідовно викладаються прийоми побудови чудових точок трикутника, наведено історичні відомості про геометричні побудови.

Дані з цієї роботи можуть стати в нагоді на уроках геометрії в 7 класі. Буклет може стати довідником з геометрії з викладеної теми.

Список літератури

Підручник. Л.С. Атанасян «Геометрія 7-9 класиМнемозина,2015.

Вікіпедіяhttps://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрія#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Портал Алі Вітрила

Провідний освітній портал Росії http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

Цілі:
- узагальнити знання учнів по темі «Чотири чудові точки трикутника», продовжити роботу з формування навичок побудови висоти, медіани, бісектриси трикутника;

Познайомити учнів з новими поняттями вписаного кола в трикутник та описаного біля нього;

Розвивати навички дослідження;
- Виховувати наполегливість, точність, організованість учнів.
Завдання:розширити пізнавальний інтерес до предметагеометрія.
Обладнання:дошка, інструменти креслення, кольорові олівці, модель трикутника на альбомному листі; комп'ютер, мультимедійний проектор, екран.

Хід уроку

1. Організаційний момент (1 хвилина)
Вчитель:На цьому уроці кожен із вас відчує себе в ролі інженера-дослідника, після закінчення практичної роботи ви зможете оцінити себе. Щоб робота була успішною, треба дуже точно і організовано виконувати всі дії з моделлю під час уроку. Бажаю успіху.
2.
Вчитель: накресліть у зошиту нерозгорнутий кут
В. Які ви знаєте способи побудови бісектриси кута?

Визначення бісектриси кута. Два учні виконують на дошці побудова бісектриси кута (за заздалегідь заготовленими моделями) двома способами: лінійкою, циркулем. Наступні два учні усно доводять твердження:
1. Яку властивість мають точки бісектриси кута?
2. Що можна сказати про точки, що лежать усередині кута і рівновіддалені від сторін кута?
Вчитель: накресліть в тетрадіострокутний трикутник АВС і будь-яким із способів, побудуйте бісектриси кута А та кута С, точка їх

перетину - точка О. Яку гіпотезу можете висунути про промінь ВО? Доведіть, що промінь ВО - бісектриса трикутника АВС. Сформулюйте висновок про розташування всіх бісектрис трикутника.
3. Робота із моделлю трикутника (5-7 хвилин).
1 варіант - гострокутний трикутник;
2 варіант - прямокутний трикутник;
3 варіант - тупокутний трикутник.
Вчитель: на моделі трикутника збудуйте дві бісектриси, обведіть їх жовтим кольором. Позначте точку перетину

бісектрис точкою К. Дивитись слайд № 1.
4. Підготовка до основного етапу уроку (10-13 хвилин).
Вчитель: накресліть у зошиті відрізок АВ. За допомогою яких інструментів можна побудувати середній перпендикуляр до відрізка? Визначення серединного перпендикуляра. Два учні виконують на дошці побудову серединного перпендикуляра

(за заздалегідь заготовленими моделями) двома способами: лінійкою, циркулем. Наступні два учні усно доводять твердження:
1. Яку властивість мають точки серединного перпендикуляра до відрізка?
2. Що можна сказати про точки рівновіддалені від кінців відрізка АВ? Вчитель: накресліть у зошиті прямокутний трикутник АВС і побудуйте серединні перпендикуляри до двох будь-яких сторін трикутника АВС.

Позначте точку перетину О. Проведіть перпендикуляр до третьої сторони через точку О. Що ви помітили? Доведіть, що це серединний перпендикуляр до відрізка.
5. Робота з моделлю трикутника (5 хвилин). Вчитель: на моделі трикутника побудуйте серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника і обведіть їх зеленим кольором. Визначте точку перетину серединних перпендикулярів точкою О. Дивитись слайд № 2.

6. Підготовка до основного етапу уроку (5-7 хвилин). Вчитель: накресліть тупокутний трикутник АВС і побудуйте дві висоти. Позначте їх точку перетину О.
1. Що можна сказати про третю висоту (третя висота, якщо її продовжити за основу, проходитиме через точку О)?

2. Як довести, що всі висоти перетинаються в одній точці?
3. Яку нову фігуру утворюють ці висоти і чим вони є?
7. Робота із моделлю трикутника (5 хвилин).
Вчитель: на моделі трикутника побудуйте три висоти та обведіть їх синім кольором. Позначте точку перетину висот точкою Н. Дивіться слайд №3.

Урок другий

8. Підготовка до основного етапу уроку (10-12 хвилин).
Вчитель: накресліть трикутник АВС і побудуйте всі його медіани. Позначте їх точку перетину О. Яким властивістю мають медіани трикутника?

9. Робота з моделлю трикутника (5хвилин).
Вчитель: на моделі трикутника побудуйте три медіани та обведіть їх коричневим кольором.

Позначте точку перетину медіан точкою Т. Дивитись слайд № 4.
10. Перевірка правильності побудови (10-15 хвилин).
1. Що можна сказати про точку К? /Точка-точка перетину бісектрис, вона рівновіддалена від усіх сторін трикутника/
2. Покажіть на моделі відстань від точки До будь-якої сторони трикутника. Яку фігуру ви накреслили? Як розташований цей

відрізок до сторони? Виділіть жирно простим олівцем. (Дивитись слайд № 5).
3. Чим є точка, рівновіддалена від трьох точок площини, що не лежать на одній прямій? Побудуйте жовтим олівцем коло з центром К і радіусом, що дорівнює виділеній простим олівцем відстані. (Дивитись слайд № 6).
4. Що ви помітили? Як розташоване це коло щодо трикутника? Ви вписали коло в трикутник. Як можна назвати таке коло?

Вчитель дає визначення вписаного кола трикутник.
5. Що можна сказати про точку О? \ТочкаО -точка перетину серединних перпендикулярів і вона рівновіддалена від усіх вершин трикутника\. Яку фігуру можна побудувати, зв'язавши точки А, В, С та О?
6. Побудуйте зеленим кольором коло (О; ОА). (Дивитись слайд № 7).
7. Що ви помітили? Як розташоване це коло щодо трикутника? Як можна назвати таке коло? Як можна назвати трикутник?

Вчитель дає визначення описаного кола біля трикутника.
8. Додайте до точок О, Н і Т лінійку і проведіть червоним кольором пряму через ці точки. Ця пряма називається прямою

Ейлера. (Дивитись слайд № 8).
9. Порівняйте ВІД і ТН. Перевірте ВІД: ТН = 1: 2. (Дивитись слайд № 9).
10. а) Знайдіть медіани трикутника (коричневим кольором). Позначте чорнилом основи медіан.

Де ці три точки?
б) Знайдіть висоти трикутника (синім кольором). Позначте чорнилом основи висот. Скільки цих точок? \ 1 варіант-3; 2 варіант-2; 3 варіант-3 \. в) Виміряйте відстані від вершин до точки перетину висот. Назвіть ці відстані (АН,

ВН, СН). Знайдіть середини цих відрізків і виділіть чорнилом. Скільки таких

точок? \1 варіант-3; 2 варіант-2; 3 варіант-3.
11. Порахуйте, скільки вийшло точок, відмічених чорнилом? \ 1 варіант - 9; 2 варіант-5; 3 варіант-9 \. Позначте

точки D 1 , D 2 ..., D 9 . (Дивитись слайд № 10). Через ці точки можна побудувати коло Ейлера. Центр кола точка Е знаходиться в середині відрізка ВІН. Будуємо червоним кольором коло (Е; ЕD 1). Це коло, як і пряма, названа ім'ям великого вченого. (Дивитись слайд № 11).
11. Презентація про Ейлера (5 хвилин).
12. Підсумок(3 хвилини). Оцінка: «5» - якщо вийшли точно жовта, зелена і червона кола і пряма Ейлера. «4»-якщо неточно вийшли кола на 2-3мм. «3»- якщо неточно вийшли кола на 5-7мм.